（浙江專用）版高考數(shù)學(xué)5.3柯西不等式課時體能訓(xùn)練理

1、【全程復(fù)習(xí)方略】浙江專用版高考數(shù)學(xué) 5.3柯西不等式課時體能訓(xùn)練 理 新人教a版選修41.(·南京模擬)假設(shè)正數(shù)a，b，c滿足abc1，求的最小值.2.x，y，z為正實數(shù)，且1，求x4y9z的最小值及取得最小值時x，y，z的值.3.假設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc6，求的最大值.一點，x，y，z是p到三邊a，b，c的距離，r是abc外接圓的半徑，證明.5.a、b、c均為正數(shù)，且abc3，|x2|xm|對任意的xr恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.6.(易錯題)x，y，z為實數(shù)，且x2y3z，(1)求x2y2z2的最小值；(2)設(shè)|2t1|x2y2z2，求實數(shù)t的取值范圍.7.a，b，c為實

2、數(shù)，且abc22m0，a2b2c2m10.(1)求證：a2b2c2；(2)求實數(shù)m的取值范圍.8.設(shè)a，b，c，d是4個不全為零的實數(shù)，求證：.9.函數(shù)f(x)x，x>1，且不等式f(x)a2b2c2對任意x>1恒成立.(1)試求函數(shù)f(x)的最小值；(2)試求a2b2c的最大值.10.(·南安模擬)將12 cm長的細(xì)鐵線截成三條長度分別為a、b、c的線段，(1)求以a、b、c為長、寬、高的長方體的體積的最大值；(2)假設(shè)這三條線段分別圍成三個正三角形，求這三個正三角形面積和的最小值.答案解析1.【解析】因為正數(shù)a，b，c滿足abc1，所以()(3a2)(3b2)(3c2

3、)(111)2，即1，當(dāng)且僅當(dāng)3a23b23c2，即abc時，原式取最小值1.2.【解題指南】因為1，所以可構(gòu)造x4y9z()2()2()2()2(2)2(3)2，然后利用柯西不等式求解.【解析】由柯西不等式得x4y9z()2(2)2(3)2·()2()2()2(·2·3·)236.當(dāng)且僅當(dāng)x2y3z時等號成立，此時x6，y3，z2，所以當(dāng)x6，y3，z2時，x4y9z取得最小值36.3.【解析】由柯西不等式得()2(1×1×1×)2(121212)(2a2b12c3)3(2×64)48.4.當(dāng)且僅當(dāng)即2a2b12

4、c3時等號成立，又abc6，a，b，c時，有最大值4.4.【證明】由柯西不等式得，·，設(shè)s為abc的面積，那么axbycz2s2·.，故不等式成立.5.【解析】a，b，c均為正數(shù)，且abc3，由柯西不等式可知，·3，|x2|xm|3對任意的xr恒成立.|x2|xm|(x2)(xm)|m2|，|m2|3，解得m1或m5.m的取值范圍是(，15，).6.【解析】(1)由柯西不等式得(122232)(x2y2z2)(1·x2·y3·z)2即14(x2y2z2)()27，所以x2y2z2，當(dāng)且僅當(dāng)|x|y|z|時取等號，即x2y2z2的最小值

5、為.(2)由(1)得|2t1|，那么2t1或2t1，解得t或t，即實數(shù)t的取值范圍是(，).7.【解析】(1)由柯西不等式得a2(b)2(c)2·(122232)(abc)2即(a2b2c2)×14(abc)2，a2b2c2，當(dāng)且僅當(dāng)|a|b|c|時取得等號.(2)由得abc2m2，a2b2c21m，14(1m)(2m2)2即2m23m50，m1，又a2b2c21m0，m1，m1.8.【解題指南】可從欲證的不等式左邊的分子入手，將其適當(dāng)變形，然后利用柯西不等式證明，注意應(yīng)兩次利用柯西不等式.【證明】ab2bccd(abcd)(bcad)(bcad)··(a2b2c2d2).9.【解析】(1)x>1，x1>0f(x)x(x1)1213.(當(dāng)且僅當(dāng)x2時取“)(2)由(1)得a2b2c23由柯西不等式得(a2b2c2)(122222)(1·a2·b2·c)2(a2b2c)23×927，a2b2c3.當(dāng)且僅當(dāng)即a，b，c時取“，即a2b2c的最大值為3.10.【解析】(1)abc12，vabc()364；當(dāng)且僅當(dāng)abc4時，等號成立.(2)設(shè)正三角形的邊