隨機(jī)振動的響應(yīng)分析學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1隨機(jī)振動的響應(yīng)分析隨機(jī)振動的響應(yīng)分析第一頁，共55頁。7-1 單輸入(shr)單輸出的線性系統(tǒng) 7-2 多輸入(shr)多輸出的線性系統(tǒng)第1頁/共55頁第二頁，共55頁。本章討論機(jī)械或結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(jl)作用下，激勵(jl)系統(tǒng)響應(yīng)三者之間的關(guān)系。系統(tǒng)有線性與非線性之分。大量工程問題，線性模型可得到逼真的結(jié)果(ji gu)。本課程只討論線性系統(tǒng)問題。隨機(jī)激勵(jl)分兩類：參數(shù)激勵(jl)與非參數(shù)激勵(jl)參數(shù)激勵(jl)：系統(tǒng)本身的某些參數(shù)(如質(zhì)量、剛度、阻尼等)隨時間隨機(jī)地變化而引起振動。非參數(shù)激勵(jl)即由外界施加的激勵(jl)。非參數(shù)激勵(jl)又分為平穩(wěn)的和非平穩(wěn)的

2、兩類。本章研究常參數(shù)線性系統(tǒng)對平穩(wěn)隨機(jī)激勵(jl)的響應(yīng)第2頁/共55頁第三頁，共55頁。當(dāng)系統(tǒng)的激勵(輸入)是平穩(wěn)過程時，由于常參數(shù)的假設(shè)，系統(tǒng)的響應(yīng)(輸出(shch)也一定是平穩(wěn)的。對于一個常參數(shù)線性系統(tǒng)，它往往可能在不同位置上同時受到激勵(jl)，即有多個輸入；其響應(yīng)也可能有很多個，而且不同位置處的響應(yīng)也不同。對于(duy)線性系統(tǒng)來說，多輸入與多輸出問題可以在單輸入與單輸出問題的基礎(chǔ)上應(yīng)用疊加原理得到解決第3頁/共55頁第四頁，共55頁。對于確定性振動，激勵與響應(yīng)之間的關(guān)系，一般(ybn)用微分方程來描述，方程的非齊次項是確定的，初始條件也是確定的，因此響應(yīng)也是確定的。在隨機(jī)振動中，一

3、般激勵與響應(yīng)都必須用概率統(tǒng)計的方法來描述。在激勵與系統(tǒng)特性已知的情況下，只能求出響應(yīng)的一些統(tǒng)計特征，如期望（均值）、相關(guān)(xinggun)函數(shù)、功率譜密度、均方值等。第4頁/共55頁第五頁，共55頁。7-1 7-1 單輸入單輸入(shr)(shr)單輸出的線性系統(tǒng)單輸出的線性系統(tǒng)假定常參數(shù)線性系統(tǒng)只受到一個輸入x(t)的作用，其相應(yīng)(xingyng)的響應(yīng)(輸出)為y(t)，如圖所示。常參數(shù)線性振動系統(tǒng)常參數(shù)線性振動系統(tǒng)y(t)Output (response)輸出（響應(yīng)）輸出（響應(yīng)）x(t)Input (excitation)輸入（激勵）輸入（激勵）本章研究輸入、輸出和系統(tǒng)動態(tài)特性三者之間的

4、關(guān)系，以及計算(j sun)響應(yīng)（輸出）的統(tǒng)計特征的方法第5頁/共55頁第六頁，共55頁。設(shè)x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的一個樣本函數(shù)則系統(tǒng)輸出(shch)y(t) 是另一平穩(wěn)隨機(jī)過程Y(t)的一個樣本函數(shù)設(shè)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)，則頻率響應(yīng)函數(shù)是H()。常參數(shù)線性振動系統(tǒng)常參數(shù)線性振動系統(tǒng)y(t)Output (response)輸出（響應(yīng)）輸出（響應(yīng)）x(t)Input (excitation)輸入（激勵）輸入（激勵）一、響應(yīng)(xingyng)的均值對于輸入的一個樣本函數(shù)，由卷積積分公式(gngsh)，可得輸出的一個樣本函數(shù)( )() ( )dy tx th第6頁/共55頁第七頁，共

5、55頁。( )() ( )dy tx th設(shè)想對于輸入中的每個樣本函數(shù)，都可按上式寫出其對應(yīng)的輸出的樣本函數(shù)。于是(ysh)，可得到輸出的集合平均為: ( )() ( )dE Y tEX thdhtXEtYE)()()(xtXEtXE)()(dhtYEx)()(dehHj)()(0dhH)()0( 第7頁/共55頁第八頁，共55頁。輸入與輸出(shch)均值的關(guān)系式為： ( )= (0)YXE Y tHdhtYEx)()(dhH)()0(H(0)是一個常數(shù)，它表示輸入X(t)與輸出Y(t)中，頻率(pnl)=0這一成分（即直流分量）之間的傳遞關(guān)系。)()()0(txtyH直流分量(fn lin

6、g)第8頁/共55頁第九頁，共55頁。上式表明，當(dāng)輸入是平穩(wěn)過程時，輸出的均值與輸入的均值只差一個乘子H(0)。若輸入的均值為零，則輸出的均值也一定為零。此結(jié)論可以推廣(tugung)到多輸入與多輸出的情形。 ( )=(0)YXE Y tH第9頁/共55頁第十頁，共55頁。輸出過程Y(t)的自相關(guān)函數(shù)(hnsh)定義為: ( ) ()E Y t Y t第10頁/共55頁第十一頁，共55頁。上式為輸出的自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系式。該式說明，對于常參數(shù)線性系統(tǒng)，若激勵是平穩(wěn)隨機(jī)過程，則響應(yīng)(xingyng)的自相關(guān)函數(shù)與自然時間無關(guān)，也一定是平穩(wěn)的隨機(jī)過程。則響應(yīng)(xingyng)的自相關(guān)函數(shù)可表示為

7、:122112( ) ( ) ()=( ) ()()d dYXRE Y t Y thhR 第11頁/共55頁第十二頁，共55頁。對輸出的自相關(guān)函數(shù)作傅立葉變換(binhun)，便得到響應(yīng)的自功率譜密度SY()為三、響應(yīng)的自功率三、響應(yīng)的自功率(gngl)譜密度函數(shù)譜密度函數(shù)變換(binhun)積分次序，并重新排列jj122112( )( ) ( ) ()()d dd YYXSRedehhR 1221jj1122j2121ddY()XS ()h()edh()eR ()e() 第12頁/共55頁第十三頁，共55頁。令=-1+2，由維納辛欽關(guān)系式知，最后一個積分就是(jish)激勵X(t)的自譜密度

8、： j( )( )dXXSRe第二個積分就是脈沖響應(yīng)函數(shù)h(2)的傅立葉變換(binhun)，即頻率響應(yīng)函數(shù)H()。2j22( )()dHhe1221jj1122j2121ddY()XS ()h()edh()eR ()e() 第13頁/共55頁第十四頁，共55頁。前兩個積分的不同在于指數(shù)(zhsh)中的正負(fù)號的差別。經(jīng)處理(chl)后得隨機(jī)輸入與輸出的自譜密度關(guān)系式:上式是隨機(jī)振動理論中一個極其重要的公式，指出了輸入、輸出與系統(tǒng)動態(tài)(dngti)特性三者之間的關(guān)系。 1221jj1122j2121ddY()XS ()h()edh()eR ()e() 111)()()(dehHHj2( )( )

9、( )( )( )( )YXXSHHSHS第14頁/共55頁第十五頁，共55頁。上式表明，若已知系統(tǒng)的增益(zngy)因子|H()|和輸入的自譜密度SX()，則可確定輸出的自譜密度SY()。事實上，若已知SX() 、|H()|和SY() 三者中的任意兩個，就可以確定第三個。此外(cwi)，響應(yīng)的自譜密度是與系統(tǒng)的相位因子無關(guān)的。2( )( )( )( )( )( )YXXSHHSHS第15頁/共55頁第十六頁，共55頁。已知響應(yīng)的自譜密度(md)SY()，則可計算出響應(yīng)的均方值EY2: 21(0)( )d2YYE YRS四、響應(yīng)四、響應(yīng)(xingyng)的均方值的均方值將隨機(jī)輸入與輸出(shc

10、h)的自譜密度關(guān)系式代入上式2221( )( )d2YXE YHS注意：當(dāng)均值為零時，均方值就等于方差。22YY第16頁/共55頁第十七頁，共55頁。在輸入為理想白噪聲的情況下，由于(yuy)輸入的自譜密度對于所有的頻率都是常數(shù)，則響應(yīng)的均方值公式可得到簡化:220( ) d2YSH只要計算(j sun)出如下的廣義積分I值，便可求得響應(yīng)的均方值：2( ) dIH2221( )( )d2YXE YHS第17頁/共55頁第十八頁，共55頁。由互相(h xing)關(guān)函數(shù)的定義，可得激勵與響應(yīng)之間的互相(h xing)關(guān)函數(shù):( )( ) ()( )( )()d ( ) ( )()d( )()dXY

11、XRE X t Y tE X thX thE X t X thR五、激勵五、激勵(jl)與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)常參數(shù)線性系統(tǒng)在受到平穩(wěn)隨機(jī)輸入時，激勵與響應(yīng)之間的互相關(guān)函數(shù)正好等于(dngy)脈沖響應(yīng)函數(shù)與輸入自相關(guān)函數(shù)的卷積( )() ( )dy tx th( )( )()dXYXRhR第18頁/共55頁第十九頁，共55頁。對互相關(guān)函數(shù)(hnsh)表達(dá)式作傅立葉變換，便可得到激勵與響應(yīng)之間的互功率譜密度。六、激勵與響應(yīng)六、激勵與響應(yīng)(xingyng)的互譜密度的互譜密度jjj-( )( )d =( ) ()d ( )()d d XYXYXSRehRdehRe 與前面計算響應(yīng)自譜

12、相似(xin s)的方法，將上式改寫為：jj()( )( )d()d() XYXSheRe ( )( )()dXYXRhR第19頁/共55頁第二十頁，共55頁。上式第一個積分是頻率響應(yīng)函數(shù)H()，第二個積分就是激勵(jl)X(t)的自譜密度SX()( )( )( ) XYXSHS上式表明：輸入與輸出之間的互譜密度等于系統(tǒng)的頻率響應(yīng)(pn l xin yn)函數(shù)與輸入自譜密度函數(shù)的乘積。通過該式可完整地確定系統(tǒng)的頻率特性H()。jj()( )( )d()d() XYXSheRe 第20頁/共55頁第二十一頁，共55頁。由于(yuy)H()是復(fù)數(shù)，它可表示為:( )( )j ( )HAB則互譜密度

13、可以(ky)表示為:( ) ( )j ( )( )XYXSABS由于(yuy)SX()是實偶函數(shù)，則互譜密度函數(shù)可表示為：( )( )( )( )( )arctg( )XYXXYBSHSA第21頁/共55頁第二十二頁，共55頁。上式表明：互譜密度的幅值等于系統(tǒng)(xtng)的增益因子與 輸入自譜的乘積互譜密度的幅角又等于系統(tǒng)(xtng)的相位因子。( )( )( )( )( )arctg( )XYXXYBSHSA第22頁/共55頁第二十三頁，共55頁。七、相干七、相干(xinggn)函數(shù)函數(shù)22( )( )( )( )XYXYXYSSS系統(tǒng)輸入與輸出的譜相干函數(shù)(hnsh)（又稱凝聚函數(shù)(hns

14、h)）可通過下式來定義：SX()和SY()皆為實函數(shù)(hnsh)，故相干函數(shù)(hnsh)必為實函數(shù)(hnsh)?？梢宰C明，對于所有頻率，相干函數(shù)滿足以下不等式：20( )1XY第23頁/共55頁第二十四頁，共55頁。當(dāng)輸入與輸出互不相關(guān)(xinggun)時，有RXY()=0，從而互譜密度SXY()=0，于是由定義知相干函數(shù)也等于零。對于線性系統(tǒng)，存在(cnzi)下列關(guān)系2( )( )( )( )( )( )YXXYXSHSSHS在線性系統(tǒng)的假設(shè)(jish)下，輸入輸出線性相關(guān)，有22222( )( )( )( )1( )( )( )( )( )XYXXYXYXXSHSSSSHS第24頁/共55

15、頁第二十五頁，共55頁。輸入輸出互不相關(guān)時，相干函數(shù)的值等于0；輸入輸出線性相關(guān)時，相干函數(shù)等于1。相干函數(shù)的值在0與1之間。如果(rgu)相干函數(shù)值大于零但小于1，為以下三種情況之一 聯(lián)系輸入(shr)X(t)和輸出Y(t)的系統(tǒng)是非線性的(2) 測量(cling)中有外界噪聲干擾(3) 輸出Y(t)是輸入X(t)和其它輸入的綜合輸出。第25頁/共55頁第二十六頁，共55頁。j0( )tx tx e如圖所示的單輸入線性系統(tǒng)，假定只在輸出(shch)測量中混有噪聲，則實測得到的輸出(shch)Z(t)是真實輸出(shch)Y(t)與噪聲干擾N(t)之和。( )( )( )Z tY tN tN(

16、t)Z(t)H()X(t)Y(t)只討論一種存在(cnzi)噪聲干擾的情況：第26頁/共55頁第二十七頁，共55頁。假定X(t)與N(t)皆是均值為零的平穩(wěn)隨機(jī)(su j)過程，且N(t)與X(t)和Y(t)都是不相關(guān)的，則有：0)()()()(YNNYXNNXRRRR)()()()()()()()()()(XYXNXYXZRRRtNtXtYtXEtZtXER輸入(shr)與實測輸出之間的互相關(guān)函數(shù)：故有:)()(XYXZSS第27頁/共55頁第二十八頁，共55頁。實測輸出(shch)的自相關(guān)函數(shù))()()()()()()()()()()()()(NYNNYYNYZRRRRRRtNtYtNtY

17、EtZtZER實測輸出(shch)的自譜密度)()()(NYZSSS第28頁/共55頁第二十九頁，共55頁。輸入X(t)與實測(sh c)輸出Z(t)的譜相干函數(shù):( )( )( )( )( )XZXYZYNSSSSS22( )( )( )( )XZXZXZSSS得到(d do)222Z2( )( )( )1( )( )( )( )XXXXNHSSHSS將互譜密度(md)與自譜密度(md)式代入上式，并結(jié)合下式2( )( )( )( )( )( )XYXYXSHSSHS第29頁/共55頁第三十頁，共55頁。上式表明：在有噪聲(zoshng)干擾的情況下，輸入與實測輸出的譜相干函數(shù)將小于1。因此

18、，對于線性系統(tǒng)，可借助相干函數(shù)值來判斷干擾影響的大小。)()()()()()()(XXZXXYXZSSHSHSS此外(cwi)：雖輸出中含有干擾，但通過(tnggu)實測信號的互譜密度以及輸入信號的自譜密度可以精確的獲得系統(tǒng)的頻響特征222Z2( )( )( )1( )( )( )( )XXXXNHSSHSS第30頁/共55頁第三十一頁，共55頁?？紤]某一具有m個輸入Xi(t) (i=1,2, m)和n個輸出Yk(t) (k=1,2, n)的常參數(shù)系統(tǒng)，假定(jidng)每個輸入Xi(t)都是平穩(wěn)的隨機(jī)過程。( ), 1,2, kihtim在系統(tǒng)有m個輸入Xi(t)的情況下，對應(yīng)于每一個(y

19、)輸出Yk(t)，有m個脈沖響應(yīng)函數(shù)：第31頁/共55頁第三十二頁，共55頁。對于(duy)n個輸出，則共有nm個脈沖響應(yīng)函數(shù)，脈沖響應(yīng)以矩陣形式可表示為：111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )mmnnnmhthththththth thththt矩陣中各元素均加以兩個腳標(biāo)第一個腳標(biāo)k(k=1,2, n)表示(biosh)k處的響應(yīng)(輸出)；第二個腳標(biāo)i(i=1,2, m)表示(biosh)i處的激勵 (輸入)第32頁/共55頁第三十三頁，共55頁。頻率響應(yīng)(pn l xin yn)函數(shù)是脈沖響應(yīng)函數(shù)的傅立葉變換，因此，圖示系統(tǒng)共有nm個頻率響應(yīng)(

20、pn l xin yn)函數(shù)，頻率響應(yīng)(pn l xin yn)矩陣H()可表示為111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )mmnnnmHHHHHHHHHH第33頁/共55頁第三十四頁，共55頁。已知系統(tǒng)的激勵和動態(tài)特性，便可確定(qudng)系統(tǒng)響應(yīng)的各個統(tǒng)計特征。m個輸入和n個輸出 可以(ky)表示為1122( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )mnX tY tXtY tX tY tXtY t一、響應(yīng)一、響應(yīng)(xingyng)的均值的均值對于線性系統(tǒng)，每一個輸出Yk(t) (k=1,2, n)都可以由對應(yīng)于每個獨立輸入的響應(yīng)Yki(t

21、) (i=1,2, m)疊加而成，如圖所示。第34頁/共55頁第三十五頁，共55頁。121( )( )( )( )( )mkkkkmkiiY tYtYtYtYt假定各個(gg)輸入Xi(t)都是平穩(wěn)的隨機(jī)過程，則有iXXEi常數(shù)(chngsh)第35頁/共55頁第三十六頁，共55頁。對應(yīng)于每個獨立輸入(shr)(第i個輸入(shr)的響應(yīng)Yki(t)的期望為(0)( )dkiiikiYXkiXkiE YHh11(0) (1,2, )kimmYkkiXkiiiE YE YHknk處總響應(yīng)(xingyng)的期望為寫成矩陣(j zhn)形式：XYH)0(YnYYY21XmXXX2111121212

22、2212(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)mmnnnmHHHHHHHHHH第36頁/共55頁第三十七頁，共55頁。系統(tǒng)的每一個(y )輸出Yk(t)是對應(yīng)于各個獨立輸入的響應(yīng)的疊加：11111( )( )( )()d (1,2, )mmkkikiiiiY tY thX tkn二、響應(yīng)(xingyng)的相關(guān)矩陣系統(tǒng)(xtng)的響應(yīng)以矩陣形式的形式可以表示為下式111( )( )()dY thX t其中Y(t)與X(t)是給出的列陣，而h(1)表示脈沖響應(yīng)矩陣。( ):1( ):( ):1Y tnh tn mX tm第37頁/共55頁第三十八頁，共55頁。111( )

23、( )()dY thX t12( )( )( )( )mX tXtX tXt111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )mmnnnmhthththththth thththt12( )( )( ) ( )nY tY tY tY t11111( )( )( )()d (1,2, )mmkkikiiiiY tY thX tkn第38頁/共55頁第三十九頁，共55頁。222()()()dY thX t對上式進(jìn)行(jnxng)轉(zhuǎn)置得222()()()dTTTYtXthn個輸出的自相關(guān)與互相關(guān)函數(shù)構(gòu)成(guchng)一個nn階的輸出相關(guān)矩陣RY()1 11 212

24、 12 2212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnn nYYYYYYY YY YY YYY YY YY YRRRRRRRRRR():1Y tn():1TYtn第39頁/共55頁第四十頁，共55頁。)()()()(21tYtYtYtYn)()()()(21tYtYtYtYnT上式也可以(ky)下列形式表示寫成111222( ) ( )() ( )()d()()dTYTTRE Y t YtEhX tXth若將該式中兩個積分的乘積改寫成二重積分，并交換(jiohun)求平均與積分的次序，可得 ()(1)n mm(1)()mm n第40頁/共55頁第四十一頁，共55頁

25、。112221121221( )( ) ()()()dd ( )()()ddTTYTXRhE X tXthhRh111222( ) ( )() ( )()d()()dTYTTRE Y t YtEhX tXth該表達(dá)式給出了多輸入(shr)與多輸出系統(tǒng)的輸出相關(guān)矩陣與輸入(shr)相關(guān)矩陣之間的關(guān)系式，其中，輸入(shr)相關(guān)矩陣為:( )( )()TXRE X t Xt第41頁/共55頁第四十二頁，共55頁。系統(tǒng)的n個輸出的自譜與互譜構(gòu)成了一個(y )nn階的輸出功率矩陣SY()。1 11 212 12 2212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnn nYYYY

26、YYY YY YY YYY YY YY YSSSSSSSSSS三、響應(yīng)三、響應(yīng)(xingyng)的的譜矩陣譜矩陣其中(qzhng)矩陣元素為第42頁/共55頁第四十三頁，共55頁。輸出功率矩陣(j zhn)也可以表示成下列表達(dá)式的形式：j( )( )d ( ,1,2, )k lk lY YY YSRek lnj( )( )dYYSRe將輸出(shch)相關(guān)矩陣表達(dá)式代入上式，可得多輸入與多輸出(shch)系統(tǒng)的輸出(shch)功率譜矩陣與輸入功率譜矩陣間關(guān)系式1122j112221jj()j11121222( )( )()()dd d ( )d()d()()d ( )( )( ) TYXTXT

27、XShRheheReheHSH 112221( )()()()ddTYXRhRh()()()nmmmmn第43頁/共55頁第四十四頁，共55頁。其中H()是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)矩陣(j zhn)，HT()是H()的轉(zhuǎn)置矩陣(j zhn)，H()的共軛矩陣(j zhn)為1j11( )()( )dHHhe而輸入(shr)功率譜矩陣為j( )( )dXXSRe1122j112221jj()j11121222( )( )()()dd d ( )d()d()()d ( )( )( ) TYXTXTXShRheheReheHSH )()()()(TXYHSHS第44頁/共55頁第四十五頁，共55頁。系統(tǒng)(xt

28、ng)的m個激勵和n個響應(yīng)構(gòu)成一個mn階互相關(guān)矩陣RXY() 1 11 212 12 2212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnmmm nX YX YX YX YX YX YXYX YX YX YRRRRRRRRRR四、激勵四、激勵(jl)與響應(yīng)的互相關(guān)矩與響應(yīng)的互相關(guān)矩陣陣矩陣的元素為第45頁/共55頁第四十六頁，共55頁。1( )( )()( )( )()d ( 1,2,; 1,2, ) j kmX YjkjkiiiRE Xt Y tE XthX tjmkn矩陣的元素為激勵(jl)與響應(yīng)的互相關(guān)矩陣也可表示為： dhRdhtXtXEdhtXtXEtYtXERT

29、XTTTTTXY)()()()()()()()()()()(第46頁/共55頁第四十七頁，共55頁。系統(tǒng)的m個激勵和n個響應(yīng)(xingyng)構(gòu)成一個mn階的互譜矩陣SXY() 1 11 212 12 2212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnmmm nX YX YX YX YX YX YXYX YX YX YSSSSSSSSSS五、激勵五、激勵(jl)與響應(yīng)的互譜函數(shù)與響應(yīng)的互譜函數(shù)其中(qzhng)，矩陣元素的定義為( )( )d (1,2,; 1,2, )j ki kjX YX YSRejmkn第47頁/共55頁第四十八頁，共55頁。激勵與響應(yīng)的互譜矩陣(j zhn)也可表示為jj()j( )()( )d d ()d()( )d( )( )TXYXTTXXSRheReheSH 類似(li s)地，有下列表達(dá)式成立：)()()(1TYYXHSS)()()()()()(1XTTXSHHHSH)()()(TXXYHSS)()()(*