“集合與邏輯”教學(xué)研究

1、專題講座高中數(shù)學(xué)“集合與邏輯”教學(xué)研究張鶴北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校第一部分集合、對(duì)“集合”教學(xué)知識(shí)的深層次理解集合概念及其基本理論，是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基礎(chǔ).一方面，許多重要的數(shù)學(xué)分支，如高等數(shù)學(xué)中的數(shù)理邏輯、近世代數(shù)、實(shí)變函數(shù)、泛函分析、概率統(tǒng)計(jì)、拓?fù)涞?，都建立在集合理論的基礎(chǔ)上.另一方面，集合論及其所反映的數(shù)學(xué)思想，在越來越廣泛的領(lǐng)域中得到應(yīng)用.在高中數(shù)學(xué)中，集合的初步知識(shí)與其他內(nèi)容有著密切聯(lián)系，它是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ)，這就是把它安排在高中數(shù)學(xué)起始章的原因.集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言.本模塊對(duì)集合的定位是將集合作為一種語言來學(xué)習(xí)，使同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中體會(huì)用集合語言表達(dá)數(shù)

2、學(xué)內(nèi)容的簡潔性、準(zhǔn)確性，學(xué)會(huì)使用最基本的集合語言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象，并能在自然語言、圖形語言或集合語言之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的能力 .（一）知識(shí)結(jié)構(gòu)圖元素與集合關(guān)系集合的表示 一 一一 一 一 一（二）集合在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的地位和作用為了更好的把握“集合”的要求，首先需要明確整體定位. 標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“集合”這部分內(nèi)容的整體定位如下：集合論是德國數(shù)學(xué)家康托在 19 世紀(jì)末創(chuàng)立的，集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言 . 使用集合語言，可以簡潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)的一些內(nèi)容. 高中數(shù)學(xué)課程只將集合作為一種語言來學(xué)習(xí)，學(xué)生將學(xué)會(huì)使用最基本的集合語言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的能力

3、.集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言. 在高中數(shù)學(xué)課程中，它也是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ)， 因此把它安排在了高中數(shù)學(xué)的起始章 教科書從學(xué)生熟悉的集合 （有理數(shù)的集合、直線或圓上的點(diǎn)集等）出發(fā)，結(jié)合學(xué)生身邊的實(shí)例引出元素、 集合的概念， 介紹了表示集合的列舉法和描述法及Veen 圖； 類比實(shí)數(shù)間的相等、 大小關(guān)系， 通過對(duì)具體實(shí)例共性的分析、概括出了集合間的相等、 包含關(guān)系； 針對(duì)具體實(shí)例， 通過類比實(shí)數(shù)間的加法運(yùn)算引出了集合間“并”的運(yùn)算，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步擴(kuò)展，介紹了“交”的運(yùn)算和“補(bǔ)”的運(yùn)算. 這里采用類比方式處理集合間的關(guān)系和運(yùn)算的目的在于體現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系，滲透數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法.適當(dāng)?shù)匾?/p>

4、入集合知識(shí)是在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中滲透近代數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ). 這里“滲透” 的意思是， 學(xué)習(xí)與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容相關(guān)的集合語言， 使中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容表述更加準(zhǔn)確， 邏輯更加清楚，以幫助學(xué)生正確的理解和運(yùn)用中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí) . 應(yīng)注意，在中學(xué)不可能用集合的理論嚴(yán)格地建立中學(xué)數(shù)學(xué)體系 .（三）教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)（ 1 ）集合的運(yùn)算是這部分的重點(diǎn)因?yàn)閷?duì)于交集、并集概念的理解及交集、并集的應(yīng)用，無論是在知識(shí)上，還是在方法上，不僅對(duì)后面學(xué)習(xí)有直接的影響， 而且也是對(duì)前面所學(xué)知識(shí)：元素與集合、子集等概念的鞏固 . 教學(xué)中應(yīng)從定義出發(fā)，從語言敘述，式子表達(dá)，及文氏圖去理解；可以從具體例子入手，從初中的數(shù)學(xué)知識(shí)，如圖形的分類、數(shù)的種

5、類去理解. 在求兩集合的并集時(shí)，應(yīng)注意集合中元素的互異性.（ 2 ）集合的包含關(guān)系和屬于關(guān)系是這部分的難點(diǎn)二、“集合”的教學(xué)策略（一）如何在教學(xué)中滲透集合與簡易邏輯的數(shù)學(xué)思想與方法？理解集合概念的本質(zhì)，把握集合的思維特征是“集合”教學(xué)的重要任務(wù) .在高中階段， 我們是把集合作為一種語言來看待的 . 它是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，可以簡潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容. 通過集合的教學(xué)，一方面我們要讓學(xué)生能夠掌握這種語言，會(huì)用集合語言描述數(shù)學(xué)問題；另一方面，要讓學(xué)生能夠識(shí)別集合語言， 要能夠讀懂別人用集合語言描述的數(shù)學(xué)問題 .集合的思維特征是什么呢？無論是集合的含義，還是集合的關(guān)系、還是集合的運(yùn)算，都是通過研究

6、元素與集合的關(guān)系來進(jìn)行的， 這也就告訴我們， 集合這種語言的特點(diǎn)， 要從元素與集合的關(guān)系來掌握并運(yùn)用這種語言 . 集合之間的關(guān)系體現(xiàn)在元素與集合的關(guān)系的： 如子集關(guān)系、如相等集合的關(guān)系、如真子集的關(guān)系，無一不是體現(xiàn)在元素與集合的關(guān)系上.如我們常說的集合的三條性質(zhì)：確定性，互異性，無序性，都是針對(duì)元素與集合的關(guān)系的 : 給定的集合，它的元素必須是確定的 集合的確定性；一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的 集合的互異性；集合與組成它的元素的順序無關(guān) 集合的無序性.從集合的關(guān)系來看，可以分為兩類：即包含關(guān)系和非包含關(guān)系 .如：“對(duì)于兩個(gè)集合A B,如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，稱集合A 為

7、集合 B 的子集” . 這里說的就是元素與集合的關(guān)系 .兩個(gè)集合的運(yùn)算的結(jié)果是集合 . 而這種運(yùn)算的定義依據(jù)的仍然是元素與集合的關(guān)系 .如：由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集.記作：An B= x| xC A且 xC B可以看出，只有從元素與集合關(guān)系的角度來認(rèn)識(shí)集合，理解集合，才能夠真正掌握集合的本質(zhì)，才能夠?qū)@種現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言運(yùn)用自如 .（二）在”新課標(biāo)”中的處理特點(diǎn)1新課標(biāo)的教學(xué)目標(biāo)要求與大綱版的目標(biāo)要求的比較：新課標(biāo)的教學(xué)目標(biāo)要求：（ 1 ）集合的含義與表示 通過實(shí)例，了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系 能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法

8、或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用 .（ 2 ）集合間的基本關(guān)系 理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集 . 在具體情境中，了解全集與空集的含義 .（ 3 ）集合的基本運(yùn)算 理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡單集合的并集與交集 . 理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集 . 能使用 Venn 圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用 .大綱 的目標(biāo)要求是： 理解集合、 子集、 交集、 并集的概念. 了解空集和全集的意義了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義. 掌握有關(guān)的術(shù)語和符號(hào)，并會(huì)用它們正確表示一些簡單的集合 .比較：對(duì)于集

9、合、子集、補(bǔ)集、交集的概念、含義， 大綱都屬于理解層次；但標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于屬于、包含、相等關(guān)系由了解提升為理解層次.2集合的教學(xué)內(nèi)容在課標(biāo)下的處理特點(diǎn)：（ 1 ）原大綱的實(shí)驗(yàn)教材注意聯(lián)系舊有知識(shí)引入集合概念，而新課標(biāo)的實(shí)驗(yàn)教材既注意舊有知識(shí)引入集合概念，也注意聯(lián)系學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活引入集合概念.（ 2 ）重視運(yùn)用集合的語言回顧過去學(xué)習(xí)過的知識(shí). 新課標(biāo)的實(shí)驗(yàn)教材注意用集合的語言表示一元二次不等式的解集. 也注意用集合的語言表述直線與平面的關(guān)系 .（三）教學(xué)中的幾個(gè)思維要點(diǎn)（ 集合的概念集合的創(chuàng)始人康托曾這樣來描述集合，“把一些確定的，彼此有區(qū)別的，具體的或想像的東西看作一個(gè)整體，便叫做集合. ”這個(gè)描述，

10、康托自認(rèn)為是給集合下了一個(gè)定義，其實(shí)不然 . 因?yàn)橹T如整體、 總體、 總合、 集合等等概念都是等價(jià)概念. 康托使用集合的等價(jià)概念（整體） 來給集合下定義， 因此這是一個(gè)同義的反復(fù)， 不能算是合乎邏輯的非重言式的定義一些邏輯學(xué)家想用更原始、更基本的概念給集合下定義，但這個(gè)愿望迄今還沒有實(shí)現(xiàn).近代公理集合論者，都放棄了對(duì)集合下定義的想法，把集合作為原始的不定義概念請(qǐng)大家注意，不同的教材對(duì)集合概念會(huì)有不同的描述.請(qǐng)大家最好不要作過細(xì)的研討 .對(duì)集合運(yùn)算的一些性質(zhì)，教材也只是讓學(xué)生直觀地去理解，而不進(jìn)行邏輯地證明理解集合概念有兩條最為重要：(1)把一些對(duì)象看作一個(gè)整體；(2)對(duì)一個(gè)對(duì)象，能夠判別它是否

11、屬于這個(gè)集合.至于“無序性”，“同一個(gè)元素只列舉一次”等，在學(xué)習(xí)表示法時(shí)，要再向 學(xué)生說明.在理解集合的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生熟記一個(gè)元素屬于和不屬于一個(gè)集合的符號(hào)表示：a A, a A空集：由方程的無解引入空集概念.在集合的運(yùn)算時(shí)，再突出空集的作用.本教材中將集合分為兩類：有限集和無限集，空集歸入有限集.有的教材把空集單獨(dú)列成一類 .2 .集合之間的關(guān)系教學(xué)中，主要通過實(shí)例讓學(xué)生了解子集和真子集的概念以及符號(hào)表示，然后給集合相 等下定義.這里，我們對(duì)相等概念再作一些分析.如果給定兩個(gè)集合 A和B,對(duì)任意一個(gè)對(duì)象x,如果xWA則有xw B,并且如果xw B則 有x A,我們就可斷定 A=B.例如A =

12、 x | x2-1 = 0和B = x | x| = 1,它們所描述的都是集合-1 , 1,因 此 A = B.在集合論中，通常把上述性質(zhì)叫做集合的外延原則，即“性質(zhì)不同，但外延(集合)相同”.3 .集合的運(yùn)算對(duì)學(xué)生來說，集合運(yùn)算是一個(gè)全新的概念.要通過集合運(yùn)算擴(kuò)展學(xué)生對(duì)“運(yùn)算”概念的理解.教學(xué)的重點(diǎn)是集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算的定義.定義這三個(gè)運(yùn)算時(shí)，最好不用或、且、非這三個(gè)聯(lián)結(jié)詞，特別不要用或，否則容易引起混亂（四）典型例題的教學(xué)例1.已知R=工="+ 1/£加），£=1|工二% + 2*E取C 二1 | # = 5浮+ 3,總它 0二了 | 彳二 5科 + 4*

13、w N若as&EeB逐eC, yD，則（）A. Q?EAteDteDtyA b.儀C.d. 門4口戶門思路分析：££乂，則存在也”使得看田+1盤:電+1=5（57 + %）+15, +2川 e M " =（5附+1），=5（5/ + 2用）+1E幺同理可得：，： 門| =（一用 =5（加”成+1）+43 ,戶=（加+娟=5（訝+的+今+"且選a.通過本題的分析，可以看出：研究元素與集合的關(guān)系，需要正確理解集合的含義，對(duì) 整數(shù)集的分類是集合中常見的問題，通過此題認(rèn)真體會(huì)元素與集合關(guān)系的判斷思想例2.已知集合A=x I ax2-3x+2=0 , x

14、C R,若集合A中元素中至多只有一個(gè)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍思路分析：集合 A的元素是方程ax2-3x+2=0的根，而此方程不一定是一元二次方程， 要注意討論字母a.2a=0時(shí)，方程為-3x+2=0,解得x = 3 ,符合題意.aw0時(shí)，方程ax2-3x+2=0為一元二次方程.集合A中至多有一個(gè)元素即表明一元二次方程無根或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根9即=9-8a W0,解得 a> 89綜合可知實(shí)數(shù) a的取值范圍是：a=0或a> 8 .通過本題的分析，可以看出：集合A為數(shù)集，其中元素 x表現(xiàn)為方程組的解，求集合中元素個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)問題.解析1很好的體現(xiàn)分類討論思想方法的運(yùn)用，考查了

15、對(duì)集合中元素的互異性及對(duì)空集含義的理解例3.設(shè)集合 P=x-yfx+y若尸二°,求xj的值 及集合產(chǎn)、。.思路分析：集合P、Q都是列舉法表示的，意味著兩個(gè)集合中元素相同，但需要注意集合本身的元素具有互異性. F:。且。E。0 £ F .(1)若o或工-7=0,則/一從而。二卜十九Q°),與集合中元 素的互異性矛盾，且工-yM ° ；(2)若初二口,則工二?；蚨?dāng)"0時(shí)，,與集合中元素的互異性矛盾，；當(dāng)工=0時(shí),曲,。=倘一20,4一"乙“二 一了 由尸=0得由得丁 二 T ,由得了=1,x = 0 （x = 0“=-1 或卜=1,此時(shí)

16、產(chǎn)= Q = LT0.通過本題的分析，可以看出：在考察集合之間關(guān)系時(shí)，要注意集合本身的性質(zhì)，特別 是集合中元素的互異性和無序性容易被忽視 .例4.設(shè)方程工+px-12 = 0的解集為乂，方程x +<?x+r= 0的解集為B ,且 月羊3,RUB = -，4）, RflA二卜到，求p耳/的值.思路分析：p, q, r是一元二次方程的系數(shù)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，只需求出集合A,B所含的元素即方程的根.=且一3.由血印+"”12川P = -12 =43.4又刈八43-3e阻42.4 6 Bt：t 3=-3/+必+二啃兩個(gè)相等的實(shí)根-3二” 6/= 9通過本題的分析，可以看出：本題考查了

17、集合的相等及交集，并集的概念，我們?cè)诮?題時(shí)常常根據(jù)集合間的運(yùn)算結(jié)果或集合的關(guān)系分析集合中所含的元素例5.（i）設(shè)，=卜工-2了-* =。1, B=卜卜工二1）,若乂UB =兒則實(shí)數(shù)d的取 值集合為二,（2）已知集合洶二（巾 a =N = 巾工-1=0）,若財(cái)nM="，則實(shí)數(shù)d的思路分析:B =41(1)由已知，集合一卜功,a,-AJB = A得B匚幺，分B二夕和 兩種情況.當(dāng)時(shí)，解得a的取值頭r11 O.T h 綜上可知a的取值集合為L刃.當(dāng)N二§時(shí)，解得a=o；財(cái)=0即"riNH/：4 =。舍去，1卜白二J Q4二±10時(shí)，解得 a綜上可知a的取值集

18、合為L-1.通過本題的分析，可以看出：(1)要重視以下幾個(gè)重要基本關(guān)系式在解題時(shí)發(fā)揮的作用：WqA ABqB. RUB", RUS"；月口加力=八乂UC/ = U ； 工nB30匚3 TUB二BOR匚3等.(2)要注意夕是任何集合的子集.但使用時(shí)也要看清題目條件，不要盲目套用.例6.已知集合M 二上,“十1,一3,西= ”3,2” 1,1+1),若財(cái)C1N二卜3), 求a的值.思路分析：:w-l .儀-3二一3或22一 1二一3當(dāng)。一3二一3時(shí)，即以二0,此時(shí)財(cái)二口卜3,M二卜3,7,1,則二-3,T不符合題設(shè)條件，舍去當(dāng)2a一 1二時(shí)，即。=一1此時(shí)時(shí)二位1-3),及二卜

19、3M2)符合題設(shè)條件所以口二一1為所求.通過本題的分析，可以看出：已知-3),則數(shù)-3在集合N,可從-3應(yīng)為三元素之一入手判斷三、學(xué)習(xí)目標(biāo)的檢測(cè)(一)對(duì)知識(shí)掌握狀況的檢測(cè)本章檢測(cè)要抓住重點(diǎn)，即抓住本章的基本概念及其相互關(guān)系進(jìn)行檢測(cè).本章的基本概念是集合、元素、屬于、包含、子集、并集、空集、全集、補(bǔ)集，檢測(cè)時(shí)應(yīng)該重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì) 這些基本概念的理解和運(yùn)用情況 .小、兒苗人1 -1 <1 <例1.設(shè)集合2)川工歸例，若則七的取值范圍是A.:門B. T"c. I歸H提示：可用數(shù)軸表示集合M,N,選D.例2.如果集合A=x| ax2+2x + 1=0中只有一個(gè)元素，則 a的值是 （

20、）A. 0 B. 0 或1 C. 1 D. 不能確定提示：若"0 ,則集合A的元素為 2'若。=1 ,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，集 合A的元素只有一個(gè) 工二一1 .選B.例3.已知集合A= I. - 1 , 3, 2ffl -1）,集合B=（3, / .若B匚A,則實(shí)數(shù)加=提示：由 /=2加一二相二,經(jīng)檢驗(yàn)，加二1為所求.（二）對(duì)技能和能力狀況的檢測(cè)列舉法、特征性質(zhì)描述法、圖示法是表示集合的三種基本方法，檢測(cè)時(shí)要考慮學(xué)生對(duì) 這些方法的理解和運(yùn)用的能力 .例4.如圖，U是全集，M P、S為U的3個(gè)子集,A.b. mC.U提示：陰影中任-元素X有IE",且但了任S, .工

21、E.S .由交集、并集、補(bǔ)集的意義.武何0尸方。/）答案選d.（三）對(duì)學(xué)習(xí)過程的檢測(cè)注意考查學(xué)生是否能夠用集合的語言表述過去所學(xué)習(xí)過的數(shù)的集合、式的集合、圖形的 集合，是否對(duì)過去學(xué)習(xí)過的知識(shí)加深了認(rèn)識(shí)例5.對(duì)集合A與B的并集AU B的理解，不僅要會(huì)用通俗語言表達(dá)，還要學(xué)會(huì)用符號(hào) 表示，即二一I之-印.學(xué)習(xí)時(shí)，可以利用下面的 Venn加強(qiáng)對(duì)兩個(gè)集合的并集的直觀理解:例6.交集定義為“由屬于集合 A且屬于集合B的所有元素組成的集合”，我們也可以說“交集是由集合 A與集合B的所有公共元素組成的集合”.在給出記法AnB = WkcA,且xeB時(shí)，要與并集的記法AIJB =k|xeA,或xeB)進(jìn)行比較

22、，要認(rèn)識(shí)到“并”、“或”、記號(hào)“u”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及“交”、“且”、 記號(hào)“n”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.同樣地，要充分發(fā)揮Venn圖在表示兩個(gè)集合的交集時(shí)的作用， 要認(rèn)識(shí)到公共部分與交集之間的關(guān)系.圖1表示集合A與集合B的公共部分就是 A,所以，An B= A圖2表示集合A與集合B的公共部分不是空集，但不是 A,也不是B,所以,C CAn B- A,且 An B- B;圖3表示集合A與集合B的公共部分是空集，所以 An B= 0 .（四）對(duì)情感態(tài)度價(jià)值觀的檢測(cè)讓學(xué)生通過舉例，說明概念與符號(hào)的意義；通過圖示方法對(duì)抽象概念的直觀感知，讓學(xué)生逐步領(lǐng)會(huì)形式化的數(shù)學(xué)語言在抽象性、概括性方面的作用.反之，形式

23、化的數(shù)學(xué)語言又可以在一般的意義上反映更廣泛的數(shù)學(xué)對(duì)象.在測(cè)試中要注意考查學(xué)生是否領(lǐng)悟符號(hào)化思想和數(shù)形結(jié)合思想在研究和解決數(shù)學(xué)問題中的作用/=餅產(chǎn)/（砧工£竹,八%二妙=le螞 ,給出下列四個(gè)判斷:若PnM=0,則了c/（峭二0若則 /"（物=0若Pu加二R ,則尸）U螞=R ；若Pu加h R ,則了（？）u J（陽* R其中正確判斷有（）A. 1 個(gè) B. 2 個(gè) C. 3 個(gè) D. 4 個(gè).思路分析：本題考查分段函數(shù)，單值函數(shù)的概念和集合的運(yùn)算等知識(shí).求解時(shí)對(duì)錯(cuò)誤的要能舉出反例說明，對(duì)正確的要能進(jìn)行說理，逐個(gè)進(jìn)行推理，最后得出結(jié)論P(yáng)其中P、M為實(shí)數(shù)集R的兩個(gè)非空子集J(B

24、=OV=/a)，iwF)=x|x ", /(曲= &l”/KUcM=-x|x，若 Pn"=0,則"Be"峭=0不成立，反例： P=1,2,3,M=-1,-2若則必Mm p=0（不能有其他公共元素，否則與f（x）是函數(shù)矛盾）:. J （尸）G人陰* 0成立.故判斷正確若 PuM二 R,則= K不成立，反例：P=x|x w 0,M=x|x>0當(dāng)Pu/mK時(shí)，若0PUM根據(jù)函數(shù)f(x)定義易知0f(P) Uf(M).若存在非零的 x0?PU M,易知 x 01 f(P),當(dāng) x0f(M)時(shí)，有 x01 f(P) U f(M);當(dāng) x0Cf(M)時(shí)

25、，易知-x 0 CM,由于-x W0,所以-x。名巳 從而-x。任f(P).又因?yàn)閤0M所以-x。任f(M),因此-x。任f(P) uf(M).這說明當(dāng)FuAfHK時(shí)，一定有 母)。八M"R .故判斷正確.綜上所述，判斷正確，錯(cuò)誤.(五)檢測(cè)方式1 .課堂練習(xí)與作業(yè)檢查；2 .撰寫數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體會(huì)短文：學(xué)校生活中的集合；3 .舉行一次有關(guān)集合知識(shí)的小測(cè)驗(yàn).第二部分 常用邏輯用語一、對(duì)“常用邏輯用語”教學(xué)知識(shí)的深層次理解根據(jù)課標(biāo)的理念，選修課內(nèi)容的確定是要滿足學(xué)生的興趣和未來發(fā)展的需求，為 學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)，獲得較高的數(shù)學(xué)額素養(yǎng)的基礎(chǔ)具體地說，正由于正確地使用邏輯用語是現(xiàn)代公民應(yīng)具備的基本素

26、質(zhì)，從事各項(xiàng)工作、進(jìn)行思議交流，都需要正確運(yùn)用邏輯語言表達(dá)自己的思想，融入社會(huì)，服務(wù)社會(huì)(一)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖(二)常用邏輯用語在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的地位和作用課標(biāo)要求在選修系列 1和系列2的開篇第一章就安排了 “邏輯語言”，并明確要求：1 . 了解命題及其逆、否、遞否命題；理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，會(huì) 分析四種命題的相互關(guān)系；2 .通過實(shí)例，了解邏輯聯(lián)詞戢”、目"、等”的含義.3 .通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義，并能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定 .通過學(xué)習(xí)以上內(nèi)容，要體會(huì)邏輯用語在數(shù)學(xué)表述和論證中的作用，并用這些邏輯用語 準(zhǔn)確地進(jìn)行論證，更

27、好地進(jìn)行交流；要體會(huì)并掌握這些邏輯用語的意義和用法，糾正出現(xiàn)的邏輯錯(cuò)誤，體現(xiàn)用之表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確、簡潔性，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)為了更好的理解整體定位，需要明確以下幾個(gè)方面的問題：(1) “常用邏輯用語”和“簡易邏輯”存在定位上的區(qū)別“常用邏輯用語”的課程目標(biāo)是幫助學(xué)生正確使用常用邏輯用語，更好的理解數(shù)學(xué)內(nèi)容中的邏輯關(guān)系，體會(huì)邏輯用語在表述和論證中的作用，利用這些邏輯用語準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容，更好地進(jìn)行交流，避免在使用過程中產(chǎn)生錯(cuò)誤.高中數(shù)學(xué)課程中，學(xué)“常用邏輯用語” 不是為邏輯學(xué)和數(shù)理邏輯奠定基礎(chǔ)， 這與 “簡易邏輯”的目標(biāo)不同，這一點(diǎn)需要老師們特別注意 .（ 2 ）“常用邏輯用語”應(yīng)通過實(shí)例理解，避

28、免形式化的傾向常用邏輯用語的教學(xué)不應(yīng)當(dāng)從抽象的定義出發(fā)，而應(yīng)該通過數(shù)學(xué)和生活中的豐富實(shí)例理解常用邏輯用語的意義，體會(huì)常用邏輯用語的作用 . 事實(shí)上，在高中階段，沒有必要形式的理解常用邏輯用語在“邏輯學(xué)”和“數(shù)理邏輯”中的確切含義. 重點(diǎn)是理解常用邏輯用語在認(rèn)識(shí)和表達(dá)數(shù)學(xué)中的作用 .（ 3 ）“常用邏輯用語”的學(xué)習(xí)重在使用對(duì)于“常用邏輯用語”的學(xué)習(xí)，不僅需要用已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，而且需要把常用邏輯用語用于后繼的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中. 因此，“常用邏輯用語”的學(xué)習(xí)重在使用，在使用中不斷地加深對(duì)于常用邏輯用語的認(rèn)識(shí).（三）教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)： 充分條件、必要條件、充要條件充分條件、必要條件、充要條件反映

29、了數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的邏輯關(guān)系，數(shù)學(xué)中重要的命題、定理都是判定定理、性質(zhì)定理，或者是從不同角度反映同一事物的等價(jià)刻畫 .難點(diǎn)：量詞的否定量詞的否定是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容的一個(gè)難點(diǎn)，雖然我們這兒只涉及到一個(gè)量詞的命題及其否定，它為我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)多個(gè)量詞同時(shí)使用奠定基礎(chǔ).二、“常用邏輯用語”的教學(xué)策略（一）教學(xué)中需要注意的問題1、關(guān)于充分條件、必要條件、充要條件的教學(xué)，一定要與同學(xué)學(xué)過的知識(shí)緊密聯(lián)系起來， 幫助學(xué)生用這些邏輯用語揭示學(xué)過內(nèi)容內(nèi)在的邏輯關(guān)系； 并幫助學(xué)生養(yǎng)成習(xí)慣， 在進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中， 學(xué)會(huì)用這些邏輯用語揭示將要學(xué)的內(nèi)容的邏輯關(guān)系； 不斷地體會(huì)判定定理、性質(zhì)定理、等價(jià)條件與充分條件、必

30、要條件、充要條件之間的聯(lián)系 .2、“常用邏輯用語”教學(xué)的基點(diǎn)是常用的邏輯用語，不是簡易邏輯的教學(xué)，也不是數(shù)理邏輯初步的教學(xué) . 這是“標(biāo)準(zhǔn)”與“大綱”定位的一個(gè)區(qū)別 . 即使在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，除了個(gè)別專業(yè)，也不需要進(jìn)行簡易邏輯和數(shù)理邏輯初步的學(xué)習(xí) .3、在“量詞”的教學(xué)中，只講由一個(gè)量詞組成的命題及其否定. 對(duì)于多個(gè)量詞組成的命題是大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容. 在教學(xué)中要特別強(qiáng)調(diào)，用具體的實(shí)例來講解這樣的命題及其否定 . 不要形式的去討論由量詞組成的命題及其否定.4、在“命題”的教學(xué)中，盡量使用數(shù)學(xué)中的命題，并且其條件和結(jié)論是清楚的，不去討論條件和結(jié)論不清晰、有歧義的命題 .5、在教學(xué)中應(yīng)注意命題與條

31、件的差異，命題的基本特征是可以判斷真?zhèn)?，而條件無法判斷真?zhèn)?，例如：?a>5”是條件而不是命題，a僅僅是參數(shù)，我們無法判斷“a>5”是否正確 . 用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”既可以聯(lián)結(jié)命題，也可以聯(lián)結(jié)條件.6、在“邏輯聯(lián)結(jié)詞”的教學(xué)中，只要求“合成”，不要求“分解”，即只討論用邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)兩個(gè)命題（或條件），不討論復(fù)合命題的分解.（二）教學(xué)中的幾個(gè)要點(diǎn)（ 1 ）如何認(rèn)識(shí)“命題”的含義對(duì)命題的認(rèn)識(shí)我們不從一般的定義出發(fā)，而是通過實(shí)例了解“命題”，這些實(shí)例都能清晰地分辨出組成這個(gè)命題的條件和結(jié)論，并且能判斷真假.例如：若一個(gè)四邊形是矩形，則這個(gè)四邊形是平行四邊形三角形內(nèi)角和等于

32、 18 0°. x>3.分析： 明確的給出了條件和結(jié)論， 并能判斷真假. 雖然沒有明確的給出條件和結(jié)論，但是能清晰地分辨出組成這個(gè)命題的條件和結(jié)論， 即如果三個(gè)角是一個(gè)三角形的內(nèi)角， 則這 三個(gè)角的和等于1 8 0°.不能判斷真假，所以它不是一個(gè)命題.（ 2 ）如何認(rèn)識(shí)“了解命題的逆命題、否命題與逆否命題”以及“會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系”的含義分析：“了解命題的逆命題、否命題與逆否命題”是指：對(duì)給定的具體命題，可以寫出它的逆命題、否命題、逆否命題，并可以判斷出它們的真假.“會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系”主要包括兩部分內(nèi)容:第一，通過實(shí)例的分析，總結(jié)出表示四種命題之間的基本

33、關(guān)系的圖示第二，知道原命題與其逆否命題是同真同假的，原命題的逆命題與原命題的否命題是同真同假的，通常我們說他們是相互等價(jià)的.(3)如何認(rèn)識(shí)“理解必要條件、充分條件與充要條件的意義”可以從以下兩個(gè)方面來把握標(biāo)準(zhǔn)的要求：第一、通過對(duì)具體實(shí)例中條件之間的關(guān)系的分析，理解充分條件、必要條件和充要條 件的意義.例如，通過分析下列條件 p與q之間的關(guān)系，來理解必要條件的意義 .p：四邊形是正方形，q :對(duì)角線相互垂直平分.分析：“若四邊形是正方形，則對(duì)角線相互垂直平分”是一個(gè)真命題，它可以寫成“四邊形是正方形”=“對(duì)角線相互垂直平分”即 p : q.總結(jié)：“若p則q”為真命題是指：當(dāng) p成立，q一定成立.

34、換句話說，p成立時(shí)一定 有q成立，即p =q ,這時(shí)，我們就說q是p的必要條件.p=> q可以理解為一旦p成立，q必須要成立，即q對(duì)于p成立是必要的.也就是說, 只要p成立，必須具備條件 q.第二，通過具體實(shí)例理解充分條件、必要條件和充要條件在解決和思考數(shù)學(xué)問題中的 作用 .在數(shù)學(xué)中，尋求充分條件是一件很重要的事情. 特別是在引入新的數(shù)學(xué)對(duì)象后，常常需要判斷一個(gè)對(duì)象是不是我們引入的新對(duì)象.例如：在引入平行四邊形后，就需要尋找判定一個(gè)圖形是不是平行四邊形的條件，一組對(duì)邊平行且相等就是判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的充分條件. 用命題形式表達(dá)就是：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.在引入方

35、程的解的概念后， 需要尋找判定方程有解的條件. 像這些條件都是充分條件對(duì)于區(qū)間 a,b 上的連續(xù)函數(shù)f(x) ， f(a) f(b)<0 就是判定方程f(x)=0 在區(qū)間 a,b 內(nèi)有解的充分條件. 用命題形式表達(dá)就是：對(duì)于區(qū)間 a,b 上的連續(xù)函數(shù) f(x) ，若 f(a) f(b)<0 ，則方程 f(x)=0 在區(qū)間 a,b 內(nèi)有解 .通常我們把上面的命題稱之為判定定理 . 判定定理中的條件是給出判定一個(gè)事物的充分條件 .尋求必要條件也是數(shù)學(xué)中一件很重要的事情. 在數(shù)學(xué)中， 常常要確定一個(gè)對(duì)象的某些性質(zhì) . 特別是在引入新的數(shù)學(xué)對(duì)象后，常常需要研究這個(gè)對(duì)象具有什么性質(zhì).例如：在

36、引入平行四邊形后，就需要研究平行四邊形所具有的性質(zhì)；對(duì)角線互相平分是平行四邊形的一個(gè)性質(zhì). 用命題形式表達(dá)就是：平行四邊形的對(duì)角線互相平分；在引入連續(xù)函數(shù)的概念后， 就需要研究連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)等. 有界、取到最大最小值等是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì). 用命題形式表達(dá)就是：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有界、取到最大值和最小值 .通常我們把上面的命題稱之為性質(zhì)定理 . 性質(zhì)定理中的性質(zhì)是給出判定一個(gè)事物的必要條件，當(dāng)然，它僅僅是從某些方面反映了事物的特征. 因此，必要條件可用來區(qū)別一個(gè)事物與另一個(gè)事物 .在數(shù)學(xué)上，找到一個(gè)“事物”的充分必要條件是特別重要的一件事情，它可以幫助我們從不同的角度，全面地反映同一個(gè)“事

37、物”的面貌. 在歷史上有很多非常重要的充分必要條件的結(jié)果.例如:勾股定理.勾股定理中的“是直角三角形的充分必要條件，有了這個(gè)條件，我們就可以通過邊的長度之間的關(guān)系來研究幾何中的直角三角形兩條直線垂直的充要條件 .兩條直線的方向向量的數(shù)量積等于零是兩條直線垂直的 充分必要條件，有了這個(gè)條件，我們就可以利用向量的代數(shù)運(yùn)算來研究幾何中的垂直問題.一元二次方程有解的充分必要條件.判別式A=i3-4ac>0是一元二次方程d+bx+c =0)有解的充分必要條件，有了這個(gè)條件，我們就可以定性地研究一元二次方程的解.一個(gè)事物的充分必要條件會(huì)給我們討論問題帶來很大的方便，給我們提供了全面刻畫 事物的另外一

38、個(gè)角度，甚至可以幫助我們開拓新的研究方向(4)如何認(rèn)識(shí)“通過數(shù)學(xué)實(shí)例，了解“或”、“且”、“非”的含義”可以從以下五個(gè)方面來把握標(biāo)準(zhǔn)的要求：第一，認(rèn)識(shí)邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且"、“非”是構(gòu)造新命題的邏輯用語，利用邏輯 聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”聯(lián)結(jié)具體命題來構(gòu)造新命題，通過分析這樣構(gòu)造出的新命題 的真假，來理解“或”、“且”、“非”的含義 例如：對(duì)下列各組命題，利用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”構(gòu)造新命題，并判斷新命題的真假.(1) p： 12是3的倍數(shù)，q： 12是4的倍數(shù)；(2) p：兀 >3, q：兀 V 2.分析：由(1 )可得新命題：“ 12是3的倍數(shù)且12也是4的倍數(shù)”；由(2)

39、可得新命題：“兀大于3且兀小于2” .在得出的新命題中，“12是3的倍數(shù)且12也是4的倍數(shù)”是真命題，“兀大于3且兀 小于2”是假命題概括：從上述例子可以看出，可以用“且”聯(lián)結(jié)兩個(gè)命題p和q,構(gòu)成一個(gè)新命題“ p且q” .當(dāng)兩個(gè)命題p和q都是真命題時(shí)，新命題"p且q”就是真命題；當(dāng)兩個(gè)命題 p和q 之中，至少有一個(gè)命題是假命題時(shí)，新命題“ p且q”就是假命題.第二，了解在數(shù)學(xué)中也可以用邏輯連接詞“且”與“或”聯(lián)結(jié)一些“條件”，形成一 個(gè)新的條件.例如：“工:>3”且“表示的是“ 3<i<5" ； “工<0”或表 示的是“或者kO,或者工>5第三

40、，只要求用“或”、“且”把兩個(gè)命題合成一個(gè)命題，不要求要把一個(gè)“復(fù)合” 命題進(jìn)行“分解”.例如：“高一一班全體同學(xué)考試合格”，這是一個(gè)非常明了的命題，實(shí)在沒有必要說 成“高一一班的張三考試合格且李四同學(xué)合格、且，”.標(biāo)準(zhǔn)不要求一般的討論“命題的否定”，.標(biāo)準(zhǔn)只要求能正確地對(duì)“含有一個(gè)量詞第四，“非”的含義就是對(duì)“命題的否定” 而要求通過具體的實(shí)例體會(huì)“命題的否定”的含義 的命題”進(jìn)行否定例如：所有的正方形都是矩形；該命題的否定是：存在一個(gè)正方形不是矩形.顯然原命題是真命題，其否定是假命題 .所有的一元二次方程都有實(shí)數(shù)解；該命題的否定是：存在一個(gè)一元二次方程沒有實(shí) 數(shù)解.顯然原命題是假命題，其否

41、定是真命題 .1至少存在一個(gè)銳角 a使得sin fl! = 2 ;該命題的否定是：每一個(gè)銳角 4都使得1sin A * 2 .顯然原命題是真命題，其否定是假命題.第五，通過一些具體的實(shí)例來理解命題否定的作用命題的否定常?？梢詭椭覀冏C明一些結(jié)論例如：在中，為了說明原命題是假命題，只需要找到一個(gè)無實(shí)數(shù)解的一元二次方程即可 . 這就幫助我們證明了原來的命題是錯(cuò)誤的 . 這是數(shù)學(xué)中常用的一種思考和解決問題的方式 .( 5 )如何理解新增內(nèi)容“量詞”的要求第一，結(jié)合具體命題來理解全稱量詞、存例量詞的意義，了解全稱量詞和存例量詞例日常生活和數(shù)學(xué)中的各種表達(dá)形式.例如：可以結(jié)合下面的具體命題來理解全稱量詞

42、的意義 .(1) 所有正方形都是矩形；(2) 每一個(gè)有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)的形式；(3) 一切三角形的內(nèi)角和都等于1800(4) 有些三角形是直角三角形；(5) 如果兩個(gè)數(shù)的和為正數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是正數(shù)；(6)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得x2+x-1=0例以上命題的條件中，“所有”、“每一個(gè)”、“一切”等都是例指定范圍內(nèi)，表示整體或全部的含義，這些詞都是全稱量詞; “有些”、“至少有一個(gè)”“存例”等都表示個(gè)別或一部分的含義，這些詞都是存例量詞.通常，全程量詞的表達(dá)形式有“所有”、“每一個(gè)”、“一切”“任何一個(gè)”“任意一個(gè)”等，存例量詞的表達(dá)形式有“有些”、 “至少有一個(gè)” “存例” “有一個(gè)”

43、、 “至少” 等.第二，通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例，體會(huì)“量詞”例數(shù)學(xué)中和日常生活中的作用 .全稱量詞、 存例量詞是數(shù)學(xué)中和日常生活中使用頻率很高的一種邏輯用語 . 大量的數(shù)學(xué)命題都要使用這樣的邏輯用語.例如，每一個(gè)等腰三角形的兩個(gè)底角相等，過直線外一點(diǎn)存例唯一的一條直線與該直 線平行，就使用了全稱量詞和存例量詞在大學(xué)的學(xué)習(xí)中， 對(duì)數(shù)列極限的概念的刻畫，就需要多次使用全稱量詞和存在量詞 于每一個(gè)數(shù)列儀J ,如果存在一個(gè)常數(shù) A ,對(duì)于任意（所有）的 ,存在一個(gè)N ,對(duì) 任意（所有）的n （n>N）,都有%一$<£ ,則稱A為數(shù)列4）的極限.在日常生活中， 這樣的例子也很多

44、.第三，標(biāo)準(zhǔn)只要求理解和掌握含有一個(gè)量詞的命題.不要求理解和掌握含有兩個(gè)或兩個(gè)以上量詞的命題.對(duì)于命題的否定，只要求對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定例如，對(duì)于北京市任何一所高中，都至少有一個(gè)學(xué)生能跳過1米5的高度.在這個(gè)命題中，有兩個(gè)量詞“任何一所”、“至少有一個(gè)”，對(duì)于這樣的命題，不要 求學(xué)生理解和掌握，也不要求對(duì)這樣的命題進(jìn)行否定（三）例題分析例1給出下列命題：“若上。，則關(guān)于?+2x-t = 0的方程有實(shí)根”的逆命題；“若a>b,則2a>2b1”的否命題；“若 = B,則 AqB 的逆否命題；命題“訴R，若1二 °,則I，J全為0”的否命題其中真命題的序號(hào)是_思路分析：

45、首先寫出相應(yīng)命題：若關(guān)于x的方程一+2工一上工。有實(shí)根，則上>0若心冽2y 2”-1；若乂C瓦則NUE.wR,若/ + y' 二 °,則見了不全為0分別判斷知：若關(guān)于 X的方程? +2x-i0有實(shí)根，則上:一1 ,故命題為假；a = Ofb=取2 ,命題不成立；由互為逆否命題同真同假，故可直接判斷原命題，知命題為真；由實(shí)數(shù)性質(zhì)知，命題不成立 .綜上知真命題序號(hào)為.點(diǎn)撥：（1）互為逆否命題同真同假，故可直接判斷原命題，此種等價(jià)性常被認(rèn)為是 反證法理論基礎(chǔ)，盡管此說法不完全對(duì).（2）“若9則g ”形式命題它的否定形式不等于否命題.否定形式是對(duì)命題結(jié)論的否定;否命題是將命題題

46、設(shè)、結(jié)論分別否定.例2若命題“，或g ”是真命題，命題“衣且?！笔羌倜}，則（）a.命題p是假命題b.命題q是假命題c.命題p與命題q真值相同d.命題p與命題“非q ”真值相同思路分析：要分清命題的構(gòu)成，準(zhǔn)確了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義? p或q為真，.二p或g中至少有一個(gè)為真.又？ “p且?！睘榧伲瑉. p，q中一真一假.綜上可知，答案為d.例3.寫出下列命題的“否定”，并判斷其真假.（1） p: ¥ x e R, x2-x+ 4 > 0(2) q(3) r :R, x2+2x+2W0(4) s：至少有一個(gè)實(shí)數(shù) x,使x3+1=0.E-F：立、口，e 人 g靠1

47、£ R,P 7+1(.與之口思路分析：(1)4 ,這是假命題，因?yàn)?2恒成立.(2)->。：至少存在一個(gè)正方形不是矩形，是假命題.-iF Fx E R,X'+2l +2 >0,是真命題，這是由于予XER,/+2x+2n(x+l)'+l" > 。成立.(4) -iS：VxeR, +10,是假命題，這是由于 x=-1 時(shí)，x3+1=0.例4分別寫出由下列命題p和。構(gòu)成的命題：“ p或q ”， “p且?！奔啊胺莗”， 并判斷其真假.P:矩形的對(duì)角線互相垂直；q ：函數(shù))二cos1的圖象是中心對(duì)稱圖形.思路分析：“ P或9” ：“矩形的對(duì)角線互相垂

48、直或函數(shù) y二cos1的圖象是中心對(duì)稱圖形”，此為真命題，因?yàn)?°為真命題.“p且q ” “矩形的對(duì)角線互相垂直且函數(shù)y二co$工的圖象是中心對(duì)稱圖形”，此為假命題，因?yàn)?P為假命題.“非P” “存在一個(gè)矩形，它的對(duì)角線不互相垂直”，此為真命題 可以看出：先確定p和。的真假，再確定“ p或q ”,(p且g ”及“非p ”，的真假.、學(xué)習(xí)目標(biāo)的檢測(cè)（一）基本要求突出實(shí)例，淡化形式例如，對(duì)于一個(gè)具體命題，理解它的否定命題的真假并不難 . 但是，對(duì)于一般形式的命題“若 p 則 q ”，認(rèn)識(shí)這個(gè)命題否定的含義就比較困難，因此不要求形式的討論這類問題.注重聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)本質(zhì)在這部分內(nèi)容的檢測(cè)中

49、，應(yīng)以學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)正確的使用邏輯用語，加深對(duì)已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系和數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí) .例如，在充要條件的檢測(cè)中，可以勾股定理和直線斜率的刻畫為具體實(shí)例.勾股定理反映了三角形三邊之間的一種特殊關(guān)系 . 這種特殊關(guān)系是刻畫直角三角形的一個(gè)充分必要條件， 有了這個(gè)條件， 我們就可以通過邊的長度之間的關(guān)系來研究幾何中的直角三角形 .兩條直線的方向向量的數(shù)量積等于零是刻畫兩條直線垂直的充分必要條件，有了這個(gè)條件，我們就可以利用向量的代數(shù)運(yùn)算來研究幾何中的垂直問題 .重視使用在今后教學(xué)過程中，要結(jié)合具體數(shù)學(xué)內(nèi)容不斷的使用常用邏輯用語，加深對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識(shí) .例如，

50、在用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性時(shí)，有這樣的結(jié)果：一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)，如果每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都大于零, 則該函數(shù)為增函數(shù) .由上述結(jié)論可以知道“每一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)大于零”是“函數(shù)為增函數(shù)”的一個(gè)充分條件. 所以上述結(jié)論可以作為一個(gè)判定函數(shù)單調(diào)性的定理. 那么，“每一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)大于零”是否是“函數(shù)為增函數(shù)”的必要條件？以函數(shù)y=x3為例.我們知道函數(shù)y=x3是增函數(shù)，是否能保證“每一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)大于零”？這是一個(gè)含有全稱量詞的命題.但是，我們知道y=x3在x=0處的導(dǎo)數(shù)等于零.這說明“函數(shù)為增函數(shù)”無法保證“每一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)大于零” . 即“每一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)大于零”只是“函數(shù)為增函數(shù)”的充分條件，而不是必要條件. 這個(gè)例子也說明了，如何對(duì)

51、含有全稱量詞的命題進(jìn)行否定.（二）某些具體內(nèi)容的檢測(cè)要求命題及其關(guān)系的檢測(cè)第一、對(duì)于“命題以及命題的逆命題、否命題、逆否命題”的檢測(cè)要從具體實(shí)例出發(fā)， 不要形式化的討論.例如：已知命題“若 m>0,則關(guān)于x的方程x2+x-m =0有實(shí)數(shù)根”,試寫出它的逆命題、 否命題和逆否命題，并分別判斷它們的真假.第二、這部分檢測(cè)的重點(diǎn)應(yīng)放在“充分條件、必要條件、充要條件的理解”上，對(duì)于 “充分條件、必要條件、充要條件”的檢測(cè)要求應(yīng)該參照前面的具體要求與深廣度分析中的 相關(guān)部分.例如，J 的一個(gè)充分不必要條件是 ?A QJ B、»”口 C、工7 D、例如，下列“若p,則q”形式的命題中，p是

52、q的什么條件？若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的面積相等；若如二口，則4 = 口 ；若力二口，則函數(shù)是偶函數(shù)；若1=2,貝U F-3二57.在檢測(cè)中，應(yīng)該注意在討論“充分條件、必要條件、充要條件”時(shí)，首先應(yīng)該考慮命題是否是真命題.上述例子中，“若ab = 口，則口 = 0 "不是真命題，這時(shí)，我們需要判斷 “若 c=0,則曲二0”是不是真命題.由于它是真命題，所以 加二口是口 =0的必要條件.因此我 們不要去形式的討論“若 p則q”這種命題的充分條件和必要條件.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞的檢測(cè)第一、對(duì)于簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的教學(xué)，也要通過具體實(shí)例， 幫助學(xué)生了解它們的含義.例

53、如:a）尸：或是無理數(shù)，q： 0大于1,寫出“ P且?1 ”，“闞”，“非尸”的 形式，并判斷他們的真假.>0<0b）用p：工之一1-2表示實(shí)數(shù)滿足的條件，用 q：工口一工-2表示實(shí)數(shù)滿足的另一個(gè)條件.“非p”是否等于q?顯然，x=2不滿足條件p,也不滿足條件q.由于x=2不滿足條件p,所以x=2滿足條件 “非p” .因此，“非p”不等于q.這個(gè)例子有助于理解“條件”（命題）的“非”.在對(duì)“非”的學(xué)習(xí)中，最基本的性質(zhì)是“條件”（命題）和“條件”（命題）的“非”，不能同時(shí)成立.在檢測(cè)中，要注意一個(gè)條件（命題）和這個(gè)條件（命題）所確定的集合是不同的概念第二、檢測(cè)中只要求用這些邏輯聯(lián)結(jié)詞

54、作“合成”，不要求對(duì)復(fù)合命題“分解”.全稱量詞與存在量詞的檢測(cè)第一、量詞的檢測(cè)也需要通過實(shí)例，幫助學(xué)生理解全稱量詞與存在量詞的意義第二、檢測(cè)中只要求理解和掌握含有一個(gè)量詞的命題，對(duì)于含有量詞的命題的否定， 也只要求對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.例如：對(duì)于給定命題“所有能被 3整除的整數(shù)都是奇數(shù)”，寫出它的否定命題.學(xué)生有如下的解答：存在一個(gè)能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù).有些能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù).有些能被3整除的整數(shù)是偶數(shù).所有能被3整除的數(shù)不都是奇數(shù).并非所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù).這些解答都是正確的、 本質(zhì)上是一致的.有的老師在教學(xué)中， 要求學(xué)生寫出幾種不同的 解答形式，這是不必要的.也有

55、同學(xué)解答為：所有能被 3 整除的數(shù)都不是奇數(shù) . 這個(gè)解答是錯(cuò)誤的互動(dòng)對(duì)話【參與人員】張 鶴：北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校關(guān) 健：北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校薛鐘?。罕本┦泻５韰^(qū)教師進(jìn)修學(xué)?！净?dòng)話題】1在“集合”的教學(xué)中如何解決好初高中數(shù)學(xué)的銜接問題？提要：集合教學(xué)是高中數(shù)學(xué)的第一節(jié)內(nèi)容，不僅從知識(shí)上看，集合作為數(shù)學(xué)語言，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和工具， 而且從學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的角度看， 如何思考數(shù)學(xué)問題、 如何解決數(shù)學(xué) 問題，也是這部分內(nèi)容教學(xué)的重要議題，它為學(xué)生打好整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)至關(guān)重要2在教學(xué)中如何落實(shí)“集合是作為一種數(shù)學(xué)語言來學(xué)習(xí)的”？提要：根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的要求，高中數(shù)學(xué)課程只將集合作為一種語言來學(xué)習(xí)。因此，學(xué)習(xí)集合初步知識(shí)的目的主要在于能使用最基本的集合語言表示有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象， 發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的能力。 在教學(xué)中，可以將集合語言與自然語言及圖形語言進(jìn)行比較， 并注意創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生使用集合語言進(jìn)行表達(dá)和交流的豐富情境和機(jī)會(huì)， 特別是在學(xué)習(xí)集合間的關(guān)系和運(yùn)算時(shí)，要重視使用Venn 圖，以便學(xué)生在實(shí)際使用中逐漸熟悉自然語言、集合語言、圖形語言的各自特點(diǎn)，并能根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，從中感受集合語言的意義和作用。3在集合的教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力？提要：研究集