時間序列的指數平滑預測技術

1、歡迎共閱第五章時間序列的指數平滑預測技術本章重點內容：常數模型的指數平滑法的基本公式與預測方程，初值對預測值 的影響及其選擇，基本公式的誤差校正式，霍爾特指數平滑法，布朗二次指數平滑 法，布朗適應性平滑法，各種平滑法之間的關系，比例模型的指數平滑法。5.1 常用模型的指數平滑法5.1.1 基本公式與預測方程利用時間序列前t期的觀察值Xi,X2，x預測第t+ 1期的值xt+i時，設賦予第i 期的權重為Wt+1-i(i=1,2 »*W2>>wt，計算諸觀察值的加權平均：并取第t+1期預測值為這就是所謂加權平均法。加權平均法的缺點： 1Xt 2Xt -1 . tX1 Wt &#

2、39;'1'2 ' . - ' 't(1)權重不易確定 % 3I J?t 1 = Wt(2)要記憶的數據太多(3)計算較繁權重不易確定自動取權重的方法：自當前期向前，各期權重按指數規(guī)律下降，即第t期，第t-1 期的權重依次為： ,:, 片 2,.(、工 > 0,0：-：二 1 )由上式看出，為使計算方便，使權數之和等于1。我們使這一條件當t趨近s時成立，即使得- - - 2 . = 1各期權重依次為上述辦法顯然解決了自動選權重的問題，但尚未克服記憶數據多和計算繁兩個缺點。為此，我們考慮t充分大時的情形，這時得到：將滯后一期拿出：丁1=二為 i-1：

3、 (1 (1 ：-)'x)Xt1-2： (1(1 - )2xtXt>3 .得到即：二(1 二,二)-1 =二、xj . 一一 上式稱為指數平用法的系本公式，這個公式是用遞推公式給出的，口叫做平滑?t 1Tt Tt : xt (1 - : )Tt -1常數，0 < % <1,其值可由預測者任意指定。Tt稱為T的(實際上也是x的)第t期的指 數平滑值。指數平滑法的預測方程是：即把第 t期的指數平滑值作為第t+1期的預測 值。指數平滑法的基本做法用公式的形式表述出來就是：新的估計值=平滑常數X利用當前期資料的估計值+(1平滑常數)X只利用歷史資料的估計值指數平滑法優(yōu)點：既繼

4、承加權平均法重視近期數據的思想，又能克服以上三個 缺點。例5-1某經濟變量前5期的觀察值是5, 6, 4, 6, 3取:. 二0.2, T1=5進行預測。利用公式(5-5)和(5-6)逐期計算：解題過程：Ti =5?2 =5T2 =x2 (1 一二)Ti =0.2 6 0.8 5=5.2?3 =5.2T3 = ： x3 (1 - 1)T2 =0.2 4 0.8 5.2 =4.96 ?4=4.96把計算結果列入下表5.1中：表5.1指數平均法預測1234565565.2544.965.265.1684.9634.73445.1684.73445.1.2 平滑常數對預測結果的影響0f越小，對數據的

5、平滑能力越強，但對數據變化的敏感性越差，口越大，對數據的平滑能力越差，但對數據變化的敏感性越強。例5-2時間序列前10期的觀察值由表5.2中xt列給出，試分別以0t =0.1,0.5,0.9為平滑常數進行預測，取初值 二5。經計算，把各預測值都列入表 5.2中。表5.2用不同的口進行指數平滑預測152 436475362758693107115.05.05.04.94.54.15.05.35.85.26.16.95.04.63.44.73.32.14.74.14.74.85.15.94.74.03.34.95.56.6實際觀察值丁1=須測值T1=7K測值圖5-1平滑常數對預測值的影響5.1.3

6、 基本公式的顯式形式反復利用公式(5-5)，可以得到5.1.4 初值對預測值的影響及其選擇初值只是對前若干期的預測值產生較大影響，隨著 t的增大，它對預測值的 影響越來越小。例5-3時間序列前12期的觀察值如表5.3中xt列所示。取口=0.2,試分別用初值 T1=2, T1=7進行預測。表5.3用不同的初值進行指數平滑預測112白一:25275.0372.66.64.0443.56.73.2563.66.12.6654.16.12.0734.35.91.6854.05.31.3934.25.31.01024.04.80.81163.64.20.71254.14.60.5134.24.70.4我

7、們對初值的選取提出以下建議：(1)如果只有一期數據，沒有任何其它任何信息，不妨取 T1=x1。(2)如果已有若干期數據了，可以取 T1為前幾期數據的平均值。如果數據很多， 可以用前一半數據的平均值取初值，用后一半數據平滑。(3)如果在應用指數平滑法預測之前，已用其它方法作過預測，可把用其它方法 得到的第1期的預測值作為指數平滑法的初值。(4)對初值的選取，也可以采用專家估計的辦法。(5)用逆平滑法取初值。所謂逆 平滑法就是：先選定一個初值 T1,用指數平滑法逐期平滑，直到數據的最后一期； 然后再用所得預測值作為初值，由點向前逐期平滑，直到第 1期。用這時所得的預 測值作為真正預測時正式的初值。

8、(5)如果數據不多，對0c的選取信心不足，可以采取觀望態(tài)度，也就是說，前幾 期預測結果暫時不要用于決策，等看到預測值可以相信的跡象時再用。(6)如對初值的選取把握不大，開始時可選取較大的0c以減輕預測值對初值的依歡迎共閱賴；過一段時間后，再把0c的值降下來。5.1.5 基本公式的誤差校正形式下面公式稱為指數平滑法的誤差校正式。Tt，(Xtet) (1 - ： )Tt -i=：(Tt -i et)(1 -二)Tt -i= T t _ i -t et或寫成：習題：1.下列時間序列中，哪些適合于用簡單指數平滑法預測?1011121328.5528.0030.322928.9128.728-0.45-

9、0.911.592100110105103959798100103105;15161823222829353338;100958093756059625554;(4)100150100150100150100150100150.2.用簡單指數平滑法對下面的時間序列進行預測，取 =0.2, T1=X1,并計算MSE 及 MAPE。110101010-21000.1 131005141015510226102173用簡單指數平滑法預測，取 =0.2,利用誤差校正式填寫下表中的空白處:4.對第1題(1)中的時間序列，取初值T1=100,分別用 =0.2和0.5作簡單指數平滑 預測，并在同一直角坐標系

10、中把實際觀察值和兩種預測值都畫出來，分別以折線連 結。這兩條預測線中，哪一個波動較小，哪一個對數據變化更加敏感？本節(jié)需要注意的問題：本節(jié)講的指數平滑法只適合常數模型，為了和以后要講的其它模型的指 數平滑法相區(qū)別，本節(jié)講的常數模型的指數平滑法為簡單指數平滑法。5.2線性模型的指數平滑法本節(jié)所要研究的是線性模型，即xt +丁 = Tt + B + Rt +t(加法模式)或 xt = (Tt + bi)Rt +t(乘法模式)歡迎共閱這里，t表示當前期，Tt表示第t期(當前期)的趨勢值。b=Tt Tt-1稱為趨勢增量，它表示每過一個時期趨勢值的增加量。5.2.1霍爾特指數平滑法(1)基本公式與方程Tt

11、 = :xt (1 : )(J bt -1)(5 -14)bt = "Tt -Tt -1)(1 )bt(5 -15)預測方程：其中各符號的意義：t：當前期支預測超前期數(或稱預測步長)Tt, Tt利用第t期或前t期數據對第t期或第t期趨勢的估計。bt, bt利用前t期或前t期數據對趨勢增量b的估計xt：第t期的實際觀察值Xt十工利用前t期數據對t +丁期的預測值口，B：平滑常數0 <ct, P <1利用公式(5-14)和(5-15)計算時，除兩個平滑常數外需先指定兩個初值 T1和b10例5-4 時間序列前4期的觀察值為2, 4, 3, 6取 =0.2, P =0.05,=

12、2, 4=7,用 霍爾特方法對第2期-第4期作步長t=1的追溯預測，并對第5期至第7期分別作 步長的預測。反復利用公式(5-14)-(5-16)，得=2b1 =0?2b1 =2 0=2T2 = ： X2 (1 - 1)(T1 b1) =0.2 4 0.8 (2 0) = 2.4b2，(T2 -T1) (1 - - )bi = 0.05 (2.4-2) 0.95 0 = 0.02詳細結果列于表5.4中，為了對第5期一第7期作預測，表5.4霍爾特方法預測1 23 45 6 7243622.42.5363.249400.020.02580.000222.422.56183.30963.36983.4

13、300110.3116.65.6(2)關于初值的研究例5-5我國1978-1987年間各年的棉布產量如表 5-5中xt所示(單位:億米), 試預測1988年的產量。畫出散點圖(圖5-4)。從圖中看出，這些點大致分布在一條直線的附近。 取 =0.2, :=0.05。表5-5我國棉布產量的預測 T 1 (1978 年)歡迎共閱2i2i.5i22.25.593i22.23i34.7i29.i5.6635i27.74i42.7i36.35.7432i34.75i53.5i44.45.8576i42.i6i48.8i49.95.8435i50.27i37.0i52.05.6558i55.88i46.7i

14、55.55.5i6ii57.79i64.7i6i.85.58i8i6i.0i0（i987 年）i73.0i68.55.6394i67.3ii（i988 年）i76.2i74.iMSE=84.9725,MAPE=5.164%（3）誤差校正式et = xt - X - xt - Tt_i-bt _i 故 xt = Tt_i-bt_i et 將此式代入(5 - 14)中，Tt =(Tt- bt _iet)(1 - :- )( Tt -i bt _i)=:T t _i :工 b t _.i -:工 e t - T t _ib t _i - :- T t 一i - : b t=T t _i bt _i

15、+ 二 et(5 - i9)再將此式代入公式(5 - i5)中b t = ： (T t _ib t _i + 二 et - T t 一i)(i - ?;.) b t 二i=bt:Pet(5 - 20)上式是由公式(5-i6)得出下一步預測誤差。公式(5-i9)(5-20)便是霍爾特法的誤差校正式。5.2.2布朗二次指數平滑法 i、基本公式與預測方程布朗二次指數平滑法就是為了彌補這種缺陷的一種方法.所謂二次指數平滑法，就是對一次指數平滑后的序列再作一次指數平滑，使序列反映出線性趨勢，建立線性方程進行預測的方法。2、誤差校正式5.2.3 布朗適應性平滑法例5-7 對2, 4, 3, 6四個數據，用

16、布朗適應性平滑法，取r=0.9,Ti=2,bi=0.利用公式逐期計算Ti =2 bi =0 ?2 :Ti bi =2 0=2 T2 =Ti bi (i -r2)e2 =2 0 0.i9 2 = 2.38 b2 二b1 (i r)2et =0 0.0i 2 =0.02 ?3 =T2 b2 =2.38 0.02 =2.4 e3 =x3 -？3-2.4 =0.6詳細結果見表5.8。表5.8布朗適應性平滑法預測ri220242.380.0222332.5i40.0262.40.6463.i9740.06062.543.4653.25863.318673.37925.2.4 各種方法間的關系1、應性平滑

17、法與二次指數平滑法的等價性2、應性平滑法與二次指數平滑法都是霍爾特指數平滑法的特殊情形5.3比例模型的指數平滑法5.3.1 繆爾指數平滑法例5-8時間序列前5期的觀察值為：2.2,2.4,2.7,2.9,3.3試用繆爾指數平滑法預測第6期和第7期的值。取 =0.2, P =0.05,Ti=2.2,產1 利用公式逐期計算：Ti =2.2r1 =1?2 =Tiri =2.2 1 =2.2T2 = ：x2 （1-二）1r1 =0.2 2.4 0.8 2.2 1 =2.24一 .224r2 =:2 （1 _ ：） r1 =0.050.95 1 =1.00002112.2?3 =T2 r2 =2.24

18、1.0009 = 2.242詳細結果見表5.11。表5.11繆爾指數平滑法預測Xt12.22.2122.42.241.00002.232.72.33361.00302.24242.92.45241.00542.340553.32.63241.00872.465562.6555 72.6787這里，預測值比實際值低得較多，主要原因是r的初值取為“1太低，而且P =0.05較小, 數據個數又太少。5.3.2線性化目前，繆爾指數平滑法應用還不十分普遍，因為比例模型（乘法模式）可以通 過簡單的變換轉化為線性模型，然后利用線性模型的預測方法預測。例5-10利用例5-9中的數據，采用比例模型，再線性化，預測我國 1988年客運JHL °首先把10個原始數據分別取對數，得出x： = Inxt的10個觀察值。用霍爾特方法。取 =0.2, = =0.05o初值用與上例類似的力選?。从霉剑?-18）, k=5）:詳細計算見表5.13。X11 =13.7512，故1988年我國客運總量預測值為 ?11 =e13.7512 =937721 （萬人）。MSE=1.3004X 109MAPE=7.3188%表5.13比例模型線性化方法t1 （1978 年