極限思想的探討

1、引 言 極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想.所謂極限的思想,是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想.極限思想蘊含著豐富的辯證法思想,是唯物辯證法的對立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的完美應(yīng)用,同時也為辯證法論證世界提供了豐富的表現(xiàn)例證.有了極限思想,常數(shù)和變數(shù)、有限和無限、精確和近似、任意和確定、抽象和具體、量變與質(zhì)變、直線與曲線等矛盾問題在這里都得到了完美的科學(xué)體現(xiàn)和辯證的統(tǒng)一.用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對于被考察的未知量,先設(shè)法構(gòu)思一個與它有關(guān)的變量,確認這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計算來得到這結(jié)果. 極限思想作為一種哲學(xué)和數(shù)學(xué)思想,其發(fā)展經(jīng)歷了思想萌芽、

2、理論發(fā)展和理論完善時期.在其漫長曲折的演變歷程中,布滿了眾多哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家們的奮斗足跡,閃爍著人類智慧的光芒.極限理論的形成為微積分提供了理論基礎(chǔ),為人類認識無限提供了強有力的工具,它從方法論上凸顯出來高等數(shù)學(xué)不同于初等數(shù)學(xué)的魅力,是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的一種重要思想和數(shù)學(xué)方法.理清極限思想的發(fā)展過程,熟練掌握極限解題方法,揭示極限思想的核心內(nèi)容與哲學(xué)思想的內(nèi)在聯(lián)系,對理解和解決數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)哲學(xué)史上的一些疑難問題問將有重大的幫助.1 產(chǎn)生與發(fā)展 龐加萊說過：能夠作出數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的人,是具有感受數(shù)學(xué)中的秩序、和諧、對稱、整齊和神秘美等能力的人,而且只限于這種人.一切數(shù)學(xué)概念都來自于社會實踐,經(jīng)過千錘百煉從

3、而被提煉為概念,再經(jīng)過使用、推敲、充實、拓展,不斷完善為經(jīng)典的理論.毫無疑問,極限也是社會實踐的產(chǎn)物. 1.1 極限思想的產(chǎn)生 極限思想的產(chǎn)生可以追溯到古代,戰(zhàn)國時代哲學(xué)家 莊周所著的莊子.天下篇中就有關(guān)于原始的極限思想的應(yīng)用:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”.意思是一尺長的木棒,第一天取去一半,剩下二分之一尺,第二天再取去二分之一尺的一半,剩下四分之一尺.按照這樣的分法分下去,長度越來越小,但無論多小,永遠分不完.也就是說隨著分割的次數(shù)增加,棰會越來越短 ,長度接近于零,但又永遠不會等于零.墨家觀點與惠施不同,提出一個“非半”的命題,墨子說“非半弗,則不動,說在端”.意思是說將一線段按一半一

4、半地?zé)o限分割下去,就必將出現(xiàn)一個不能再分割的“非半”,這個“非半”就是點.墨家有無限分割最后會達到一個“不可分”的思想,名家則有“無限分割”的思想.名家的命題論述了有限長度“無限可分”性,墨家的命題指出了無限分割的變化和結(jié)果.顯然名家和墨家的討論,對數(shù)學(xué)理論的發(fā)展具有巨大推動作用.已反映出極限思想的萌芽,這無疑成為極限概念產(chǎn)生的豐厚的沃土.但從現(xiàn)有的史料來看,這種思想主要局限于哲學(xué)領(lǐng)域,還沒有應(yīng)用到數(shù)學(xué)上,更加談不上應(yīng)用極限的方法來解決數(shù)學(xué)問題.公元3世紀,我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽在注釋九章算術(shù)時創(chuàng)立了有名的“割圓術(shù)”.他創(chuàng)造性地將極限思想應(yīng)用到數(shù)學(xué)領(lǐng)域.所謂割圓術(shù),具體的方法是把圓周分割得越

5、細,內(nèi)接多邊形的邊數(shù)越多,其內(nèi)接正多邊形的周長就越是接近圓周.如此不斷地分割下去,一直到圓周無法再分割為止,當?shù)搅藞A內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限多的時候,它的周長就與圓周幾乎“吻合”,進而完全一致了.劉徽將正多邊形的面積算到了3072邊形,由此求出的圓周率為3.1416,是當時世界上最早也是最準確的數(shù)據(jù).后來祖沖之用這個方法把圓周率的值計算到小數(shù)點后七位,這種對于某個值無限接近的思想就是后來建立極限概念的基礎(chǔ).在國外,古希臘時期也有極限思想.古希臘的巧辯派中有相當一批人對幾何三大問題感興趣.安提芬在研究“化圓為方”的問題時想到用邊數(shù)不斷增加的內(nèi)接正多邊形來接近圓面積,當多邊形的邊數(shù)不斷加倍時內(nèi)接正多

6、邊形與圓周之間存在的空隙就被逐漸“窮竭”,不過沒有具體計算的記載.公元前4世紀,古希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯創(chuàng)立了較嚴格的確定面積和體積的一般方法“窮竭法”,這種方法假定量的無限可分性,并且以下面命題為基礎(chǔ):“如果從任何量中減去一個不小于它的一半的部分,從余部中再減去不小于他的一半的另一部分,等等,則最后將留下一個小于任何給定的同類量的量.”應(yīng)用窮竭法,歐多克斯正確地證明了“圓面積與直徑的平方成正比例”以及“球的體積與直徑的立方成正比例等結(jié)論”.歐多克斯的窮竭法,也已體現(xiàn)出了極限論思想.古希臘最偉大的數(shù)學(xué)家阿基米德巧妙地運用歐多克斯等人的窮竭法,通過嚴密的計算,解決了求幾何圖形的面積、體積、曲線長、計

7、算二值等大量的計算問題.它突破了傳統(tǒng)的有限運算,采用了無限逼近的思想,將需要求積的量分成許多微小單元,再利用另一組容易計算總和的微小單元來進行比較,他的無窮小量概念到17世紀被牛頓作為微積分的基礎(chǔ). 由此,我們可以看到在數(shù)學(xué)無窮思想發(fā)展之初,古人就己在極限領(lǐng)域開創(chuàng)了一個光輝的起點.1.2極限思想的發(fā)展極限思想的進一步發(fā)展是與微積分的建立緊密相連的.16世紀的歐洲處于資本主義萌芽時期,生產(chǎn)力發(fā)展,生產(chǎn)和技術(shù)中大量的問題,只用初等數(shù)學(xué)的方法已經(jīng)無法解決,這就要求數(shù)學(xué)突破傳統(tǒng)常量范圍,來提供能夠用以描述和研究運動、變化過程的新工具,這是促進極限發(fā)展的社會背景.16世紀,荷蘭人斯泰文在考察三角形重心的

8、過程中借助幾何直觀用極限思想思考問題,將極限概念向前推進了一步,但極限思想仍只停留在思想的層面,沒有形成系統(tǒng)的理論體系.進入17世紀,特別是牛頓在建立微積分的過程中,由于極限沒有準確的概念,也就無法確定無窮小的概念,利用無窮小運算時,牛頓做出了自相矛盾的推導(dǎo)：在用“無窮小”作分母進行除法時,無窮小量不能為零；而在一些運算中又把無窮小量看作零,約掉那些包含它的項,從而得到所要的公式,顯然這種數(shù)學(xué)推導(dǎo)在邏輯上是行不通的.那么,無窮小量是零還是非零？這個問題困然牛頓也困擾著與牛頓同時代的眾多數(shù)學(xué)家.真正意義上的極限概念產(chǎn)生于十七世紀,由英國數(shù)學(xué)家約翰瓦里斯提出了變量極限的概念,他認為變量的極限是當變

9、量無限逼近的一個常數(shù),它們的查是一個給定的任意小的量.他的這種描述,把兩個無限變化的過程表述出來,揭示了極限的核心內(nèi)容.約翰的這個表述將極限思想向前做了延伸.到了19世紀,法國數(shù)學(xué)家柯西在前人工作的基礎(chǔ)上,比較完整地闡述了極限概念及其理論,他在分析教程中指出,“當一個變量逐次所取的值無限趨于一個定值,最終使變量的值和該定值之差要多小就多小,這個定值就叫做所有其他值的極限值.特別地,當一個變量的數(shù)值（絕對值）無限地減小使之收斂到極限0,就說這個變量成為無窮小”.柯西把無窮小視為以0為極限的變量,這就澄清了無窮小“似零非零”的模糊認識,這就是說,在變化過程中,它的值可以是非零,但它變化的趨向是“零

10、”,可以無限地接近于零.柯西試圖取消極限概念中的幾何直觀,作出極限的明確定義.但柯西的敘述中還存在描述性的詞語,如“無限趨近”、“要多小就有多小”等,因此還保留著幾何和物理的直觀痕跡,沒有達到徹底嚴密化的程度.德國數(shù)學(xué)家,曾被譽為“現(xiàn)代分析之父”的維爾斯特拉斯提出了極限的定量的定義,給微積分提供了嚴格的理論基礎(chǔ)：“如果對任何,總存在自然數(shù),使得時,不等式恒成立”.這個定義定量地、具體地刻畫了兩個“無限過程”之間的聯(lián)系,排除了以前極限概念中的直觀痕跡,將極限思想轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的語言,用數(shù)學(xué)的方法描述,完成了從思想到數(shù)學(xué)的一個轉(zhuǎn)變,使極限思想在數(shù)學(xué)理論體系中占有了合法的地位.2 極限思想的應(yīng)用2.1

11、極限思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用極限思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想,數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論為主要工具來研究函數(shù)的一門學(xué)科.在數(shù)學(xué)分析中的連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、級數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)等概念都是利用極限思想的方法來定義的.首先,我們引出極限的定義.定義1:設(shè)為數(shù)列,為定數(shù).若對任給的正數(shù),總存在正整數(shù),使得當時有 ,則稱數(shù)列收斂于,定數(shù)稱為數(shù)列的極限,記作 ,或,讀作“當趨于無窮大時,的極限等于或趨于”.例1：證明事實上，當時， 即： ， 當 時， 就有 所以 2.2 微積分與極限極限思想是分析數(shù)學(xué)最基本的概念之一,特別是極限思想貫穿整個微積分的始終.微積分思想的確立,微積分理論

12、的掌握與應(yīng)用,以及數(shù)學(xué)思維的建立都與極限思想的把握有很大關(guān)系.設(shè)質(zhì)點在作直線運動時的運動規(guī)律為,則質(zhì)點在時刻的瞬時速度為： .而平面曲線上過點處的切線斜率為： .問題不同,但在數(shù)學(xué)上的表現(xiàn)卻相同,這我們就可以引出導(dǎo)數(shù)的意義:設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義,若極限 （1）存在,則稱函數(shù)在點處可導(dǎo),并稱該極限為函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù),記作.令,則（1）式可改寫為 （2）所以,導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.這個增量比稱為函數(shù)關(guān)于自變量的平均變化率,而導(dǎo)數(shù)則為在處關(guān)于的變化率.若（1）（或（2）式極限不存在,則稱在點處不可導(dǎo).可見,微分學(xué)的基本概念導(dǎo)數(shù)是用極限來定義的.例 2：設(shè)，試證證: 兩式相減可得因

13、，所以 ，又因為 ，故當，時右端極限為零，原極限獲證.微分學(xué)很多的定理定義都是利用極限的思想直接或間接定義的.首先引出微分的定義.定義2:設(shè)函數(shù)定義在點的某鄰域內(nèi).當一個增量,時,相應(yīng)地得到函數(shù)的增量為 .如果存在常數(shù),使得能表示成 , （3）則稱函數(shù)在點可微,并稱（3）式中的第一項為在點的微分,記作 或 . 定理1:函數(shù)在點可微的充要條件是函數(shù)在點可導(dǎo),而且（3）式中的等于 證明 【必要性】若在點 可微,由（3）式有 .取極限后有 .這就證明了在點可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)等于.【充分性】 若在點可導(dǎo),則在點的有限增量公式 表明函數(shù)增量可表示為的線性部分與較高階的無窮小量之和,所以在點可微,且有 這個定理的

14、證明就充分利用了極限的思想. 微分學(xué)的另一基本概念積分也是用極限來定義的.定義3：設(shè)是定義在區(qū)間上的有界函數(shù),用點將區(qū)間任意分成個子區(qū)間.子區(qū)間及其長度記作.在每個子區(qū)間上任取一點并作和式.如果當最大的子區(qū)間的長度時,和式的極限存在,并且其極限值與的分發(fā)及的取法無關(guān),則稱在區(qū)間上可積,此極限值稱為在區(qū)間上的定積分,記作即定義4:設(shè)為平面上可求長度的曲線段,為定義在上的函數(shù).對曲線作分割,把分成個可求長度的小曲線段,的弧長記為,分割的細度,在上任取一點.若有極限,切的值與分割與點的取法無關(guān),則稱此極限為在上的第一型曲線積分,記作.由上充分體現(xiàn)了極限思想在微積分中無可替代的重要地位,除了以上所述,

15、微積分中還有許多重要的定義也離不開極限思想,極限思想無可爭議的成為了微積分的核心.2.3 極限思想在代數(shù)中的應(yīng)用行列式和矩陣是線性代數(shù)非常重要的內(nèi)容,極限思想作為數(shù)學(xué)研究的重要理論基礎(chǔ),自然而然的被應(yīng)用于行列式的計算以及矩陣的證明.這里我們會做簡單的介紹,從而驗證極限思想研究的重要性.定義5：在矩陣中,設(shè)階矩陣,若矩陣中是關(guān)于變量的函數(shù),則我們稱矩陣為矩陣函數(shù).定義6：在矩陣中,設(shè)階矩陣,為連續(xù)函數(shù),若有,稱矩陣函數(shù)收斂于矩陣,記作或令.例 3 : 設(shè)、為階方陣,則有等式成立（1） 若、都為階可逆矩陣,則,因為、都可逆,則也可逆,所以有：,故.（2） 若時,則,此時有或或、以及都為零矩陣,故有

16、：. （3） 若,時,可知在矩陣中至少有一個元素的代數(shù)余子式不等于零,不妨設(shè)（為中元素的代數(shù)余子式）： 令, ,顯然,當時,此時為可逆矩陣,又因為,所以：由定義6可得：當時,所以,即：即：當時有：.類似可證明當時也有成立.關(guān)于階行列式的計算,有的題目運算比較復(fù)雜不易發(fā)現(xiàn)規(guī)律,有的運算量非常龐大,這時我們就可以適當運用極限的思想來求解.例 4 :特殊行列式 證明:已知 利用數(shù)學(xué)歸納法,當時,；當時,；以此類推,可推測當時, .假設(shè),當時行列式對上式也成立,即：,；當時： 按第一行展開 = = = =故推測等式成立.綜上所述：,時.當時,上述公式不能直接求解,但此時的值仍然存在,可設(shè)為常數(shù),令：可

17、知,為關(guān)于的連續(xù)冪函數(shù),且當時,同樣有： 當,根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有： 即當時,可以驗證,將時展開計算也得到該表達式.所以： 3 極限思想的哲學(xué)意義極限理論的建立,使數(shù)學(xué)擺脫了許多與無窮有關(guān)的悖論的困擾,悖論思想是一種探索性的辯證思維,這種思維的追索可以揭示一個概念、一種學(xué)說中存在的深刻的內(nèi)在矛盾性.極限思想正是在這種悖論思維中得以發(fā)展和完善的.學(xué)習(xí)極限思想對于培養(yǎng)人的思維方法、思維品質(zhì),提高其分析問題和解決問題的能力,形成正確的世界觀和人生價值觀都有極好的作用.極限思想的哲學(xué)意義主要表現(xiàn)在以下幾個方面:（1） 極限思想是變與不變的對立統(tǒng)一.“變”與“不變”反映了事物運動變化與相對靜止的兩種不同

18、狀態(tài),是事物兩種對立的矛盾狀態(tài).辯證唯物主義觀點認為,它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.極限思想的研究提供了“變”與“不變”相互轉(zhuǎn)化的方法和理論依據(jù).使得人們能夠由“不變”認識了“變”,實現(xiàn)了“變”中求得“不變”.因為有了極限的思想和方法,為人們解決事物變化中的問題提供了科學(xué)方法,形成了實用有效的“微元法”.（2） 極限思想是有限與無限的對立統(tǒng)一.有限與無限有著本質(zhì)的不同,但二者又有聯(lián)系,無限是有限的發(fā)展,同時借助極限法,從有限認識無限.例如,在極限式,中對應(yīng)數(shù)列中的每一項,這些不同的數(shù)值既有相對靜止性,又有絕對的運動性.數(shù)列中的每一項和是確定不變的量,是有限數(shù)；隨著無限增大,有限數(shù)向無限接近,正

19、式這些有限數(shù)的無限變化,體現(xiàn)了無限運動的變化過程,這種無限運動變化結(jié)果是數(shù)值.因此在極限思想中無限是有限的發(fā)展,有限是無限的結(jié)果,他們既是對立又是統(tǒng)一的.（3） 極限思想是近似與精確的對立統(tǒng)一.近似與精確在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化,這種轉(zhuǎn)化是理解數(shù)學(xué)運算的重要方法.在極限抽象的概念中,引入“圓內(nèi)接正多邊形面積”,其內(nèi)接多邊形面積的近似值是該圓面積,當多邊形的邊數(shù)無限增大時,內(nèi)接多邊形的面積無限接近于圓的面積,取極限值后就可以得到圓面積的精確值,這就是借助極限法,從近似認識精確.雖然近似與精確是兩個性質(zhì)不同、完全對立的概念,但是通過極限法,建立兩者之間的聯(lián)系,在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.因此,近似與

20、精確既是對立又是統(tǒng)一的.（4） 極限思想是量變與質(zhì)變的對立統(tǒng)一.辯證唯物主義認為,事物是處于不斷變化過程中的,是量變和質(zhì)變的統(tǒng)一.量變是事物發(fā)生變化的前提和準備條件,質(zhì)變是事物變化的必然結(jié)果.當事物的量積累到一定的基礎(chǔ)、達到事物變化的度時就一定發(fā)生質(zhì)變.極限思想生動地詮釋了馬克思主義這一科學(xué)原理.例如對任何一個圓內(nèi)接正多邊形來說,當它邊數(shù)加倍后,得到的還是內(nèi)接正多邊形,是量變,不是質(zhì)變.但是,不斷地讓邊數(shù)加倍,無限地進行下去的時候,多邊形就質(zhì)變?yōu)閳A,多邊形面積就轉(zhuǎn)化為圓的面積.極限的思想方法讓我們從量變認識到了質(zhì)變.（5） 極限思想是過程與結(jié)果的對立統(tǒng)一.過程和結(jié)果在哲學(xué)上是辯證統(tǒng)一的關(guān)系,在

21、極限思想中也充分體現(xiàn)了結(jié)果與過程的對立統(tǒng)一.例如,平面內(nèi)一條曲線上某點的切線斜率為.當曲線上的點無限接近于點的過程中,是變化過程,是變化結(jié)果.一方面,無論曲線上點多么接近點,都不能與點重合,同樣曲線上變化點的斜率也不等于,這體現(xiàn)了過程和結(jié)果的對立性；另一方面,隨著無限接近過程的進行,斜率越來越接近,二者之間有緊密的聯(lián)系,無限接近的變化結(jié)果使得斜率等于了,這體現(xiàn)了過程與結(jié)果的統(tǒng)一性.所以,極限思想是過程與結(jié)果的對立統(tǒng)一.（6） 極限思想是否定與肯定的對立統(tǒng)一.任何事物的內(nèi)部都包含著肯定因素和否定因素,都是肯定方面和否定方面的對立統(tǒng)一.單位圓和它的內(nèi)接正多邊形分別是兩個事物的對立面,內(nèi)接正多邊形是

22、事物對自身的肯定,其中也包含著否定,這種內(nèi)在的否定因素是通過圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)的改變來體現(xiàn)的.隨著圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)逐漸增加到無窮時,內(nèi)接正多邊形的面積轉(zhuǎn)化為圓的面積,促使該事物轉(zhuǎn)化為自己的對立面.由肯定達到自身的否定,這體現(xiàn)了否定與肯定的對立；圓的內(nèi)接正多邊形和圓雖然是兩個對立的事物,但是二者之間有緊密的聯(lián)系,圓內(nèi)接正多邊形的面積可以轉(zhuǎn)化為圓的面積,而圓是通過逐步增加內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)來實現(xiàn)的,從而建立了兩者的聯(lián)系,體現(xiàn)了否定與肯定的統(tǒng)一. 小 結(jié)極限的思想方法作為人類發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題和解決數(shù)學(xué)問題的一種重要手段,它不僅是我們學(xué)習(xí)極限或高等數(shù)學(xué)所必須理解的,也是我們解決數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題所必

23、須掌握的思想方法.它使得局部與整體,微觀與宏觀,過程與狀態(tài),瞬間與階段的聯(lián)系更加明確.使我們既可以居高臨下,從整體角度考慮問題,又可以析理入微,從微分角度考慮問題.它的產(chǎn)生為數(shù)學(xué)的發(fā)展增加了新的動力,使數(shù)學(xué)得以在新的領(lǐng)域不斷開拓新的道路,也使哲學(xué)找到了更多新的用以描述和論證世界的工具.本文從極限的產(chǎn)生與發(fā)展入手，描述了極限思想產(chǎn)生的背景，前進的過程，再到完善。從古代到近代，從國內(nèi)到國外，詳細而簡明的介紹了極限的思想，從而使我對極限的思想有了更深刻的認識。第二部分是極限思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，由于極限思想在數(shù)學(xué)中無處不在，所以本文沒有一一介紹，粗略的從數(shù)學(xué)分析、微積分、代數(shù)等方面介紹了極限思想的重要應(yīng)用，最后介紹了極限思想的哲學(xué)意義，我們都知道任何事物的存在都有它的哲學(xué)意義，極限思想也不例外，本文主要對極限思想的哲學(xué)意義的六個方面進行了淺