3.2最優(yōu)控制理論ppt課件

1、最優(yōu)控制理論主講：羅文廣授課內(nèi)容1、最優(yōu)控制概述2、最優(yōu)控制中的變分法3、極小值原理及其應(yīng)用4、動態(tài)規(guī)劃5、線性最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器6、線性最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器與跟蹤系統(tǒng)考核方式一、小設(shè)計論文30） 1、選題：每人自選一個與最優(yōu)控制相關(guān)的實際小問題，在小組討論中初步確定選題。小組45人，自行成立。2、解題：通過建模、編程和仿真，獲得問題的最優(yōu)解；或者通過制作實物、編程，對對象實現(xiàn)最優(yōu)控制。3、論文：通過以上工作，完成一篇小論文。論文撰寫格式按照廣西工學(xué)院學(xué)報的格式要求。4、報告和答辯：每人約用10分鐘對所做選題進行匯報和答辯5、時間要求： 題目確定：第6周，個人上交自擬的題目。 答辯時間：12周以后。 最

2、后完成時間：本學(xué)期最后一周。6、上交材料：（1編制的程序、仿真結(jié)果，或制作的實物；（2小論文。由班長統(tǒng)一上交含統(tǒng)計表）二、考試70） 開卷方式第1章 導(dǎo)論 1.1 引言一、現(xiàn)代控制理論一、現(xiàn)代控制理論 現(xiàn)代控制理論是研究系統(tǒng)狀態(tài)的控制和觀測的理論，主要包括現(xiàn)代控制理論是研究系統(tǒng)狀態(tài)的控制和觀測的理論，主要包括5 5個方個方面：面： 1 1、線性系統(tǒng)理論：研究線性系統(tǒng)的性質(zhì)，能觀性、能控性、穩(wěn)定性、線性系統(tǒng)理論：研究線性系統(tǒng)的性質(zhì)，能觀性、能控性、穩(wěn)定性等。以狀態(tài)空間法為主要工具研究多變量線性系統(tǒng)的理論。等。以狀態(tài)空間法為主要工具研究多變量線性系統(tǒng)的理論。 2 2、系統(tǒng)辨識：根據(jù)輸入、輸出觀測確

3、定系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。、系統(tǒng)辨識：根據(jù)輸入、輸出觀測確定系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。 3 3、最優(yōu)控制：尋找最優(yōu)控制向量、最優(yōu)控制：尋找最優(yōu)控制向量u(t)u(t)。根據(jù)給定的目標函數(shù)和約束。根據(jù)給定的目標函數(shù)和約束條件條件, ,尋求最優(yōu)的控制規(guī)律的問題。尋求最優(yōu)的控制規(guī)律的問題。 4 4、最佳濾波卡爾曼濾波、最優(yōu)估計）：存在噪聲情況下，如何根、最佳濾波卡爾曼濾波、最優(yōu)估計）：存在噪聲情況下，如何根據(jù)輸入、輸出估計狀態(tài)變量。據(jù)輸入、輸出估計狀態(tài)變量。 5 5、適應(yīng)控制：利用辨識系統(tǒng)動態(tài)特性的方法隨時調(diào)整控制規(guī)律以實、適應(yīng)控制：利用辨識系統(tǒng)動態(tài)特性的方法隨時調(diào)整控制規(guī)律以實現(xiàn)最優(yōu)控制，即在參數(shù)擾動情況下，控制器的設(shè)

4、計問題?，F(xiàn)最優(yōu)控制，即在參數(shù)擾動情況下，控制器的設(shè)計問題。 把魯棒控制、預(yù)測控制均納入到現(xiàn)代控制理論的范疇。把魯棒控制、預(yù)測控制均納入到現(xiàn)代控制理論的范疇。第1章 導(dǎo)論 1.1 引言 二、最優(yōu)控制的發(fā)展簡史先期工作：1948年，維納(N.Wiener)發(fā)表控制論，引進了信息、反饋和控制等重要概念，奠定了控制論(Cybernetics)的基礎(chǔ)。并提出了相對于某一性能指標進行最優(yōu)設(shè)計的概念。1950年,米頓納爾(Medona1)首先將這個概念用于研究繼電器系統(tǒng)在單位階躍作用下的過渡過程的時間最短最優(yōu)控制問題。1954年，錢學(xué)森編著工程控制論（上下冊），作者系統(tǒng)地揭示了控制論對自動化、航空、航天、電

5、子通信等科學(xué)技術(shù)的意義和重大影響。其中“最優(yōu)開關(guān)曲線等素材，直接促進了最優(yōu)控制理論的形成和發(fā)展。第1章 導(dǎo)論 1.1 引言n理論形成階段：理論形成階段：n 自動控制聯(lián)合會自動控制聯(lián)合會(IFAC)(IFAC)第一屆世界大會于第一屆世界大會于19601960年召開年召開, ,卡爾曼卡爾曼KalmanKalman）、貝爾曼）、貝爾曼R.BellmanR.Bellman和龐特里亞金和龐特里亞金PontryaginPontryagin分分別在會上作了別在會上作了“控制系統(tǒng)的一般理論控制系統(tǒng)的一般理論”、“動態(tài)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃和和“最優(yōu)控制最優(yōu)控制理論理論的報告的報告, ,宣告了最優(yōu)控制理論的誕生宣告了最優(yōu)

6、控制理論的誕生, ,人們也稱這三個工作是現(xiàn)人們也稱這三個工作是現(xiàn)代控制理論的三個里程碑。代控制理論的三個里程碑。n1953195319571957年，貝爾曼年，貝爾曼(R.E.Bellman)(R.E.Bellman)創(chuàng)建創(chuàng)建“動態(tài)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃原理。原理。為了解決多階段決策過程逐步創(chuàng)立的，依據(jù)最優(yōu)化原理，用一組基本為了解決多階段決策過程逐步創(chuàng)立的，依據(jù)最優(yōu)化原理，用一組基本的遞推關(guān)系式使過程連續(xù)地最優(yōu)轉(zhuǎn)移。的遞推關(guān)系式使過程連續(xù)地最優(yōu)轉(zhuǎn)移。“動態(tài)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃對于研究最優(yōu)控對于研究最優(yōu)控制理論的重要性，表現(xiàn)于可得出離散時間系統(tǒng)的理論結(jié)果和迭代算法。制理論的重要性，表現(xiàn)于可得出離散時間系統(tǒng)的理論結(jié)

7、果和迭代算法。n 第1章 導(dǎo)論n1 9 5 61 9 5 6 1 9 5 81 9 5 8 年 ， 龐 特 里 亞 金 創(chuàng) 立年 ， 龐 特 里 亞 金 創(chuàng) 立 “ 極 小 值 原 理極 小 值 原 理 ” 。它是最優(yōu)控制理論的主要組成部分和該理論發(fā)展史上的一個里程碑。它是最優(yōu)控制理論的主要組成部分和該理論發(fā)展史上的一個里程碑。對于對于“最大值原理最大值原理”，由于放寬了有關(guān)條件的使得許多古典變分法和，由于放寬了有關(guān)條件的使得許多古典變分法和動態(tài)規(guī)劃方法無法解決的工程技術(shù)問題得到解決，所以它是解決最優(yōu)動態(tài)規(guī)劃方法無法解決的工程技術(shù)問題得到解決，所以它是解決最優(yōu)控制問題的一種最普遍的有效的方法。

8、同時，龐特里亞金在控制問題的一種最普遍的有效的方法。同時，龐特里亞金在 著作中已經(jīng)把最優(yōu)控制理論初步形成了一個完整的體著作中已經(jīng)把最優(yōu)控制理論初步形成了一個完整的體系。系。n此外，構(gòu)成最優(yōu)控制理論及現(xiàn)代最優(yōu)化技術(shù)理論基礎(chǔ)的代表性工作，此外，構(gòu)成最優(yōu)控制理論及現(xiàn)代最優(yōu)化技術(shù)理論基礎(chǔ)的代表性工作， 還有不等式約束條件下的非線性最優(yōu)必要條件還有不等式約束條件下的非線性最優(yōu)必要條件( (庫恩庫恩圖克定理圖克定理) )以及以及卡 爾 曼 的 關(guān) 于 隨 機 控 制 系 統(tǒng) 最 優(yōu) 濾 波 器 等 ?？?爾 曼 的 關(guān) 于 隨 機 控 制 系 統(tǒng) 最 優(yōu) 濾 波 器 等 。第1章 導(dǎo)論 1.2 最優(yōu)控制問

9、題一、問題的描述已知被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程以及給定的初始狀態(tài)規(guī)定的目標集為S(例如 ）求一容許控制 ,使系統(tǒng)在該控制的作用下由初態(tài)出發(fā)，在某個大于t0 的終端時刻tf 達到目標集S上，并使性能指標 達到最小。,),(0fttttfuxx0 xx)(0tnptSpf, 0),(RxxrUufttffdtttutxLttxuJ0),(),(),()(第1章 導(dǎo)論 1.2 最優(yōu)控制問題從以上最優(yōu)控制問題的描述中可見：從以上最優(yōu)控制問題的描述中可見：1 1、有一個被控對象系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型）、有一個被控對象系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型） 它通常由常微分方程組描述的動態(tài)模型來表征，即它通常由常微分方程組描述的動態(tài)模型來表征，即

10、其初態(tài)一般是給定的，即其初態(tài)一般是給定的，即2 2、有一目標集及邊界條件、有一目標集及邊界條件 目標集：在控制目標集：在控制u u的作用下，把被控對象的初態(tài)的作用下，把被控對象的初態(tài)x0 x0在某個在某個終端時刻轉(zhuǎn)移到某個終端狀態(tài)終端時刻轉(zhuǎn)移到某個終端狀態(tài)x(tf)x(tf)。 x(tf)x(tf)通常受幾何通常受幾何約束。例如考慮它是一個點集，在約束條件約束。例如考慮它是一個點集，在約束條件 下下 目標集為目標集為,),(0fttttfuxx0 xx)(0t0),(ftxnptSpf, 0),(Rxx第1章 導(dǎo)論 1.2 最優(yōu)控制問題邊界條件：邊界條件：初始狀態(tài)：初始時刻初始狀態(tài)：初始時刻t

11、0t0和和x(t0),x(t0),通常是已知的。通常是已知的。末端狀態(tài)：末端時刻末端狀態(tài)：末端時刻tftf和和x(tf) x(tf) ，通常是未知的。，通常是未知的。3 3、容許控制集、容許控制集控制向量控制向量u u的各個分量的各個分量uiui往往是具有不同物理屬性的控制量。往往是具有不同物理屬性的控制量。在實際控制問題中，大多數(shù)控制量受客觀條件的限制只能在實際控制問題中，大多數(shù)控制量受客觀條件的限制只能取值于一定的范圍，將控制約束條件的點集稱為控制取值于一定的范圍，將控制約束條件的點集稱為控制域域 ，則將在閉區(qū)間，則將在閉區(qū)間t0,tft0,tf上有定義，且在控制域內(nèi)上有定義，且在控制域內(nèi)

12、取值的每個控制函數(shù)取值的每個控制函數(shù)u(t)u(t)稱為容許控制，記做稱為容許控制，記做u第1章 導(dǎo)論 1.2 最優(yōu)控制問題4 4、性能指標、性能指標 為了能在各種控制律中尋找到效果最好的控制，需要建立為了能在各種控制律中尋找到效果最好的控制，需要建立一種評價控制效果好壞或控制品質(zhì)優(yōu)劣的性能指標函數(shù)。一種評價控制效果好壞或控制品質(zhì)優(yōu)劣的性能指標函數(shù)。又稱代價本錢，目的函數(shù)或泛函，記做又稱代價本錢，目的函數(shù)或泛函，記做 ，它是一個依賴于控制的有限實數(shù)，一般的表達式為：它是一個依賴于控制的有限實數(shù)，一般的表達式為： 該表達式包括了依賴于終端時刻該表達式包括了依賴于終端時刻tftf和終端狀態(tài)和終端狀

13、態(tài)x(tf)x(tf)的末的末值型項，以及依賴于這個控制過程的積分型項。因而，可值型項，以及依賴于這個控制過程的積分型項。因而，可將最優(yōu)控制問題的性能指標分為：混合型、末值型和積分將最優(yōu)控制問題的性能指標分為：混合型、末值型和積分型。不同的控制問題，應(yīng)取不同的性能指標：型。不同的控制問題，應(yīng)取不同的性能指標： )(uJfttffdtttutxLttxuJ0),(),(),()(第1章 導(dǎo)論 1.2 最優(yōu)控制問題（1 1積分型性能指標：積分型性能指標： a.a.最短時間控制：最短時間控制： b.b.最少燃燒控制：最少燃燒控制： c.c.最小能量控制最小能量控制: :（2 2末值型性能指標末值型性

14、能指標（3 3混合型性能指標混合型性能指標fttfttdtuJttutxL00)(, 1),(),(fttdtttutxLuJ0),(),()(mjjtuttutxL1)(),(),( fttmjjdttuJ01)(fttTdttutuJ0)()()()(),(),(tututtutxLT),()(ffttxuJfttffdtttutxLttxuJ0),(),(),()(第1章 導(dǎo)論 1.2 最優(yōu)控制問題二、對最優(yōu)控制問題的進一步說明二、對最優(yōu)控制問題的進一步說明 如果最優(yōu)控制問題有解，即如果最優(yōu)控制問題有解，即: :使使 達到極小值的控制達到極小值的控制函數(shù)存在，記為函數(shù)存在，記為 ，稱為最

15、優(yōu)控制；，稱為最優(yōu)控制；相應(yīng)的狀態(tài)軌跡相應(yīng)的狀態(tài)軌跡x x* *(t)(t)稱為最優(yōu)軌跡；性能指標稱為最優(yōu)軌跡；性能指標 稱為最優(yōu)性能指標。稱為最優(yōu)性能指標。三、舉例三、舉例 月球上的軟著陸問題最小燃耗問題）月球上的軟著陸問題最小燃耗問題）)(uJ)(*uJJ,)(0*fttttu飛船靠其發(fā)動機產(chǎn)生一與月球重力方向相反的推力飛船靠其發(fā)動機產(chǎn)生一與月球重力方向相反的推力u(t)u(t)，以使飛船在月球表面實現(xiàn)軟著陸，要尋求發(fā)，以使飛船在月球表面實現(xiàn)軟著陸，要尋求發(fā)動機推力的最優(yōu)控制規(guī)律，以便使燃料的消耗為最動機推力的最優(yōu)控制規(guī)律，以便使燃料的消耗為最少。少。第1章 導(dǎo)論 1.2 最優(yōu)控制問題設(shè)飛

16、船質(zhì)量為設(shè)飛船質(zhì)量為m(t)m(t)，高度為，高度為h(t)h(t)，垂直速度為，垂直速度為v(t)v(t)，發(fā)動機推力為，發(fā)動機推力為u(t)u(t)，月球表面的重力加，月球表面的重力加速度為常數(shù)速度為常數(shù)g g。設(shè)不帶燃料的飛船質(zhì)量為。設(shè)不帶燃料的飛船質(zhì)量為M M， 初初始燃料的總質(zhì)量為始燃料的總質(zhì)量為F F初始高度為初始高度為h0h0，初始的垂，初始的垂直速度為直速度為v0v0，那么飛船的運動方程式可以表示為：，那么飛船的運動方程式可以表示為：)()()()()()()(tkutmtmtugtvtvth初始條件 FMmvvhh)0()0()0(00終端條件終端條件 0)(0)(fftvt

17、h性能指標是使燃料消耗為最小，即性能指標是使燃料消耗為最小，即 約束條件)(0tu)(ftmJ 達到最大值 第2章 最優(yōu)控制中的變分法變分法是求解泛函極值的一種經(jīng)典方法，因此也是研究最優(yōu)控制問題的一種重要工具。本章的中心內(nèi)容是介紹經(jīng)典變分法的基本原理，并加以推廣，用以求解某些最優(yōu)控制問題。盡管經(jīng)典變分法有其局限性，但本章所涉及的有關(guān)內(nèi)容，在最優(yōu)控制理論中是最基本的東西。第2章 最優(yōu)控制中的變分法 2.1 泛函與變分（1泛函定義: 給定函數(shù)空間U，若對于任何函數(shù)x(t) U，總有一個確定的值J(x(t)與之對應(yīng)，則稱J(x(t)是函數(shù)x(t)的泛函。這里x(t)常被稱做宗量。從定義中可以發(fā)現(xiàn)，泛

18、函是變量與函數(shù)之間的關(guān)系,常稱之為“函數(shù)的函數(shù)”。例： 是一個泛函，當x(t)=t時，J=0.5; 而不定積分 不是一個泛函。 10)( dttxJdttxJ)(第2章 最優(yōu)控制中的變分法 2.1 泛函與變分函數(shù)：對于變量t的某一變域中的每一個值，x都有一個值與之相對應(yīng)，那么變量x稱作變量t的函數(shù)。記為： x=f (t)t稱為函數(shù)的自變量自變量的微分：dt=t-t0 （增量足夠小時）泛函：對于某一類函數(shù)x()中的每一個函數(shù)x(t)，變量J都有一個值與之相對應(yīng)，那么變量J稱作依賴于函數(shù)x(t)的泛函。記為： J=J x(t)x(t)稱為泛函的宗量宗量的變分：)()(0txtxx函數(shù)與泛函比較：第

19、2章 最優(yōu)控制中的變分法 2.1 泛函與變分關(guān)于變分，可將泛函的變分概念看成是函數(shù)微分概念的推廣，其作用如同微分在函數(shù)中的作用。（2變分定義: 若連續(xù)泛函J(x(t)的增量可表示為 其中第一項是 的連續(xù)線性泛函，第二項是關(guān)于 的高階無窮小，則稱上式第一項為泛函的變分，記做 如同函數(shù)的微分是函數(shù)增量的線性主部一樣，泛函的變分就是泛函增量的線性主部。)(),()(),()()()(txtxrtxtxLtxJtxtxJJ)(),(txtxLJ)(tx)(tx第2章 最優(yōu)控制中的變分法 2.1 泛函與變分顯然，直接用定義求泛函的變分 很困難。因此必須尋求一種計算方法。（3計算泛函變分的公式定理21 如

20、果連續(xù)泛函J(x(t)的變分存在，那么證明： (見P12) 例子：（見P12 ）為了確定泛函的極小值或極大值，需要考察泛函的二次變分：（4二次變分定義：P12（5求解二次變分定理：P12J10,),(00 xxJJ第2章 最優(yōu)控制中的變分法 2.1 泛函與變分例：求下列泛函的變分fttdttxJ0)(2dttxtxdttxtxtxdttxtxtxtxJJffftttttt)()(2|)()()( 2|)()(|)()(0000020第2章 最優(yōu)控制中的變分法 2.1 泛函與變分（6泛函極值定義：定義215對于與x0(t)接近的曲線x(t)，泛函Jx(t) 的增量（7泛函極值的必要條件：定理23

21、（8泛函極小值的充要條件：定理24（9變分引理：定理25 則泛函Jx(t) 在曲線x0(t)上達到極值。0)()(0)()(00txJtxJJtxJtxJJ或0J泛函極值定理： 若可微泛函Jx(t)在x0(t)上達到極值，則在x= x0(t)上的變分為零。即第2章 最優(yōu)控制中的變分法 2.2 歐拉方程主要討論：（1無約束和有約束情況下，泛函極值存在的必要條件歐拉方程；（2泛函極小值的充分條件勒讓德條件。2.2.1 無約束泛函極值的必要條件這里所提到的約束或無約束是指狀態(tài)x(t)的約束問題。無約束：指求解最優(yōu)控制解時狀態(tài)無約束，即無狀態(tài)方程的約束。1、所定義的問題問題2-1:無約束泛函極值問題為

22、)172()(),(,min0fttxdttxtxtLJ問題為：確定一個函數(shù)x(t)，使Jx(t) 達到極小大值。這條能使泛函Jx(t) 達到極值的曲線稱為極值曲線軌線），記作：x*(t)，見圖2-2。對于端點固定的情況，容許軌線x(t)應(yīng)滿足下列邊界條件：第2章 最優(yōu)控制中的變分法 2.2 歐拉方程2、極值的必要條件定理26：極值軌線x(t)滿足歐拉方程證明：P16.注意名詞：橫截條件第3節(jié)討論）例22：（求極值軌線）2.2.2 有等式約束的泛函極值的必要條件在最優(yōu)控制問題中，泛函Jx(t)所依賴的函數(shù)x(t)往往會受到一定約束條件的限制。在動態(tài)最優(yōu)化問題中，由于受控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型往往用微分

23、方程來描述，所以等式約束就是系統(tǒng)的狀態(tài)方程。等式約束：系統(tǒng)的運動微分方程)162()()(00ffxtxxtx)212(0)(xLdtdxL第2章 最優(yōu)控制中的變分法 2.2 歐拉方程1、定義的問題問題描述：問題222、極值的必要條件解決有約束問題方法：將有約束問題轉(zhuǎn)化為無約束問題，利用無約束的結(jié)論。通過引入拉格朗日乘子向量，解決這個問題。定理27：（主要的問題：將有約束問題轉(zhuǎn)化為無約束問題后的拉格朗日乘子向量定義、計算）這里，為了將有約束條件的泛函極值問題轉(zhuǎn)化為無約束條件的泛函極值問題，應(yīng)用拉格朗日乘子法。為此，引入待定的n維拉格朗日乘子向量(t)，即證明：P18例2-3：Tntttt)()

24、()()(21第2章 最優(yōu)控制中的變分法 2.2 歐拉方程2.2.3 泛函極小值的充分條件（1無約束情況定理2-8：（2有約束情況定理2-9：例2-4:第2章 最優(yōu)控制中的變分法 2.3 橫截條件橫截條件：兩點邊界滿足的條件。例如式226） 前面討論的是最簡單的情況：兩端固定初始狀態(tài)和末端狀態(tài)且初始時刻和末端時刻都固定，在工程實際中存在許多復(fù)雜的情況，討論如下：2.3.1 末端時刻固定時的橫截條件末端時刻tf固定，存在以下幾種情況：見表2-12.3.2 末端時刻自由時的橫截條件橫截條件：式2-53）末端時刻tf自由，存在以下幾種情況：見表2-22.3.3 初始時刻自由時的橫截條件橫截條件：式2

25、-62）初始時刻自由，存在以下幾種情況：見表2-20),()(x)(x.*00fttTftTttxxLtxLtxLff橫截條件：0)(x)(x00txLtxLtTftTf0),()(x)(x0.*000ttxxxxLtxLtxLttTftTf第2章 最優(yōu)控制中的變分法 2.4 用變分法解最優(yōu)控制問題用變分法求解連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制問題:(1)具有等式約束條件的泛函極值問題，只要把受控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型看成是最優(yōu)軌線x(t) 應(yīng)滿足的等式約束條件即可；(2)控制變量不受約束；（3末端時刻固定和末端時刻自由時最優(yōu)解的必要條件和充分條件。一、可用變分法求解的最優(yōu)控制問題一般描述，非線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程為),

26、(tux,fx 初始狀態(tài))()(00ttttxx其中，x 為n 維狀態(tài)向量； u 為m 維控制向量； f 為n 維向量函數(shù)。要求在控制空間中尋求一個最優(yōu)控制向量 (不受約束) ，使以下性能指標)(tu沿最優(yōu)軌線 取極小值。)(tx*tttJfttfd),()(0uxLx目標集末端狀態(tài)集）0),(ffttx第2章 最優(yōu)控制中的變分法 2.4 用變分法解最優(yōu)控制問題二、末端時刻固定時的最優(yōu)解問題的描述：P301、末端受約束情況兩個約束：狀態(tài)受系統(tǒng)狀態(tài)方程約束，末端狀態(tài)受目標集約束。引入兩個拉格朗日乘子向量(t)、(t)，構(gòu)造廣義泛函無條件極值）：tttttttJTttfTfafdx), u, x(

27、f)(), u, x(L)()()(x0), u, x(f )(), u, x(L), , u, x(ttttHT定義哈密頓函數(shù)(關(guān)于該函數(shù)的說明P31)tttuxHtttJTttfTfafd(t)x)(),()()()(x0代入上式得式中的第三項進行分部積分，得tttttHtttJTttttTttfTfafffdx)(x)(d), , u, x()()()(x000當泛函J 取極值時，其一次變分等于零。 即0aJ第2章 最優(yōu)控制中的變分法 2.4 用變分法解最優(yōu)控制問題H(t)xxH)()(00ttttxx可以變分的量：uuu)()(ttxxx)()(tt)()()(ffftttxxx求出J

28、 的一次變分并令其為零0dxuuxx)()()()()(0tHHtttxtxtxJTTTttfffTffTaf廣義泛函取極值的必要條件是定理210）正則方程：邊界條件：極值條件控制方程）：)()()()(ffTffttxtxt0),(ffttx0uH不可以變分的量：0tft)(0tx)( t(t)第2章 最優(yōu)控制中的變分法 2.4 用變分法解最優(yōu)控制問題幾點說明：1實際上，（2-73式和2-74式為歐拉方程。xfxLxH因為0uH0ufuL推導(dǎo)過程：如果令廣義泛函的積分內(nèi)的函數(shù)）x),u,x(f)(),u,x(L),u,x(ttttHT簡記成xfLTHxfxL由歐拉方程得到0ddxxHtH0)

29、(xfxL即第2章 最優(yōu)控制中的變分法 2.4 用變分法解最優(yōu)控制問題而275式和初始條件266就是橫截條件。0dduuHtH0ufuL2） 是泛函取極值的必要條件，是否為極小值還需要二次變分 來判斷， 則泛函J 取極小值。0JJ202J第2章 最優(yōu)控制中的變分法 2.4 用變分法解最優(yōu)控制問題3） 哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌線隨時間的變化率tHHHHtHTTTuuxxdd在最優(yōu)控制 、最優(yōu)軌線 下，有 和*u*x0uH（270式的哈密頓函數(shù)對 求偏導(dǎo)，結(jié)果為 0 xxxxHHHHHHTTTT 由277式可得于是tHtHddx), ux,(ft第2章 最優(yōu)控制中的變分法 2.4 用變分法解最優(yōu)控制問題

30、 即哈密頓函數(shù)H 沿最優(yōu)軌線對時間的全導(dǎo)數(shù)等于它對時間的偏導(dǎo)數(shù)。記為 那么)(), ,u,x(*tHtHttHHdd對上式積分，得到dHtHtHfttf*0*0)()(當哈密頓函數(shù)不顯含 t 時，得consttHtHf)()(*第2章 最優(yōu)控制中的變分法 2.4 用變分法解最優(yōu)控制問題2、末端自由情況廣義泛函取極值的必要條件是定理211）正則方程：邊界條件：極值條件：H(t)xxH)()(fftxt00)(xtx0uH3、末端固定情況廣義泛函取極值的必要條件是定理212）正則方程：邊界條件：極值條件：末端時刻固定時最優(yōu)解的充分條件：定理213H(t)xxHffxtx)(00)(xtx0uH第2

31、章 最優(yōu)控制中的變分法 2.4 用變分法解最優(yōu)控制問題三、末端時刻自由時的最優(yōu)解推導(dǎo)過程與末端時刻固定時一樣，只不過不同在于可以變分的量：uuu)()(ttxxx)()(tt)()()(ffftttxxxfffttt不可以變分的量：0t)(0tx)(t末端受約束情況：定理214末端自由情況：定理215末端固定時情況：定理216注意與末端時刻固定的情況不同。第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理問題的提出問題的提出 用變分法求解最優(yōu)控制時，認用變分法求解最優(yōu)控制時，認為控制向量為控制向量 不受限制。但是不受限制。但是實際的系統(tǒng)，控制信號

32、都是受到實際的系統(tǒng)，控制信號都是受到某種限制的。某種限制的。)(tu 因而，應(yīng)用控制方程因而，應(yīng)用控制方程來確定最優(yōu)控制，可能出錯。來確定最優(yōu)控制，可能出錯。0uHa)a)圖中所示，圖中所示，H H 最小值出現(xiàn)在左側(cè)，最小值出現(xiàn)在左側(cè)，不滿足控制方程。不滿足控制方程。b)b)圖中不存在圖中不存在 0uHrRUt )(u第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理( )min ( ) ( )fu tJ ux t. .s t( )( , ),x tf x u00( ),x tx0 ,fttt( )x t( ) t( )Hx t( )Htx 一、

33、自由末端的極小值原理一、自由末端的極小值原理定理定理3-13-1：對應(yīng)如下定常系統(tǒng)、末值型性能指標、末端自由、控制受約束：對應(yīng)如下定常系統(tǒng)、末值型性能指標、末端自由、控制受約束的最優(yōu)控制問題的最優(yōu)控制問題 及及滿足下述正則方程滿足下述正則方程: :對于最優(yōu)解和最優(yōu)末端時刻、最優(yōu)軌線，存在非零的對于最優(yōu)解和最優(yōu)末端時刻、最優(yōu)軌線，存在非零的n n維向量函數(shù)維向量函數(shù) 使使( ) t第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理( , , )( ) ( , )TH x ut f x u( )x t( ) t00()()()ffx txtx t*(

34、 )( , )min( , , )u tH x uH x u式中哈密頓函數(shù)式中哈密頓函數(shù)及及滿足邊界條件滿足邊界條件哈密頓函數(shù)相對最優(yōu)控制為極小值哈密頓函數(shù)相對最優(yōu)控制為極小值ft*( ( ),( ), ( )( ( ),( ), ( )fffH x t u ttH x tu ttconstft*(),(), ()0ffftttH x tu tt哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌跡線保持為常數(shù)哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌跡線保持為常數(shù)固定時固定時當當自由時自由時當當?shù)诘?章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理/0Hu *( )( ( ),( ), ( )( ( ),

35、 ( ), ( )u tH x t u ttH x t u tt上述極小值原理與變分法主要區(qū)別在于條件上述極小值原理與變分法主要區(qū)別在于條件。當控制無約束時，。當控制無約束時，相應(yīng)條件為相應(yīng)條件為 ；不再成立，而代之為不再成立，而代之為當控制有約束時，當控制有約束時，/0Hu 極小值原理的重要意義：（極小值原理的重要意義：（P51)（1容許控制條件放寬了。容許控制條件放寬了。（2最優(yōu)控制使哈密頓函數(shù)取全局極小值。最優(yōu)控制使哈密頓函數(shù)取全局極小值。（3極小值原理不要求哈密頓函數(shù)對控制的可微性。極小值原理不要求哈密頓函數(shù)對控制的可微性。（4極小值原理給出了最優(yōu)控制的必要而非充分條件。極小值原理給出

36、了最優(yōu)控制的必要而非充分條件。例例31：說明：說明：1 1極小值原理給出的只是最優(yōu)控制應(yīng)該滿足的必要條件。極小值原理給出的只是最優(yōu)控制應(yīng)該滿足的必要條件。2 2極小值原理與用變分法求解最優(yōu)問題相比，差別僅在于極值條件。極小值原理與用變分法求解最優(yōu)問題相比，差別僅在于極值條件。3 3這里給出了極小值原理，而在龐德里亞金著作論述的是極大值原理。因為求這里給出了極小值原理，而在龐德里亞金著作論述的是極大值原理。因為求性能指標性能指標J J的極小值與求的極小值與求J J的極大值等價。的極大值等價。4 4非線性時變系統(tǒng)也有極小值原理。非線性時變系統(tǒng)也有極小值原理。第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理

37、及其應(yīng)用 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理二、極小值原理的一些推廣形式二、極小值原理的一些推廣形式1、時變問題、時變問題定義：描述最優(yōu)控制問題的相關(guān)函數(shù)顯含時間，稱為時變問題。定義：描述最優(yōu)控制問題的相關(guān)函數(shù)顯含時間，稱為時變問題。解決辦法：引入新狀態(tài)變量，將時變問題轉(zhuǎn)為定常問題，利用定理解決辦法：引入新狀態(tài)變量，將時變問題轉(zhuǎn)為定常問題，利用定理3-1。( )min( ) (),ffu tJ ux tt. .st( )( , , ),x tf x u t00( )x tx0 ,fftt tt未知定理定理3-23-2： ( )Hx t( )Htx 滿足下述正則方程滿足下述正則方程

38、: :( )x t( ) t及及式中哈密頓函數(shù)式中哈密頓函數(shù)( , , , )( ) ( , , )TH xu tt f x u t第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理( )x t( ) t00()()()ffx txtx t及及滿足邊界條件滿足邊界條件哈密頓函數(shù)相對最優(yōu)控制為極小值哈密頓函數(shù)相對最優(yōu)控制為極小值在最優(yōu)軌線末端哈密頓函數(shù)應(yīng)滿足在最優(yōu)軌線末端哈密頓函數(shù)應(yīng)滿足*( ) ( ), ( ),( ), min ( ), ( ), ( ), u tH x tt u t tH x tt u t t*( ),( ), ( ),( )

39、,fffffffx ttH x ttu ttt*( , , , ) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ftfffftH xuH x tt u t tH x ttu ttd沿最優(yōu)軌線哈密頓函數(shù)變化率沿最優(yōu)軌線哈密頓函數(shù)變化率定理定理3 32 2與定理與定理3 31 1的區(qū)別：的區(qū)別：P61P61第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理2 2、積分型性能指標問題、積分型性能指標問題. .st( )( , , ),x tf x u t00( )x tx0 ,fftt tt未知定理定理3-33-3： ( )Hx t(

40、)Htx 滿足下述正則方程滿足下述正則方程: :( )x t( ) t及及式中哈密頓函數(shù)式中哈密頓函數(shù)0( )min( ) ( ), ( )fttu tJ uL x t u t dt( )x t( ) t及及滿足邊界條件滿足邊界條件00()x tx()0ft)u, x(f )()u, x(L), u, x(tHT第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理哈密頓函數(shù)相對最優(yōu)控制為極小值哈密頓函數(shù)相對最優(yōu)控制為極小值ft*( ( ),( ), ( )( ( ),( ), ( )fffH x t u ttH x tu ttconstft*(),

41、(), ()0ffftttH x tu tt哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌跡線保持為常數(shù)哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌跡線保持為常數(shù)固定時固定時當當自由時自由時當當*( )( ), ( ),( )min( ), ( ), ( )u tH x tt u tH x tt u t第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理例例3-23-2：試求：試求： 時的時的 ，解：定常系統(tǒng)、積分型解：定常系統(tǒng)、積分型 ， 固定，固定， 自在，自在， 受約束。取哈密頓函數(shù)受約束。取哈密頓函數(shù) tutxtx 50 x 15 . 0tu min10dttutxJ*u*xJft)(ftxu

42、 uxuxuxH11 5 . 01*tu11 1xHt 1tcet 0111ceec 11tte由協(xié)態(tài)方程由協(xié)態(tài)方程由邊界條件由邊界條件注：控制的切換點為注：控制的切換點為(ts)=1第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理 10st 111stset307. 0st 5 . 01*tu00.307t 1307. 0 t控制的切換點處控制的切換點處00.307t 1307. 0 t 5 . 0121ttecectx00.307t 1307. 0 t5 . 037. 414*tteex00.307t 1307. 0 t根據(jù)邊界條件繼續(xù)求出

43、：根據(jù)邊界條件繼續(xù)求出： 5 . 01txtxtx 代入狀態(tài)方程得代入狀態(tài)方程得第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理 tt72. 11307. 0105 . 01307. 01t*u0 tx*t1307.0044.653 .12第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理最優(yōu)性能指標為：最優(yōu)性能指標為： 1307. 0307. 0010*68. 8) 137. 4()24(dtedtedttutxJtt例例3-3：3、末端受約束的情況、末端受約束的情況做法與前面得一樣，引入兩個拉

44、格朗日乘子向量，構(gòu)造廣義泛函，做法與前面得一樣，引入兩個拉格朗日乘子向量，構(gòu)造廣義泛函，在滿足末端約束條件下，泛函取得極值是等價的。在滿足末端約束條件下，泛函取得極值是等價的。定理定理3-4：（定常系統(tǒng)）：（定常系統(tǒng)）定理定理3-5:（時變系統(tǒng)）（時變系統(tǒng)）4、復(fù)合型性能指標情況、復(fù)合型性能指標情況定理定理36：表表3-1,3-2例例35：第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.2 離散系統(tǒng)的極小值原理離散系統(tǒng)的極小值原理一、離散歐拉方程一、離散歐拉方程控制序列不受約束時，利用離散變分法求解離散系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題?？刂菩蛄胁皇芗s束時，利用離散變分法求解離散系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題。1,

45、.,1 , 0,),(),() 1(Nkkkukxfkx1010),1(),(),(NkkNkLkkxkukxLJ設(shè)系統(tǒng)的差分方程為：設(shè)系統(tǒng)的差分方程為：系統(tǒng)的性能指標為：系統(tǒng)的性能指標為：離散泛函取得極值的必要條件歐拉方程）離散泛函取得極值的必要條件歐拉方程）0)(0)()(1kuLkxLkxLkkk離散橫截條件為：離散橫截條件為：0)0()()()(01xkxLNxkxLTkkTNkk若始端固定，末端自由，若始端固定，末端自由，由離散橫截條件得邊界條件：由離散橫截條件得邊界條件：例例36：0)( 1),(),1(),1(,)0(0NxNNxNuNxLxx第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值

46、原理及其應(yīng)用 3.2 離散系統(tǒng)的極小值原理離散系統(tǒng)的極小值原理二、離散極小值原理二、離散極小值原理先給出控制序列不受約束時得離散極小值原理，然后推廣到控制序列受先給出控制序列不受約束時得離散極小值原理，然后推廣到控制序列受約束的情況。約束的情況。1、末端狀態(tài)受等式約束、末端狀態(tài)受等式約束1,.,1 , 0,),(),() 1(Nkkkukxfkx10),1(),(),(),(NkkkxkukxLNNxJ定理定理3-7:3-7:設(shè)離散系統(tǒng)狀態(tài)方程設(shè)離散系統(tǒng)狀態(tài)方程系統(tǒng)的性能指標為：系統(tǒng)的性能指標為：目標集：目標集：0),(NNx取得極值的必要條件：取得極值的必要條件：( )x k( )k( )(

47、1)(1)H kx kk( )( )( )H kkx k( ) ( ), ( ),(1), H kH x ku kkk ( ), ( ), (1) ( ), ( ), TL x k u k kkf x k u k k和和滿足下列差分方程滿足下列差分方程: :式中離散哈密頓函數(shù)式中離散哈密頓函數(shù)第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.2 離散系統(tǒng)的極小值原理離散系統(tǒng)的極小值原理( )x k( )k0(0)xx (),0 x NN ( ), ( ),( )( )( )Tx N Nx N NNx Nx N*( )u k*( ),( ), (1), H xkukkk*( )min( ),

48、 ( ), (1), u kH x k u kkk( )0( )H ku k和和滿足邊界條件滿足邊界條件離散哈密頓函數(shù)對最優(yōu)控制離散哈密頓函數(shù)對最優(yōu)控制取極小值取極小值控制序列不受約束時控制序列不受約束時2 2、末端狀態(tài)自由時、末端狀態(tài)自由時定理定理3 38 8：例例3 37 7：第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.3 時間最優(yōu)控制時間最優(yōu)控制時間最優(yōu)控制：如果性能指標是系統(tǒng)由初態(tài)轉(zhuǎn)移到目標集的運動時間，則使時間最優(yōu)控制：如果性能指標是系統(tǒng)由初態(tài)轉(zhuǎn)移到目標集的運動時間，則使轉(zhuǎn)移時間為最短的控制稱為時間最優(yōu)控制。轉(zhuǎn)移時間為最短的控制稱為時間最優(yōu)控制。一、一類非線性系統(tǒng)的時間最優(yōu)

49、控制一、一類非線性系統(tǒng)的時間最優(yōu)控制最短時間控制問題的提法：最短時間控制問題的提法： 設(shè)受控系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)受控系統(tǒng)狀態(tài)方程為 )(),(),()(tuttxBttxftx 給定終端約束條件為給定終端約束條件為 0),()(00ffttxxtx 尋求尋求m m維有界閉集中的最優(yōu)控制維有界閉集中的最優(yōu)控制u u* *(t)(t)，滿足不等式約束，滿足不等式約束 ),.,2 , 1(1)(mjtuj 使系統(tǒng)從已知初始狀態(tài)使系統(tǒng)從已知初始狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到目標集中某一狀態(tài)轉(zhuǎn)移到目標集中某一狀態(tài) 時，時，如如下目標泛函取極小值，其中下目標泛函取極小值，其中 未知未知 )(0tx)(ftxft00)(fttf

50、ttdttuJ 屬于時變系統(tǒng)、積分型性能指標、終端受約束的最優(yōu)控制問題屬于時變系統(tǒng)、積分型性能指標、終端受約束的最優(yōu)控制問題 第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.3 時間最優(yōu)控制時間最優(yōu)控制應(yīng)用極小值原理，系統(tǒng)的哈密爾頓函數(shù)為：應(yīng)用極小值原理，系統(tǒng)的哈密爾頓函數(shù)為：)(1),(),(),(BufttuttxHT在使在使J J最小以實現(xiàn)最優(yōu)控制的必要條件中，側(cè)重分析極值條件最小以實現(xiàn)最優(yōu)控制的必要條件中，側(cè)重分析極值條件),.,2 , 1()(),(min)(),()(1min)(1*1)(*1)(*mjtuttxBtuttxBBufBufTtuTTtuTjj將上式中的矩陣表達

51、式展開成分量形式將上式中的矩陣表達式展開成分量形式mjniiijjmnmnnmmnbuuuubbbbbbbbb112121222211121121.jg則極值條件可寫為：則極值條件可寫為：mjjjumjjjguguj1*11*min第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.3 時間最優(yōu)控制時間最優(yōu)控制由上式可見，由于由上式可見，由于 是確定的，故使是確定的，故使 取極小值的最優(yōu)控制為取極小值的最優(yōu)控制為*jgmjjjgu1*00101*jjjjgggu不定或簡寫為：或簡寫為：niiijjbguj1*sgnsgn 根據(jù)根據(jù) 是否為零，將系統(tǒng)分為兩種情形：正常平凡）、奇異非平凡）是否為

52、零，將系統(tǒng)分為兩種情形：正常平凡）、奇異非平凡）（砰（砰- -砰控制）砰控制）*jg*jg*ju011第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.3 時間最優(yōu)控制時間最優(yōu)控制正常平凡最短時間控正常平凡最短時間控制系統(tǒng)定義制系統(tǒng)定義3 31 1） 只是在各個孤立的瞬只是在各個孤立的瞬刻才取零值，刻才取零值， 是有第一是有第一類間斷點的分段常數(shù)函數(shù)類間斷點的分段常數(shù)函數(shù)。奇異非平凡最短時奇異非平凡最短時間控制系統(tǒng)定義間控制系統(tǒng)定義3 32 2）并不意味著在該區(qū)間內(nèi)并不意味著在該區(qū)間內(nèi)最優(yōu)控制不存在，僅表最優(yōu)控制不存在，僅表明，從必要條件不能推明，從必要條件不能推出確切關(guān)系式。出確切關(guān)系式

53、。*jg*ju定理定理3 39 9：砰：砰- -砰控制原理砰控制原理第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.3 時間最優(yōu)控制時間最優(yōu)控制二、線性定常系統(tǒng)的時間最優(yōu)控制二、線性定常系統(tǒng)的時間最優(yōu)控制線性時間最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題的提法問題線性時間最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題的提法問題3 32 2）：）： 設(shè)受控系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)受控系統(tǒng)狀態(tài)方程為 )()()(tButAxtx 給定終端約束條件為給定終端約束條件為 0)()0()(0ftxaxtx 尋求尋求m m維有界閉集中的最優(yōu)控制維有界閉集中的最優(yōu)控制u u* *(t)(t)，滿足不等式約束，滿足不等式約束 ),.,2 , 1(1)(mjtuj 使系統(tǒng)

54、以最短時間從初始狀態(tài)使系統(tǒng)以最短時間從初始狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點。目標泛轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點。目標泛函取極小值函取極小值)0(x根據(jù)上一節(jié)的結(jié)論，可得極值條件為：根據(jù)上一節(jié)的結(jié)論，可得極值條件為：)(sgnsgn*tbguTjjj00)(fttfttdttuJ第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.3 時間最優(yōu)控制時間最優(yōu)控制對于線性定常系統(tǒng)的最短時間控制問題，經(jīng)過理論推導(dǎo)和證明，可得如對于線性定常系統(tǒng)的最短時間控制問題，經(jīng)過理論推導(dǎo)和證明，可得如下重要結(jié)論：下重要結(jié)論：（1 1系統(tǒng)正常平凡的充要條件定理系統(tǒng)正常平凡的充要條件定理3 31111）：當且僅當）：當且僅當m m個矩陣

55、個矩陣中全部為非奇異矩陣時，系統(tǒng)是正常平凡的。（至少有一個為奇異中全部為非奇異矩陣時，系統(tǒng)是正常平凡的。（至少有一個為奇異矩陣時，系統(tǒng)是奇異的定理矩陣時，系統(tǒng)是奇異的定理3 31010） ）定理定理3-11:3-11:當且僅當當且僅當 問題問題3-23-2是正常是正常的的 mjbAbAAbbGjnjjjj , 2 , 1.,1,2,（2 2系統(tǒng)最優(yōu)解存在的條件：常數(shù)矩陣系統(tǒng)最優(yōu)解存在的條件：常數(shù)矩陣A A的特征值全部具有非正實部。的特征值全部具有非正實部。（3 3最優(yōu)解唯一性定理：系統(tǒng)是平凡的且最短時間控制存在，則最短最優(yōu)解唯一性定理：系統(tǒng)是平凡的且最短時間控制存在，則最短時間控制必然是唯一的

56、。時間控制必然是唯一的。( (定理定理3-12)3-12)（4 4開關(guān)次數(shù)定理：系統(tǒng)是平凡的且最短時間控制存在，則最優(yōu)控制開關(guān)次數(shù)定理：系統(tǒng)是平凡的且最短時間控制存在，則最優(yōu)控制u u* *的任一分量的任一分量 的切換次數(shù)最多為的切換次數(shù)最多為n-1n-1次。（次。（n n為系統(tǒng)維數(shù)）為系統(tǒng)維數(shù)）( (定理定理3-14)3-14)*junbAbAAbbrankrankGjnjjjj.,1,2,第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.3 時間最優(yōu)控制時間最優(yōu)控制三、雙積分模型的最短時間控制問題三、雙積分模型的最短時間控制問題雙積分模型的物理意義：慣性負載在無阻力環(huán)境中運動例雙積分模

57、型的物理意義：慣性負載在無阻力環(huán)境中運動例3 38 8） 作用力位移，質(zhì)量，)()(tftym負載運動方程：負載運動方程： )()(tftym )()(),()(21tytxtytx傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)： 21)()()(mssFsYsG（由兩個積分環(huán)節(jié)組成）（由兩個積分環(huán)節(jié)組成） 定義定義u(t)=f(t)/m , u(t)=f(t)/m , 則上式變?yōu)椋簞t上式變?yōu)椋?)()(tuty 取狀態(tài)變量取狀態(tài)變量 )()()()(221tutxtxtx則有則有 矩陣形式為：矩陣形式為： )(10)(0010)(tutxtx第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.3 時間最優(yōu)控制時間最優(yōu)

58、控制( )( )( )Hx tAx tBu t( )( )THtAtx ( , , ) 1( )( )( )TH xut Ax tBu t 0(0)xx( )0fx t*1,( )0( )sgn( )1,( )0TjTjjTjbtu tbtbt 當當H*()0fHt定理定理3-153-15正則方程正則方程式中哈密頓函數(shù)式中哈密頓函數(shù)邊界條件邊界條件， 極小值條件極小值條件函數(shù)變化率函數(shù)變化率第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.3 時間最優(yōu)控制時間最優(yōu)控制雙積分模型最短時間控制問題的提法：雙積分模型最短時間控制問題的提法： 已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程為已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 給定

59、端點約束條件為給定端點約束條件為 TfTtxxxx00)()0(2010 尋求有界閉集中的最優(yōu)控制尋求有界閉集中的最優(yōu)控制u u* *(t)(t)，滿足不等式約束，滿足不等式約束 1)(tu 使系統(tǒng)從以最短時間從任意初態(tài)轉(zhuǎn)移到終態(tài)。使系統(tǒng)從以最短時間從任意初態(tài)轉(zhuǎn)移到終態(tài)。)()()()(221tutxtxtx0110ABBG)(10)(0010)(tutxtx先判斷該系統(tǒng)是否平凡？先判斷該系統(tǒng)是否平凡？第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.3 時間最優(yōu)控制時間最優(yōu)控制由上節(jié)重要結(jié)論可知：由上節(jié)重要結(jié)論可知：（1 1本系統(tǒng)為正常平凡最短時間控制系統(tǒng)本系統(tǒng)為正常平凡最短時間控制系統(tǒng)

60、（2 2其時間最優(yōu)控制必然存在且唯一其時間最優(yōu)控制必然存在且唯一（3 3時間最優(yōu)控制時間最優(yōu)控制u(t)u(t)至多切換一次至多切換一次 最優(yōu)控制表達式：最優(yōu)控制表達式：)(sgn)(sgn2*ttBuT 下面利用協(xié)態(tài)方程求解下面利用協(xié)態(tài)方程求解)(2t12211)(0)(xHtxHtuxfHT2211121211)()(ctctct1)sgn(1020*tu0)(, 10)(, 1)(sgn(222*tttu當當 哈密頓函數(shù)：哈密頓函數(shù)： 最優(yōu)控制：最優(yōu)控制：第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.3 時間最優(yōu)控制時間最優(yōu)控制1)(*tu)0(21)0(21)(221221xx