（整理版）不等式選講

1、12-3不等式選講根底穩(wěn)固強(qiáng)化1.(·安徽“江南十校聯(lián)考)集合mx|2x1|<2，nx|<1，那么mn等于()ax|1<x< bx|<x<1cx|<x< dx|<x<，且x1答案a解析由|2x1|<2得2<2x1<2，那么<x<；由<1得<0，即<0，那么xmnx|1<x<，選a.2(·濰坊模擬)不等式|x2|x1|>0的解集為()a(，) b(，)c(，) d(，)答案a解析原不等式等價(jià)于|x2|>|x1|，那么(x2)2>(x1)2，

2、解得x<.3設(shè)集合ax|xa|<1，xr，bx|xb|>2，xr假設(shè)ab，那么實(shí)數(shù)a、b必滿足()a|ab|3 b|ab|3c|ab|3 d|ab|3答案d解析由題意可得集合ax|a1<x<a1，集合bx|x<b2或x>b2，又因?yàn)閍b，所以有a1b2或b2a1，即ab3或ab3.因此選d.4函數(shù)y(x0)的最小值為()a6 b7c. d9答案b解析原式變形為yx21，因?yàn)閤0，所以x2>0，所以x26，所以y7，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)，所以ymin7(當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí))5(·濟(jì)南二模)對(duì)于實(shí)數(shù)x、y，假設(shè)|x1|1，|y2|1，那么|x2

3、y1|的最大值為()a5b4c8d7答案a解析由題易得，|x2y1|(x1)2(y2)2|x1|2(y2)|25，即|x2y1|的最大值為5.6(·皖南八校聯(lián)考)不等式|x3|x1|a23a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為()a1,4 b(，25，)c2,5 d(，14，)答案a解析由絕對(duì)值的幾何意義易知：|x3|x1|的最小值為4，所以不等式|x3|x1|a23a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，只需a23a4，解得1a4.7(·江西)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式|2x1|2x1|6的解集為_答案x|x解析原不等式可化為或或解得x，即原不等式的解集為x|x8(·陜西)假設(shè)存

4、在實(shí)數(shù)x使|xa|x1|3成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案2a4解析|xa|x1|a1|，那么只需要|a1|3，解得2a4.9假設(shè)a>0，b>0，那么p(ab)，qab·ba的大小關(guān)系是_答案pq解析a>0，b>0，p(ab)>0，qab·ba>0，a·b.假設(shè)a>b，那么>1，>0，>1；假設(shè)a<b，那么0<<1，<0，>1；假設(shè)ab，那么1，0，1.1，即1.q>0，pq.點(diǎn)評(píng)可運(yùn)用特值法，令a1，b1，那么p1，q1，有pq；令a2，b4，有p83512，q24

5、×42256，p>q，故填pq.10(文)(·開封市模擬)函數(shù)f(x)|x7|x3|.(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)當(dāng)x<5時(shí)，不等式|x8|xa|>2恒成立，求a的取值范圍解析(1)f(x)圖象如下圖：(2)x<5，|x8|xa|>2，即8x|xa|>2，即|xa|<6x，對(duì)x<5恒成立即x6<xa<6x對(duì)x<5恒成立，對(duì)x<5恒成立又x<5時(shí)，2x6<4，4a<6.a的取值范圍為4,6)(理)(·山西大同調(diào)研)函數(shù)f(x)|x1|x3|.(1)作出函數(shù)yf(x)的圖

6、象；(2)假設(shè)對(duì)任意xr，f(x)a23a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析(1)當(dāng)x1時(shí)，f(x)x1x32x2；當(dāng)1<x<3時(shí)，f(x)x13x4；當(dāng)x3時(shí)，f(x)x1x32x2.f(x)yf(x)的圖象如下圖(2)由(1)知f(x)的最小值為4，由題意可知a23a4，即a23a40，解得1aa的取值范圍為1,4.能力拓展提升11.(·豫南九校聯(lián)考)假設(shè)a、b是正常數(shù)，ab，x，y(0，)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式取等號(hào)利用以上結(jié)論，可以得到函數(shù)f(x)(x(0，)的最小值為_答案25解析依據(jù)給出的結(jié)論可知f(x)25等號(hào)在，即x時(shí)成立12不等式|xlog3x|<|x

7、|log3x|的解集為_答案x|0<x<1解析由對(duì)數(shù)函數(shù)定義得x>0，又由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)知，|xlog3x|x|log3x|，當(dāng)且僅當(dāng)x與log3x同號(hào)時(shí)等號(hào)成立，x>0，log3x>0，x>1，故原不等式的解集為x|0<x<113(·烏魯木齊地區(qū)二診)函數(shù)f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)2的解集；(2)假設(shè)f(x)f(x)a，求a的最大值解析(1)不等式可化為：|x1|2，解得：3x1.故不等式f(x)2的解集為x|3x1；(2)f(x)f(x)當(dāng)x1時(shí)，f(x)f(x)2x2，當(dāng)1<x<1時(shí)，f(x)f(x)

8、2，當(dāng)x1時(shí)，f(x)f(x)2x2，故f(x)f(x)2(“在1x1時(shí)成立)a2，即a的最大值為2.14(文)設(shè)a、b、c、d都是正數(shù)，且x，y.求證：xy.證明(a2b2)(c2d2)(acbd)2(adbc)20，(a2b2)(c2d2)(acbd)2，又a、b、c、d均為正數(shù)，·acbd>0同理·adbc>0×得：(a2b2)(c2d2)(acbd)(adbc)>0，即xy.(理)(·包頭市一模)設(shè)不等式|2x1|<1的解集是m，a、bm.(1)試比擬ab1與ab的大小；(2)設(shè)max表示數(shù)集a中的最大數(shù)hmax，求證：h

9、2.解析由|2x1|<1得1<2x1<1，解得0<x<1.所以mx|0<x<1(1)由a、bm，得0<a<1,0<b<1，所以(ab1)(ab)(a1)(b1)>0.故ab1>ab.(2)由hmax，得h，h，h，所以h3··8，故h2.15假設(shè)a>0，b>0，求證：ab.證明左邊右邊()(ab)·0，左邊右邊即原不等式成立16(·福建質(zhì)檢)a、b為正實(shí)數(shù)(1)求證：ab；(2)利用(1)的結(jié)論求函數(shù)y(0<x<1)的最小值解析(1)證法一：a>0

10、，b>0，(ab)()a2b2a2b22ab(ab)2.ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立證法二：(ab).又a>0，b>0，0，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立ab.(2)解：0<x<1，1x>0，由(1)的結(jié)論，函數(shù)y(1x)x1.當(dāng)且僅當(dāng)1xx即x時(shí)等號(hào)成立函數(shù)y(0<x<1)的最小值為1.1假設(shè)不等式|ax2|<4的解集為(1,3)，那么實(shí)數(shù)a等于()a8b2c4 d2答案d解析由4<ax2<4，得6<ax<2.(ax2)(ax6)<0，其解集為(1,3)，a2.點(diǎn)評(píng)可用方程的根與不等式解集的關(guān)系求解2(·山

11、東理，4)不等式|x5|x3|10的解集是()a5,7 b4,6c(，57，) d(，46，)答案d解析當(dāng)x3時(shí)，|x5|x3|5xx322x10，即x4，x4.當(dāng)3<x<5時(shí)，|x5|x3|5xx3810，不成立，無(wú)解當(dāng)x5時(shí)，|x5|x3|x5x32x210，即x6，x6.綜上可知，不等式的解集為(，46，)，應(yīng)選d.點(diǎn)評(píng)可用特值檢驗(yàn)法，首先x0不是不等式的解，排除a、b；x6是不等式的解，排除c，應(yīng)選d.3設(shè)a、b、c為正數(shù)，且a2b3c13，那么的最大值為()a. b. c. d.答案c解析(a2b3c)()212()2()2，a2b2c13，()2，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，又a2

12、b3c13，a9，b，c時(shí)，取最大值.4設(shè)a、b、cr，且a22b23c26，那么abc的最小值為()a. b c3 d11答案b解析(abc)2(a×1b·c·)2(a22b23c2)11，abc等號(hào)成立時(shí)，即a2b3c，或 .5(·陜西文，15)假設(shè)不等式|x1|x2|a對(duì)任意xr恒成立，那么a的取值范圍是_答案(，3分析欲使af(x)恒成立，應(yīng)有af(x)的最小值解析令y|x1|x2|，由絕對(duì)值不等式|a|b|ab|a|b|知y|x1|x2|x1|2x|x12x|3.所以a3.6x、y、zr，x2y2z21，那么x2y2z的最大值為_答案3解析由柯

13、西不等式，x2y2z3，等號(hào)在，即x，yz時(shí)成立7a、br，且ab1，那么的最大值是_答案2解析a、br，ab1，2.當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)8設(shè)a、b為非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：a3b3(a2b2)解析a、b是非負(fù)實(shí)數(shù)，a3b3(a2b2)a2()b2()()()5()5)當(dāng)ab時(shí)，從而()5()5，()()5()5)0；當(dāng)a<b時(shí)，<，從而()5<()5，()()5()5)>0.a3b3(a2b2)9設(shè)a、b、c都是正數(shù)，求證：abc.分析三個(gè)正數(shù)a、b、c可排序，不妨設(shè)abc>0，那么0<，abacbc，再由排序原理證之證明不妨設(shè)abc>0，abacbc，.由排序原理，知ab×ac×bc×ab×ac×bc×，即abc.10(·忻州市高三聯(lián)考)(1)解關(guān)于x的不等式x|x1|3；(2)假設(shè)關(guān)于x的不等式x|x1|a有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析設(shè)f(x)x|x1|，那么f(x)(1)當(dāng)x1時(shí)，2x13，1x2，又x<1時(shí)，不等式顯然成立，原不等式的解集為x|x2(2)由于x1時(shí)，函數(shù)y2x1是增函數(shù)，其最小值為f(1)1；當(dāng)x<1時(shí)，f(x)1，f(x)的最小值為1.因?yàn)閤|x1|a有解，即f(x)a有解，所以a1