（整理版）考點(diǎn)10數(shù)列的綜合應(yīng)用

1、考點(diǎn)10 數(shù)列的綜合應(yīng)用一、解答題1. ·湖北高考理科·t19本小題總分值13分?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足： ， n*，.1求數(shù)列的通項(xiàng)公式；2假設(shè)存在 n*，使得，成等差數(shù)列，試判斷：對(duì)于任意的n*，且，是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.【思路點(diǎn)撥】(1)利用，將轉(zhuǎn)化為，再與 分兩種情況求解；2時(shí)易證明；時(shí)，由“存在使得成等差數(shù)列可得，據(jù)此可求出，最后可證明，即對(duì)任意的且時(shí)，有成等差數(shù)列.【精講精析】由，可得，兩式相減可得即，又，所以時(shí)，數(shù)列為：當(dāng)，時(shí)，由，所以，于是由，可得，成等比數(shù)列，綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為對(duì)于任意的n*，且，成等差數(shù)列.證明如下 ：當(dāng)時(shí)，由知，對(duì)于任意的n

2、*，且，成等差數(shù)列.當(dāng)，時(shí)，.假設(shè)存在，使得使得成等差數(shù)列，那么，即，由知，的公比，于是對(duì)于任意的n*，且，從而，即成等差數(shù)列.綜上，對(duì)于任意的且時(shí)，有成等差數(shù)列.2.·湖北高考文科·17本小題總分值12分成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列中的、.(i) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(ii) 數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：數(shù)列是等比數(shù)列.【思路點(diǎn)撥】()設(shè)等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為，由條件可構(gòu)造含有的方程組求解；()由先求出，再利用定義證明數(shù)列是等比數(shù)列.【精講精析】()設(shè)等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為a-d，a，a+d.依題意是，得a-d+a+a+d

3、=15，解得a=5.所以中的b3,b4,b5依次為7-d，10,18+d.依題意，有(7-d)(18+d)=100，解得d=2或d=-13(舍去).故的第3項(xiàng)為5，公比為2.由b3=b1·22，即5=b1·22，解得.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為：.()數(shù)列的前n項(xiàng)各，即.所以，.因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列.3·全國(guó)高考理科·20設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足且求的通項(xiàng)公式；設(shè)【思路點(diǎn)撥】解此題突破口關(guān)鍵是由式子得到是等差數(shù)列，進(jìn)而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.第ii問(wèn)求出的通項(xiàng)公式注意觀察到能采用裂項(xiàng)相消的方式求和.【精講精析】 (i) 是公差為1

4、的等差數(shù)列，所以(ii).4、·上海高考理科·t22數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，.將集合中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列1寫(xiě)出；2求證：在數(shù)列中，但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為；3求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【思路點(diǎn)撥】此題考查數(shù)列有關(guān)知識(shí)，利用兩個(gè)等差數(shù)列，組合成一個(gè)新的數(shù)列，進(jìn)而考察新數(shù)列性質(zhì)，以及求其通項(xiàng)公式，緊緊圍繞新數(shù)列的構(gòu)成特點(diǎn)是解決此題的關(guān)鍵?！揪v精析】1對(duì)數(shù)列，依次是9，12，15，18，21對(duì)數(shù)列，依次是9，11，13，15，17，19，21，所以，（2） 表示的是從12開(kāi)始的所有的能被6整除的數(shù)，當(dāng)然能被2整除，而表示的是從9開(kāi)始的所有奇數(shù)，故均不在中；再證明：項(xiàng)均在中，表

5、示的·是從9開(kāi)始除以6余3的數(shù)，故都是奇數(shù)，而表示的是從9開(kāi)始的所有奇數(shù)，故項(xiàng)均在中，這就證明了在數(shù)列中的的項(xiàng)恰好是所有的偶數(shù)項(xiàng).（3） 根據(jù)上面的討論可知6是數(shù)列在自然數(shù)中的截取周期，即在從9開(kāi)始連續(xù)的6項(xiàng)自然數(shù)中，第一項(xiàng)一定是與的公共項(xiàng)，第二項(xiàng)不存在于中，第三項(xiàng)一定是中的項(xiàng)，第四項(xiàng)一定是中的項(xiàng)，第五項(xiàng)是中的項(xiàng)，第六項(xiàng)不在中，這樣的話(huà)數(shù)列是以4為截取周期的，故的通項(xiàng)公式是5、·上海高考文科·t23數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，.將集合中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列1求三個(gè)最小的數(shù)，使它們既是數(shù)列中的項(xiàng)，又是數(shù)列中的項(xiàng)；2數(shù)列中有多少項(xiàng)不是數(shù)列中的項(xiàng)？請(qǐng)說(shuō)明理由；3

6、求數(shù)列的前項(xiàng)和.【思路點(diǎn)撥】此題考查數(shù)列有關(guān)知識(shí)，利用兩個(gè)等差數(shù)列，組合成一個(gè)新的數(shù)列，進(jìn)而考察新數(shù)列性質(zhì)，以及求其通項(xiàng)公式，緊緊圍繞新數(shù)列的構(gòu)成特點(diǎn)是解決此題的關(guān)鍵?！揪v精析】1顯然表示的是從9開(kāi)始能被3整除的所有的正整數(shù)，故最小的三個(gè)數(shù)為9，15，21（2） 可知6是數(shù)列在自然數(shù)中的截取周期，即在從9開(kāi)始連續(xù)的6項(xiàng)自然數(shù)中，第一項(xiàng)一定是與的公共項(xiàng)，第二項(xiàng)不存在于中，第三項(xiàng)一定是中的項(xiàng)，第四項(xiàng)一定是中的項(xiàng)，第五項(xiàng)是中的項(xiàng)，第六項(xiàng)不在中，3由2可得數(shù)列是以4為截取周期的，故的通項(xiàng)公式是因?yàn)?所以6、·四川高考文科·20是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，為它的前項(xiàng)和.當(dāng)成等差數(shù)列時(shí)，求的值；()當(dāng)成等差數(shù)列時(shí)，求證：對(duì)任意自然數(shù)也成等差數(shù)列.【思路點(diǎn)撥】直接利用求公比. ()當(dāng)時(shí)，顯然成等差數(shù)列. 當(dāng)時(shí)，即為 可得再證明成立.【精講精析】由得 當(dāng)成等差數(shù)列時(shí)， 可得化簡(jiǎn)得 解得 ()假設(shè)的每項(xiàng)，此時(shí)顯然成等差數(shù)列. 假設(shè)由成等差數(shù)列可得. 即 整理得 成等差數(shù)列.7.(·重慶高考理科·t21) 本小題總分值12分，()小問(wèn)5分，()小問(wèn)7分設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足n()假設(shè)成等比數(shù)列,求和;()求證:對(duì)有.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題目中的條件可以列出等式求和的值,靈活運(yùn)用題目中的條件,找到與的關(guān)系是求解第