（整理版）第三章不等式

1、第三章 不等式一、根底知識【理解去記】*【必會】不等式的根本性質(zhì)：1a>ba-b>0； 2a>b, b>ca>c；3a>ba+c>b+c； 4a>b, c>0ac>bc；5a>b, c<0ac<bc; 6a>b>0, c>d>0ac>bd;7a>b>0, nn+an>bn; 8a>b>0, nn+;9a>0, |x|<a-a<x<a, |x|>ax>a或x<-a;10a, br，那么|a|-|b|a+b|a|+|b|

2、;11a, br，那么(a-b)20a2+b22ab;12x, y, zr+，那么x+y2, x+y+z因為前五條是顯然的，以下從第六條開始給出證明。6因為a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd，所以ac>bd；重復利用性質(zhì)6，可得性質(zhì)7；再證性質(zhì)8，用反證法，假設，由性質(zhì)7得，即ab，與a>b矛盾，所以假設不成立，所以；由絕對值的意義知9成立；-|a|a|a|, -|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|，所以|a+b|a|+|b|；下面再證10的左邊，因為|a|=|a+b-b|a+b|+|b|，所以|a|-

3、|b|a+b|，所以10成立；11顯然成立；下證12，因為x+y-20，所以x+y，當且僅當x=y時，等號成立，再證另一不等式，令，因為x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 0，所以a3+b3+c33abc，即x+y+z，等號當且僅當x=y=z時成立。 二、根底例題【必會】1不等式證明的根本方法。1比擬法，在證明a>b或a&

4、lt;b時利用a-b與0比擬大小，或把a，b>0與1比擬大小，最后得出結(jié)論。例1 設a, b, cr+，試證：對任意實數(shù)x, y, z, 有x2+y2+z2【證明】 左邊-右邊= x2+y2+z2所以左邊右邊，不等式成立。例2 假設a<x<1，比擬大?。簗loga(1-x)|與|loga(1+x)|.【解】 因為1-x1，所以loga(1-x)0, =|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x)>log(1-x)(1-x)=1因為0<1-x2<1，所以>1-x>0, 0<1-x<1.所以|loga(1

5、+x)|>|loga(1-x)|.2分析法，即從欲證不等式出發(fā)，層層推出使之成立的充分條件，直到為止，表達方式為：要證，只需證。例3 a, b, cr+，求證：a+b+c-3a+b【證明】 要證a+b+ca+b只需證，因為，所以原不等式成立。例4 實數(shù)a, b, c滿足0<abc，求證：【證明】 因為0<abc，由二次函數(shù)性質(zhì)可證a(1-a) b(1-b) c(1-c)，所以，所以，所以只需證明，也就是證，只需證b(a-b) a(a-b)，即(a-b)23數(shù)學歸納法。例5 對任意正整數(shù)n(3)，求證：nn+1>(n+1)n.2設n=k時有kk+1>(k+1)k，當

6、n=k+1時，只需證(k+1)k+2>(k+2)k+1，即>1. 因為，所以只需證，即證(k+1)2k+2>k(k+2)k+1，只需證(k+1)2>k(k+2)，即證k2+2k+1>k2+2k. 顯然成立。4反證法。例6 設實數(shù)a0, a1,an滿足a0=an=0，且a0-2a1+a20, a1-2a2+a30, an-2-2an-1+an0，求證ak0(k=1, 2, n-1).【證明】 假設ak(k=1, 2,n-1) 中至少有一個正數(shù)，不妨設ar是a1, a2, an-1中第一個出現(xiàn)的正數(shù)，那么a10, a20, ar-10, ar>0. 于是ar-a

7、r-1>0，依題設ak+1-akak-ak-1(k=1, 2, , n-1)。所以從k=r起有an-ak-1an-1-an-2 ar-ar-1>0.因為anak-1ar+15分類討論法。例7 x, y, zr+，求證：【證明】 不妨設xy, xz.xyz，那么，x2y2z2，由排序原理可得，原不等式成立。xzy，那么，x2z2y2，由排序原理可得，原不等式成立。6放縮法，即要證a>b，可證a>c1, c1c2,cn-1cn, cn>b(nn+).例8 求證：【證明】 ，得證。例9 a, b, c是abc的三條邊長，m>0，求證：【證明】 因為a+b>c

8、，得證。7引入?yún)⒆兞糠?。?0 x, yr+, l, a, b為待定正數(shù)，求f(x, y)=的最小值?！窘狻?設，那么，f(x,y)=(a3+b3+3a2b+3ab2)=，等號當且僅當時成立。所以f(x, y)min=例11 設x1x2x3x42, x2+x3+x4x1，求證：(x1+x2+x3+x4)24x1x2x3x4.【證明】 設x1=k(x2+x3+x4)，依題設有k1, x3x44，原不等式等價于(1+k)2(x2+x3+x4)24kx2x3x4(x2+x3+x4)，即(x2+x3+x4) x2x3x4，因為f(k)=k+在上遞減，所以(x2+x3+x4)=(x2+x3+x4)

9、83;3x2=4x2x2x3x4.所以原不等式成立。8局部不等式。例12 x, y, zr+，且x2+y2+z2=1，求證：【證明】 先證因為x(1-x2)=,所以同理，所以例13 0a, b, c1，求證：2?！咀C明】 先證 即a+b+c2bc+2.即證(b-1)(c-1)+ 1+bca.因為0a, b, c1，所以式成立。同理三個不等式相加即得原不等式成立。9利用函數(shù)的思想。例14 非負實數(shù)a, b, c滿足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=的最小值?！窘狻?當a, b, c中有一個為0，另兩個為1時，f(a, b, c)=，以下證明f(a, b, c) . 不妨設abc，那么

10、0c, f(a, b, c)=因為1=(a+b)c+ab+(a+b)c，解關于a+b的不等式得a+b2(-c).考慮函數(shù)g(t)=, g(t)在上單調(diào)遞增。又因為0c，所以3c21. 所以c2+a4c2. 所以2所以f(a, b, c)=下證0 c2+6c+99c2+90 因為，所以式成立。所以f(a, b, c) ，所以f(a, b, c)min=2幾個常用的不等式選修4-5不等式選講1【只需了解】柯西不等式：假設air, bir, i=1, 2, , n，那么等號當且僅當存在r，使得對任意i=1, 2, , n, ai=bi, 變式1：假設air, bir, i=1, 2, , n，那么等

11、號成立條件為ai=bi,(i=1, 2, , n)。變式2：設ai, bi同號且不為0(i=1, 2, , n)，那么等號成立當且僅當b1=b2=bn.2【必會】平均值不等式：設a1, a2,anr+，記hn=, gn=, an=，那么hngnanqn. 即調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均。其中等號成立的條件均為a1=a2=an.【證明】 由柯西不等式得anqn，再由gnan可得hngn，以下僅證gnan. 1當n=2時，顯然成立；2設n=k時有g(shù)kak，當n=k+1時，記=gk+1.因為a1+a2+ak+ak+1+(k-1)gk+12kgk+1, 所以a1+a2+ak+1(k+1)gk+1，

12、即ak+1gk+1.所以由數(shù)學歸納法，結(jié)論成立。3排序不等式：例15 a1, a2,anr+，求證；a1+a2+an.【證明】證法一：因為， 2an.上述不等式相加即得a1+a2+an.證法二：由柯西不等式(a1+a2+an)(a1+a2+an)2，因為a1+a2+an >0，所以a1+a2+an.證法三： 設a1, a2,an從小到大排列為，那么，由排序原理可得=a1+a2+an，得證。注：本講的每種方法、定理都有極廣泛的應用，希望讀者在解題中再加以總結(jié)。三、趨近高考【必懂】1.成都市高三第三次診斷理科不等式的解集為 (a)x|1x2(b) x|1x2(c)x|1x2(d)x|1x2【答案】b4y063x4y28xazy【解析】原不等式等價于，解得1x22.成都市理某物流公司有6輛甲型卡車和4輛乙型卡車，此公司承接了每天至少運送280t貨物的業(yè)務，每輛甲型卡車每天的運輸量為30t，運輸本錢費用為0.9千元；每輛乙型卡車每天的運輸量為40t，運輸本錢為1千元，那么當每天運輸本錢費用最低時，所需甲型卡車的數(shù)量是( )(a)6(b)5(c)4(d)3【答案】c【解析】設需要甲型卡車x輛，乙型卡車y輛由題意且x、yz運輸本錢目標函數(shù)zy及需要甲型卡車和乙型卡車各4輛。3.(綿陽)把圓c：按向量a=(h，-1)平移后得圓c1，假設圓c1在不等式x+y+10所確定的平