胡趙云--解決問(wèn)題之提出分析與解決

1、浙江省衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校浙江省衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校北師大版初中數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)組北師大版初中數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)組胡趙云胡趙云問(wèn)題解決之提出、分析與解決問(wèn)題解決之提出、分析與解決關(guān)于應(yīng)用題教學(xué)，你有什么想法？關(guān)于應(yīng)用題教學(xué)，你有什么想法？你的學(xué)生解應(yīng)用題有哪些困難？你的學(xué)生解應(yīng)用題有哪些困難？你教學(xué)解應(yīng)用題有哪些成功的經(jīng)驗(yàn)？你教學(xué)解應(yīng)用題有哪些成功的經(jīng)驗(yàn)？你是怎樣理解問(wèn)題解決的？你是怎樣理解問(wèn)題解決的？你希望我們交流什么樣的話(huà)題？你希望我們交流什么樣的話(huà)題？前言前言感嘆題目又看錯(cuò)了感嘆題目又看錯(cuò)了 / 讀不懂題意讀不懂題意我關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的回憶我關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的回憶 2. 看到一種教學(xué)現(xiàn)象：看到一種教學(xué)現(xiàn)象：4. 想起

2、自己過(guò)去教列方程解應(yīng)用題想起自己過(guò)去教列方程解應(yīng)用題1. 聽(tīng)過(guò)一節(jié)北師大版的數(shù)學(xué)課聽(tīng)過(guò)一節(jié)北師大版的數(shù)學(xué)課 題目多，做得多，講得多，聽(tīng)得多題目多，做得多，講得多，聽(tīng)得多3. 發(fā)現(xiàn)一種現(xiàn)象（造成一種后果）發(fā)現(xiàn)一種現(xiàn)象（造成一種后果） 初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度提出問(wèn)題、理初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度提出問(wèn)題、理解問(wèn)題，并能綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和技能解問(wèn)題，并能綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和技能解決問(wèn)題，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。解決問(wèn)題，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。 形成解決問(wèn)題的一些基本策略，體驗(yàn)形成解決問(wèn)題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問(wèn)題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力與解決問(wèn)題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力與創(chuàng)造精神。創(chuàng)造精神。5.課標(biāo)課標(biāo)（實(shí)驗(yàn)稿）提出

3、：（實(shí)驗(yàn)稿）提出：解決問(wèn)題解決問(wèn)題 問(wèn)題解決問(wèn)題解決1.1 問(wèn)題解決不是新問(wèn)題問(wèn)題解決不是新問(wèn)題一、背景與發(fā)展一、背景與發(fā)展標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）年版）美國(guó)美國(guó)“問(wèn)題解決問(wèn)題解決”的起始的起始u1980.4，美國(guó)數(shù)學(xué)教師理事會(huì)公布了指導(dǎo)，美國(guó)數(shù)學(xué)教師理事會(huì)公布了指導(dǎo)80年代學(xué)校數(shù)年代學(xué)校數(shù)學(xué)教育的綱領(lǐng)性文件學(xué)教育的綱領(lǐng)性文件行動(dòng)的議事日程行動(dòng)的議事日程指出：指出： 8080年代的數(shù)學(xué)大綱，應(yīng)當(dāng)在各年級(jí)都介紹數(shù)學(xué)的應(yīng)用，把學(xué)生引進(jìn)年代的數(shù)學(xué)大綱，應(yīng)當(dāng)在各年級(jí)都介紹數(shù)學(xué)的應(yīng)用，把學(xué)生引進(jìn)問(wèn)題解決中去。問(wèn)題解決中去。 數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)圍繞問(wèn)題解決來(lái)組織。數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)圍繞問(wèn)題解決來(lái)組織。 數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)創(chuàng)

4、造一種使問(wèn)題解決得以蓬勃發(fā)展的課堂環(huán)境。數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)創(chuàng)造一種使問(wèn)題解決得以蓬勃發(fā)展的課堂環(huán)境。 問(wèn)題解決作為學(xué)校數(shù)學(xué)教育的核心。問(wèn)題解決作為學(xué)校數(shù)學(xué)教育的核心。u1980.8,“問(wèn)題解決問(wèn)題解決”被列入第四屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)被列入第四屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-4）的議程）的議程.u1984年年,第五屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（第五屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-5），），“問(wèn)題問(wèn)題解決解決”成為大會(huì)最主要的議題之一成為大會(huì)最主要的議題之一.美國(guó)美國(guó)“問(wèn)題解決問(wèn)題解決”的起始的起始u1988年，美國(guó)數(shù)學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)（年，美國(guó)數(shù)學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)（NCSM）認(rèn)為）認(rèn)為: “學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于問(wèn)題解決學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

5、的主要目的在于問(wèn)題解決”。u1989年，美國(guó)全國(guó)數(shù)學(xué)教師理事會(huì)制定了年，美國(guó)全國(guó)數(shù)學(xué)教師理事會(huì)制定了學(xué)校學(xué)校數(shù)學(xué)課程和評(píng)估的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)課程和評(píng)估的標(biāo)準(zhǔn)明確明確: 把把“具有數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題的能力具有數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題的能力”置于使所有學(xué)置于使所有學(xué)生有較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目標(biāo)中的中心地位。生有較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目標(biāo)中的中心地位。美國(guó)美國(guó)“問(wèn)題解決問(wèn)題解決”的起始的起始問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟1.2 數(shù)學(xué)教育中要解決什么樣的問(wèn)題解決？數(shù)學(xué)教育中要解決什么樣的問(wèn)題解決？o問(wèn)題：?jiǎn)栴}：可接受性、障礙性、探究性、生活性可接受性、障礙性、探究性、生活性 常規(guī)性，經(jīng)典的問(wèn)題常規(guī)性，經(jīng)典的問(wèn)題o解決結(jié)果：解決結(jié)果

6、：開(kāi)放性開(kāi)放性荷蘭的弗賴(lài)登塔爾認(rèn)為：荷蘭的弗賴(lài)登塔爾認(rèn)為： 如果數(shù)學(xué)是無(wú)用的，它就不會(huì)存在。如果數(shù)學(xué)是無(wú)用的，它就不會(huì)存在。 不能忘記數(shù)學(xué)在社會(huì)中扮演的角色，從過(guò)去、現(xiàn)不能忘記數(shù)學(xué)在社會(huì)中扮演的角色，從過(guò)去、現(xiàn)在一直到將來(lái)，教數(shù)學(xué)的教室不可能浮在半空中，而在一直到將來(lái)，教數(shù)學(xué)的教室不可能浮在半空中，而學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生也必然是屬于社會(huì)的。學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生也必然是屬于社會(huì)的。 （1）已知）已知 = ，問(wèn)，問(wèn)x是多少？是多少？（2） （盎斯為容積單位（盎斯為容積單位,1,1盎斯盎斯29.57cm29.57cm3 3;“;“”表示表示“美分美分”,1,1=0.01=0.01美元）美元）（3）如果一杯）如果一杯

7、7盎斯的汽水賣(mài)盎斯的汽水賣(mài)25，問(wèn)一杯，問(wèn)一杯12盎斯的汽水賣(mài)多少錢(qián)？盎斯的汽水賣(mài)多少錢(qián)？（4）三個(gè)學(xué)生正在籌辦一次野餐，他們了解到一杯）三個(gè)學(xué)生正在籌辦一次野餐，他們了解到一杯7盎斯的汽水通常盎斯的汽水通常賣(mài)賣(mài)25，現(xiàn)在他們想知道一杯，現(xiàn)在他們想知道一杯12盎斯的汽水應(yīng)該收多少錢(qián)？盎斯的汽水應(yīng)該收多少錢(qián)？（5）社區(qū)舉辦慈善性野餐，有位辦事人員定出一杯）社區(qū)舉辦慈善性野餐，有位辦事人員定出一杯7盎斯的汽水的價(jià)盎斯的汽水的價(jià)格是格是25，并問(wèn)你一杯，并問(wèn)你一杯12盎斯的汽水應(yīng)賣(mài)多少錢(qián)？盎斯的汽水應(yīng)賣(mài)多少錢(qián)？基爾巴屈克基爾巴屈克(美美)曾列舉下列題目曾列舉下列題目 -顯示顯示“問(wèn)題問(wèn)題”的不同意義

8、的不同意義 725 12 x（6）如果一杯）如果一杯7盎斯的汽水賣(mài)盎斯的汽水賣(mài)25，則照比例，則照比例計(jì)算時(shí)，一杯計(jì)算時(shí)，一杯12盎斯的汽水的價(jià)格不剛好為盎斯的汽水的價(jià)格不剛好為整數(shù)。一個(gè)解決的方式是把一杯整數(shù)。一個(gè)解決的方式是把一杯7盎斯的汽盎斯的汽水價(jià)格提高一些，使得照比例算出來(lái)的一杯水價(jià)格提高一些，使得照比例算出來(lái)的一杯12盎斯的汽水的價(jià)格為整數(shù)。請(qǐng)你提出解決盎斯的汽水的價(jià)格為整數(shù)。請(qǐng)你提出解決的方案，在各種可能的解決方案中，提高的的方案，在各種可能的解決方案中，提高的最少數(shù)目是多少？最少數(shù)目是多少？第（第（1）題是常規(guī)計(jì)算題；）題是常規(guī)計(jì)算題；第（第（2）題是圖式題）題是圖式題沒(méi)有文字

9、的文字題；沒(méi)有文字的文字題；第（第（3）題是常見(jiàn)的典型文字題；）題是常見(jiàn)的典型文字題；第（第（4）題是所謂）題是所謂“真實(shí)的問(wèn)題真實(shí)的問(wèn)題”； 在這一問(wèn)題情境里，學(xué)生處于對(duì)他們來(lái)說(shuō)是有意義的在這一問(wèn)題情境里，學(xué)生處于對(duì)他們來(lái)說(shuō)是有意義的“真實(shí)真實(shí)”狀況里狀況里（如籌辦一次野餐），在這里，學(xué)生被要求針對(duì)問(wèn)題提出解決辦法；（如籌辦一次野餐），在這里，學(xué)生被要求針對(duì)問(wèn)題提出解決辦法；第（第（5）題是學(xué)生可能在校外會(huì)碰到的數(shù)學(xué)問(wèn)題；）題是學(xué)生可能在校外會(huì)碰到的數(shù)學(xué)問(wèn)題； 這類(lèi)問(wèn)題發(fā)生時(shí)與學(xué)生所處的年級(jí)及學(xué)習(xí)成績(jī)無(wú)關(guān)。這類(lèi)問(wèn)題發(fā)生時(shí)與學(xué)生所處的年級(jí)及學(xué)習(xí)成績(jī)無(wú)關(guān)。第（第（6）題是非常規(guī)問(wèn)題；）題是非常規(guī)

10、問(wèn)題； 這個(gè)問(wèn)題稍嫌簡(jiǎn)單，不足以充分顯示非常規(guī)問(wèn)題的復(fù)雜性及數(shù)學(xué)品味，這個(gè)問(wèn)題稍嫌簡(jiǎn)單，不足以充分顯示非常規(guī)問(wèn)題的復(fù)雜性及數(shù)學(xué)品味，但它可以導(dǎo)出一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù)的不定方程。但它可以導(dǎo)出一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù)的不定方程。 澤田利夫澤田利夫(日日)提出例子提出例子-結(jié)果的開(kāi)放性結(jié)果的開(kāi)放性 A，B，C三個(gè)做擲石子游戲，結(jié)果如圖三個(gè)做擲石子游戲，結(jié)果如圖1-2，這，這個(gè)游戲是以石子散落的距離小者為勝。請(qǐng)想一想如何個(gè)游戲是以石子散落的距離小者為勝。請(qǐng)想一想如何用用“數(shù)數(shù)”來(lái)表示這個(gè)來(lái)表示這個(gè)“散度散度”？1.1.多邊形的面積；多邊形的面積；2.2.多邊形的周長(zhǎng)；多邊形的周長(zhǎng)；3.3.連結(jié)兩點(diǎn)的最長(zhǎng)線(xiàn)段；

11、連結(jié)兩點(diǎn)的最長(zhǎng)線(xiàn)段；4.4.連結(jié)各點(diǎn)的線(xiàn)段之和；連結(jié)各點(diǎn)的線(xiàn)段之和；5.5.從某一點(diǎn)引向各點(diǎn)的線(xiàn)段之和；從某一點(diǎn)引向各點(diǎn)的線(xiàn)段之和；6.6.覆蓋各點(diǎn)的圓的最小半徑；覆蓋各點(diǎn)的圓的最小半徑；7.7.由于坐標(biāo)的引入而產(chǎn)生的平均差；由于坐標(biāo)的引入而產(chǎn)生的平均差；8.8.標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差。下面是學(xué)生考慮到的幾種比較下面是學(xué)生考慮到的幾種比較“散度散度”的方法：的方法：1.3 彼彼“問(wèn)題解決問(wèn)題解決” 此此“問(wèn)題解決問(wèn)題解決” 標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)(2011年版年版)總體目標(biāo)：總體目標(biāo)： 通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能：通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能：1. 獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的獲得適應(yīng)社

12、會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?；炯寄堋⒒舅枷?、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。2. 體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力。出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力。3. 了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，具有初步的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)事信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，具有初步的創(chuàng)新意識(shí)和

13、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。求是的科學(xué)態(tài)度。標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)(2011年版年版)具體目標(biāo)具體目標(biāo)-問(wèn)題解決問(wèn)題解決核心詞：模型思想、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)核心詞：模型思想、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)初步學(xué)會(huì)從初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和和提出問(wèn)題提出問(wèn)題，綜合，綜合 運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用意應(yīng)用意 識(shí)識(shí)，提高，提高實(shí)踐能力實(shí)踐能力。獲得獲得分析問(wèn)題分析問(wèn)題和和解決問(wèn)題解決問(wèn)題的一些基本方法，體驗(yàn)解的一些基本方法，體驗(yàn)解 決問(wèn)題方法的決問(wèn)題方法的多樣性多樣性，發(fā)展，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)創(chuàng)新意識(shí)。學(xué)會(huì)與他人合作、交流。學(xué)會(huì)與他人合作、交流。初步形成評(píng)價(jià)與反思的

14、意識(shí)。初步形成評(píng)價(jià)與反思的意識(shí)。 二、對(duì)問(wèn)題解決的理解二、對(duì)問(wèn)題解決的理解 問(wèn)題解決包括從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題解決包括從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題四個(gè)方面。應(yīng)用意識(shí)、解決問(wèn)題的策略、方法和問(wèn)題四個(gè)方面。應(yīng)用意識(shí)、解決問(wèn)題的策略、方法和途徑可以是多種多樣的。途徑可以是多種多樣的。2.1 “問(wèn)題解決問(wèn)題解決”與與“解決問(wèn)題解決問(wèn)題”是一種教學(xué)方式是一種教學(xué)方式是一種課程內(nèi)容展開(kāi)形式是一種課程內(nèi)容展開(kāi)形式是學(xué)生應(yīng)該掌握的學(xué)習(xí)形式是學(xué)生應(yīng)該掌握的學(xué)習(xí)形式是學(xué)生應(yīng)該具備的能力是學(xué)生應(yīng)該具備的能力是課程目標(biāo)是課程目標(biāo)它們不完全相同它們不完全相同2.2 關(guān)于關(guān)于“四能四能”的理解的理解

15、o解決老師提出的問(wèn)題、別人提出的問(wèn)題固然重要；能夠發(fā)現(xiàn)新解決老師提出的問(wèn)題、別人提出的問(wèn)題固然重要；能夠發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，提出新問(wèn)題更加重要問(wèn)題，提出新問(wèn)題更加重要-創(chuàng)新性人才的基本要求創(chuàng)新性人才的基本要求o“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)問(wèn)題”，是經(jīng)過(guò)多方面、多角度的數(shù)學(xué)思維，從表面上，是經(jīng)過(guò)多方面、多角度的數(shù)學(xué)思維，從表面上看來(lái)沒(méi)有關(guān)系的一些現(xiàn)象中找到數(shù)量或空間方面的某些聯(lián)系，看來(lái)沒(méi)有關(guān)系的一些現(xiàn)象中找到數(shù)量或空間方面的某些聯(lián)系，或者找到數(shù)量或空間方面的某些矛盾，并把這些聯(lián)系或者矛盾或者找到數(shù)量或空間方面的某些矛盾，并把這些聯(lián)系或者矛盾提煉出來(lái)。提煉出來(lái)。o“提出問(wèn)題提出問(wèn)題”，是在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題基礎(chǔ)上，把找到的聯(lián)

16、系或者，是在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題基礎(chǔ)上，把找到的聯(lián)系或者矛盾用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)集中地以矛盾用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)集中地以“問(wèn)題問(wèn)題”的形態(tài)表述出來(lái)。的形態(tài)表述出來(lái)。o分析問(wèn)題和解決問(wèn)題分析問(wèn)題和解決問(wèn)題-“已知已知”和和“未知未知”都是清楚的都是清楚的，是，是利用已有的概念、性質(zhì)、定理、公式、模型，采用恰當(dāng)?shù)乃悸防靡延械母拍?、性質(zhì)、定理、公式、模型，采用恰當(dāng)?shù)乃悸泛头椒ǖ玫絾?wèn)題的答案。和方法得到問(wèn)題的答案。o發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題-“已知已知”和和“未知未知”都是不清楚的都是不清楚的，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神，創(chuàng)新往往始于問(wèn)題。培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神，創(chuàng)新往往始于問(wèn)題。2.3

17、 問(wèn)題解決問(wèn)題解決應(yīng)用題應(yīng)用題o傳統(tǒng)的應(yīng)用題有題型o應(yīng)用題重在分析解決問(wèn)題o應(yīng)用題往往是“燒中”o應(yīng)用題的解往往是確定的唯一的 標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)所提到的所提到的“問(wèn)題問(wèn)題”不限于純粹的數(shù)學(xué)題，不限于純粹的數(shù)學(xué)題，特別是不同于那些僅僅通過(guò)特別是不同于那些僅僅通過(guò)“識(shí)別題，回憶解法，模識(shí)別題，回憶解法，模仿例題仿例題”等非思維性活動(dòng)就能解決的等非思維性活動(dòng)就能解決的“題題”。這里所。這里所說(shuō)的問(wèn)題既可以是純粹的數(shù)學(xué)題，也可以是以非數(shù)學(xué)說(shuō)的問(wèn)題既可以是純粹的數(shù)學(xué)題，也可以是以非數(shù)學(xué)形式呈現(xiàn)的問(wèn)題，但無(wú)論什么類(lèi)型的問(wèn)題，其核心都形式呈現(xiàn)的問(wèn)題，但無(wú)論什么類(lèi)型的問(wèn)題，其核心都是需要學(xué)生通過(guò)是需要學(xué)生通過(guò)“觀(guān)察、

18、思考、猜測(cè)、交流、推理觀(guān)察、思考、猜測(cè)、交流、推理”等有思維成分的活動(dòng)才能夠解決的。等有思維成分的活動(dòng)才能夠解決的。課標(biāo)解讀課標(biāo)解讀P181P181三、問(wèn)題解決如何落實(shí)三、問(wèn)題解決如何落實(shí)創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫常ㄒ?jiàn)案例八上、八下）創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫常ㄒ?jiàn)案例八上、八下）采用探究式的教學(xué)方法采用探究式的教學(xué)方法-教給探索的方法教給探索的方法關(guān)注問(wèn)題的特征關(guān)注問(wèn)題的特征o不是數(shù)學(xué)習(xí)題不是數(shù)學(xué)習(xí)題專(zhuān)門(mén)為復(fù)習(xí)與訓(xùn)練。專(zhuān)門(mén)為復(fù)習(xí)與訓(xùn)練。o不是依靠記憶題型和套用程式可解決的問(wèn)題。不是依靠記憶題型和套用程式可解決的問(wèn)題。o有較高思維含量，具有普遍性，典型性，規(guī)律性和新穎性。有較高思維含量，具有普遍性，典型性，規(guī)律性和新穎

19、性。o與生活、生產(chǎn)實(shí)際相聯(lián)系與生活、生產(chǎn)實(shí)際相聯(lián)系。3.1 發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的落實(shí)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的落實(shí) 培養(yǎng)從數(shù)學(xué)角度出發(fā)的問(wèn)題意識(shí)培養(yǎng)從數(shù)學(xué)角度出發(fā)的問(wèn)題意識(shí)3.2 解決問(wèn)題的策略、方法和途徑的多樣性解決問(wèn)題的策略、方法和途徑的多樣性教學(xué)上，鼓勵(lì)學(xué)生思考與交流。教學(xué)上，鼓勵(lì)學(xué)生思考與交流。關(guān)注問(wèn)題解決的過(guò)程。關(guān)注問(wèn)題解決的過(guò)程。關(guān)注問(wèn)題解決的評(píng)價(jià)與反思。關(guān)注問(wèn)題解決的評(píng)價(jià)與反思。策略、方法、途徑的多樣性。策略、方法、途徑的多樣性。 方程、不等式、函數(shù)、算術(shù)、列表、圖象。方程、不等式、函數(shù)、算術(shù)、列表、圖象。 案例：案例：20112011年的中考題。年的中考題。基本策略基本策略-義務(wù)教育義務(wù)教育

20、算術(shù)算術(shù) 估算估算 反例反例方程方程 枚舉枚舉 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)不等式不等式 特殊點(diǎn)特殊點(diǎn) 函數(shù)函數(shù) 列表列表統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì) 圖象圖象1.通過(guò)制表，分類(lèi)組織和分析數(shù)據(jù)。通過(guò)制表，分類(lèi)組織和分析數(shù)據(jù)。 2.通過(guò)試誤，修正，接近問(wèn)題的解決。通過(guò)試誤，修正，接近問(wèn)題的解決。3.構(gòu)造、尋找和使用一個(gè)模型。構(gòu)造、尋找和使用一個(gè)模型。4.畫(huà)一個(gè)簡(jiǎn)圖幫助解答。畫(huà)一個(gè)簡(jiǎn)圖幫助解答。5.解決一個(gè)或幾個(gè)相關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題。解決一個(gè)或幾個(gè)相關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題。6.尋找一個(gè)反例。尋找一個(gè)反例。關(guān)于關(guān)于“基本策略基本策略”汪文賢汪文賢： 7.估計(jì)和猜測(cè)答案。估計(jì)和猜測(cè)答案。8.通過(guò)嘗試通過(guò)嘗試錯(cuò)誤錯(cuò)誤修正，逼近問(wèn)題。修正，逼近問(wèn)題。9.通過(guò)數(shù)

21、形結(jié)合或轉(zhuǎn)換。通過(guò)數(shù)形結(jié)合或轉(zhuǎn)換。10.進(jìn)行比較和類(lèi)比。進(jìn)行比較和類(lèi)比。11.考慮問(wèn)題的逆否命題。考慮問(wèn)題的逆否命題。12.排除不可能的選擇。排除不可能的選擇。13.試著用多種方法解決問(wèn)題。試著用多種方法解決問(wèn)題。14.對(duì)問(wèn)題作推廣研究。對(duì)問(wèn)題作推廣研究。 1.枚舉法；枚舉法； 2.模式識(shí)別；模式識(shí)別；3.問(wèn)題轉(zhuǎn)化；問(wèn)題轉(zhuǎn)化； 4.中途點(diǎn)法；中途點(diǎn)法； 5.以退求進(jìn)；以退求進(jìn)； 6.推進(jìn)到一般；推進(jìn)到一般； 7.從整體看問(wèn)題；從整體看問(wèn)題； 8.正難則反正難則反戴再平戴再平數(shù)學(xué)習(xí)題的解題策略數(shù)學(xué)習(xí)題的解題策略四、積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)四、積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)4.1 豐富生活體驗(yàn)豐富生活體驗(yàn) 案例案例

22、打折促銷(xiāo)打折促銷(xiāo)4.2 學(xué)會(huì)審題學(xué)會(huì)審題耐心、靜心讀完題耐心、靜心讀完題已知、未知。已知、未知。 數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系表征。表征。 等量關(guān)系等量關(guān)系用不同的方式表示同一個(gè)量。用不同的方式表示同一個(gè)量。關(guān)健詞關(guān)健詞 案例案例1 她需要什么的幫助？她需要什么的幫助？ 有這樣一道題目：有這樣一道題目：XX牌牌52型拖拉機(jī)，一天耕地型拖拉機(jī)，一天耕地150公畝，公畝，問(wèn)問(wèn)12天耕地多少公畝？天耕地多少公畝？ 一位學(xué)生是這樣解的：一位學(xué)生是這樣解的：5215012=93600。 (會(huì)乘法計(jì)算，不理解乘法的意義）會(huì)乘法計(jì)算，不理解乘法的意義） 因?yàn)槭切陆拥乃哪昙?jí)班，對(duì)孩子不熟悉，所以老師就找因?yàn)槭切陆拥乃哪昙?jí)

23、班，對(duì)孩子不熟悉，所以老師就找她問(wèn)話(huà)：她問(wèn)話(huà)：“告訴我，你為什么這么列式？告訴我，你為什么這么列式？” “老師，我錯(cuò)了老師，我錯(cuò)了”。 “好的，告訴我，你認(rèn)為正確的該怎么列式？好的，告訴我，你認(rèn)為正確的該怎么列式？” “除。除?！?“怎么除？怎么除？” “大的除以小的。大的除以小的?！?“為什么是除呢？為什么是除呢？” “老師，我又錯(cuò)了。老師，我又錯(cuò)了?！?“你說(shuō)，對(duì)的該怎樣做呢？你說(shuō)，對(duì)的該怎樣做呢？” “應(yīng)該把它們加起來(lái)。應(yīng)該把它們加起來(lái)?！?看來(lái)，這位學(xué)生是在瞎猜，只要老師重復(fù)問(wèn)一看來(lái)，這位學(xué)生是在瞎猜，只要老師重復(fù)問(wèn)一句，她就習(xí)慣性地說(shuō)自己錯(cuò)了，接著拿另一種計(jì)算句，她就習(xí)慣性地說(shuō)自己錯(cuò)

24、了，接著拿另一種計(jì)算方法來(lái)搪塞。顯然，她沒(méi)有學(xué)會(huì)分析，她知道加、方法來(lái)搪塞。顯然，她沒(méi)有學(xué)會(huì)分析，她知道加、減、乘、除肯定有一種是適合這道題目的，這也是減、乘、除肯定有一種是適合這道題目的，這也是在許多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生中常見(jiàn)的現(xiàn)象。在許多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生中常見(jiàn)的現(xiàn)象。 于是，老師又對(duì)她說(shuō)：于是，老師又對(duì)她說(shuō)： “我們換一道題目，比如你每天吃?xún)蓚€(gè)大餅，我們換一道題目，比如你每天吃?xún)蓚€(gè)大餅，5天吃幾個(gè)大餅？天吃幾個(gè)大餅？” 老師認(rèn)為這道題她應(yīng)該會(huì)做，因?yàn)槠浣Y(jié)構(gòu)與前老師認(rèn)為這道題她應(yīng)該會(huì)做，因?yàn)槠浣Y(jié)構(gòu)與前面的題目一樣，都是每份數(shù)、份數(shù)、與總數(shù)的關(guān)系，面的題目一樣，都是每份數(shù)、份數(shù)、與總數(shù)的關(guān)系，

25、引導(dǎo)學(xué)生遷移一下就可以了。引導(dǎo)學(xué)生遷移一下就可以了。 “老師，我早上不吃大餅的。老師，我早上不吃大餅的。” “那你吃什么？那你吃什么？” “我經(jīng)常吃粽子我經(jīng)常吃粽子”。 “好，那你每天吃好，那你每天吃2個(gè)粽子，個(gè)粽子，5天吃幾個(gè)粽子？天吃幾個(gè)粽子？” “老師，我一天根本吃不下兩個(gè)粽子。老師，我一天根本吃不下兩個(gè)粽子?！?“那你能吃幾個(gè)粽子？那你能吃幾個(gè)粽子？” “吃半個(gè)就可以了。吃半個(gè)就可以了?！?“好，那你每天吃半個(gè)（小數(shù)乘法沒(méi)學(xué)）粽子，好，那你每天吃半個(gè)（小數(shù)乘法沒(méi)學(xué)）粽子，5天吃幾個(gè)粽子？天吃幾個(gè)粽子？” “兩個(gè)半。兩個(gè)半?！?“怎么算出來(lái)的怎么算出來(lái)的?” “2天一個(gè)，天一個(gè)，5天兩個(gè)

26、半。天兩個(gè)半?！?這位學(xué)生的問(wèn)題在哪里這位學(xué)生的問(wèn)題在哪里? -俞正強(qiáng)：不讓一個(gè)學(xué)生落后俞正強(qiáng)：不讓一個(gè)學(xué)生落后從四個(gè)數(shù)學(xué)準(zhǔn)備性從四個(gè)數(shù)學(xué)準(zhǔn)備性學(xué)習(xí)案例談學(xué)生群體學(xué)習(xí)質(zhì)量的提高，人民教育，學(xué)習(xí)案例談學(xué)生群體學(xué)習(xí)質(zhì)量的提高，人民教育，20072007，7 74.3 教給學(xué)生分析應(yīng)用題的方法教給學(xué)生分析應(yīng)用題的方法o 列表法列表法o 圖象法圖象法o 分析法分析法o 數(shù)量關(guān)系法數(shù)量關(guān)系法 案例：案例：怎樣分析解決問(wèn)題怎樣分析解決問(wèn)題4.4 一題多解并不難。一題多解并不難。 案例案例多個(gè)方程多個(gè)方程4.5 引導(dǎo)學(xué)生自編應(yīng)用題。引導(dǎo)學(xué)生自編應(yīng)用題。 案例案例 小學(xué)小學(xué)五、讓解決問(wèn)題融于平時(shí)課堂五、讓解決

27、問(wèn)題融于平時(shí)課堂5.1 少解習(xí)題少解習(xí)題 多做問(wèn)題多做問(wèn)題 教好第一次教好第一次5.2 充分地發(fā)展數(shù)學(xué)思想充分地發(fā)展數(shù)學(xué)思想重點(diǎn)重點(diǎn):模型思想模型思想代數(shù)：代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)代數(shù)：代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)幾何：基本圖形幾何：基本圖形統(tǒng)計(jì)：池塘中的魚(yú)統(tǒng)計(jì)：池塘中的魚(yú) 案例：案例：統(tǒng)計(jì)的教學(xué)統(tǒng)計(jì)的教學(xué)、中考題中考題5.3 讓課堂充滿(mǎn)問(wèn)題解決讓課堂充滿(mǎn)問(wèn)題解決問(wèn)題意識(shí)問(wèn)題意識(shí)以問(wèn)題解決的方式組織教學(xué)以問(wèn)題解決的方式組織教學(xué) 案例：案例：勾股定理勾股定理5.4 解決問(wèn)題的主要方式解決問(wèn)題的主要方式類(lèi)比類(lèi)比模仿模仿-多題一解多題一解開(kāi)普勒開(kāi)普勒： 我珍視類(lèi)比勝于任何別的東西，它是我最可信賴(lài)的老

28、我珍視類(lèi)比勝于任何別的東西，它是我最可信賴(lài)的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何中它應(yīng)該是最不容忽師，它能揭示自然界的秘密，在幾何中它應(yīng)該是最不容忽視的。視的。類(lèi)比：發(fā)現(xiàn)具有性質(zhì)類(lèi)比：發(fā)現(xiàn)具有性質(zhì)ABC的事件都具有性質(zhì)的事件都具有性質(zhì)D，設(shè)想所有，設(shè)想所有 具有性質(zhì)具有性質(zhì)ABC的事件都具有性質(zhì)的事件都具有性質(zhì)D 。類(lèi)比：由兩個(gè)對(duì)象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們?cè)陬?lèi)比：由兩個(gè)對(duì)象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們?cè)?其他性質(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式。其他性質(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式。案例：案例： 糖水加糖變甜了糖水加糖變甜了 用用“糖水加糖變甜了（糖水未飽和）糖水加糖變甜了（

29、糖水未飽和）”的現(xiàn)實(shí)情境中提煉出一個(gè)數(shù)學(xué)命的現(xiàn)實(shí)情境中提煉出一個(gè)數(shù)學(xué)命題：真分?jǐn)?shù)不等式題：真分?jǐn)?shù)不等式 ba0，m0 。從下述情景又能提煉出。從下述情景又能提煉出一個(gè)什么數(shù)學(xué)命題呢？一個(gè)什么數(shù)學(xué)命題呢？（1）將）將3小杯濃度相同的糖水混合成一大杯后，濃度還相同。小杯濃度相同的糖水混合成一大杯后，濃度還相同。（2）將幾杯濃度不盡相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的濃度一定）將幾杯濃度不盡相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的濃度一定比淡的濃而又比濃的淡。比淡的濃而又比濃的淡。（3）取濃度不等的兩杯糖水，它們有一個(gè)平均濃度，合在一起后又有一）取濃度不等的兩杯糖水，它們有一個(gè)平均濃度，合在一起后又有一

30、個(gè)濃度，這兩個(gè)濃度哪個(gè)大呢？個(gè)濃度，這兩個(gè)濃度哪個(gè)大呢？（4）有）有4杯濃度不等的糖水杯濃度不等的糖水a(chǎn),b,c,d,若若 a比比b濃，濃，c比比d濃，那么濃，那么a與與c混合是混合是不是比不是比b與與d混合濃？混合濃？aba+mb+m請(qǐng)閱讀下面的事實(shí)：某校高中一年級(jí)有兩個(gè)班，請(qǐng)閱讀下面的事實(shí)：某校高中一年級(jí)有兩個(gè)班，教導(dǎo)處工作人員統(tǒng)計(jì)期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)時(shí)，計(jì)算出每教導(dǎo)處工作人員統(tǒng)計(jì)期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)時(shí)，計(jì)算出每一個(gè)班中男生及格率都比女生的及格率高（計(jì)算沒(méi)有一個(gè)班中男生及格率都比女生的及格率高（計(jì)算沒(méi)有錯(cuò)誤），于是得出全年級(jí)男生及格率比女生及格率高錯(cuò)誤），于是得出全年級(jí)男生及格率比女生及格率高的結(jié)

31、論。校長(zhǎng)聽(tīng)完他的匯報(bào)后，根據(jù)同樣的成績(jī)表卻的結(jié)論。校長(zhǎng)聽(tīng)完他的匯報(bào)后，根據(jù)同樣的成績(jī)表卻得出全年級(jí)女生及格率比男生及格率高的相反結(jié)論。得出全年級(jí)女生及格率比男生及格率高的相反結(jié)論。事實(shí)證明校長(zhǎng)是對(duì)，工作人員感到費(fèi)解。事實(shí)證明校長(zhǎng)是對(duì)，工作人員感到費(fèi)解。請(qǐng)通過(guò)數(shù)學(xué)方法說(shuō)服工作人員。請(qǐng)通過(guò)數(shù)學(xué)方法說(shuō)服工作人員。案例：女生及格率問(wèn)題案例：女生及格率問(wèn)題方法方法1：舉反例。：舉反例。班級(jí)班級(jí)甲甲 班班乙乙 班班男女人數(shù)男女人數(shù)男男25人人女女30人人男男29人人女女24人人及格人數(shù)及格人數(shù)23人人27人人17人人14人人及格率及格率92%90%58.6%58.3%男生及格率男生及格率= 100% 10

32、0% = 女生及格率。女生及格率。23+1725+2927+1430+24 設(shè)甲班有男生設(shè)甲班有男生a1人，及格人，及格b1人，女生有人，女生有c1人，及格人，及格d1人；乙班有男生人；乙班有男生a2人，及格人，及格b2人，女生有人，女生有c2人，及格人，及格d2人。按統(tǒng)計(jì)，每班的及格率有不等式人。按統(tǒng)計(jì)，每班的及格率有不等式 ， 而全年級(jí)的男女生及格率分別為而全年級(jí)的男女生及格率分別為 , .工作人員的推理是，由工作人員的推理是，由a1b10，a2b20，c1d10，c2d20，有，有方法方法2：5.4 解決問(wèn)題的主要方式解決問(wèn)題的主要方式類(lèi)比類(lèi)比模仿模仿-多題一解多題一解大類(lèi)比：大類(lèi)比：

33、代數(shù)式類(lèi)比數(shù)代數(shù)式類(lèi)比數(shù) 分式類(lèi)比分?jǐn)?shù)分式類(lèi)比分?jǐn)?shù) 不等式類(lèi)比方程不等式類(lèi)比方程 四邊形類(lèi)比三角形四邊形類(lèi)比三角形5.4 解決問(wèn)題的主要方式解決問(wèn)題的主要方式歸納歸納找規(guī)律找規(guī)律歸納：歸納：在一個(gè)集合中，如果觀(guān)察到的每一個(gè)元素都在一個(gè)集合中，如果觀(guān)察到的每一個(gè)元素都 具有某一個(gè)性質(zhì)，則猜想這個(gè)集合中的所有具有某一個(gè)性質(zhì)，則猜想這個(gè)集合中的所有 元素都具有這個(gè)性質(zhì)。元素都具有這個(gè)性質(zhì)。高斯高斯：用歸納法可萌發(fā)出極漂亮的新的真理。：用歸納法可萌發(fā)出極漂亮的新的真理。 （哥德巴赫猜想、費(fèi)爾瑪大定理）（哥德巴赫猜想、費(fèi)爾瑪大定理）5.4 解決問(wèn)題的主要方式解決問(wèn)題的主要方式從特殊，簡(jiǎn)單開(kāi)始從特殊，簡(jiǎn)單

34、開(kāi)始 例例 如圖，已知如圖，已知RtABC，C=90，問(wèn)是否存在這樣的，問(wèn)是否存在這樣的直線(xiàn)，使得它同時(shí)平分三角形直線(xiàn)，使得它同時(shí)平分三角形的周長(zhǎng)和面積？的周長(zhǎng)和面積？6ACB8105.4 解決問(wèn)題的主要方式解決問(wèn)題的主要方式正難則反正難則反 例例 設(shè)有甲、乙、丙設(shè)有甲、乙、丙3個(gè)小組，現(xiàn)對(duì)這個(gè)小組，現(xiàn)對(duì)這3組人員進(jìn)組人員進(jìn)行調(diào)整。第一次丙組不動(dòng)，甲、乙兩組中的一組調(diào)出行調(diào)整。第一次丙組不動(dòng)，甲、乙兩組中的一組調(diào)出7人給另一組；第二次乙組不動(dòng)，甲、丙兩組中的一人給另一組；第二次乙組不動(dòng)，甲、丙兩組中的一組調(diào)出組調(diào)出7人給另一組；第三次甲組不動(dòng)，乙、丙兩組人給另一組；第三次甲組不動(dòng)，乙、丙兩組中

35、的一組調(diào)出中的一組調(diào)出7人給另一組。經(jīng)人給另一組。經(jīng)3次調(diào)整后，甲組有次調(diào)整后，甲組有5人，乙組有人，乙組有13人，丙組有人，丙組有6人。問(wèn)甲、乙、丙各組原人。問(wèn)甲、乙、丙各組原來(lái)有多少人？來(lái)有多少人？5.4 解決問(wèn)題的真諦解決問(wèn)題的真諦o怎樣解題表怎樣解題表(波利亞波利亞)弄清問(wèn)題弄清問(wèn)題 第一，第一，你必須你必須弄清問(wèn)弄清問(wèn)題題未知是什么未知是什么?已知是什么已知是什么?條件是什么條件是什么?滿(mǎn)足條件是否可能滿(mǎn)足條件是否可能?要確定未知，條件是否充分要確定未知，條件是否充分?或者它是否不充分或者它是否不充分?或者是多余的或者是多余的?或者是矛盾的或者是矛盾的?畫(huà)張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?hào)畫(huà)張圖，

36、引入適當(dāng)?shù)姆?hào)把條件的各個(gè)部分分開(kāi)你能否把它們寫(xiě)下來(lái)把條件的各個(gè)部分分開(kāi)你能否把它們寫(xiě)下來(lái)?擬定計(jì)劃擬定計(jì)劃 第二，第二，找出已知數(shù)找出已知數(shù)與未知數(shù)之與未知數(shù)之間的聯(lián)系間的聯(lián)系.如果找不出如果找不出直接的聯(lián)系直接的聯(lián)系,你可能不得你可能不得不考慮輔助不考慮輔助問(wèn)題你應(yīng)問(wèn)題你應(yīng)該最終得出該最終得出一個(gè)求解的一個(gè)求解的計(jì)劃計(jì)劃你以前見(jiàn)過(guò)它嗎你以前見(jiàn)過(guò)它嗎?你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同有不同?你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題?你是否知道一個(gè)可能你是否知道一個(gè)可能用得上的定理用得上的定理?看著未知數(shù)，試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似看著未知數(shù)，試想出一

37、個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān)，且早已解決的這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān)，且早已解決的問(wèn)題你能不能利用它問(wèn)題你能不能利用它?你能利用它的結(jié)果嗎你能利用它的結(jié)果嗎?你你能利用它的方法嗎能利用它的方法嗎?為了能利用它，你是否應(yīng)該引為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素入某些輔助元素?你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題?你能不能用不同的方你能不能用不同的方法重新敘述它法重新敘述它?回到定義去回到定義去擬定計(jì)劃 第二，第二，找出已知找出已知數(shù)與未知數(shù)與未知數(shù)之間的數(shù)之間的聯(lián)系聯(lián)系.如果如果找不出直找不出直接的聯(lián)系接的聯(lián)系,你可能不

38、你可能不得不考慮得不考慮輔助問(wèn)題輔助問(wèn)題.你應(yīng)該最你應(yīng)該最終得出一終得出一個(gè)求解的個(gè)求解的計(jì)劃計(jì)劃如果你不能解決所提出的問(wèn)題，可先解決一個(gè)與此有如果你不能解決所提出的問(wèn)題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題你能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問(wèn)題關(guān)的問(wèn)題你能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問(wèn)題?一個(gè)更普遍的問(wèn)題一個(gè)更普遍的問(wèn)題? 一個(gè)更特殊的問(wèn)題一個(gè)更特殊的問(wèn)題?一個(gè)類(lèi)比的問(wèn)題一個(gè)類(lèi)比的問(wèn)題? 你能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部分你能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部分?僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分這樣對(duì)于未僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分這樣對(duì)于未知數(shù)能確定到什么程度知數(shù)能確定到什么程度?它會(huì)怎樣變化它會(huì)怎樣變化?你能不能

39、從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西?你能不能想你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)?如果需要的話(huà)，你能如果需要的話(huà)，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近?你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)?你是否利用了整個(gè)條件你是否利用了整個(gè)條件?你是否考慮了包含在問(wèn)題中的必要的概念你是否考慮了包含在問(wèn)題中的必要的概念?實(shí)現(xiàn)計(jì)劃實(shí)現(xiàn)計(jì)劃 回顧回顧第三，第三，實(shí)行你的實(shí)行你的計(jì)劃計(jì)劃實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟你能否清楚地看出這一步驟是正確的你能否清楚地看出這一步驟是正確的?你能否證明這一步驟是正確的你能否證明這一步驟是正確的?第四，第四，驗(yàn)算所得驗(yàn)算所得到的解到的解你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證?你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果?你能不能一下子看出它來(lái)你能不能一下子看出它來(lái)?你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他的問(wèn)題你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他的問(wèn)題?浙江省衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校浙江省衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 胡趙云胡趙云有什么話(huà)兒，歡迎交流有什