湍流的數(shù)學(xué)模型

1、湍流的數(shù)學(xué)模型第六講流體仿真與應(yīng)用湍流模型雷諾應(yīng)力模型（雷諾應(yīng)力模型（RSM） 雷諾應(yīng)力方程是微分形式的，稱為雷諾應(yīng)力方程是微分形式的，稱為雷諾應(yīng)力方程模型雷諾應(yīng)力方程模型。Reynolds Stress equation ModelRSM若將雷諾應(yīng)力方程的微分形式簡化為代數(shù)方程的形式，若將雷諾應(yīng)力方程的微分形式簡化為代數(shù)方程的形式，則稱為則稱為代數(shù)應(yīng)力方程模型代數(shù)應(yīng)力方程模型。 這個(gè)模型的特點(diǎn)是直接構(gòu)建表示雷諾應(yīng)力的補(bǔ)充這個(gè)模型的特點(diǎn)是直接構(gòu)建表示雷諾應(yīng)力的補(bǔ)充方程，然后聯(lián)立求解湍流時(shí)均運(yùn)動控制方程組。方程，然后聯(lián)立求解湍流時(shí)均運(yùn)動控制方程組。 湍流模型Reynolds應(yīng)力輸運(yùn)方程應(yīng)力輸運(yùn)方

2、程 第一步，建立第一步，建立 的輸運(yùn)方程。首先，將的輸運(yùn)方程。首先，將 乘以乘以 的的N-S方程與方程與 乘以乘以 的的N-S方程相加，得到的方程相加，得到的 方程，再對此方程，再對此方程作方程作Reynolds時(shí)均、分解，即得到的輸運(yùn)方程時(shí)均、分解，即得到的輸運(yùn)方程 。第二步，建立第二步，建立 的輸運(yùn)方程。的輸運(yùn)方程。 乘以乘以 的的Reynolds時(shí)均方時(shí)均方程與程與 乘以乘以 的的Reynolds時(shí)均方程相加，即得到的時(shí)均方程相加，即得到的 輸運(yùn)輸運(yùn)方程。方程。 jijijiuuuuuujiuujuiuiujujiuujiuujuiuiujiuuju湍流模型Reynolds應(yīng)力輸運(yùn)方程應(yīng)

3、力輸運(yùn)方程 ijijijijijijLijTijFjkmmiikmmjkkkjiijjiGijjiPkikjkjkiDjikkDikjkjikjikCkjikjieuueuuxxuuxuxupugugxuxuxxupupuuuxxuuutuu22,湍流模型Reynolds應(yīng)力輸運(yùn)方程應(yīng)力輸運(yùn)方程 湍流模型Reynolds應(yīng)力輸運(yùn)方程應(yīng)力輸運(yùn)方程 湍動擴(kuò)散項(xiàng)湍動擴(kuò)散項(xiàng) 的計(jì)算的計(jì)算推薦用下式：推薦用下式： ijTD,Daly和和Harlow所給出的廣義梯度擴(kuò)散模型來計(jì)算：所給出的廣義梯度擴(kuò)散模型來計(jì)算：ljilksijTxuuuuxCD,ljitijTxuuxD,2kCt82. 0湍流模型Rey

4、nolds應(yīng)力輸運(yùn)方程應(yīng)力輸運(yùn)方程 浮力產(chǎn)生項(xiàng)浮力產(chǎn)生項(xiàng) 的計(jì)算的計(jì)算 熱膨脹系數(shù)熱膨脹系數(shù) ijGijxTgxTgGjittijPr85. 0Pr tT1理想氣體理想氣體 ijxgxgGjittijPr不可壓縮流體不可壓縮流體 0ijG湍流模型Reynolds應(yīng)力輸運(yùn)方程應(yīng)力輸運(yùn)方程 壓力應(yīng)變項(xiàng)壓力應(yīng)變項(xiàng) 的計(jì)算的計(jì)算ij壓力應(yīng)變項(xiàng)壓力應(yīng)變項(xiàng) 的存在是雷諾應(yīng)力方程與的存在是雷諾應(yīng)力方程與 方程的最大區(qū)方程的最大區(qū)別之處。因此，別之處。因此， 僅在湍流各分量項(xiàng)存在，當(dāng)僅在湍流各分量項(xiàng)存在，當(dāng) 時(shí)，它表時(shí)，它表示減小剪應(yīng)力，使湍流趨向各向同性；當(dāng)示減小剪應(yīng)力，使湍流趨向各向同性；當(dāng) 時(shí)，它表示使

5、時(shí)，它表示使湍動能在各應(yīng)力分量間重新分配，對總量無影響，可見，此湍動能在各應(yīng)力分量間重新分配，對總量無影響，可見，此項(xiàng)并不產(chǎn)生脈動能量，僅起到再分配的作用。因此，在的的項(xiàng)并不產(chǎn)生脈動能量，僅起到再分配的作用。因此，在的的文獻(xiàn)中稱此項(xiàng)為文獻(xiàn)中稱此項(xiàng)為再分配項(xiàng)再分配項(xiàng)。ijijji ji wijijijij,2,1 ,慢的壓力應(yīng)變項(xiàng)慢的壓力應(yīng)變項(xiàng) 快的壓力應(yīng)變項(xiàng)快的壓力應(yīng)變項(xiàng) 壁面反射項(xiàng)壁面反射項(xiàng) 湍流模型Reynolds應(yīng)力輸運(yùn)方程應(yīng)力輸運(yùn)方程 壓力應(yīng)變項(xiàng)壓力應(yīng)變項(xiàng) 的計(jì)算的計(jì)算ijijiiijuuC3211 ,8 . 11CijijijPPC3222,6 . 02C2kkPP dCnnnnCd

6、CnnuunnuunnuuClkiikijmkkmlkikjkjkjijmkmkwij2/32,2,22/31,2323235 . 01C3 . 02CkCCl4/309. 0C4187. 0k湍流模型Reynolds應(yīng)力輸運(yùn)方程應(yīng)力輸運(yùn)方程 粘性耗散項(xiàng)粘性耗散項(xiàng) 的計(jì)算的計(jì)算 ij耗散項(xiàng)表示分子粘性對雷諾應(yīng)力產(chǎn)生的耗散。在耗散項(xiàng)表示分子粘性對雷諾應(yīng)力產(chǎn)生的耗散。在建立耗散項(xiàng)的計(jì)算公式時(shí)，認(rèn)為大尺度旋渦承擔(dān)建立耗散項(xiàng)的計(jì)算公式時(shí)，認(rèn)為大尺度旋渦承擔(dān)動能輸運(yùn)，小尺度旋渦承擔(dān)粘性耗散，因此小尺動能輸運(yùn)，小尺度旋渦承擔(dān)粘性耗散，因此小尺度渦團(tuán)可看成是各向同性的。即認(rèn)為局部是各向度渦團(tuán)可看成是各向同性

7、的。即認(rèn)為局部是各向同性的。同性的。ijij32湍流模型Reynolds應(yīng)力輸運(yùn)方程應(yīng)力輸運(yùn)方程 kikjkjkiljiljitkkjikjixuuuxuuuxuuxuuxxuuutuuijxTgxTgjittPrijijijiiPPCuuC323221dCnnuunnuunnuuClkikjkjkjijmkmk2/312323dCnnnnClkiikijmkkm2/32,2,223jkmmiikmmjkijeuueuu232FLUENT等大多數(shù)等大多數(shù)CFD軟件軟件所使用的所使用的廣義的廣義的Reynolds應(yīng)力輸運(yùn)應(yīng)力輸運(yùn)方程方程 湍流模型Reynolds應(yīng)力輸運(yùn)方程應(yīng)力輸運(yùn)方程 若不考慮

8、浮力的作用（即若不考慮浮力的作用（即 ）及旋轉(zhuǎn)的影響（）及旋轉(zhuǎn)的影響（ ），），同時(shí)壓力應(yīng)變項(xiàng)不考慮壁面反射（同時(shí)壓力應(yīng)變項(xiàng)不考慮壁面反射（ =0） 0ijG0ijFwij,kikjkjkiljiljitkkjikjixuuuxuuuxuuxuuxxuuutuuijijijijiiPPCuuC32323221湍流模型RSM的控制方程的控制方程 時(shí)均連續(xù)性方程、雷諾方程、時(shí)均連續(xù)性方程、雷諾方程、雷諾雷諾應(yīng)力方程、應(yīng)力方程、 方程和方程和 方方程等，共程等，共12個(gè)方程構(gòu)成了封閉的三維湍流流動問題的基本控個(gè)方程構(gòu)成了封閉的三維湍流流動問題的基本控制方程組制方程組 。ijijjktjiiGPxxx

9、ut21223121CGCPCxxxutijijjtjii23kCt湍流模型RSM的控制方程的說明的控制方程的說明 如果需要對能量或組分等進(jìn)行計(jì)算，需要建立針對標(biāo)題型如果需要對能量或組分等進(jìn)行計(jì)算，需要建立針對標(biāo)題型變量（如溫度、組分濃度）的脈動量的控制方程。變量（如溫度、組分濃度）的脈動量的控制方程。 由于從由于從Reynolds應(yīng)力輸運(yùn)方程的應(yīng)力輸運(yùn)方程的3個(gè)正應(yīng)力項(xiàng)可以得出脈個(gè)正應(yīng)力項(xiàng)可以得出脈動動能，即動動能，即 。因此，曾有文獻(xiàn)不把。因此，曾有文獻(xiàn)不把 作為獨(dú)立變量，作為獨(dú)立變量，也不引入也不引入 方程，但大多數(shù)文獻(xiàn)把方程，但大多數(shù)文獻(xiàn)把 方程列入控制方程之方程列入控制方程之一，就本

10、書所采用的方式一樣。一，就本書所采用的方式一樣。 2ii湍流模型RSM適用性適用性 RSM是針對湍流發(fā)展非常充分的湍流運(yùn)動來建立的。即是是針對湍流發(fā)展非常充分的湍流運(yùn)動來建立的。即是針對高針對高Re湍流模型，而當(dāng)湍流模型，而當(dāng)Re較低時(shí)，上述方程不再適用。較低時(shí)，上述方程不再適用。常用解決壁面流動方法有：一種是壁面函數(shù)法；另一種是采常用解決壁面流動方法有：一種是壁面函數(shù)法；另一種是采用低用低Re的的RSM模型。模型。低低Re的的RSM模型基本思想是修正高模型基本思想是修正高Re的的RSM模型耗散函模型耗散函數(shù)（擴(kuò)散項(xiàng)）及壓力應(yīng)變重新分配項(xiàng)的表達(dá)式，以使數(shù)（擴(kuò)散項(xiàng)）及壓力應(yīng)變重新分配項(xiàng)的表達(dá)式，以使RSM模模型方程可以直接應(yīng)用到壁面區(qū)域。型方程可以直接應(yīng)用到壁面區(qū)域。計(jì)算實(shí)踐表明，計(jì)算實(shí)踐表明，RSM雖然能考慮一些各向異性效應(yīng)，但并雖然能考慮一些各向異性效應(yīng)，但并不一定比其它模型效果好，在計(jì)算不一定比其它模型效果好，在計(jì)算突擴(kuò)流動分離區(qū)突擴(kuò)流動分離區(qū)和和計(jì)算湍計(jì)算湍流輸運(yùn)各向異性流輸運(yùn)各向異性較強(qiáng)的流動時(shí)，較強(qiáng)的