數(shù)值分析常用的插值方法

1、數(shù)值分析報告班級: 專業(yè): 流水號: 學號: 姓名:常用的插值方法序言 在離散數(shù)據(jù)的基礎上補插連續(xù)函數(shù)，使得這條連續(xù)曲線通過全部給定的離散數(shù) 據(jù)點。插值是離散函數(shù)逼近的重要方法，利用它可通過函數(shù)在有限個點處的取值狀 況，估算出函數(shù)在其他點處的近似值。早在 6 世紀，中國的劉焯已將等距二次插值用于天文計算。 17 世紀之后，牛頓、 拉格朗日分別討論了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是數(shù)據(jù)處 理和編制函數(shù)表的常用工具，又是數(shù)值積分、數(shù)值微分、非線性方程求根和微分方 程數(shù)值解法的重要基礎，許多求解計算公式都是以插值為基礎導出的。插值問題的提法是：假定區(qū)間a, b上的實值函數(shù)f (x)在

2、該區(qū)間上n+ 1個 互不相同點xo,X1xn處的值是f (X0), f(xn),要求估算f(X)在a,b中某點的值。其做法是：在事先選定的一個由簡單函數(shù)構(gòu)成的有 n+ 1 個參數(shù) C0， C1,C n的函數(shù)類 (C,C1,C n)中求出滿足條件P( Xi )= f( Xi)(i = 0, 1, n)的函數(shù)P(x),并以P(x)作為f(x)的估值。此處f (x)稱為被插值函數(shù)，xo,x1,xn 稱為插值結(jié)(節(jié))點，(Co, C1,C n)稱為插值函數(shù)類，上面等式稱為插值條件， (Co,C n)中滿足上式的函數(shù)稱為插值函數(shù)，R (x) = f ( x) P (x)稱為插值余項。求解這類問題，它有很

3、多種插值法，其中以拉格朗日 （Lagrange）插值和牛頓 （Newton）插值為代表的多項式插值最有特點，常用的插值還有 Hermit插值，分段插 值和樣條插值。一.拉格朗日插值1問題提出：已知函數(shù)y f x在n+1個點xo,x1|,xn上的函數(shù)值y°,yi,川，y.，求任意一點 x的函數(shù)值f x。說明：函數(shù)y f x可能是未知的；也可能是已知的，但它比較復雜，很難計算其函數(shù)值f x2. 解決方法:f x，則構(gòu)造一個n次代數(shù)多項式函數(shù)Pn x來替代未知（或復雜）函數(shù)y用P, x作為函數(shù)值fx的近似值。設Pn xaoa1x2a?xHI anXn，構(gòu)造Pn x即是確定n+1個多項式的系

4、數(shù)3. 構(gòu)造Pn x的依據(jù):當多項式函數(shù)Pn x也同時過已知的 n+1個點時，我們可以認為多項式函數(shù)R x逼近于原來的函數(shù)根據(jù)這個條件,可以寫出非齊次線性方程組:a。a。dx。a1x12 a2X。2a2x1n anx。nanx1y。y1a0ax2a2XnIInanXnynnx。nX1其系數(shù)矩陣的行列式D為范德萌行列式:21XoXo21X1X11 XnXn2IIII1<故當n+1個點的橫坐標Xo,x1|,Xn各不相同時，方程組系數(shù)矩陣的行列式 D不等于 零，故方程組有唯一解。即有以下結(jié)論。結(jié)論：當已知的n+1個點的橫坐標xo,xij|,xn各不相同時，則總能夠構(gòu)造唯一的 n 次多項式函數(shù)P

5、n x，使Pn x也過這n+1個點。4. 幾何意義5. 舉例：已知函數(shù)f x x，求f 115。分析：本題理解為，已知“復雜”函數(shù)f x .x，當x=81,100,121,144時,其對應的函數(shù)值為：y=9,10,11,12，當x=115時，求函數(shù)值f 115。解:（1）線性插值：過已知的（100,10 ）和（121,11 ）兩個點，構(gòu)造1次多項式函數(shù)P x，于是有x 121100 12110x 100121 10011f 115 R1 11510.71428571428572。（2）拋物插值：構(gòu)造2次多項式函數(shù)P2 x，使得它過已知的（100,10）、（ 121,11 ） 和（144,12

6、）三個點。于是有2次拉格朗日插值多項式：12x 121 x 144x 100 x 144x 100 x 121F> x1011 -2100 121 100 144121 100 121 144144 100 144 121則有f 115 P2 11510.722755505364206.拉格朗日n次插值多項式公式:Pn X1X X0 X XX1 X) X1 X2X1 XnHlX X0 X X-!nX0XnX1XXX20X1X0X2XXnY0X。XnXXn 1YnXn 1XnPn Xl0x yoI1 X %HIIn X ynnIk x ykk 0其中l(wèi)k稱為基函數(shù)（k=0,1,.,n )每

7、一個基函數(shù)都是關于x的n次多項式,其表達式為:lk xj 0 Xk Xjj kX Xj拉格朗日公式特點：1 把每一點的縱坐標yk單獨組成一項；2. 每一項中的分子是關于X的n次多項式，分母是一個常數(shù);3. 每一項的分子和分母的形式非常相似，不同的是： 分子是x I，而分母是 兀I7. 誤差分析（拉格朗日余項定理）巳Xf Xfn1nn 1 !XXkk 0其中 在X0,X1,|,Xn, X所界定的范圍內(nèi)。 針對以上例題的線性插值，有fP 115 f 115 115 100 115 1212!函數(shù)f x在100,115區(qū)間絕對值的極大值為f 1002.5 10 4,則有：R 115 f 1150.0

8、1125 0.05于是近似值f 115 R 115有三位有效數(shù)字。針對以上例題的拋物線插值，有F2 115f 115f115 100 115 121 115 1441 11 UU1 11 厶 11 113!函數(shù)f x在100,115區(qū)間絕對值的極大值為f 1003.75 10 6，則有F2 115 f 1150.00163125<0.005于是近似值f 115P2 11510.72275550536420有四位有效數(shù)字。8. 拉格朗日插值公式的優(yōu)點公式有較強的規(guī)律性，容易編寫程序利用計算機進行數(shù)值計算。9. 拉格朗日插值通用程序程序流程圖如下：開始開始nk<二nyyp= 0, k=

9、0p = 0, k = 0/輸入nxi,yi,(i=0,1,n )t (即插值點x)輸入ni,yi,(i=0,1,n )t (即插值點x)y +i = 1, j =onk<=nnj=k+1l = l*(t-xj)/(xk-xj) j=j+1jy< =n 上結(jié)束l = 1,=0nj<kyl = l*(t-xj)/(xk-xj)j=j+1j=k+1nj< yl = l*(t-xj)/(xk-xj)j=j+1文件lagrange.m女口下：格朗日插值close alln=input('已知的坐標點數(shù)n=?');x=i nput('x1,x2,.,x n

10、=?');y=i nput('y1,y2,.,y n=?');xx=input('插值點=?');syms t%定義t為符號量p=0；for k=1: nl=1;for j=1:k-1l=l*(t-x(j)/(x(k)-x(j);endfor j=k+1: nl=l*(t-x(j)/(x(k)-x(j);endp=p+l*y(k);end把符號算式p變?yōu)楹瘮?shù)形式畫多項式函數(shù)顯示插值點畫已知點和插值點p=i nlin e(p);%fplot(p,mi n(min( x),xx)-1,max(max(x),xx)+1); %hold onp(xx)%plot

11、(x,y,'o',xx,p(xx),'*');%在MATLAB令窗口輸入：lagra nge然后有以下對話過程和結(jié)果，已知的坐標點數(shù)n=?6x1,x2,.,x n=?1,3,5,7,9,11y1,y2,.,y n=?-1,20,0,-1,12,3插值點=？ 8ans =有以下圖形：.牛頓插值拉格朗日插值的缺點：無承襲性（繼承性）若算出3點的拋物插值精度不夠，再進行 4點的3次多項式插值時，必須從頭算起，前面算出的3點拋物插值的計算結(jié)果不能利用。而泰勒插值卻是具有承襲性的，如線性插值的結(jié)果不精確，那么再加上一項,就變成了泰勒拋物插值，如:泰勒1次插值：R Xf X

12、o fXoXXo泰勒2次插值：R2 X f XoXoXXoXo2X Xo O 2!而牛頓插值就是具有承襲性的插值公式1. 差商的概念設n+1個點Xo,X1J|, Xn互不相等，則定義:Xi和Xj i j兩點的一階差商為：f Xi, XjXif XjXi XjXj,Xj,Xk三點的二階差商為：f X，Xj,Xkf Xi，Xjf Xj,XkXiXkXj,Xj,Xk,X|四點的三階差商為：f Xi,Xj,Xk,X|f X,Xj,XkfX XXj,Xk,Xin+1個點Xo, X1 J|,Xn的n階差商為：f111f X，X1 , |幾1 f X1,X2,|,Xn1Xo Xn差商具有對稱性：fXi ,X

13、jfXj ,Xi； fXi, Xj , XkfXj,Xi,Xk2. 牛頓插值解決的問題與拉格朗日插值解決的問題相同只是表述n次多項式Rn X的公式不同。3. 牛頓插公式的推導根據(jù)差商的概念，有：f x f x0f x, X) x x0 f X,X0f x0,x1f x, x0,x1 x Nf x,xo是x, xo兩點的一階差商；x,x0，x 是X, Xo,Xi三點的二階差商;f Xo*，卅 Xnf X,Xo,X1,f X,XoJ|(Xn 1把以上各式從后向前逐次代入，可以得到:f Xo| f Xo,Xi,f X,Xo,Xi,f Xo,X1 X Xo |,Xn XXn X :XoX。f Xo,

14、X, ,X2X Xo X X,III| I x XnX X1PnxRn xxXn 1其中PnXX)f Xo,X!f Xo,X1 J|, Xn x Xo X X( X, Xo,X1 J|,Xnf XoHIXoX XoXf Xo, X1,X2 X XoHIXXn 1為 |xXn以上pn x的表達式稱為牛頓插值公式，可以證明,n次牛頓插值多項式與n次拉格朗日插值多項式完全相同，只是表達形式不同。XpVf vnfn1npn XT X1 x, xo, X1, 1,xnx xkX Xk1k on 1 !k o故，拉格朗日余項定理與牛頓余項定理相同:Rn則有公式:其中 在Xo,Xi|,Xn, X所界定的范圍

15、內(nèi)。f X, Xo,X1, Xn11 fn 1 !4.牛頓插值差商表xiyi一階差商二階差商n階差商*xoy01x1y1fxO,x1(x-xO)x2y2fx1,x2fxO,x1,x2(x-x0)(x-x1)x3y3fx2,x3fx1,x2,x3(x-xO)(x-x2)xn-1yn_1xnynfxn -1,x nfxn-2,x n-1,x nfx0,xn(x-x0)(x-xn-1)5.舉例已知函數(shù)f(x)當x=-2,-1,0,1,2 時，其對應函數(shù)值為f(x)=13,-8,-1,4,1。求f(0.5)的值。解：該題目與例1相比，就是多了一個點，所以和例1的差商表相比，只需多一列, 多一行：xiy

16、i一階差商二階差商三階差商四階差商*-2131-1-8-21(x+2)0-1714(x+2)(x+1)145-1-5(x+2)(x+1)x21-3-4-11(x+2)(x+1)x(x-1)而5個點的4次牛頓插值多項式P4 x是在P3 x的基礎上多增加1項:F4 x13 21 x214x2x15 x 2 x1x x 2 x 1 x x 1則f 0.5F4 0.51321 0.5 214 0.5 2 0.515 0.5 2 0.5 1 0.50.5 2 0.5 1 0.5 0.52.6875可以在MATLA下運行程序newton02.m：p4=i nli ne('13-21*(x+2)+1

17、4*(x+2)*(x+1)-5*(x+2)*(x+1)*x+(x+2)*(x+1)*x*(x-1)');fplot(p4,-2.5,2.5,'r');hold on xi=-2,-1,0,1,2;yi=13,-8,-1,4,1; plot(xi,yi, '*'); plot(0.5,p4(0.5),'o');可以得到以下圖形:r6. 牛頓插值的優(yōu)點(1) 具有承襲性質(zhì)(2) 利用差商表，計算多點插值，比拉格朗日公式計算方便。7. 牛頓插值算法的通用程序 以下是程序流程圖:MATLAB勺通用程序newton.m為：%牛頓插值close al

18、ln=input('已知的坐標點數(shù)n=?');x=i nput('x1,x2,.,x n=?');y=i nput('y1,y2,.,y n=?');xx=input('插值點=?');% 計算差商：fx1,x2,fx1,x2,x3,.,fx1,x2,.,x n f=y;for i=1:n-1計算第 i 階差商for k=n:-1:i+1 f(k)=(f(k)-f(k-1)/(x(k)-x(k-i);endendsyms t % 定義 t 為符號量p=f(1);for k=2:nl=1;for j=1:k-1 l=l*(t-x(j);end p=p+l*f(k);end把符號算式 p 變?yōu)楹瘮?shù)形畫多項式函數(shù)顯示插值點畫已知點和插值點p=inline(p); % 式 fplot(p,min(min(x),xx)-1,max(max(x),xx)+1); % hold onp(xx) % plot(x,y,'o',xx,p(xx),'*'); %在MATLAB令窗口輸入：newton 然后有以下對話過程和結(jié)果， 已知的坐標點數(shù) n=?6 x1,x2,.,xn=?1,3,5,7,9,11y1,y2,.,yn=?-1,20,0,-1,12,3插值點 =？ 8ans =有以下圖形：