定積分的應(yīng)用一十一

1、275第十章定積分的應(yīng)用1平面圖形的面積1. 求由拋物線y=x2與y=2-x6所圍圖形的面積.解 兩曲線的交點(diǎn)是,所以所圍的平面圖形的面積為S(2 - x7) - x2dx=8.312. 求由曲線y = lnx與直線x=一，x=10, y=0所圍圖形的面10積10 1 10解S = J1|ln xdx = h (In x)dx + J In xdx10 101110=(xln xx)+(xln xx)11103.拋物線y2=2x把圓x2y28分成兩部分，求這兩部分面積解 拋物線y2=2x與圓x2y2=8的交點(diǎn)P(2,2),Q(2,-2),如圖10-1 所示,拋物線y2=2x把圓分成s、S2兩部

2、分，記它們的面積分 別為A2，則21-y2衛(wèi)84A=8 -y2dy = 89 10仃cos20dT - = +2兀2兀所以A3=2A26羊9394A2=8二- A =82二=6,33276氣2 1.寸3 3277圖 10-24.求內(nèi)擺線x二acos3t, y二asin3t(a 0)所圍圖形的面積10-2).解所圍圖形的面積a0s =40ydx =4二y(t)x(t)dt2= 12a J (sin4t -sin6t)dt3舊11-8 .5.求心形線r =a(1 cos)(a 0)所圍圖形的面積 解所圍圖形的面積為1,兀2兀22S=2r2(r)d =a2(1 cos)2dr2 j0$011.2 -

3、=oa (1 2c o s co s)dA、y /(如圖6.解JJ-QA(2co s co 7)d7102232a.2求三葉形曲線r =asin3“a 0)所圍圖形的面積.如圖 10-3 所示，所求的面積為1亡S =6 二a2n6a2sin23mr2 02787.求由曲線,|- a b解 曲線與x軸交點(diǎn)（a,0）,與 y 軸交點(diǎn)為（O,b）,y =所以，所求面積為S：（） AA=2ab：1-t）2tdt =ab.068.求由曲線x二t-t3,y =1-t4所圍圖形的面積.解 當(dāng)-1,1時(shí),x=0, y =0.故當(dāng)t由-1變到 1 時(shí),曲線從原點(diǎn)出 發(fā)到原點(diǎn)，構(gòu)成了一個(gè)封閉曲線圍成的平面圖形，故

4、11CS =4 y t x t dt二斗1 t41 3t2dt二11-t4-3t23t6dt衛(wèi).4359.求二曲線 r =si 與r3 co所圍公共部分的面積解如圖 10-4 所示，解方程組/V b；bx !/a丿y=1（a,b 0）與坐標(biāo)軸所圍圖形的面積.=a4S10-3279r =s in日j =V3cos9所圍公共部分的面積31:sin r2d二IT百1cos23-02i ,3 cosJd v23TT321 cos2f -2d=23280-sin2二IL 2JI0 LRJI324410.求兩橢圓2X2a2-y2=1(a 0,b 0)所圍公共a部分的面積解如圖 10-5 所示圖形關(guān)于兩坐標(biāo)

5、軸對(duì)稱，故只須求第一象限的 圖形面積.在第一象限內(nèi)，解得交點(diǎn)為（ab/ a2b2,ab/、：a2b2）又根據(jù)對(duì)稱性，所求面積S =8S1,其中abarcsin=ab0(b、：1_務(wù)_x)dxb2 22221 a bta勺COS2tdto-2abbarcs in-2a2b2abbarcsi n -vab22 a2bab2ab 1 a2b2a2b22 a2b2所以,S = 4aba ar csiba b22812由平行截面面積求體積1.如圖 10-6 所示，直橢圓柱體被通過底面短軸的斜平面所截，試求截得楔形體的體積解 如圖 10-6 所示建立直角坐標(biāo)系，則橢圓柱面的方程為，斜面的方程為2.求下列平

6、面曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所圍成立體的體積(1)y =sinx，0Lx_;繞x軸；(2)x = a(t -sin t)，y = a(1 -cost)(a 0)，0 t -2二，繞x軸;r =a(1 cosE(a 0),繞極軸；10-61002X16用平面X =t截這個(gè)立體，得一長(zhǎng)方形，其邊長(zhǎng)t-100，2，所以從而A(x) =4x；1100S1D-5-X2dx妙10032282已知球半徑為 r,驗(yàn)證高為 h 的球缺體積V =yh2r - h汀I 3丿:_球缺體積可看作是曲線y =：r2- x2,r - h - x - r繞x軸2Xa2-占=1,繞y軸.b2.H 2兀兀7二osin xdx = o (1 -

7、 cos2x)dx1x-一s i 2x2 |L 2(2)V=兀 a2(1 cost)2d a(t sint)Tt 2JI0 _ 2= a22二3(1 cost) dt-02二23(1一3 cost 3 cos t -cos t) dt(3)r =a(1 +co 出)(aAO)是心臟線，而；x=a(1+cos)cos,ony =a(1 +c o 0) s i 0是心臟線極軸之上部分的參數(shù)方程，故2-TL2JT2V = j3吟dx - 2兀y dx10TT=a3* (sin3v 2sin3JCOS Jsin3vcos2r)(1 2cosv)dv8 a.3_原方程可寫成x =a_1-y2/b2,所以

8、I 42dy a b.3V = J欣2dy =2 J兀a21-b2yb22.283| 213r_.2h ,；=/xx 1=砧丨r一一i.13山I 3丿4.求曲線x = acost,y=asin t所圍平面圖形(圖 10-7)繞x軸 旋轉(zhuǎn)所得立體的體積.a亠5.導(dǎo)出曲邊梯形0空y空f(x),a空x豈b繞y軸旋轉(zhuǎn)所得立體的體 積公式為bV=2二xf(x)dx.a證明用元素法和柱殼法證明本題.所謂柱殼法，就是把旋轉(zhuǎn)體看 成是以y軸為中心軸的一系列圓柱形薄殼組成的(圖 10-8),以此柱殼的體積作為體積元素.當(dāng) dx 很小時(shí)，此小柱殼的高可看作不變，即為圓 柱薄殼.旋轉(zhuǎn)而得到的，所以體積為2 ,JI

9、r _h “ r _h r二二hr -hr2Vy dx =(r2-x2)dx解Vy2dx_af02633r=二a sin td(acos t)二-3a n323=a.105sin71 cos2tdtny尸血284在區(qū)間x, x dx上的柱殼體積，即體積元素dV =2x dx f(x) =2:xf(x)dx,于是旋轉(zhuǎn)體體積bbV = dV =2二xf (x)dx.aa6.求0豈y ms in x,0豈x乞二所示平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得立體的 體積.解曲線可分成兩部分x = arcs in y,0 _ y _1x-二-arcsin y, 0 _ y _1用y二t截這個(gè)立體，其截面面積為A(t)二二(

10、専一ar csit# -( arcsti)n r:3-2二2arcst n即面積函數(shù)為A( y) _二3_2二2arcsin y,故1V =(二3-2二2arcsi ny)dy=2二2.-03平面曲線的弧長(zhǎng)與曲率1.求下列曲線的弧長(zhǎng)：3 (1)y =x2,0 _x _4;(2)x. y=1;33(3)x =acos t, y = asin t(a 0),0_t_2二；(4)x =a(cost t si nt), y=a(si nttcost)(a 0),0_t_2二；3日厲(5)r =asin (a 0),0上二上3二;3(6)r =a(a 0),0 0), 由于r(0)=2a.rl衛(wèi)=asi

11、n v =0, r * = aCOS T卄=a.故它在 v -0 處的曲率為(2a f _2a(_a)3K-(2a23/24a曲率半徑為R=14=a,K 3曲率圓的圓心在x軸上，半徑為4a,方程為3(2af 2162x _y a.39*6.證明拋物線y =ax2 bx c在頂點(diǎn)處的曲率為最大 證 在點(diǎn)(x, y)處拋物線y二ax2bx c的曲率半徑為1(1+y2)3/2(4a2x2+4abx + b2+1)3R(x)=一 =- - -=-k |y2|a|令f(x) =4a2x24a bx b21則f (x) =8a2x 4ab, f (x) =8a2故當(dāng)xb時(shí)，f(-衛(wèi))=0, f (-) =

12、8a20,2a2a2a拋物線的頂點(diǎn)，故在此點(diǎn)拋物線y=ax2bx c的曲率為最大*7.求曲線y=ex上曲率最大的點(diǎn) 解由于yy”=ex,故曲率這時(shí)f(x)取得最小值，所以R(x)也最小,而點(diǎn)b2a4ac -b24a正是291xK= (1 A21dK _ex(1 _2e2x)(1 e2x)2dxInQ所以，x =-是穩(wěn)定點(diǎn)，且當(dāng)X :：-In、2時(shí),k (x) 0;當(dāng)2x -1 n 2時(shí)，k (x)：0，故k(x)在 x =-In -.2取得極大值,從而曲線 在點(diǎn)ln J2,處曲率最大.2I4旋轉(zhuǎn)曲面的面積1.求下列平面曲線繞指定軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積:(1)(2)(4)解(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)體側(cè)面

13、積公式，得旋轉(zhuǎn)曲面的面積為S = 2二sin x . 1 - cos2xdx =2二.2 ln(. 2 1). 0(2)旋轉(zhuǎn)曲面的面積為S =2二y x2y2dt1 02：-:-二2二 a(1 -cost)：a2(1 -cost)2a2sin2tdt(3)因?yàn)閤 =a，-byb.所以旋轉(zhuǎn)曲面的面積為(1 e2x)3y =sin x,0 _ x_ :,繞x軸；x =a(t -sint), y =a(1 -cost)(a 0),0t込2二,繞x軸;2 2 與,繞y軸；a bx2+(y a)2=r2(r a),繞x軸.292fbx(y)J1 +x&y)dy _b爭(zhēng)：b(二 b 時(shí)，2S =4

14、二ab =4二a，b 時(shí)，b時(shí),S =2冊(cè)a + b2arcs in-囂b2- a2b(4)此旋轉(zhuǎn)體的表面可看作是由兩個(gè)半圓一r _ x _r+：22y = a . r x22y = a _ . rx繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積S=2f (a+lr2_x2fl +dxJ: rx+ 2 i (a -1 r - x ).1J2X .22dxr - xr=4二a-4：rdx2 2 X-r2=4- ar.-p-x=4二ra arcsin -r2.設(shè)平面光滑曲線由極坐標(biāo)方程r二r(),a _ _：a,卩-0,二！_0給出，試求它繞極軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積計(jì)算公式解因?yàn)閤 =r( 日Cos日y = r

15、v sin v2 2b )y dyS =2沏a +b2in& 一b2 a是293294x2i) -y2(捫=r2(捫r2所以S=2二r(d)si n r2(r) r2(力dx* a13試求下列極坐標(biāo)曲線繞極軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積(1) 心形線r =a(1 cosv)(a0)；(2) 雙紐線r2=2a2cos2v(a 0).解(1)把所給曲線化成以 二為參量的參量方程，x =a(1 cos COS Ty =a(1COST) sin v.據(jù)對(duì)稱性和參量方程曲線旋轉(zhuǎn)體表面積公式，S =2二y(r). x2(r) y2(力dr* 0=2二qa(1 co s)si n 2a322a.5(2)曲

16、線的參數(shù)方程為：x = ,2a2cos2v cosy = 2a2cos2r sin亠由曲線的對(duì)稱性S=2 2叮42a2co昶si n=8 a2Jsin如-8(12)a2.5定積分在物理中的某些應(yīng)用1.有一等腰梯形閘門，它的上、下兩條底邊各長(zhǎng)為 10 米和 6 米, 高為20 米計(jì)算當(dāng)水面與上底邊相齊時(shí)閘門一側(cè)所受的靜壓力2a2del是295解 建立如圖 10-9 所示坐標(biāo)系，過A(20,3),B(0,5)兩點(diǎn)直線方程296y -5 x -0 x，即y5.3 -520 -010在微小區(qū)間x,x dx上的壓力元素dP nx2y dx=2x(5血)dx.2020 xP = o dP = j 2x(5

17、 )dx=1466.7(噸)=1466.7X9.8=14374(kN).2.邊長(zhǎng)為a和b的矩形薄板，與液面成a（0 : a：90）角斜沉于 液體中，設(shè) a b,長(zhǎng)邊平行于液面，上沿位于深 h 處,液體的比重為-.試 求薄板每側(cè)所受的靜壓力解 建立如圖 10-10 所示坐標(biāo)系，設(shè)M為液平面，矩形薄板 ABCD 與液面成：角，短邊AD所在直線與液面的交點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn) O.OA 方向?yàn)閤軸正向.由題設(shè)知：AB = a 在液體深 h 處與液面平行所以sin ，即OA，而OD =OA bhb.OAsi n。si na由于薄板沉于液體中，故它每面所受的壓力大小相等，方向相反，現(xiàn)觀察薄板上的小薄片所受壓

18、力的壓力元素.在AD上任一坐標(biāo)為x的點(diǎn)x處與液面的距離為 xF .則 xF 二 xsin，壓力元素為所以圖 10-9是297dP =vxsin _：: adx= avsin _：: xdx .所以298旳1Ps（T-avsinj xdx abv（2h bsin :）.sin a23.直徑為 6 米的一球浸入水中，其球心在水平面下10 米處，求球面上所受的靜壓力解 取x軸和y軸如圖 10-11 所示，當(dāng):x很小時(shí)，球面從x到x的一層F上各點(diǎn)的壓強(qiáng)等于水的比重1（噸/米2）乘以深度，而F上各點(diǎn)壓強(qiáng)x（噸/米2）.F的面積、2二、32-（x -10）2.：x（米2）所以在AF上所受的壓力P x 2-

19、 .32-（x -10）2 .：x（噸）從而dP =2 二 x 32-（x-10）2dx,于是P =2二7 x 32-（x -10）2dx =90二2（噸）=1108.35（kN）.即球面上所受的壓力為90二2（噸）=1108.35（ kN ）.4.設(shè)在坐標(biāo)軸的原點(diǎn)有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn),在區(qū)間a, a l 1 （a 0）上有一質(zhì)量為M的均勻細(xì)桿試求質(zhì)點(diǎn)與細(xì)桿之間的萬有引 力解 建立如圖 10-12 所示坐標(biāo)系，WxHio-iiDr299則dfkM2dx所以第二個(gè)細(xì)桿對(duì)x , x dx 1的引力dx(x-x)2df2 c 2lkM dxc 2l+ df = f +dx(x -x)2E10-12取x

20、為積分變量，則x a, a l1.在la, a l上取區(qū)間X,x dx 1則這所以5.設(shè)有兩條各長(zhǎng)為 I 的均勻細(xì)桿在同一直線上，中間離開距離c, 每根細(xì)桿的質(zhì)量為M.試求它們之間的萬有引力.（提示:在第 4 題的基 礎(chǔ)上再作一次積分.）解 建立如圖10-13 所示坐標(biāo)系，在兩個(gè)均勻細(xì)桿上分別取x , x dx J和x,x dx兩小段，設(shè)其質(zhì)量都集中在點(diǎn) x 和x上.8110-13一小段的細(xì)桿看作一質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為M dx.l從而df二. M k m dxl2xkmM4dx.xa ldfaa 1kmM 12dxal xkm Ma l1 , km Mdx=x a(a l)kMdxMdx(x-x2l

21、23006.設(shè)有半徑為r的半圓形導(dǎo)線，均勻帶電，電荷密度為、：，在圓心 處有一單位正電荷試求它們之間作用力的大小解 建立如圖 10-14 所示坐標(biāo)系，相應(yīng)于小區(qū)間*I 上的微rdr kdrdf二k22kM dx11( ).I2c+l -x c+21 -x則第二個(gè)細(xì)桿對(duì)第一細(xì)桿引力lf df dx二nkM21)dxc 21-xl22L In(c l - x) In(c 21 - x )丨-In 蟲 -oI2c(c十21)l2弧長(zhǎng)ds二rd二， 把它看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)力微元，它對(duì)圓心處的單位正電荷的作r301rr7.一個(gè)半球形（直徑為 20 米）的容器內(nèi)盛滿了水試問把水抽盡 需作多少功？解 建立如圖 1

22、0-15 所示坐標(biāo)系，以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直向下為x軸的正方向，水平向右為y軸的正方向，把容器中的深度為 x 到x Ax 的一層水量T抽出容器所作功為.VW 則AW =x、AT的體積水的比重而.汀的體積：、二（102x2） .：x（米3）.水的比重為 1000（公斤/米3）,所以.W=1000 二 x（102-x2）.：x（公斤米）,dW =1000二x（102_x2）dx（公斤米）10W = 0 1000二X（102-X2）dx =25 二 105（公 斤米）8.長(zhǎng) 10 米的鐵索下垂于礦井中，已知鐵索每米的質(zhì)量為 8 千克,問將此鐵索提出地面需作多少功？其中k為常數(shù).由密度均勻和對(duì)稱性知由

23、于dfy二dfsin二-:所求作用力分力fx=O,下求fyksinQr圖 10-14即引力f的大小為經(jīng)S10-15所以302解 取x軸正向?yàn)殍F索的下垂方向，當(dāng)厶 X 很小時(shí)，把 x 到x泳一段鐵索提出地面所作的功為W :x 8 x（公斤米），即dW = 8xdx（公斤米）10于是W 8xdx = 4 0 0公斤米）=3920（千焦）.39.一物體在某介質(zhì)中按x=ct作直線運(yùn)動(dòng)，介質(zhì)的阻力與速度dx的平方成正比計(jì)算物體由 X = 0 移至X二a時(shí)克服介質(zhì)阻力所作dt的功解 建立如圖 10-16 所示坐標(biāo)系，由題設(shè)條件知物體所受阻力0 x2S10-15f，則在小區(qū)間k，x +dx】上物體克服阻力所

24、作的Idt 丿dx 冃功：dW = fdx = k | dx dt 丿3dX22因?yàn)?，x = ct.所以,3ct,dx = 3ct dt.dt于是dW =k9c2t43ct2dt =27c3kt6dt.1當(dāng)X =0時(shí),t =0;當(dāng) X 二 a 時(shí), -3.2 丿a a,a3所以W dW fdx二c27c3kt6dtJ 0J 0J 072Bka3c3.710.半徑為r的球體沉入水中，其比重與水相同試問將球體從中 撈出需作多少功？解建立如圖 10-17 所示坐標(biāo)系，將球從水中取出需作的功，相應(yīng)于303將l-r,r 1上許多薄片都上提2r的高度時(shí)需作功之和在x處厚度為 dx的一小薄片，它由A提升到B

25、時(shí),在水中行程為r x,在水上行程為2r(r x) =rx.由題得知，球的比重與水的比重相同，因此薄片所受浮力與重力合 為零.因此,此薄片在水中由A上升到水面時(shí)，提升力為 0,不作功，由水 面再上升到B時(shí),克服重力作功dW = F S二mg(r - x) = (r - x) 1二y2(x)dx g3042 2=(r -x)二 g(r - x )dxr44從而W dW gr.”3* 6 定積分的近似計(jì)算2dx蘭（將積分區(qū)間十1x等分）.解（1） 梯形法0.1 (0.750.9090.8330.7690.7140.6670.625 0.5380.556 0.526)=0.1 (0.75 6.187

26、) =0.6938.(2)拋物線法2dx112020202020201 h u 421x60 IL 221 233922 2438 1.5 4 6.929 2 6.187 1 600.6931 .1.分別用梯形法和拋物線法近似計(jì)算2蟻丄3.101x 10 41110+ 卡1210193052.用拋物線法近似計(jì)算二目x（分別將積分區(qū)間二等分、0 x等分、六等分）.解 n =2 時(shí)，n =4 時(shí),3061 48s in二旦si n竺 亙s in竺|83二85二81.8522.n =6 時(shí),二sinx=二彳，12 .二2 212 . 5二12 . 7二dx 14 sinsinsin -0 x 36

27、|-12二5二127二124. 212. 1仁o33、323 33亠亠sin23二211二12二2二二4二5二10-16解由公式：bb -a |J f (x)dx =-騙+y2n+4(y1+y3+y2nJ) +a6n2d +y4 + +y2n得截面面積為：8S.0 0 4(0.50 1.30 2.00 1.20 0.55)5 62(0.85 1.65 1.75 0.85)44(4 5.55 2 5.1)(22.2 10.2)1515=8.64(米2)./2/28517 .3.圖 10-18 所示為河道某一截面圖，試由測(cè)得數(shù)據(jù)用拋物線法求 截面面積.3074.下表所列為夏季某一天每隔兩小時(shí)測(cè)得的氣溫30824一258+23.0+24.1+25.6+27.3+30.212 2+33.4+35.0+33.8+31.1+2