胡趙云--解決問題之提出分析與解決

1、浙江省衢州市實驗學(xué)校浙江省衢州市實驗學(xué)校北師大版初中數(shù)學(xué)教材編寫組北師大版初中數(shù)學(xué)教材編寫組胡趙云胡趙云問題解決之提出、分析與解決問題解決之提出、分析與解決關(guān)于應(yīng)用題教學(xué)，你有什么想法？關(guān)于應(yīng)用題教學(xué)，你有什么想法？你的學(xué)生解應(yīng)用題有哪些困難？你的學(xué)生解應(yīng)用題有哪些困難？你教學(xué)解應(yīng)用題有哪些成功的經(jīng)驗？你教學(xué)解應(yīng)用題有哪些成功的經(jīng)驗？你是怎樣理解問題解決的？你是怎樣理解問題解決的？你希望我們交流什么樣的話題？你希望我們交流什么樣的話題？前言前言感嘆題目又看錯了感嘆題目又看錯了 / 讀不懂題意讀不懂題意我關(guān)于這個問題的回憶我關(guān)于這個問題的回憶 2. 看到一種教學(xué)現(xiàn)象：看到一種教學(xué)現(xiàn)象：4. 想起

2、自己過去教列方程解應(yīng)用題想起自己過去教列方程解應(yīng)用題1. 聽過一節(jié)北師大版的數(shù)學(xué)課聽過一節(jié)北師大版的數(shù)學(xué)課 題目多，做得多，講得多，聽得多題目多，做得多，講得多，聽得多3. 發(fā)現(xiàn)一種現(xiàn)象（造成一種后果）發(fā)現(xiàn)一種現(xiàn)象（造成一種后果） 初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度提出問題、理初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度提出問題、理解問題，并能綜合運用所學(xué)的知識和技能解問題，并能綜合運用所學(xué)的知識和技能解決問題，發(fā)展應(yīng)用意識。解決問題，發(fā)展應(yīng)用意識。 形成解決問題的一些基本策略，體驗形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐能力與解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐能力與創(chuàng)造精神。創(chuàng)造精神。5.課標(biāo)課標(biāo)（實驗稿）提出

3、：（實驗稿）提出：解決問題解決問題 問題解決問題解決1.1 問題解決不是新問題問題解決不是新問題一、背景與發(fā)展一、背景與發(fā)展標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）年版）美國美國“問題解決問題解決”的起始的起始u1980.4，美國數(shù)學(xué)教師理事會公布了指導(dǎo)，美國數(shù)學(xué)教師理事會公布了指導(dǎo)80年代學(xué)校數(shù)年代學(xué)校數(shù)學(xué)教育的綱領(lǐng)性文件學(xué)教育的綱領(lǐng)性文件行動的議事日程行動的議事日程指出：指出： 8080年代的數(shù)學(xué)大綱，應(yīng)當(dāng)在各年級都介紹數(shù)學(xué)的應(yīng)用，把學(xué)生引進年代的數(shù)學(xué)大綱，應(yīng)當(dāng)在各年級都介紹數(shù)學(xué)的應(yīng)用，把學(xué)生引進問題解決中去。問題解決中去。 數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)圍繞問題解決來組織。數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)圍繞問題解決來組織。 數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)創(chuàng)

4、造一種使問題解決得以蓬勃發(fā)展的課堂環(huán)境。數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)創(chuàng)造一種使問題解決得以蓬勃發(fā)展的課堂環(huán)境。 問題解決作為學(xué)校數(shù)學(xué)教育的核心。問題解決作為學(xué)校數(shù)學(xué)教育的核心。u1980.8,“問題解決問題解決”被列入第四屆國際數(shù)學(xué)教育大會被列入第四屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME-4）的議程）的議程.u1984年年,第五屆國際數(shù)學(xué)教育大會（第五屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME-5），），“問題問題解決解決”成為大會最主要的議題之一成為大會最主要的議題之一.美國美國“問題解決問題解決”的起始的起始u1988年，美國數(shù)學(xué)指導(dǎo)委員會（年，美國數(shù)學(xué)指導(dǎo)委員會（NCSM）認為）認為: “學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于問題解決學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

5、的主要目的在于問題解決”。u1989年，美國全國數(shù)學(xué)教師理事會制定了年，美國全國數(shù)學(xué)教師理事會制定了學(xué)校學(xué)校數(shù)學(xué)課程和評估的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)課程和評估的標(biāo)準(zhǔn)明確明確: 把把“具有數(shù)學(xué)地解決問題的能力具有數(shù)學(xué)地解決問題的能力”置于使所有學(xué)置于使所有學(xué)生有較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目標(biāo)中的中心地位。生有較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目標(biāo)中的中心地位。美國美國“問題解決問題解決”的起始的起始問題是數(shù)學(xué)的心臟問題是數(shù)學(xué)的心臟1.2 數(shù)學(xué)教育中要解決什么樣的問題解決？數(shù)學(xué)教育中要解決什么樣的問題解決？o問題：問題：可接受性、障礙性、探究性、生活性可接受性、障礙性、探究性、生活性 常規(guī)性，經(jīng)典的問題常規(guī)性，經(jīng)典的問題o解決結(jié)果：解決結(jié)果

6、：開放性開放性荷蘭的弗賴登塔爾認為：荷蘭的弗賴登塔爾認為： 如果數(shù)學(xué)是無用的，它就不會存在。如果數(shù)學(xué)是無用的，它就不會存在。 不能忘記數(shù)學(xué)在社會中扮演的角色，從過去、現(xiàn)不能忘記數(shù)學(xué)在社會中扮演的角色，從過去、現(xiàn)在一直到將來，教數(shù)學(xué)的教室不可能浮在半空中，而在一直到將來，教數(shù)學(xué)的教室不可能浮在半空中，而學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生也必然是屬于社會的。學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生也必然是屬于社會的。 （1）已知）已知 = ，問，問x是多少？是多少？（2） （盎斯為容積單位（盎斯為容積單位,1,1盎斯盎斯29.57cm29.57cm3 3;“;“”表示表示“美分美分”,1,1=0.01=0.01美元）美元）（3）如果一杯）如果一杯

7、7盎斯的汽水賣盎斯的汽水賣25，問一杯，問一杯12盎斯的汽水賣多少錢？盎斯的汽水賣多少錢？（4）三個學(xué)生正在籌辦一次野餐，他們了解到一杯）三個學(xué)生正在籌辦一次野餐，他們了解到一杯7盎斯的汽水通常盎斯的汽水通常賣賣25，現(xiàn)在他們想知道一杯，現(xiàn)在他們想知道一杯12盎斯的汽水應(yīng)該收多少錢？盎斯的汽水應(yīng)該收多少錢？（5）社區(qū)舉辦慈善性野餐，有位辦事人員定出一杯）社區(qū)舉辦慈善性野餐，有位辦事人員定出一杯7盎斯的汽水的價盎斯的汽水的價格是格是25，并問你一杯，并問你一杯12盎斯的汽水應(yīng)賣多少錢？盎斯的汽水應(yīng)賣多少錢？基爾巴屈克基爾巴屈克(美美)曾列舉下列題目曾列舉下列題目 -顯示顯示“問題問題”的不同意義

8、的不同意義 725 12 x（6）如果一杯）如果一杯7盎斯的汽水賣盎斯的汽水賣25，則照比例，則照比例計算時，一杯計算時，一杯12盎斯的汽水的價格不剛好為盎斯的汽水的價格不剛好為整數(shù)。一個解決的方式是把一杯整數(shù)。一個解決的方式是把一杯7盎斯的汽盎斯的汽水價格提高一些，使得照比例算出來的一杯水價格提高一些，使得照比例算出來的一杯12盎斯的汽水的價格為整數(shù)。請你提出解決盎斯的汽水的價格為整數(shù)。請你提出解決的方案，在各種可能的解決方案中，提高的的方案，在各種可能的解決方案中，提高的最少數(shù)目是多少？最少數(shù)目是多少？第（第（1）題是常規(guī)計算題；）題是常規(guī)計算題；第（第（2）題是圖式題）題是圖式題沒有文字

9、的文字題；沒有文字的文字題；第（第（3）題是常見的典型文字題；）題是常見的典型文字題；第（第（4）題是所謂）題是所謂“真實的問題真實的問題”； 在這一問題情境里，學(xué)生處于對他們來說是有意義的在這一問題情境里，學(xué)生處于對他們來說是有意義的“真實真實”狀況里狀況里（如籌辦一次野餐），在這里，學(xué)生被要求針對問題提出解決辦法；（如籌辦一次野餐），在這里，學(xué)生被要求針對問題提出解決辦法；第（第（5）題是學(xué)生可能在校外會碰到的數(shù)學(xué)問題；）題是學(xué)生可能在校外會碰到的數(shù)學(xué)問題； 這類問題發(fā)生時與學(xué)生所處的年級及學(xué)習(xí)成績無關(guān)。這類問題發(fā)生時與學(xué)生所處的年級及學(xué)習(xí)成績無關(guān)。第（第（6）題是非常規(guī)問題；）題是非常規(guī)

10、問題； 這個問題稍嫌簡單，不足以充分顯示非常規(guī)問題的復(fù)雜性及數(shù)學(xué)品味，這個問題稍嫌簡單，不足以充分顯示非常規(guī)問題的復(fù)雜性及數(shù)學(xué)品味，但它可以導(dǎo)出一個含有兩個未知數(shù)的不定方程。但它可以導(dǎo)出一個含有兩個未知數(shù)的不定方程。 澤田利夫澤田利夫(日日)提出例子提出例子-結(jié)果的開放性結(jié)果的開放性 A，B，C三個做擲石子游戲，結(jié)果如圖三個做擲石子游戲，結(jié)果如圖1-2，這，這個游戲是以石子散落的距離小者為勝。請想一想如何個游戲是以石子散落的距離小者為勝。請想一想如何用用“數(shù)數(shù)”來表示這個來表示這個“散度散度”？1.1.多邊形的面積；多邊形的面積；2.2.多邊形的周長；多邊形的周長；3.3.連結(jié)兩點的最長線段；

11、連結(jié)兩點的最長線段；4.4.連結(jié)各點的線段之和；連結(jié)各點的線段之和；5.5.從某一點引向各點的線段之和；從某一點引向各點的線段之和；6.6.覆蓋各點的圓的最小半徑；覆蓋各點的圓的最小半徑；7.7.由于坐標(biāo)的引入而產(chǎn)生的平均差；由于坐標(biāo)的引入而產(chǎn)生的平均差；8.8.標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差。下面是學(xué)生考慮到的幾種比較下面是學(xué)生考慮到的幾種比較“散度散度”的方法：的方法：1.3 彼彼“問題解決問題解決” 此此“問題解決問題解決” 標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)(2011年版年版)總體目標(biāo)：總體目標(biāo)： 通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能：1. 獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的獲得適應(yīng)社

12、會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。2. 體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學(xué)的思維方式進行思考，增強間的聯(lián)系，運用數(shù)學(xué)的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。出問題的能力、分析和解決問題的能力。3. 了解數(shù)學(xué)的價值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的了解數(shù)學(xué)的價值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，具有初步的創(chuàng)新意識和實事信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，具有初步的創(chuàng)新意識和

13、實事求是的科學(xué)態(tài)度。求是的科學(xué)態(tài)度。標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)(2011年版年版)具體目標(biāo)具體目標(biāo)-問題解決問題解決核心詞：模型思想、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識核心詞：模型思想、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識初步學(xué)會從初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題發(fā)現(xiàn)問題和和提出問題提出問題，綜合，綜合 運用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實際問題，增強運用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實際問題，增強應(yīng)用意應(yīng)用意 識識，提高，提高實踐能力實踐能力。獲得獲得分析問題分析問題和和解決問題解決問題的一些基本方法，體驗解的一些基本方法，體驗解 決問題方法的決問題方法的多樣性多樣性，發(fā)展，發(fā)展創(chuàng)新意識創(chuàng)新意識。學(xué)會與他人合作、交流。學(xué)會與他人合作、交流。初步形成評價與反思的

14、意識。初步形成評價與反思的意識。 二、對問題解決的理解二、對問題解決的理解 問題解決包括從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題解決包括從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題四個方面。應(yīng)用意識、解決問題的策略、方法和問題四個方面。應(yīng)用意識、解決問題的策略、方法和途徑可以是多種多樣的。途徑可以是多種多樣的。2.1 “問題解決問題解決”與與“解決問題解決問題”是一種教學(xué)方式是一種教學(xué)方式是一種課程內(nèi)容展開形式是一種課程內(nèi)容展開形式是學(xué)生應(yīng)該掌握的學(xué)習(xí)形式是學(xué)生應(yīng)該掌握的學(xué)習(xí)形式是學(xué)生應(yīng)該具備的能力是學(xué)生應(yīng)該具備的能力是課程目標(biāo)是課程目標(biāo)它們不完全相同它們不完全相同2.2 關(guān)于關(guān)于“四能四能”的理解的理解

15、o解決老師提出的問題、別人提出的問題固然重要；能夠發(fā)現(xiàn)新解決老師提出的問題、別人提出的問題固然重要；能夠發(fā)現(xiàn)新問題，提出新問題更加重要問題，提出新問題更加重要-創(chuàng)新性人才的基本要求創(chuàng)新性人才的基本要求o“發(fā)現(xiàn)問題發(fā)現(xiàn)問題”，是經(jīng)過多方面、多角度的數(shù)學(xué)思維，從表面上，是經(jīng)過多方面、多角度的數(shù)學(xué)思維，從表面上看來沒有關(guān)系的一些現(xiàn)象中找到數(shù)量或空間方面的某些聯(lián)系，看來沒有關(guān)系的一些現(xiàn)象中找到數(shù)量或空間方面的某些聯(lián)系，或者找到數(shù)量或空間方面的某些矛盾，并把這些聯(lián)系或者矛盾或者找到數(shù)量或空間方面的某些矛盾，并把這些聯(lián)系或者矛盾提煉出來。提煉出來。o“提出問題提出問題”，是在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)問題基礎(chǔ)上，把找到的聯(lián)

16、系或者，是在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)問題基礎(chǔ)上，把找到的聯(lián)系或者矛盾用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號集中地以矛盾用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號集中地以“問題問題”的形態(tài)表述出來。的形態(tài)表述出來。o分析問題和解決問題分析問題和解決問題-“已知已知”和和“未知未知”都是清楚的都是清楚的，是，是利用已有的概念、性質(zhì)、定理、公式、模型，采用恰當(dāng)?shù)乃悸防靡延械母拍?、性質(zhì)、定理、公式、模型，采用恰當(dāng)?shù)乃悸泛头椒ǖ玫絾栴}的答案。和方法得到問題的答案。o發(fā)現(xiàn)問題和提出問題發(fā)現(xiàn)問題和提出問題-“已知已知”和和“未知未知”都是不清楚的都是不清楚的，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神，創(chuàng)新往往始于問題。培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神，創(chuàng)新往往始于問題。2.3

17、 問題解決問題解決應(yīng)用題應(yīng)用題o傳統(tǒng)的應(yīng)用題有題型o應(yīng)用題重在分析解決問題o應(yīng)用題往往是“燒中”o應(yīng)用題的解往往是確定的唯一的 標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)所提到的所提到的“問題問題”不限于純粹的數(shù)學(xué)題，不限于純粹的數(shù)學(xué)題，特別是不同于那些僅僅通過特別是不同于那些僅僅通過“識別題，回憶解法，模識別題，回憶解法，模仿例題仿例題”等非思維性活動就能解決的等非思維性活動就能解決的“題題”。這里所。這里所說的問題既可以是純粹的數(shù)學(xué)題，也可以是以非數(shù)學(xué)說的問題既可以是純粹的數(shù)學(xué)題，也可以是以非數(shù)學(xué)形式呈現(xiàn)的問題，但無論什么類型的問題，其核心都形式呈現(xiàn)的問題，但無論什么類型的問題，其核心都是需要學(xué)生通過是需要學(xué)生通過“觀察、

18、思考、猜測、交流、推理觀察、思考、猜測、交流、推理”等有思維成分的活動才能夠解決的。等有思維成分的活動才能夠解決的。課標(biāo)解讀課標(biāo)解讀P181P181三、問題解決如何落實三、問題解決如何落實創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫常ㄒ姲咐松?、八下）?chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫常ㄒ姲咐松?、八下）采用探究式的教學(xué)方法采用探究式的教學(xué)方法-教給探索的方法教給探索的方法關(guān)注問題的特征關(guān)注問題的特征o不是數(shù)學(xué)習(xí)題不是數(shù)學(xué)習(xí)題專門為復(fù)習(xí)與訓(xùn)練。專門為復(fù)習(xí)與訓(xùn)練。o不是依靠記憶題型和套用程式可解決的問題。不是依靠記憶題型和套用程式可解決的問題。o有較高思維含量，具有普遍性，典型性，規(guī)律性和新穎性。有較高思維含量，具有普遍性，典型性，規(guī)律性和新穎

19、性。o與生活、生產(chǎn)實際相聯(lián)系與生活、生產(chǎn)實際相聯(lián)系。3.1 發(fā)現(xiàn)和提出問題的落實發(fā)現(xiàn)和提出問題的落實 培養(yǎng)從數(shù)學(xué)角度出發(fā)的問題意識培養(yǎng)從數(shù)學(xué)角度出發(fā)的問題意識3.2 解決問題的策略、方法和途徑的多樣性解決問題的策略、方法和途徑的多樣性教學(xué)上，鼓勵學(xué)生思考與交流。教學(xué)上，鼓勵學(xué)生思考與交流。關(guān)注問題解決的過程。關(guān)注問題解決的過程。關(guān)注問題解決的評價與反思。關(guān)注問題解決的評價與反思。策略、方法、途徑的多樣性。策略、方法、途徑的多樣性。 方程、不等式、函數(shù)、算術(shù)、列表、圖象。方程、不等式、函數(shù)、算術(shù)、列表、圖象。 案例：案例：20112011年的中考題。年的中考題。基本策略基本策略-義務(wù)教育義務(wù)教育

20、算術(shù)算術(shù) 估算估算 反例反例方程方程 枚舉枚舉 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)不等式不等式 特殊點特殊點 函數(shù)函數(shù) 列表列表統(tǒng)計統(tǒng)計 圖象圖象1.通過制表，分類組織和分析數(shù)據(jù)。通過制表，分類組織和分析數(shù)據(jù)。 2.通過試誤，修正，接近問題的解決。通過試誤，修正，接近問題的解決。3.構(gòu)造、尋找和使用一個模型。構(gòu)造、尋找和使用一個模型。4.畫一個簡圖幫助解答。畫一個簡圖幫助解答。5.解決一個或幾個相關(guān)的簡單問題。解決一個或幾個相關(guān)的簡單問題。6.尋找一個反例。尋找一個反例。關(guān)于關(guān)于“基本策略基本策略”汪文賢汪文賢： 7.估計和猜測答案。估計和猜測答案。8.通過嘗試通過嘗試錯誤錯誤修正，逼近問題。修正，逼近問題。9.通過數(shù)

21、形結(jié)合或轉(zhuǎn)換。通過數(shù)形結(jié)合或轉(zhuǎn)換。10.進行比較和類比。進行比較和類比。11.考慮問題的逆否命題?？紤]問題的逆否命題。12.排除不可能的選擇。排除不可能的選擇。13.試著用多種方法解決問題。試著用多種方法解決問題。14.對問題作推廣研究。對問題作推廣研究。 1.枚舉法；枚舉法； 2.模式識別；模式識別；3.問題轉(zhuǎn)化；問題轉(zhuǎn)化； 4.中途點法；中途點法； 5.以退求進；以退求進； 6.推進到一般；推進到一般； 7.從整體看問題；從整體看問題； 8.正難則反正難則反戴再平戴再平數(shù)學(xué)習(xí)題的解題策略數(shù)學(xué)習(xí)題的解題策略四、積累解決問題的經(jīng)驗四、積累解決問題的經(jīng)驗4.1 豐富生活體驗豐富生活體驗 案例案例

22、打折促銷打折促銷4.2 學(xué)會審題學(xué)會審題耐心、靜心讀完題耐心、靜心讀完題已知、未知。已知、未知。 數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系表征。表征。 等量關(guān)系等量關(guān)系用不同的方式表示同一個量。用不同的方式表示同一個量。關(guān)健詞關(guān)健詞 案例案例1 她需要什么的幫助？她需要什么的幫助？ 有這樣一道題目：有這樣一道題目：XX牌牌52型拖拉機，一天耕地型拖拉機，一天耕地150公畝，公畝，問問12天耕地多少公畝？天耕地多少公畝？ 一位學(xué)生是這樣解的：一位學(xué)生是這樣解的：5215012=93600。 (會乘法計算，不理解乘法的意義）會乘法計算，不理解乘法的意義） 因為是新接的四年級班，對孩子不熟悉，所以老師就找因為是新接的四年級

23、班，對孩子不熟悉，所以老師就找她問話：她問話：“告訴我，你為什么這么列式？告訴我，你為什么這么列式？” “老師，我錯了老師，我錯了”。 “好的，告訴我，你認為正確的該怎么列式？好的，告訴我，你認為正確的該怎么列式？” “除。除?！?“怎么除？怎么除？” “大的除以小的。大的除以小的?！?“為什么是除呢？為什么是除呢？” “老師，我又錯了。老師，我又錯了。” “你說，對的該怎樣做呢？你說，對的該怎樣做呢？” “應(yīng)該把它們加起來。應(yīng)該把它們加起來。” 看來，這位學(xué)生是在瞎猜，只要老師重復(fù)問一看來，這位學(xué)生是在瞎猜，只要老師重復(fù)問一句，她就習(xí)慣性地說自己錯了，接著拿另一種計算句，她就習(xí)慣性地說自己錯

24、了，接著拿另一種計算方法來搪塞。顯然，她沒有學(xué)會分析，她知道加、方法來搪塞。顯然，她沒有學(xué)會分析，她知道加、減、乘、除肯定有一種是適合這道題目的，這也是減、乘、除肯定有一種是適合這道題目的，這也是在許多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生中常見的現(xiàn)象。在許多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生中常見的現(xiàn)象。 于是，老師又對她說：于是，老師又對她說： “我們換一道題目，比如你每天吃兩個大餅，我們換一道題目，比如你每天吃兩個大餅，5天吃幾個大餅？天吃幾個大餅？” 老師認為這道題她應(yīng)該會做，因為其結(jié)構(gòu)與前老師認為這道題她應(yīng)該會做，因為其結(jié)構(gòu)與前面的題目一樣，都是每份數(shù)、份數(shù)、與總數(shù)的關(guān)系，面的題目一樣，都是每份數(shù)、份數(shù)、與總數(shù)的關(guān)系，

25、引導(dǎo)學(xué)生遷移一下就可以了。引導(dǎo)學(xué)生遷移一下就可以了。 “老師，我早上不吃大餅的。老師，我早上不吃大餅的。” “那你吃什么？那你吃什么？” “我經(jīng)常吃粽子我經(jīng)常吃粽子”。 “好，那你每天吃好，那你每天吃2個粽子，個粽子，5天吃幾個粽子？天吃幾個粽子？” “老師，我一天根本吃不下兩個粽子。老師，我一天根本吃不下兩個粽子。” “那你能吃幾個粽子？那你能吃幾個粽子？” “吃半個就可以了。吃半個就可以了?！?“好，那你每天吃半個（小數(shù)乘法沒學(xué)）粽子，好，那你每天吃半個（小數(shù)乘法沒學(xué)）粽子，5天吃幾個粽子？天吃幾個粽子？” “兩個半。兩個半?！?“怎么算出來的怎么算出來的?” “2天一個，天一個，5天兩個

26、半。天兩個半?！?這位學(xué)生的問題在哪里這位學(xué)生的問題在哪里? -俞正強：不讓一個學(xué)生落后俞正強：不讓一個學(xué)生落后從四個數(shù)學(xué)準(zhǔn)備性從四個數(shù)學(xué)準(zhǔn)備性學(xué)習(xí)案例談學(xué)生群體學(xué)習(xí)質(zhì)量的提高，人民教育，學(xué)習(xí)案例談學(xué)生群體學(xué)習(xí)質(zhì)量的提高，人民教育，20072007，7 74.3 教給學(xué)生分析應(yīng)用題的方法教給學(xué)生分析應(yīng)用題的方法o 列表法列表法o 圖象法圖象法o 分析法分析法o 數(shù)量關(guān)系法數(shù)量關(guān)系法 案例：案例：怎樣分析解決問題怎樣分析解決問題4.4 一題多解并不難。一題多解并不難。 案例案例多個方程多個方程4.5 引導(dǎo)學(xué)生自編應(yīng)用題。引導(dǎo)學(xué)生自編應(yīng)用題。 案例案例 小學(xué)小學(xué)五、讓解決問題融于平時課堂五、讓解決

27、問題融于平時課堂5.1 少解習(xí)題少解習(xí)題 多做問題多做問題 教好第一次教好第一次5.2 充分地發(fā)展數(shù)學(xué)思想充分地發(fā)展數(shù)學(xué)思想重點重點:模型思想模型思想代數(shù)：代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)代數(shù)：代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)幾何：基本圖形幾何：基本圖形統(tǒng)計：池塘中的魚統(tǒng)計：池塘中的魚 案例：案例：統(tǒng)計的教學(xué)統(tǒng)計的教學(xué)、中考題中考題5.3 讓課堂充滿問題解決讓課堂充滿問題解決問題意識問題意識以問題解決的方式組織教學(xué)以問題解決的方式組織教學(xué) 案例：案例：勾股定理勾股定理5.4 解決問題的主要方式解決問題的主要方式類比類比模仿模仿-多題一解多題一解開普勒開普勒： 我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老

28、我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何中它應(yīng)該是最不容忽師，它能揭示自然界的秘密，在幾何中它應(yīng)該是最不容忽視的。視的。類比：發(fā)現(xiàn)具有性質(zhì)類比：發(fā)現(xiàn)具有性質(zhì)ABC的事件都具有性質(zhì)的事件都具有性質(zhì)D，設(shè)想所有，設(shè)想所有 具有性質(zhì)具有性質(zhì)ABC的事件都具有性質(zhì)的事件都具有性質(zhì)D 。類比：由兩個對象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們在類比：由兩個對象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們在 其他性質(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式。其他性質(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式。案例：案例： 糖水加糖變甜了糖水加糖變甜了 用用“糖水加糖變甜了（糖水未飽和）糖水加糖變甜了（

29、糖水未飽和）”的現(xiàn)實情境中提煉出一個數(shù)學(xué)命的現(xiàn)實情境中提煉出一個數(shù)學(xué)命題：真分?jǐn)?shù)不等式題：真分?jǐn)?shù)不等式 ba0，m0 。從下述情景又能提煉出。從下述情景又能提煉出一個什么數(shù)學(xué)命題呢？一個什么數(shù)學(xué)命題呢？（1）將）將3小杯濃度相同的糖水混合成一大杯后，濃度還相同。小杯濃度相同的糖水混合成一大杯后，濃度還相同。（2）將幾杯濃度不盡相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的濃度一定）將幾杯濃度不盡相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的濃度一定比淡的濃而又比濃的淡。比淡的濃而又比濃的淡。（3）取濃度不等的兩杯糖水，它們有一個平均濃度，合在一起后又有一）取濃度不等的兩杯糖水，它們有一個平均濃度，合在一起后又有一

30、個濃度，這兩個濃度哪個大呢？個濃度，這兩個濃度哪個大呢？（4）有）有4杯濃度不等的糖水杯濃度不等的糖水a(chǎn),b,c,d,若若 a比比b濃，濃，c比比d濃，那么濃，那么a與與c混合是混合是不是比不是比b與與d混合濃？混合濃？aba+mb+m請閱讀下面的事實：某校高中一年級有兩個班，請閱讀下面的事實：某校高中一年級有兩個班，教導(dǎo)處工作人員統(tǒng)計期末數(shù)學(xué)考試成績時，計算出每教導(dǎo)處工作人員統(tǒng)計期末數(shù)學(xué)考試成績時，計算出每一個班中男生及格率都比女生的及格率高（計算沒有一個班中男生及格率都比女生的及格率高（計算沒有錯誤），于是得出全年級男生及格率比女生及格率高錯誤），于是得出全年級男生及格率比女生及格率高的結(jié)

31、論。校長聽完他的匯報后，根據(jù)同樣的成績表卻的結(jié)論。校長聽完他的匯報后，根據(jù)同樣的成績表卻得出全年級女生及格率比男生及格率高的相反結(jié)論。得出全年級女生及格率比男生及格率高的相反結(jié)論。事實證明校長是對，工作人員感到費解。事實證明校長是對，工作人員感到費解。請通過數(shù)學(xué)方法說服工作人員。請通過數(shù)學(xué)方法說服工作人員。案例：女生及格率問題案例：女生及格率問題方法方法1：舉反例。：舉反例。班級班級甲甲 班班乙乙 班班男女人數(shù)男女人數(shù)男男25人人女女30人人男男29人人女女24人人及格人數(shù)及格人數(shù)23人人27人人17人人14人人及格率及格率92%90%58.6%58.3%男生及格率男生及格率= 100% 10

32、0% = 女生及格率。女生及格率。23+1725+2927+1430+24 設(shè)甲班有男生設(shè)甲班有男生a1人，及格人，及格b1人，女生有人，女生有c1人，及格人，及格d1人；乙班有男生人；乙班有男生a2人，及格人，及格b2人，女生有人，女生有c2人，及格人，及格d2人。按統(tǒng)計，每班的及格率有不等式人。按統(tǒng)計，每班的及格率有不等式 ， 而全年級的男女生及格率分別為而全年級的男女生及格率分別為 , .工作人員的推理是，由工作人員的推理是，由a1b10，a2b20，c1d10，c2d20，有，有方法方法2：5.4 解決問題的主要方式解決問題的主要方式類比類比模仿模仿-多題一解多題一解大類比：大類比：

33、代數(shù)式類比數(shù)代數(shù)式類比數(shù) 分式類比分?jǐn)?shù)分式類比分?jǐn)?shù) 不等式類比方程不等式類比方程 四邊形類比三角形四邊形類比三角形5.4 解決問題的主要方式解決問題的主要方式歸納歸納找規(guī)律找規(guī)律歸納：歸納：在一個集合中，如果觀察到的每一個元素都在一個集合中，如果觀察到的每一個元素都 具有某一個性質(zhì)，則猜想這個集合中的所有具有某一個性質(zhì)，則猜想這個集合中的所有 元素都具有這個性質(zhì)。元素都具有這個性質(zhì)。高斯高斯：用歸納法可萌發(fā)出極漂亮的新的真理。：用歸納法可萌發(fā)出極漂亮的新的真理。 （哥德巴赫猜想、費爾瑪大定理）（哥德巴赫猜想、費爾瑪大定理）5.4 解決問題的主要方式解決問題的主要方式從特殊，簡單開始從特殊，簡單

34、開始 例例 如圖，已知如圖，已知RtABC，C=90，問是否存在這樣的，問是否存在這樣的直線，使得它同時平分三角形直線，使得它同時平分三角形的周長和面積？的周長和面積？6ACB8105.4 解決問題的主要方式解決問題的主要方式正難則反正難則反 例例 設(shè)有甲、乙、丙設(shè)有甲、乙、丙3個小組，現(xiàn)對這個小組，現(xiàn)對這3組人員進組人員進行調(diào)整。第一次丙組不動，甲、乙兩組中的一組調(diào)出行調(diào)整。第一次丙組不動，甲、乙兩組中的一組調(diào)出7人給另一組；第二次乙組不動，甲、丙兩組中的一人給另一組；第二次乙組不動，甲、丙兩組中的一組調(diào)出組調(diào)出7人給另一組；第三次甲組不動，乙、丙兩組人給另一組；第三次甲組不動，乙、丙兩組中

35、的一組調(diào)出中的一組調(diào)出7人給另一組。經(jīng)人給另一組。經(jīng)3次調(diào)整后，甲組有次調(diào)整后，甲組有5人，乙組有人，乙組有13人，丙組有人，丙組有6人。問甲、乙、丙各組原人。問甲、乙、丙各組原來有多少人？來有多少人？5.4 解決問題的真諦解決問題的真諦o怎樣解題表怎樣解題表(波利亞波利亞)弄清問題弄清問題 第一，第一，你必須你必須弄清問弄清問題題未知是什么未知是什么?已知是什么已知是什么?條件是什么條件是什么?滿足條件是否可能滿足條件是否可能?要確定未知，條件是否充分要確定未知，條件是否充分?或者它是否不充分或者它是否不充分?或者是多余的或者是多余的?或者是矛盾的或者是矛盾的?畫張圖，引入適當(dāng)?shù)姆柈嫃垐D，

36、引入適當(dāng)?shù)姆柊褩l件的各個部分分開你能否把它們寫下來把條件的各個部分分開你能否把它們寫下來?擬定計劃擬定計劃 第二，第二，找出已知數(shù)找出已知數(shù)與未知數(shù)之與未知數(shù)之間的聯(lián)系間的聯(lián)系.如果找不出如果找不出直接的聯(lián)系直接的聯(lián)系,你可能不得你可能不得不考慮輔助不考慮輔助問題你應(yīng)問題你應(yīng)該最終得出該最終得出一個求解的一個求解的計劃計劃你以前見過它嗎你以前見過它嗎?你是否見過相同的問題而形式稍你是否見過相同的問題而形式稍有不同有不同?你是否知道與此有關(guān)的問題你是否知道與此有關(guān)的問題?你是否知道一個可能你是否知道一個可能用得上的定理用得上的定理?看著未知數(shù)，試想出一個具有相同未知數(shù)或相似看著未知數(shù)，試想出一

37、個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題未知數(shù)的熟悉的問題這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題你能不能利用它問題你能不能利用它?你能利用它的結(jié)果嗎你能利用它的結(jié)果嗎?你你能利用它的方法嗎能利用它的方法嗎?為了能利用它，你是否應(yīng)該引為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素入某些輔助元素?你能不能重新敘述這個問題你能不能重新敘述這個問題?你能不能用不同的方你能不能用不同的方法重新敘述它法重新敘述它?回到定義去回到定義去擬定計劃 第二，第二，找出已知找出已知數(shù)與未知數(shù)與未知數(shù)之間的數(shù)之間的聯(lián)系聯(lián)系.如果如果找不出直找不出直接的聯(lián)系接的聯(lián)系,你可能不

38、你可能不得不考慮得不考慮輔助問題輔助問題.你應(yīng)該最你應(yīng)該最終得出一終得出一個求解的個求解的計劃計劃如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關(guān)的問題你能不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題關(guān)的問題你能不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題?一個更普遍的問題一個更普遍的問題? 一個更特殊的問題一個更特殊的問題?一個類比的問題一個類比的問題? 你能否解決這個問題的一部分你能否解決這個問題的一部分?僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分這樣對于未僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分這樣對于未知數(shù)能確定到什么程度知數(shù)能確定到什么程度?它會怎樣變化它會怎樣變化?你能不能

39、從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西?你能不能想你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)?如果需要的話，你能如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近?你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)?你是否利用了整個條件你是否利用了整個條件?你是否考慮了包含在問題中的必要的概念你是否考慮了包含在問題中的必要的概念?實現(xiàn)計劃實現(xiàn)計劃 回顧回顧第三，第三，實行你的實行你的計劃計劃實現(xiàn)你的求解計劃，檢驗每一步驟實現(xiàn)你的求解計劃，檢驗每一步驟你能否清楚地看出這一步驟是正確的你能否清楚地看出這一步驟是正確的?你能否證明這一步驟是正確的你能否證明這一步驟是正確的?第四，第四，驗算所得驗算所得到的解到的解你能否檢驗這個論證你能否檢驗這個論證?你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果?你能不能一下子看出它來你能不能一下子看出它來?你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他的問題你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他的問題?浙江省衢州市實驗學(xué)校浙江省衢州市實驗學(xué)校 胡趙云胡趙云有什么話兒，歡迎交流有什