控制工程基礎(chǔ)第三章

1、本本章章要要求求內(nèi)容提要內(nèi)容提要 典型輸入信號的種類典型輸入信號的種類 瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標 一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)一階系統(tǒng)的時間響應(yīng) 二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)二階系統(tǒng)的時間響應(yīng) 重重 點點 二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標 難難 點點 二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推導(dǎo)二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推導(dǎo)第三章第三章 時間特性分析法時間特性分析法時域分析在控制理論中的地位和作用時域分析在控制理論中的地位和作用系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時間域時間域復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域頻率域頻率域系統(tǒng)的系統(tǒng)的性能指標性能指標系統(tǒng)的校正、綜合系統(tǒng)的校正、綜合 時域分析是三大分析方法之一

2、，在時域中研究時域分析是三大分析方法之一，在時域中研究問題，重點討論過渡過程的響應(yīng)形式。其特點：問題，重點討論過渡過程的響應(yīng)形式。其特點：1) 1) 直觀、精確。直觀、精確。2) 2) 比較煩瑣。比較煩瑣。時域分析方法是一種直接分析方法，適用于低階系統(tǒng)。時域分析方法是一種直接分析方法，適用于低階系統(tǒng)。 時域分析時域分析：是根據(jù)微分方程，利用拉氏變換：是根據(jù)微分方程，利用拉氏變換直接求出系統(tǒng)的時間響應(yīng)，然后按照響應(yīng)曲線直接求出系統(tǒng)的時間響應(yīng)，然后按照響應(yīng)曲線來分析系統(tǒng)的性能。來分析系統(tǒng)的性能。 輸入輸入(典型典型)控制系統(tǒng)控制系統(tǒng) (微分方程微分方程)拉氏變換拉氏變換輸出響應(yīng)輸出響應(yīng)穩(wěn)定性穩(wěn)定性

3、定理定理精確性精確性穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差瞬態(tài)瞬態(tài)響應(yīng)響應(yīng)性能性能第一節(jié)第一節(jié) 時間響應(yīng)與典型輸入信號時間響應(yīng)與典型輸入信號 1 .時間響應(yīng)的概念時間響應(yīng)的概念 控制系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下，輸出量隨控制系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下，輸出量隨時間變化的函數(shù)關(guān)系稱為系統(tǒng)的時間響應(yīng)。描時間變化的函數(shù)關(guān)系稱為系統(tǒng)的時間響應(yīng)。描述系統(tǒng)的微分方程的解就是該系統(tǒng)時間響應(yīng)的述系統(tǒng)的微分方程的解就是該系統(tǒng)時間響應(yīng)的數(shù)學(xué)表達式。時間響應(yīng)可分為瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)表達式。時間響應(yīng)可分為瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。響應(yīng)。1）瞬態(tài)響應(yīng)）瞬態(tài)響應(yīng) 系統(tǒng)在某一輸入信號的作用下，系統(tǒng)的輸出量系統(tǒng)在某一輸入信號的作用下，系統(tǒng)的輸出量從初始狀

4、態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程稱為瞬態(tài)響應(yīng)。的響應(yīng)過程稱為瞬態(tài)響應(yīng)。2）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 在某一輸入信號的作用后，在某一輸入信號的作用后，時間趨于無窮大時間趨于無窮大時系統(tǒng)的輸出狀態(tài)稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。時系統(tǒng)的輸出狀態(tài)稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 分析系統(tǒng)的時間響應(yīng)亦即分析描述其運動的分析系統(tǒng)的時間響應(yīng)亦即分析描述其運動的微分微分 方程的解方程的解。以以RC網(wǎng)絡(luò)為例：網(wǎng)絡(luò)為例：RCtRCtcceUUeUtuUu 00)()0(. 1，則則有有若若RCtccUeUtuu )(, 0)0(. 2則則有有若若可見：不論哪種求解方法，也不論初始條件如何，可見：不論哪種求解方法，也不論初始條件如何，均有：系統(tǒng)

5、響應(yīng)均有：系統(tǒng)響應(yīng)= =穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)+ +瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)時域響應(yīng)包括時域響應(yīng)包括：（以階躍輸入為例）：（以階躍輸入為例）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng) txot txits當當t時，時，xo(t)收斂于某一穩(wěn)定值，則系統(tǒng)是穩(wěn)收斂于某一穩(wěn)定值，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若定的；若xo (t)呈等幅振蕩或發(fā)散，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。呈等幅振蕩或發(fā)散，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。瞬態(tài)響應(yīng)直接反應(yīng)了系統(tǒng)的動態(tài)特性，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)直接反應(yīng)了系統(tǒng)的動態(tài)特性，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)偏離希望輸出值的程度可以衡量系統(tǒng)的精確程度。偏離希望輸出值的程度可以衡量系統(tǒng)的精確程度。2. 2. 典型輸入信號典型輸入信號 時域分析的目的時域分析的目的 在時間域

6、，研究在一定的輸入信號作用下，在時間域，研究在一定的輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出隨時間變化的情況，以分析和研究系統(tǒng)輸出隨時間變化的情況，以分析和研究系統(tǒng)的控制性能。系統(tǒng)的控制性能。優(yōu)點優(yōu)點：直觀、簡便：直觀、簡便 典型輸入信號典型輸入信號一般，系統(tǒng)可能受到的外加作用有控制輸入一般，系統(tǒng)可能受到的外加作用有控制輸入和擾動，擾動通常是隨機的，即使對控制輸和擾動，擾動通常是隨機的，即使對控制輸入，有時其函數(shù)形式也不可能事先獲得。在入，有時其函數(shù)形式也不可能事先獲得。在時間域進行分析時，為了比較不同系統(tǒng)的控時間域進行分析時，為了比較不同系統(tǒng)的控制性能，需要規(guī)定一些具有典型意義的輸入制性能，需要規(guī)定一些具有

7、典型意義的輸入信號建立分析比較的基礎(chǔ)。這些信號稱為控信號建立分析比較的基礎(chǔ)。這些信號稱為控制系統(tǒng)的制系統(tǒng)的典型輸入信號典型輸入信號。 對典型輸入信號的要求對典型輸入信號的要求q 形式簡單，便于解析分析；形式簡單，便于解析分析；q 能夠使系統(tǒng)工作在最不利的情形下；能夠使系統(tǒng)工作在最不利的情形下；q 實際中可以實現(xiàn)或近似實現(xiàn)。實際中可以實現(xiàn)或近似實現(xiàn)。自動控制系統(tǒng)的典型輸入信號自動控制系統(tǒng)的典型輸入信號（1 1）階躍函數(shù)）階躍函數(shù)000)(tAttxr，A=1時稱為單位階躍函數(shù)時稱為單位階躍函數(shù) )()()( 1)(tutxttxrr，或stLsXr1)( 1 )(（2 2）斜坡函數(shù)）斜坡函數(shù)A=

8、1時稱為單位斜坡函數(shù)時稱為單位斜坡函數(shù)000)(tAtttxr，21( )rXss（3 3）拋物線函數(shù)）拋物線函數(shù)當當A=1/2時，時，稱稱為單位拋物線函數(shù)為單位拋物線函數(shù) 000)(2tAtttxr，31)(ssXr（4 4）脈沖函數(shù)）脈沖函數(shù) 0(0)( )0 0(0)rAtx ttt ，01( )lim1rXsL當當A=1時，稱為時，稱為單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù) （t t）1)( dtt（5 5）正弦信號）正弦信號 正弦信號數(shù)學(xué)表達式為正弦信號數(shù)學(xué)表達式為 正弦信號的拉氏變換為正弦信號的拉氏變換為 sin(0)( )0(0)Rttx tt22( )RX ss 常用的典型輸入信號常用的典型

9、輸入信號Asin t 正弦信號正弦信號 1 (t)，t = 0 單位脈沖信號單位脈沖信號 單位加速度信號單位加速度信號 t， t 0 單位速度單位速度(斜坡斜坡)信號信號 1(t)，t 0 單位階躍信號單位階躍信號 復(fù)數(shù)域表達式復(fù)數(shù)域表達式 時域表達式時域表達式 名名 稱稱 s121s31s22 sA0,212 tt究竟采用哪種典型信號？究竟采用哪種典型信號？取決于系統(tǒng)在正常工作情況下最常見的輸入取決于系統(tǒng)在正常工作情況下最常見的輸入 信號信號形式。形式。斜坡信號斜坡信號 隨時間逐漸變化的輸入隨時間逐漸變化的輸入階躍信號階躍信號 突然的擾動量、突變的輸入突然的擾動量、突變的輸入脈沖信號脈沖信號

10、 沖擊輸入沖擊輸入正弦信號正弦信號 隨時間往復(fù)變化的輸入隨時間往復(fù)變化的輸入瞬態(tài)性能指標瞬態(tài)性能指標是以是以階躍信號階躍信號為典型輸入信號定義的。為典型輸入信號定義的。 系統(tǒng)響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)組成，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)組成，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)性能描述，而瞬態(tài)響應(yīng)由瞬態(tài)性能描述，故由穩(wěn)態(tài)性能描述，而瞬態(tài)響應(yīng)由瞬態(tài)性能描述，故系統(tǒng)的性能指標也就由穩(wěn)態(tài)性能指標和瞬態(tài)性能指系統(tǒng)的性能指標也就由穩(wěn)態(tài)性能指標和瞬態(tài)性能指標組成。標組成。（一）瞬態(tài)性能指標：（一）瞬態(tài)性能指標： 因為階躍輸入對系統(tǒng)來說是最一般也是最嚴峻的因為階躍輸入對系統(tǒng)來說是最一般也是最嚴峻的工作狀態(tài)，如果系統(tǒng)在階躍信號

11、輸入下的瞬態(tài)性能工作狀態(tài)，如果系統(tǒng)在階躍信號輸入下的瞬態(tài)性能滿足要求，則在其他形式下的輸入信號下，其瞬態(tài)滿足要求，則在其他形式下的輸入信號下，其瞬態(tài)性能也會令人滿意。性能也會令人滿意?？刂葡到y(tǒng)的性能指標控制系統(tǒng)的性能指標 上升時間上升時間 tr : 指響應(yīng)從穩(wěn)態(tài)值指響應(yīng)從穩(wěn)態(tài)值 10%上升到穩(wěn)態(tài)上升到穩(wěn)態(tài)值值 90%所需的時間所需的時間;對于有振蕩的系統(tǒng)，亦可定義為對于有振蕩的系統(tǒng)，亦可定義為響應(yīng)從零第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時間。上升時間響應(yīng)從零第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時間。上升時間越短，響應(yīng)速度越快。越短，響應(yīng)速度越快。 峰值時間峰值時間tp : 響應(yīng)超過其穩(wěn)態(tài)值到達第一個峰值所響應(yīng)超過其穩(wěn)

12、態(tài)值到達第一個峰值所需的時間。需的時間。 調(diào)整時間調(diào)整時間 ts : 指響應(yīng)到達并保持在穩(wěn)態(tài)值指響應(yīng)到達并保持在穩(wěn)態(tài)值5% (或或2% )內(nèi)所需的最短時間。它反映了系統(tǒng)的快速性。內(nèi)所需的最短時間。它反映了系統(tǒng)的快速性。 延遲時間延遲時間 td : 指響應(yīng)曲線第一次達到其穩(wěn)態(tài)值一指響應(yīng)曲線第一次達到其穩(wěn)態(tài)值一半所需的時間半所需的時間。(6)振蕩次數(shù)振蕩次數(shù)N： 調(diào)節(jié)時間內(nèi)，輸出偏離穩(wěn)態(tài)的次數(shù)。調(diào)節(jié)時間內(nèi)，輸出偏離穩(wěn)態(tài)的次數(shù)。 (5) 超調(diào)量超調(diào)量%: 又稱最大超調(diào)量又稱最大超調(diào)量(或百分比超調(diào)量或百分比超調(diào)量), 是指響應(yīng)的最大偏離值是指響應(yīng)的最大偏離值c(tp)與穩(wěn)態(tài)值與穩(wěn)態(tài)值c() 之差與穩(wěn)

13、態(tài)之差與穩(wěn)態(tài)值值c()的百分比，即的百分比，即%100)()()(% cctcp 若若 ，則響應(yīng)無超調(diào)。，則響應(yīng)無超調(diào)。)()( ctcp（二）穩(wěn)態(tài)性能指標：（二）穩(wěn)態(tài)性能指標：穩(wěn)穩(wěn)態(tài)誤差態(tài)誤差ess： 單位反饋時，實際值（穩(wěn)態(tài)）與期望單位反饋時，實際值（穩(wěn)態(tài)）與期望值（值（1(t)）之差）之差。它反映系統(tǒng)的精度。它反映系統(tǒng)的精度。)(lim)()(limtetctrettss c(t)(5 . 0 c)(95. 0 cesstd0trtpts)(05. 1 c超調(diào)量超調(diào)量td:延遲時間延遲時間tr:上升時間上升時間tp:峰值時間峰值時間%100)()()c(t%p cc ts:調(diào)整時間調(diào)整時

14、間t1)(c控制系統(tǒng)的性能指標控制系統(tǒng)的性能指標現(xiàn)輸入信號的最終精度。一現(xiàn)輸入信號的最終精度。一上述各種性能指標中，上述各種性能指標中，prtt 、描述系統(tǒng)起始段的快描述系統(tǒng)起始段的快% 慢；慢；和和N反映瞬態(tài)過程振蕩的劇烈程度；反映瞬態(tài)過程振蕩的劇烈程度； 總體上反映系統(tǒng)的總體上反映系統(tǒng)的st表示系統(tǒng)過渡過程的持續(xù)時間，表示系統(tǒng)過渡過程的持續(xù)時間，快速性；快速性； sse反映系統(tǒng)復(fù)反映系統(tǒng)復(fù) % stsse般以般以、和和評價系統(tǒng)評價系統(tǒng) 響應(yīng)的穩(wěn)、響應(yīng)的穩(wěn)、 快、準?？?、準。 第二節(jié)第二節(jié) 一階系統(tǒng)時域分析一階系統(tǒng)時域分析 一、一階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型一、一階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型例：例：RC電路電路i(t)

15、+r(t)c(t)+（a） 電路圖RC 這種系統(tǒng)實際上是一個非周期性的慣性環(huán)節(jié)。這種系統(tǒng)實際上是一個非周期性的慣性環(huán)節(jié)。 )()()(trtcdttdcRC )()()(trtctcT 傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為： (T = RC)11)()()( TSsRsCsR ( s ) C ( s )（b）方框圖）方框圖R(s)I(s)C(s)（a）電路圖）電路圖（c）等效方框圖）等效方框圖開環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)傳遞函數(shù)為：凡以一階微分方程凡以一階微分方程作為運動方程的控作為運動方程的控制系統(tǒng)，稱為一階制系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)系統(tǒng)。一階系統(tǒng)在控制工一階系統(tǒng)在控制工程中應(yīng)用廣泛，如程中應(yīng)用廣泛，如加熱爐、單容水箱

16、加熱爐、單容水箱等。等。)()()(tutydttdyT閉環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：微分方程為：微分方程為：T為系統(tǒng)的時間常數(shù)，為系統(tǒng)的時間常數(shù)，1/T為開環(huán)增益。為開環(huán)增益。1( )1sTs TssG1)(二、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)當單位階躍信號當單位階躍信號xi(t)作用于一階系統(tǒng)時，一階系統(tǒng)作用于一階系統(tǒng)時，一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為的單位階躍響應(yīng)為： 取上式進行拉氏反變換，可得單位階躍輸入的時取上式進行拉氏反變換，可得單位階躍輸入的時間響應(yīng)（稱為單位階躍響應(yīng)）為：間響應(yīng)（稱為單位階躍響應(yīng)）為： sTssXsGsXi111)()()(0 )0( ,1111)(

17、)(1010 tesTsLsXLtxTt在單位階躍作用下，一階系統(tǒng)的輸出量隨時間變在單位階躍作用下，一階系統(tǒng)的輸出量隨時間變化曲線為一條指數(shù)曲線?；€為一條指數(shù)曲線。0,1)( tetxTto10.6321TA0B斜率斜率=1/T2T3T4T5Txo(t)tTtoetx/1)( 63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T 一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點q 響應(yīng)分為兩部分響應(yīng)分為兩部分 瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)：Tte 表示系統(tǒng)輸出量從初態(tài)到穩(wěn)態(tài)的變化過程表示系統(tǒng)輸出量從初態(tài)到穩(wěn)態(tài)的變化過程（動態(tài)（動態(tài)/過渡過程）過渡過程） 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：1表示表示t 時，

18、系統(tǒng)的輸出狀態(tài)時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)q xo(0) = 0，隨時間的推移，隨時間的推移，xo(t) 以指數(shù)增以指數(shù)增大，大， ，沒有超調(diào)量，無振蕩，屬于非，沒有超調(diào)量，無振蕩，屬于非周期響應(yīng)。周期響應(yīng)。xo( ) = 1，無穩(wěn)態(tài)誤差。，無穩(wěn)態(tài)誤差。0% 所以，慣性環(huán)節(jié)也稱為非周期環(huán)節(jié)。所以，慣性環(huán)節(jié)也稱為非周期環(huán)節(jié)。根據(jù)這一特性，可用實驗方法測定一階系統(tǒng)的時間常數(shù)。根據(jù)這一特性，可用實驗方法測定一階系統(tǒng)的時間常數(shù)。tT2T3T4T5Txo(t)0.6320.8650.950.9820.993 可用時間常數(shù)去度量系統(tǒng)輸出量的數(shù)值，如可用時間常數(shù)去度量系統(tǒng)輸出量的數(shù)值，如一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)還有如下兩個

19、重要特性一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)還有如下兩個重要特性: 響應(yīng)曲線的初始斜率值為響應(yīng)曲線的初始斜率值為1/T，并隨時間的推移而下降，如，并隨時間的推移而下降，如1)(0)(1368. 0)(1)(0 otoTtotoxdttdxTdttdxTdttdx初始斜率特性，也是常用的確定一階系統(tǒng)時間常數(shù)的方法之一。初始斜率特性，也是常用的確定一階系統(tǒng)時間常數(shù)的方法之一。將一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)式改寫為：將一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)式改寫為：即即ln1-xo(t)與時間與時間 t 成線性關(guān)系。成線性關(guān)系。該性質(zhì)可用于判別系該性質(zhì)可用于判別系統(tǒng)是否為慣性環(huán)節(jié)，統(tǒng)是否為慣性環(huán)節(jié)，以及測量慣性環(huán)節(jié)的以及測量慣性環(huán)節(jié)的時間

20、常數(shù)。時間常數(shù)。)(1txeoTt )(1ln1txtTo tln1-xo(t)0一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如果以初始速度等速上升至穩(wěn)一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如果以初始速度等速上升至穩(wěn)態(tài)值態(tài)值1所需的時間應(yīng)恰好為所需的時間應(yīng)恰好為T。時間常數(shù)時間常數(shù)T反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快慢。通常工程中當響應(yīng)曲反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快慢。通常工程中當響應(yīng)曲線達到并保持在穩(wěn)態(tài)值的線達到并保持在穩(wěn)態(tài)值的95%98%時，認為系統(tǒng)響應(yīng)過程時，認為系統(tǒng)響應(yīng)過程基本結(jié)束。從而慣性環(huán)節(jié)的過渡過程時間基本結(jié)束。從而慣性環(huán)節(jié)的過渡過程時間ts為為3T4T。例例 一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示。試求該系統(tǒng)單位一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示。試求該系統(tǒng)單位階

21、躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間ts；如果要求；如果要求ts(5%) 0.1(秒秒)，試問系統(tǒng)的反饋系數(shù)應(yīng)取何值？試問系統(tǒng)的反饋系數(shù)應(yīng)取何值？ 解：（解：（1）首先由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖寫出閉環(huán)傳遞函數(shù)）首先由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖寫出閉環(huán)傳遞函數(shù) 100( )10( )100( )0.1110.1cBrXssWsXsss得得 T = 0.1（s）因此得調(diào)節(jié)時間因此得調(diào)節(jié)時間 ts = 3T = 0.3 (s)（?。ㄈ?%誤差帶）誤差帶）（2）求滿足）求滿足ts (5%) 0.1（s）的反饋系數(shù)值。）的反饋系數(shù)值。假設(shè)反饋系數(shù)假設(shè)反饋系數(shù)Kt (Kt 0)，那么同樣可由結(jié)構(gòu)圖寫出，那么同樣可由結(jié)構(gòu)圖寫出閉環(huán)傳遞函

22、數(shù)。閉環(huán)傳遞函數(shù)。1001/( )1000.0111tBttKsWsKssK由閉環(huán)傳遞函數(shù)可得由閉環(huán)傳遞函數(shù)可得 T = 0.01/Kt根據(jù)題意要求根據(jù)題意要求 ts (5%) 0.1（s）則則 ts = 3T = 0.03/Kt 0.1(s)所以所以 Kt 0.3 三、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)三、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為 21)(ssXi 輸出信號拉氏變換為輸出信號拉氏變換為 展開成部分分式展開成部分分式 取拉氏反變換，可得取拉氏反變換，可得 2111)()()(sTssXsGsXio 0,)( tTeTttxTtoTsTsTssXsGsXio11

23、)()()(2 0txo(t)xi(t)xi(t)=txo(t)=t-T+Te-t/Te()=T 一階系統(tǒng)單位速度響應(yīng)的特點一階系統(tǒng)單位速度響應(yīng)的特點q 瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)：T e t /T ；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：t T；q 經(jīng)過足夠長的時間經(jīng)過足夠長的時間(穩(wěn)態(tài)時，如穩(wěn)態(tài)時，如t 4T)，輸，輸 出增長速率近似與輸入相同，此時輸出為：出增長速率近似與輸入相同，此時輸出為： t T，即輸出相對于輸入滯后時間，即輸出相對于輸入滯后時間T； q 系統(tǒng)響應(yīng)誤差為：系統(tǒng)響應(yīng)誤差為： TeeTtxtxteTtoi )()1()()()(四、一階系統(tǒng)的四、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)1)( sXiTsT

24、sGsXo111)()( 0,1)( teTtxTtoxo(t)1/T0t0.368 1T斜率斜率xo(t)T21T 一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的特點一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的特點q 瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)：(1/T )e t /T ；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：0；q xo(0)=1/T，隨時間的推移，隨時間的推移，xo(t)指數(shù)衰減；指數(shù)衰減；q 對于實際系統(tǒng)，通常應(yīng)用具有較小脈沖寬對于實際系統(tǒng)，通常應(yīng)用具有較小脈沖寬 度（脈沖寬度小于度（脈沖寬度小于0.1T）和有限幅值的脈）和有限幅值的脈 沖代替理想脈沖信號。沖代替理想脈沖信號。 201)(Tdttdxto q 一階系統(tǒng)不能跟蹤拋物線信號。一階系統(tǒng)不能跟蹤拋物線

25、信號。五、單位拋物線響應(yīng)：五、單位拋物線響應(yīng)：）TtoieTTttxtxte 1 ()()()(2TsTsTsTsTsssXo11)1(1)(22233 )1(21)(22TtoeTTtttx lim)(lim22TtttsseTTTttee故故l 線性定常系統(tǒng)時間響應(yīng)的性質(zhì)線性定常系統(tǒng)時間響應(yīng)的性質(zhì) 系統(tǒng)時域響應(yīng)通常由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量系統(tǒng)時域響應(yīng)通常由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量 共同組成，前者反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，后共同組成，前者反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，后 者反映系統(tǒng)的動態(tài)特性。者反映系統(tǒng)的動態(tài)特性。 注意到：注意到： tdtdttdtdt )(1)(1)( TtotTtoTtoTeTttxetxeTt

26、x )(1)(1)(1 對一階系統(tǒng)：對一階系統(tǒng)：)()()()(11txdtdtxtxdtdtxotooo 即：即：系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。同理，同理，系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分，其積分常數(shù)由初始條件確定入信號響應(yīng)的積分，其積分常數(shù)由初始條件確定。這種輸入輸出間的積分微分性質(zhì)對任何這種輸入輸出間的積分微分性質(zhì)對任何線性定線性定常系統(tǒng)常系統(tǒng)均成立。均成立。六、一階系統(tǒng)響應(yīng)小結(jié)六、一階系統(tǒng)響應(yīng)小結(jié)閉環(huán)傳閉環(huán)傳遞函數(shù)遞函數(shù)輸入信輸入信號時域號時域

27、輸出響應(yīng)輸出響應(yīng)ess01(t)0tT無窮大無窮大0 tTeTtTt0)1(2122 teTTttTt01 teTt)0(1 teTTt)(t221t11 Ts等價關(guān)系：系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對該等價關(guān)系：系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分。應(yīng)的積分。例例3-1 已知某一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知某一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。試求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。 20( )0.211G ss 解：首先求出系

28、統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)解：首先求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) ( )( )200.95( )1( )0.21210.011Y sG sX sG sss 因此，閉環(huán)傳遞函數(shù)仍為慣性環(huán)節(jié)，可知因此，閉環(huán)傳遞函數(shù)仍為慣性環(huán)節(jié)，可知 0.95k 0.01( )Ts 單位階躍響應(yīng)表達式為單位階躍響應(yīng)表達式為 1000.01( )(1)0.95(1)0.95(1)tttTy tkeee 響應(yīng)曲線如圖所示。響應(yīng)曲線如圖所示。 0.950.011s圖圖 的單位階躍響應(yīng)曲線的單位階躍響應(yīng)曲線 例例3-2兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為 系統(tǒng)系統(tǒng) 系統(tǒng)系統(tǒng) 試比較兩個系統(tǒng)響應(yīng)的快慢。試比較兩個系統(tǒng)響應(yīng)的快慢。

29、( )10( )21Y sX ss ( )10( )61Y sX ss 解：系統(tǒng)響應(yīng)的快慢主要指標是解：系統(tǒng)響應(yīng)的快慢主要指標是調(diào)整時間調(diào)整時間的大小，的大小，一階系統(tǒng)的調(diào)整時間是由一階系統(tǒng)的調(diào)整時間是由時間常數(shù)時間常數(shù)T決定的。決定的。 系統(tǒng)系統(tǒng)1的時間常數(shù)的時間常數(shù) 系統(tǒng)系統(tǒng)2的時間常數(shù)的時間常數(shù) 12( )Ts 26( )Ts 由于由于T1001=1兩兩個個相相等等根根jn=0d=njn=0 j右右半半平平面面1兩兩個個不不等等根根0 臨界阻尼二階系統(tǒng)：臨界阻尼二階系統(tǒng)： 1具有兩個相等的負實數(shù)極點：具有兩個相等的負實數(shù)極點：np 2, 1其中，其中，稱為稱為阻尼振蕩頻率阻尼振蕩頻率。2

30、1 nd系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量：系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量：ttnntee , 欠阻尼二階系統(tǒng)（振蕩環(huán)節(jié)）：欠阻尼二階系統(tǒng)（振蕩環(huán)節(jié)）： 0 1具有兩個不相等的負實數(shù)極點：具有兩個不相等的負實數(shù)極點：122, 1 nnp系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量：系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量：tnne 12 零阻尼二階系統(tǒng)：零阻尼二階系統(tǒng)： 0具有一對共軛虛極點：具有一對共軛虛極點：njp 2, 1 負阻尼二階系統(tǒng)：負阻尼二階系統(tǒng)： 0極點實部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。極點實部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)時域響應(yīng)含有復(fù)指數(shù)振蕩項：系統(tǒng)時域響應(yīng)含有復(fù)指數(shù)振蕩項：tjne l 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的

31、單位階躍響應(yīng) ssXi1)( )2()()()(222nnniossssXsGsX 欠阻尼（欠阻尼（0 1）狀態(tài)）狀態(tài) （系統(tǒng)有兩個不等的負實數(shù)特征根）（系統(tǒng)有兩個不等的負實數(shù)特征根）0)11(21)11(211)()1(22)1(2222 teetxttonn， 01txo(t)q 特點特點 單調(diào)上升，無振蕩，單調(diào)上升，無振蕩， 過渡過程時間長過渡過程時間長 xo ( ) = 1，無穩(wěn)態(tài)，無穩(wěn)態(tài) 誤差。誤差。 無阻尼（無阻尼（ = 0）狀態(tài)）狀態(tài) 0,cos1)( tttxno 210txo(t)q 特點特點 頻率為頻率為 n的等的等 幅振蕩。幅振蕩。222221)()(nnnossssss

32、X 負阻尼（負阻尼（ 0）狀態(tài)）狀態(tài) 0txo(t)-1 0t0 xo(t) -1q -1 0：輸出表達式與欠阻尼狀態(tài)相同。：輸出表達式與欠阻尼狀態(tài)相同。 q -1：輸出表達式與過阻尼狀態(tài)相同。：輸出表達式與過阻尼狀態(tài)相同。 特點：振蕩發(fā)散特點：振蕩發(fā)散 特點：單調(diào)發(fā)散特點：單調(diào)發(fā)散 幾點結(jié)論幾點結(jié)論 q 二階系統(tǒng)的阻尼比二階系統(tǒng)的阻尼比 決定了其振蕩特性：決定了其振蕩特性： 0 時，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；時，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定； 1 時，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長；時，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長；0 1：012)(11222teetxttnonn = 1：0,)(2ttetxtno

33、n 0 1：0,1212121212122)(1222122222teettxtntnnonn = 1：0,21122)(tetttxtnnnon 01 =10 1 =0 0122,1nns s 12,ns s 122,1nns sj 12,ns sj 122,1nns sj 例例1單位脈沖信號輸入時，系統(tǒng)的響應(yīng)為：單位脈沖信號輸入時，系統(tǒng)的響應(yīng)為：求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 toetx657)( 解：由題意解：由題意Xi(s)=1，所以：，所以： 57)()()()()(6tooioeLtxLsXsXsXsG )6(422657 sssss 例例2解：解：1）單位階躍輸入時）單位階

34、躍輸入時 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)：求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)。求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)。2)1(12)( sssG11)1(111)1(12)()()(22 sssssssXsGsXio從而：從而： 1()( ) 1ttoox tL X stee 2）單位脈沖輸入時，由于）單位脈沖輸入時，由于)( 1 )(tdtdt 因此：因此：ttooteetxdtdtx)()(1 欠阻尼二階系統(tǒng)的時域性能指標欠阻尼二階系統(tǒng)的時域性能指標 上升時間上升時間tr 1sin11)(2 rdtrotetxrn根據(jù)上升時間的定義有：根據(jù)上升時間的定義有：欠阻尼二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為：欠阻

35、尼二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為：0),sin(11)(2 ttetxdton 2221arccos11 nndrarctgt首次首次到達穩(wěn)態(tài)值，到達穩(wěn)態(tài)值，k=1，從而：，從而：顯然，顯然， 一定時，一定時， n越大，越大，tr越??；越?。患矗杭矗?0sin rdt, 2, 1, 0, kktrd n一定時，一定時， 越大，越大，tr 越大。越大。 峰值時間峰值時間tp，并將，并將t = tp代入可得：代入可得： 0)( dttdxo令令0)cos(1)sin(122 pdtdpdtntetepnpn即：即： tgttgpd 21)(, 2, 1, 0, kktpd 根據(jù)根據(jù)tp的定義解上方程可得：的

36、定義解上方程可得： 21 ndpt可見，峰值時間等于阻尼振蕩周期可見，峰值時間等于阻尼振蕩周期Td2 / d的一半。且的一半。且 一定，一定， n越大，越大，tp越??；越??； n一定，一定， 越大，越大，tp 越大。越大。 最大超調(diào)量最大超調(diào)量 Mp%100111%100)()()(2211 eexxtxMoopop顯然，顯然，Mp僅與阻尼比僅與阻尼比 有關(guān)。最大超調(diào)量直有關(guān)。最大超調(diào)量直接說明了系統(tǒng)的阻尼特性。接說明了系統(tǒng)的阻尼特性。 越大，越大， Mp 越小，越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好。當系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好。當 = 0.40.8時，可以求時，可以求得相應(yīng)的得相應(yīng)的 Mp = 25.4%1.5%。

37、00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100Mp 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)MMp p 圖圖 調(diào)整時間調(diào)整時間ts對于欠阻尼二對于欠阻尼二階系統(tǒng)，其單階系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)的位階躍響應(yīng)的包絡(luò)線為一對包絡(luò)線為一對對稱于響應(yīng)穩(wěn)對稱于響應(yīng)穩(wěn)態(tài)分量態(tài)分量 1 的指的指數(shù)曲線：數(shù)曲線： 211 tnet01xo(t)211 tne211 tnenT 1 2111 2111 T2T3T4TT2 arccos21dt 當包絡(luò)線進入允許誤差范圍之內(nèi)時，階躍響應(yīng)當包絡(luò)線進入允許誤差范圍之內(nèi)時，階躍響應(yīng)曲線必然也處于允許誤差范圍內(nèi)。因此利用：曲線必然也處于允許誤差范

38、圍內(nèi)。因此利用： 1112tnenst21lnln可以求得：可以求得：由上式求得的由上式求得的 ts 通常偏保守。通常偏保守。故故 可以忽略可以忽略 05. 0,302. 0,41lnln2nnnst 當當0 Series interconnection: Transfer function: 5 s2 + 19 s + 12-s4 + 17 s3 + 41 s2 + 87 s + 30Parallel interconnection: Transfer function: 6 s3 + 32 s2 + 84 s + 38-s4 + 17 s3 + 41 s2 + 87 s + 30Feedb

39、ack interconnection: Transfer function: 5 s3 + 14 s2 + 33 s + 20-s4 + 17 s3 + 46 s2 + 106 s + 42MATLAB Program Out: model.ml 求解連續(xù)系統(tǒng)時域響應(yīng)的求解連續(xù)系統(tǒng)時域響應(yīng)的MATLAB函數(shù)函數(shù) impulse函數(shù)函數(shù)計算計算/繪制連續(xù)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。繪制連續(xù)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。句法：句法：impulse(sys, t)impulse(num, den, t)y, x, t=impulse(sys, t)y, x, t=impulse(num, den, t) impul

40、se(sys)impulse(num, den) y, x, t=impulse(sys) y, x, t=impulse(num, den)0t時間內(nèi)時間內(nèi)的脈沖響應(yīng)的脈沖響應(yīng) step函數(shù)函數(shù)計算計算/繪制連續(xù)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。繪制連續(xù)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。句法：句法：step(sys, t)step(num, den, t)y, x, t=step(sys, t)y, x, t=step(num, den, t) step(sys)step(num, den)y, x, t=step(sys)y, x, t=step(num, den) 0t時間內(nèi)時間內(nèi)的階躍響應(yīng)的階躍響應(yīng) lsim函數(shù)

41、函數(shù)計算計算/繪制連續(xù)系統(tǒng)在繪制連續(xù)系統(tǒng)在0t時間內(nèi)的對任意輸時間內(nèi)的對任意輸入入u的響應(yīng)。的響應(yīng)。句法：句法：lsim(sys, u, t)lsim(num, den, u, t)y, t=lsim(sys, u, t)y, t=lsim(num, den, u, t) 上述函數(shù)句法中帶輸出變量引用時，得到系上述函數(shù)句法中帶輸出變量引用時，得到系統(tǒng)的時域響應(yīng)數(shù)據(jù)而不直接顯示響應(yīng)曲線，統(tǒng)的時域響應(yīng)數(shù)據(jù)而不直接顯示響應(yīng)曲線，此時需通過繪圖命令此時需通過繪圖命令plot查看響應(yīng)曲線。查看響應(yīng)曲線。 100240309223841550202)(234562 sssssssssG例題：例題： 已知系

42、統(tǒng)傳遞函數(shù)為：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：求該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)、單位階躍響應(yīng)、求該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)、單位階躍響應(yīng)、單位速度響應(yīng)、單位加速度響應(yīng)。單位速度響應(yīng)、單位加速度響應(yīng)。MATLAB Program: response0.m% 輸入系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型輸入系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型num=2 20 50;den=1 15 84 223 309 240 100;t=0:0.1:20; % 生成時間向量生成時間向量% 求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)subplot(2, 2, 1); % 設(shè)定子圖形顯示位置設(shè)定子圖形顯示位置impulse(num, den, t); % 求單位脈沖響應(yīng)求單位脈沖響應(yīng)yl

43、abel(y(t); % 顯示縱軸名稱顯示縱軸名稱title(單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)); % 顯示圖形名稱顯示圖形名稱% 求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)subplot(2, 2, 2); % 設(shè)定子圖形顯示位置設(shè)定子圖形顯示位置step(num, den, t); % 求單位階躍響應(yīng)求單位階躍響應(yīng)ylabel(y(t); % 顯示縱軸名稱顯示縱軸名稱title(單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)); % 顯示圖形名稱顯示圖形名稱MATLAB Program: response0.m (continue1)% 求系統(tǒng)的單位速度響應(yīng)求系統(tǒng)的單位速度響應(yīng)subplot(2, 2, 3); % 設(shè)定

44、子圖形顯示位置設(shè)定子圖形顯示位置u1=t; % 單位速度輸入信號單位速度輸入信號plot(t, u1); % 繪制單位速度輸入信號繪制單位速度輸入信號hold on; % 圖形保持，在同圖中繪制響應(yīng)曲線圖形保持，在同圖中繪制響應(yīng)曲線lsim(num, den, u1, t); % 求單位速度響應(yīng)求單位速度響應(yīng)ylabel(x(t), y(t); % 顯示縱軸名稱顯示縱軸名稱text(10, 12, t); % 顯示單位速度函數(shù)表達式顯示單位速度函數(shù)表達式title(單位速度響應(yīng)單位速度響應(yīng)); % 顯示圖形名稱顯示圖形名稱MATLAB Program: response0.m (continu

45、e2)% 求系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)求系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)subplot(2, 2, 4); % 設(shè)定子圖形顯示位置設(shè)定子圖形顯示位置u2=t.*t/2; % 單位加速度輸入信號單位加速度輸入信號plot(t, u2); % 繪制單位加速度輸入信號繪制單位加速度輸入信號hold on; % 圖形保持，在同圖中繪制響應(yīng)曲線圖形保持，在同圖中繪制響應(yīng)曲線lsim(num, den, u2, t); % 求單位加速度響應(yīng)求單位加速度響應(yīng)ylabel(x(t), y(t); % 顯示縱軸名稱顯示縱軸名稱text(11, 100, 1/2*t2); % 顯示單位加速度函數(shù)表達式顯示單位加速度函數(shù)表達式tit

46、le(單位加速度響應(yīng)單位加速度響應(yīng)); % 顯示圖形名稱顯示圖形名稱若系統(tǒng)初始條件為若系統(tǒng)初始條件為0，易知，系統(tǒng)，易知，系統(tǒng)G(s)的單位脈的單位脈沖響應(yīng)與沖響應(yīng)與sG(s)的單位階躍響應(yīng)相同，換言之，的單位階躍響應(yīng)相同，換言之，系統(tǒng)系統(tǒng)G(s)的單位階躍響應(yīng)與系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)與系統(tǒng)G(s)/s的單位脈的單位脈沖響應(yīng)相同。沖響應(yīng)相同。顯然，對于任意輸入信號，只要能求出其拉氏顯然，對于任意輸入信號，只要能求出其拉氏變換，即可采用變換，即可采用impulse或或step函數(shù)求其響應(yīng)。函數(shù)求其響應(yīng)。 l 連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB函數(shù)函數(shù) roots函數(shù)：求多項式的根函數(shù)：求多項式的根句法：句法： r=roots(p) 其中，其中，r為由多項式根組成的列向量。為由多項式根組成的列向量。 pole函數(shù)：計算系統(tǒng)的極點函數(shù)：計算系統(tǒng)的極點句法：句法： p=pole(sys) 其中，其中，p為由極點組成的列向量。為由極點組成的列向量。 zero函數(shù)：計算系統(tǒng)的零點函數(shù)：計算系統(tǒng)的零點 句法：句法： r