初中數(shù)學(xué)平面幾何之中點(diǎn)

1、初中數(shù)學(xué)平面幾何之-中點(diǎn)問(wèn)題 口訣：三角形中兩中點(diǎn)，連接那么成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。在三角形中，如果一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì)直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)，然后通過(guò)探索，找到解決問(wèn)題的方法。一、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖1，AD是ABC的中線，那么SABD=SACD=SABC因?yàn)锳BD與ACD是等底同高的。例1如圖2，ABC中，AD是中線，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，DF是DCE的中線。ABC的面積為2，求：CDF的面積。解：因?yàn)锳D是ABC的中線，所以SACD=SABC=

2、×2=1，又因CD是ACE的中線，故SCDE=SACD=1，因DF是CDE的中線，所以SCDF=SCDE=×1=。CDF的面積為。二、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長(zhǎng)線分別交EF的延長(zhǎng)線G、H。求證：BGE=CHE。證明：連結(jié)BD，并取BD的中點(diǎn)為M，連結(jié)ME、MF，ME是BCD的中位線，MECD，MEF=CHE，MF是ABD的中位線，MFAB，MFE=BGE，AB=CD，ME=MF，MEF=MFE，從而B(niǎo)GE=CHE。三、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線例3圖4，ABC中，AB=5，AC=3，連B

3、C上的中線AD=2，求BC的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，那么AE=2AD=2×2=4。在ACD和EBD中，AD=ED，ADC=EDB，CD=BD，ACDEBD，AC=BE，從而B(niǎo)E=AC=3。在ABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90°，BD=，故BC=2BD=2。例4如圖5，ABC中，AD是BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ABC是等腰三角形。證明：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD。仿例3可證：BEDCAD，故EB=AC，E=2，又1=2，1=E，AB=EB，從而AB=AC，即ABC是等腰三角形。四、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5如圖6

4、，梯形ABCD中，AB/DC，ACBC，ADBD，求證：AC=BD。證明：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、CE，那么DE、CE分別為RtABD，RtABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB，因此CDE=DCE。AB/DC，CDE=1，DCE=2，1=2，在ADE和BCE中，DE=CE，1=2，AE=BE，ADEBCE，AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。六中線延長(zhǎng)口訣：三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長(zhǎng)加倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。例一：如圖4-1：AD為ABC的中線，且1=2，3=4，求證：BE+CF>EF。證明：廷長(zhǎng)E

5、D至M，使DM=DE，連接CM，MF。在BDE和CDM中，BD=CD中點(diǎn)定義1=5對(duì)頂角相等ED=MD輔助線作法BDECDMSAS又1=2，3=41+2+3+4=180°平角的定義3+2=90°即：EDF=90°FDM=EDF=90°在EDF和MDF中ED=MD輔助線作法EDF=FDM已證DF=DF公共邊EDFMDFSASEF=MF全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等在CMF中，CF+CM>MF三角形兩邊之和大于第三邊BE+CF>EF上題也可加倍FD，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集

6、中。例二：如圖5-1：AD為ABC的中線，求證：AB+AC>2AD。分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接BE，CEAD為ABC的中線BD=CD中線定義在ACD和EBD中BD=CD已證1=2對(duì)頂角相等AD=ED輔助線作法ACDEBDSASBE=CA全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等在ABE中有：AB+BE>AE三角形兩邊之和大于第三邊AB+AC>2AD。練習(xí)：1 如圖，AB=6，AC=8，D為BC 的中點(diǎn)，求AD的取值范圍。BADC862 如圖，AB=CD，E為BC的中點(diǎn)，BAC=BCA，求證：AD=2AE。BECDA 3 如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點(diǎn)，BAC=DAE=90°。求證：AMDC。DMCDED