靜電場(chǎng)習(xí)題課14答案

1、E3r>R2 時(shí)，Q2 Q14 二；0 r2靜電場(chǎng)習(xí)題課1.如圖示真空中有兩個(gè)半徑分別為R1和R2的同心導(dǎo)體球殼，設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體球殼上分別帶有凈電荷Q1和Q,外球殼的厚度忽略不計(jì)，并以無窮遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)，試求:(1 )導(dǎo)體球殼內(nèi)、外電場(chǎng)強(qiáng)度E的表達(dá)式；(2)內(nèi)導(dǎo)體球殼(r =R)的電位邛。解：(1)外導(dǎo)體球殼的外表面所帶電荷、外=、2十、1則r<R1 時(shí)，E1 = 0 .Q1R1 < r < R2 時(shí) E 2 =er'4n名0r2.R2Q1 , 11、 Q1 Q2 , 11、Q1Q2R1 ;E2dr - E3dr =()()=(2)尺R24二；0R1R24 二；

2、0R2二4二；oR14二；0R22.真空中有一個(gè)半徑為3cm的無限長(zhǎng)圓柱形區(qū)域內(nèi)， 有體密度P=10 mC/m3均勻分布的電荷。求：r =2cm, r =3cm, r = 4cm處的電場(chǎng)強(qiáng)度E。解：利用高斯定理，設(shè)R為圓柱形區(qū)域的半徑,sE-dS = sL當(dāng)r <3cm寸,E - o.萬向沿e叨向；2 0R2 D當(dāng)r>3cm時(shí),E= 萬向沿e叼向。2；0r所以r=2cm, E1 = 1.13 107v/mr=3cm, E2=1.69 107v/mr=4cm, E3=1.27 107v/m3.內(nèi)導(dǎo)體半徑為2cm和外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為的電介質(zhì)。設(shè)外導(dǎo)體接地，而內(nèi)導(dǎo)體帶電,試求電容器介質(zhì)內(nèi)某

3、點(diǎn)電位為內(nèi)導(dǎo)體電位的解:半時(shí)，該處的名值。D.dS =QsQD =4二 r24二；r2，沿徑向E內(nèi)導(dǎo)體的電位:0.04 Q=0.02 8二 rdrQ ln 2設(shè)ro處電位邛1= r00.04 Q drQ 0.048 二 r0中=2=中1ln2ln °.04ro=0.02、2mro=-=50 2F/m0.02 24.一同軸線內(nèi)圓柱導(dǎo)體半徑為 P,一a,外圓柱導(dǎo)體半徑為 b,其間填充相對(duì)介電常數(shù) %=的介a質(zhì)，當(dāng)外加電壓為 U(外導(dǎo)體接地)時(shí)，試求:(1)介質(zhì)中的電通密度(電位移)D和電場(chǎng)強(qiáng)度E的分布;(2)介質(zhì)中電位平的分布;解：(1)由高斯通向定理3e：, (b - a)EabU(b

4、- a)：24cm的球形電容器，其間充滿介電常數(shù)s = -F/mrabU 11言（一 1）（以外導(dǎo)體為電位參考點(diǎn)）5.圖示空氣中一輸電線距地面的高度h=3m,輸電線的半徑為 a=5mm,輸電線的軸線與地面平行，旦對(duì)地的電壓為U =3000V，試求地面上感應(yīng)電荷分布的.一_ _ _ _ 12 _規(guī)律。（；0 =8.85 10- F m）h=b。解：7 h» a,則可認(rèn)為電軸近似的放在輸電線的軸線上，即 若以地面為電位參考點(diǎn)，則,2h- a , 2ha =lnIn 3000V2 0 a 2 0 a2二；0= -*3000 = ,2hIn - a_122 3.14 8.85 10 一,60

5、00 ln53000=23.5 10-9C/mEi = E2 =2 二。:p = Jh2 x2En = 2d 1cos020 ：h22、二 0 (h x )3 23.5.9 2-0 En =10 C / m29 x26.已知半徑為R的無限長(zhǎng)中空半圓柱面，均勻帶電，電荷面密度為仃0，則在其軸線上產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為Ey = - -ey 0 一個(gè)帶有均勻分布的電荷體密度為二；0R問它在軸線上產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度是多少?解：可將圓柱分為許多厚度為仃0 = p 0dr的半圓柱面，則距軸線半徑為 半圓柱面在軸線上產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為P0的半圓柱，半徑也為dr,其面密度 r的dEy 二'drey二；0整個(gè)半圓柱

6、產(chǎn)生的總電廠強(qiáng)度為R： Rey dr =0 ey0二；07 .下圖所示空氣中一根長(zhǎng)直細(xì)導(dǎo)線（截面可忽略不計(jì)），單位長(zhǎng)度所帶電荷量為 T,平行放置于一塊無限大導(dǎo)體平板上方，并與一塊半無限大瓷介質(zhì) =4%）相鄰，且已知長(zhǎng)直細(xì)導(dǎo)線到導(dǎo)體平板與瓷介質(zhì)的距離均為d,畫出求解空氣中電場(chǎng)時(shí)，所需鏡像電荷的個(gè)數(shù)、大小和位置（不要求解出電場(chǎng)）,l °n-43解：”=三=七=-T；3- ； 4； 0+4 ； 05半無限大瓷介質(zhì)do無限大導(dǎo)體平板8 .長(zhǎng)直圓柱形電容器內(nèi)外導(dǎo)體的半徑分別為R1、R ,其間充滿介電常數(shù)分別為 名1、生的兩種介質(zhì)，其分界面是半徑為 R2的圓柱面，若內(nèi)導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電荷量+Q,外

7、導(dǎo)體內(nèi)表面單位長(zhǎng)度所帶電荷量 -Q,且外導(dǎo)體接地，如圖所示，請(qǐng)寫出兩種介質(zhì)區(qū)域內(nèi)電位函數(shù)所滿足的微分方程和邊界條件。解："2 1=0,R2、2 2 = 0, R2M = R3iQi:=Ri 2二 Ri中 2 P =3=0 3中 口一中 0f一1一F P ：=R22 2。1 P = R2 - 2 P = R2=R29 .圖示真空中有一半徑為 a的長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體，其軸線離地面的高度為h,圓柱導(dǎo)體與地面之間接有恒定電壓源 U0o若忽略端部的邊緣效應(yīng)，并以地面為電位參考點(diǎn)，試求：(1)圓柱導(dǎo)體與地面之間區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度E和電位中的表達(dá)式;(2)系統(tǒng)的單位長(zhǎng)度電容 Coo9.解:(1)應(yīng)用鏡像法與

8、電軸法A )ln 2 二；0:?ib h - a ln 2二 0 b - h aUoU o2二；c , b h - a 0 In b - h aT-TE ；-二e ：1 e ：22 二；0：i2 二；0%lnU0m;ln,b h - aIn b - h a2二；0.b h - aIn b - h aT T2 C0 = Ua aU 0 ep1 _ ep2b+h-apd Pc,In'12 'b - h a：io10 .內(nèi)導(dǎo)體半徑為2cm和外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為4cm的球形電容器，其間充滿介電常數(shù)2，人，皿，一一、，w = fF/m的電介質(zhì)。設(shè)外導(dǎo)體接地，而內(nèi)導(dǎo)體帶電，試求電容器介質(zhì)內(nèi)某點(diǎn)

9、電位為內(nèi)導(dǎo) r4二 r2Q4二；r2體電位的一半時(shí)，該處的 6值。解：以r為半徑作高斯球面D&S = Qs沿徑向E = 8二 r內(nèi)導(dǎo)體的電位： =0.04dr = ln 20.02 8二 r8二0.04 Q , Q , 0.04 設(shè)處電位=dr=ln r0 8二 r8 二r0一=2= 1n 20 = 0.02、. 2m1. 0.041Inr。2-=-=50 2F/m0.02% 2x2 u _一11.已知真空中靜電場(chǎng)的電位 (x) =+ xV ,求電場(chǎng)強(qiáng)度的分布及電荷體密度P。0 d石中<9y U )11.斛：E=V*=含=十一 ex V/mexI 60 d J_FEx'&

10、#39;2 '-P=VgD =-%VgE = =-2C/m2縱0o Jd12.自由空間有三塊尺寸相同的薄金屬板平行放置，1、2板和2、3板之間的距離均為 d2已知：1、3板間電壓為U0,金屬板2帶的電荷面密度為 仃，如圖5所示。用電位函數(shù)的邊值問題求金屬板間電位分布，以及1板和3板上的電荷面密度，(設(shè)1板接地，且忽略端部 的邊緣效應(yīng))。12.設(shè)1、2板間電位1,2、3板間電位2d2 1dx2=02一.：=2d2 2dx2=0-Cpd 2di dxqdx x1 : c1x c22 : c3x c4 c2 = 0,c1U 0二U 07一 十 , C3=,C4 =d2。 d2。U02；0)x

11、,2=(U0二、二 d 一）一 2；02；0,To 二；-1 = ；0(1) =- 2:x d 2；0（ 一0U 013. 一個(gè)半徑為R介質(zhì)球，介電常數(shù)為K乞,球內(nèi)的極化強(qiáng)度 P= ey,其中K為常數(shù)。計(jì)算:1 ）束縛電荷體密度和面密度;2）自由電荷密度；3）球內(nèi)、外的電場(chǎng)和電位分布。13.解:(1 )介質(zhì)內(nèi)的束縛電荷體密度為1 d 2cp = _ |_P =r 2Pr =r2 dr1 d , 2 (r2 )=r2 dr rKr2在二 R的球面上，束縛電荷面密度為=P& = Pr rK=R R1(2)由于-D =,oE + P,所以E上一 0由此可得到介質(zhì)球內(nèi)的自由電荷體密度為K；一

12、；0 r21 d 21 d 2-= Dr2Dr =r2Pr =r2 dr； - ； 0 r2 dr總的自由電荷MK R 14二 RKq =7 d = -4- r2dr :s一；0 0 r2； - ； 0(3)介質(zhì)球內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為E1 =二 er(r R)；- 0(； - ； 0)r- qRK ,E2 = erer(r R)4二；0r20( - 0)r2介質(zhì)球內(nèi)、外的電位分別為PKl R二R K二 RK1=E dl =E1drE2dr =dr drrrRr (； - ； 0)rR 0(； - ； 0)r2K , R K二ln - (r 三 R)(；-；。)r0(-0)RKRK2=E2dL

13、RKdr =RK(r - R)rr 0( -0)r20(- 0)r14.空氣中有一內(nèi)外半徑分別為a和b的帶電介質(zhì)球殼，介質(zhì)的介電常數(shù)為s ,介質(zhì)內(nèi)有電荷A 密度為p= 的電荷分布其中系數(shù) A為常數(shù)，求總電荷及空間電場(chǎng)強(qiáng)度、電位的分布。若b a a ,結(jié)果如何？A(r - a) A(b - a)14 . q = 4二 A(b - a) Ei =' /a, E2 =-err2；or215 .半徑為R的空心球金屬薄殼內(nèi)，有一點(diǎn)電荷q,離球心距離為 b, b<R。設(shè)球殼為中性，即殼內(nèi)外表面總電荷為零，求殼內(nèi)外的電場(chǎng)。解：點(diǎn)電荷q在殼內(nèi)16 .半徑為a的球形導(dǎo)體薄殼內(nèi)、外分別充滿著介電常數(shù)為名、即的均勻介質(zhì),已知離球心r遠(yuǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度E的分布為八一4 一一 一E=!Ar：r式中A為常數(shù)。求：Ar err a1導(dǎo)體球殼內(nèi)、外介質(zhì)中的電荷體密度 Rr)2導(dǎo)體球殼表面上的電荷面密度仃提示:1 ：