（整理版）第五講圓錐曲線復(fù)習(xí)

1、第五講 圓錐曲線復(fù)習(xí)橢圓、雙曲線、拋物線分別是滿足某些條件的點(diǎn)的軌跡，由這些條件可以求出它們的標(biāo)準(zhǔn)方程，并通過分析標(biāo)準(zhǔn)方程研究這三種曲線的幾何性質(zhì)名 稱橢 圓雙 曲 線圖 象定 義 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)大于的動點(diǎn)的軌跡叫橢圓即 當(dāng)22時，軌跡是橢圓， 當(dāng)2=2時，軌跡是一條線段 當(dāng)22時，軌跡不存在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對值為常數(shù)小于的動點(diǎn)的軌跡叫雙曲線即當(dāng)22時，軌跡是雙曲線當(dāng)2=2時，軌跡是兩條射線當(dāng)22時，軌跡不存在標(biāo)準(zhǔn)方 程 焦點(diǎn)在軸上時： 焦點(diǎn)在軸上時： 注：是根據(jù)分母的大小來判斷焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上焦點(diǎn)在軸上時： 焦點(diǎn)在軸上時：常數(shù)的關(guān) 系 ， 最大，最大，可以漸近線

2、焦點(diǎn)在軸上時： 焦點(diǎn)在軸上時：1橢圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)距離之和等于定長定長大于兩定點(diǎn)間的距離的動點(diǎn)的軌跡2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：， 3橢圓的性質(zhì)：由橢圓方程() (1)范圍: ,，橢圓落在組成的矩形中(2)對稱性:圖象關(guān)于軸對稱圖象關(guān)于軸對稱圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱原點(diǎn)叫橢圓的對稱中心，簡稱中心軸、軸叫橢圓的對稱軸從橢圓的方程中直接可以看出它的范圍，對稱的截距3頂點(diǎn)：橢圓和對稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)橢圓共有四個頂點(diǎn)： ，加兩焦點(diǎn)共有六個特殊點(diǎn) 叫橢圓的長軸，叫橢圓的短軸長分別為 分別為橢圓的長半軸長和短半軸長橢圓的頂點(diǎn)即為橢圓與對稱軸的交點(diǎn) (4)離心率: 橢圓焦距與長軸長之比橢圓形狀與的關(guān)系：，橢圓

3、變圓，直至成為極限位置圓，此時也可認(rèn)為圓為橢圓在時的特例 橢圓變扁，直至成為極限位置線段，此時也可認(rèn)為圓為橢圓在時的特例 4橢圓的第二定義:一動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是一個內(nèi)常數(shù)，那么這個點(diǎn)的軌跡叫做橢圓 其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)就是離心率橢圓的第二定義與第一定義是等價的，它是橢圓兩種不同的定義方式5橢圓的準(zhǔn)線方程對于，左準(zhǔn)線；右準(zhǔn)線對于，下準(zhǔn)線；上準(zhǔn)線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦參數(shù)橢圓的準(zhǔn)線方程有兩條，這兩條準(zhǔn)線在橢圓外部，與短軸平行，且關(guān)于短軸對稱 6橢圓的焦半徑公式：左焦半徑,右焦半徑,其中是離心率 焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的焦半徑公式： 其中分別是橢圓的下上焦點(diǎn)焦半徑

4、公式的兩種形式的區(qū)別只和焦點(diǎn)的左右有關(guān)，而與點(diǎn)在左在右無關(guān) 可以記為：左加右減，上減下加7橢圓的參數(shù)方程8雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對值為常數(shù)小于的動點(diǎn)的軌跡叫雙曲線 即 這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距在同樣的差下，兩定點(diǎn)間距離較長，那么所畫出的雙曲線的開口較開闊兩條平行線 兩定點(diǎn)間距離較短大于定差，那么所畫出的雙曲線的開口較狹窄兩條射線 雙曲線的形狀與兩定點(diǎn)間距離、定差有關(guān)9雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及特點(diǎn)： 1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)y軸上兩種： 焦點(diǎn)在軸上時雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(,)； 焦點(diǎn)在軸上時雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(,)(2)有關(guān)系式成立，且其中

5、a與b的大小關(guān)系:可以為10焦點(diǎn)的位置:從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程不難看出橢圓的焦點(diǎn)位置可由方程中含字母、項的分母的大小來確定，分母大的項對應(yīng)的字母所在的軸就是焦點(diǎn)所在的軸 而雙曲線是根據(jù)項的正負(fù)來判斷焦點(diǎn)所在的位置，即項的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在軸上；項的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在軸上11雙曲線的幾何性質(zhì)：1范圍、對稱性 由標(biāo)準(zhǔn)方程，從橫的方向來看，直線x=-a,x=a之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線 雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心 2頂點(diǎn)頂點(diǎn)：，特殊點(diǎn)：實軸：長為2a, a叫做半實軸長 虛軸：長為2b，b叫

6、做虛半軸長雙曲線只有兩個頂點(diǎn)，而橢圓那么有四個頂點(diǎn)，這是兩者的又一差異3漸近線過雙曲線的漸近線 4離心率雙曲線的焦距與實軸長的比，叫做雙曲線的離心率 范圍：雙曲線形狀與e的關(guān)系：，e越大，即漸近線的斜率的絕對值就大，這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊 由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊 12等軸雙曲線定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線 等軸雙曲線的性質(zhì)：1漸近線方程為：；2漸近線互相垂直；3離心率 13共漸近線的雙曲線系如果一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：或?qū)懗?14共軛雙曲線以雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱

7、為原雙曲線的共軛雙曲線 區(qū)別：三量a,b,c中a,b不同互換c相同 共用一對漸近線 雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點(diǎn)在同一圓上 確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變?yōu)?1 15 雙曲線的第二定義：到定點(diǎn)f的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線 其中，定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線 常數(shù)e是雙曲線的離心率16雙曲線的準(zhǔn)線方程：對于來說，相對于左焦點(diǎn)對應(yīng)著左準(zhǔn)線，相對于右焦點(diǎn)對應(yīng)著右準(zhǔn)線；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離也叫焦參數(shù) 對于來說，相對于上焦點(diǎn)對應(yīng)著上準(zhǔn)線；相對于下焦點(diǎn)對應(yīng)著下準(zhǔn)線17雙曲線的焦半徑定義：雙曲線上任意一點(diǎn)m與雙曲線焦點(diǎn)的連線段，叫做雙曲線的焦半徑 焦點(diǎn)在x軸上的雙曲

8、線的焦半徑公式：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的焦半徑公式： 其中分別是雙曲線的下上焦點(diǎn)18雙曲線的焦點(diǎn)弦：定義：過焦點(diǎn)的直線割雙曲線所成的相交弦焦點(diǎn)弦公式： 當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時，過左焦點(diǎn)與左支交于兩點(diǎn)時： 過右焦點(diǎn)與右支交于兩點(diǎn)時：當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上時，過左焦點(diǎn)與左支交于兩點(diǎn)時：過右焦點(diǎn)與右支交于兩點(diǎn)時：19雙曲線的通徑：定義：過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的相交弦 拋物線：圖形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線20 拋物線定義：平面內(nèi)與一個定點(diǎn)f和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線 定點(diǎn)f叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線 21拋物線的準(zhǔn)線方程： (1), 焦點(diǎn):，準(zhǔn)線：(2), 焦點(diǎn):，準(zhǔn)線：(3), 焦點(diǎn):，

9、準(zhǔn)線：(4) , 焦點(diǎn):，準(zhǔn)線：相同點(diǎn)：(1)拋物線都過原點(diǎn)；(2)對稱軸為坐標(biāo)軸；(3)準(zhǔn)線都與對稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)在對稱軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱 它們到原點(diǎn)的距離都等于一次項系數(shù)絕對值的，即 不同點(diǎn)：(1)圖形關(guān)于x軸對稱時，x為一次項，y為二次項，方程右端為、左端為；圖形關(guān)于y軸對稱時，x為二次項，y為一次項，方程右端為，左端為 2開口方向在x軸或y軸正向時，焦點(diǎn)在x軸或y軸的正半軸上，方程右端取正號；開口在x軸或y軸負(fù)向時，焦點(diǎn)在x軸或y軸負(fù)半軸時，方程右端取負(fù)號 22拋物線的幾何性質(zhì)1范圍因為p0，由方程可知，這條拋物線上的點(diǎn)m的坐標(biāo)(x，y)滿足不等式x0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng)

10、x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸2對稱性以y代y，方程不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸3頂點(diǎn)拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)在方程中，當(dāng)y=0時，x=0，因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)4離心率拋物線上的點(diǎn)m與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示由拋物線的定義可知，e=123拋物線的焦半徑公式：拋物線，拋物線， 拋物線， 拋物線，24直線與拋物線：1位置關(guān)系：相交兩個公共點(diǎn)或一個公共點(diǎn)；相離無公共點(diǎn)；相切一個公共點(diǎn)將代入，消去y，得到關(guān)于x的二次方程 *假設(shè)，相交；，相切；，相離綜上，得：聯(lián)立，得關(guān)于x

11、的方程當(dāng)二次項系數(shù)為零，唯一一個公共點(diǎn)交點(diǎn)當(dāng)，那么假設(shè)，兩個公共點(diǎn)交點(diǎn)，一個公共點(diǎn)切點(diǎn)，無公共點(diǎn) 相離2相交弦長：弦長公式：，3焦點(diǎn)弦公式： 拋物線， 拋物線， 拋物線， 拋物線，4通徑：定義：過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的相交弦 通徑：5假設(shè)過焦點(diǎn)的直線傾斜角那么6常用結(jié)論：和和 25拋物線的參數(shù)方程：t為參數(shù) 講解范例：例1 根據(jù)以下條件，寫出橢圓方程 中心在原點(diǎn)、以對稱軸為坐標(biāo)軸、離心率為1/2、長軸長為8； 和橢圓9x2+4y2=36有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)(2，3)； 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，從一個焦點(diǎn)看短軸兩端的視角為直角，焦點(diǎn)到長軸上較近頂點(diǎn)的距離是分析： 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，首先要根據(jù)焦

12、點(diǎn)位置確定方程形式，其次是根據(jù)a2=b2+c2及條件確定a2、b2的值進(jìn)而寫出標(biāo)準(zhǔn)方程解 焦點(diǎn)位置可在x軸上，也可在y軸上，因此有兩解： 焦點(diǎn)位置確定，且為0，設(shè)原方程為,(a>b>0)，由條件有 ,故方程為 設(shè)橢圓方程為,(a>b>0)由題設(shè)條件有 及a2=b2+c2，解得b=,故所求橢圓的方程是例2 從橢圓,(a>b>0)上一點(diǎn)m向x軸所作垂線恰好通過橢圓的左焦點(diǎn)f1，a、b分別是橢圓長、短軸的端點(diǎn)，abom設(shè)q是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)qf2ab時，延長qf2與橢圓交于另一點(diǎn)p，假設(shè)f2pq的面積為20，求此時橢圓的方程解 可用待定系數(shù)法求解b=c,a=c，

13、可設(shè)橢圓方程為pqab,kpq=-，那么pq的方程為y=(x-c)，代入橢圓方程整理得5x2-8cx+2c2=0，根據(jù)弦長公式，得,又點(diǎn)f1到pq的距離d=c ,由故所求橢圓方程為例3 直線與雙曲線相交于a、b兩點(diǎn)，當(dāng)為何值時，a、b在雙曲線的同一支上？當(dāng)為何值時，a、b分別在雙曲線的兩支上？解： 把代入整理得：1當(dāng)時，由>0得且時，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)假設(shè)a、b在雙曲線的同一支，須>0 ，所以或故當(dāng)或時，a、b兩點(diǎn)在同一支上；當(dāng)時，a、b兩點(diǎn)在雙曲線的兩支上例4 雙曲線，過點(diǎn) a2，1的直線與雙曲線交于p、q兩點(diǎn)1求pq中點(diǎn)的軌跡方程；2過b1，1能否作直線，使與

14、所給雙曲線交于兩點(diǎn)m、n，且b為mn的中點(diǎn)，假設(shè)存在，求出的方程，不存在說明理由解：1設(shè)px1,y1、q(x2,y2),其中點(diǎn)為x，y,pq的斜率為k,假設(shè)pq的斜率不存在顯然2，0點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)假設(shè)pq的斜率存在，由題設(shè)知：1 22-1得： ，即3又代入3整理得：2顯然過b點(diǎn)垂直x抽的直線不符合題意只考慮有斜率的情況設(shè)的方程為y-1=k(x-1)代入雙曲線方程，整理得：設(shè)mx1,y1、n(x2,y2)那么有解得：=2又直線與雙曲線必須有兩不同交點(diǎn)，所以式的把k=2代入得<0，故不存在滿足題意的直線第五講 圓錐曲線單元檢測題一、選擇題=1上一點(diǎn)p到兩個焦點(diǎn)的距離的和為 a.26b.24c

15、.2d.22.在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a=6,b=8,那么其方程是 a.=1b.=1c.=1d.=1或=13.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，3)，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 a.x2=12y b.x2=12yc.y2=12xd.y2=12xf12，0，f22，0在滿足以下條件的平面內(nèi)動點(diǎn)p的軌跡中，為雙曲線的是 a.|pf1|pf2|=±3b.|pf1|pf2|=±4c.|pf1|pf2|=±5d.|pf1|2|pf2|2=±46.過點(diǎn)3，2且與=1有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程是 a.=1b.=1c.=1d.=1p(4，2)的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為 a.y2=x或x2=8y b.

16、y2=x或y2=8xc.y2=8x d.x2=8y8.點(diǎn)3，2在橢圓=1上，那么 a.點(diǎn)3，2不在橢圓上 b.點(diǎn)3，2不在橢圓上c.點(diǎn)3，2在橢圓上 d.無法判斷點(diǎn)3，2、3，2、3，2是否在橢圓上倍，且一個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，2)，那么雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 a.=1b.=1c.=1d.=1二、填空題5分×4雙曲線的一條準(zhǔn)線為，那么該雙曲線的離心率為a、b、c、d、=1，焦點(diǎn)在x軸上，那么m的范圍是 a.4m4b.4m4c.m4或m4d.0m4y22pxp0的焦點(diǎn)作一條直線交拋物線于ax1，y1，bx2，y2，那么為 a.4 b.4 c.p2d.p212.點(diǎn)(x,y)在拋物線y2=4x上

17、，那么z=x2+y2+3的最小值是 a.2 b.3 c.4 (為參數(shù))的離心率為 .x2+y26x7=0與拋物線y2=2px(p0)的準(zhǔn)線相切，那么拋物線的方程為_.三、解答題14分×5 ，解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟16. 橢圓c的焦點(diǎn)f1，0和f2，0，長軸長6，設(shè)直線交橢圓c于a、b兩點(diǎn)，求線段ab的中點(diǎn)坐標(biāo)。(8分)17. ab是過橢圓=1的一個焦點(diǎn)f的弦，假設(shè)ab的傾斜角為，求弦ab的長.x+4y=0，一個焦點(diǎn)是(4，0)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，并求雙曲線的離心率.且截直線所得弦長為的雙曲線方程。(10分)20.直線y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1交于a、b兩點(diǎn)，1

18、假設(shè)以ab線段為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實數(shù)a的值。2是否存在這樣的實數(shù)a，使a、b兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱？說明理由。(10分)參考答案1.【答案】 d2. 【答案】 d【解析】 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是=1或=1雙曲線的方程是或=1.3. 【答案】a【解析】=3,p=6.拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，拋物線的方程為x2=12y.4.【答案】 a5. 【答案】 a【解析】 c2=94=5,設(shè)橢圓的方程為=1,點(diǎn)3,2在橢圓上，=1,a2=15,所求橢圓的方程為：=1.6. 【答案】a【解析】設(shè)拋物線的方程為y2=2px或x2=2p1y.點(diǎn)p(4，2)在拋物線上，4=2p×4或16=2p1(2),p=或p1=4，拋物線的方程為y2=x或x2=8y.7. 【答案】 c【解析】 點(diǎn)3，2在橢圓=1上，=1,=1.即點(diǎn)(±3,±2)在橢圓=1上.8. 【答案】 b【解析】 由方程組得a=2,b=2.雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.二、填空題9.10. 【解析】 橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，m216,4m4.x軸時， =4.12. 【解析】點(diǎn)(x,y)在拋物線y2=4x上，x0，z=x2+y2+3x2+2x3x+122當(dāng)x=0時，z最小，其值為3.13. 【答案】 【解析】 橢圓的方程可寫成=1，a2=9,b2=4,c=,橢圓的離心率是.14. 【答案】y2=4