平行四邊形性質(zhì)提高練習(xí)及答案

1、平行四邊形性質(zhì)提高練習(xí)及答案1如圖，口ABCD的對角線 AC、BD相交于點(diǎn) O, EF過點(diǎn)0且與AB、CD分別相交于點(diǎn) E、F,連 接EC.(1) 求證：0E=0F;(2) 若EF丄AC,A BEC的周長是10,求ABCD的周長.2在面積為15的口 ABCD中，過點(diǎn)A作AE垂直于直線BC于點(diǎn)E,作AF垂直于直線 CD于點(diǎn)F,若AB=5, BC=6,求CE+CF的值3如圖，口ABCD中，點(diǎn)E、F分別在 AD、AB上，依次連接 EB EC FC FD,圖中陰影部分的面積分別為 S1、S2、S3、S4，已知 Sj=2、s2=12、S3 =3，求 S4 的值4如圖 口ABCD中, M是BC的中點(diǎn) 且A

2、M=9 BD=12, AD=10，求 ABCD的面積5如圖，在？ABCD中，E、F分別為邊 AD、BC的中點(diǎn)，對角線 AC分別交BE, DF于點(diǎn)G、H.求證：AG=CH6如圖，E、F分別是平行四邊形 ABCD的邊AB、CD上的點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)P, BF 與CE相交于點(diǎn) Q,若處APD=15cm2, SA BQC=25cm2,求陰影部分的面積.7如圖，在四邊形 ABCD中，/ ABC=90°, AC=AD, M , N分別為 AC, CD的中點(diǎn)，連接 BM, MN , BN.(1) 求證：BM=MN ;(2) Z BAD=60°, AC平分/ BAD, AC=2,求 B

3、N 的長.8在口ABCD中，/ ADC的平分線交直線 BC于點(diǎn)E、交AB的延長線于點(diǎn) F,連接AC.(1)如圖1,若/ ADC=90°, G是EF的中點(diǎn)，連接 AG、CG.求證：BE=BF請判斷厶AGC的形狀，并說明理由；(2)如圖2,若/ ADC=60°,將線段FB繞點(diǎn)F順時(shí)針 旋轉(zhuǎn)60°至FG,連接AG、CG.那么 AGC又是怎樣的形狀.(直 接寫出結(jié)論不必證明)1如圖，口ABCD的對角線 AC BD相交于點(diǎn) O, EF過點(diǎn)0且與AB、CD分別相交于點(diǎn) E、F,連接EC.(1) 求證：OE=OF;(2) 若EF丄AC,A BEC的周長是10,求ABCD的周長.

4、【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì).【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出OD=OB, DC/ AB,推出/ FDO=Z EBO,證出 DFOA BEO即可;(2)由平行四邊形的性質(zhì)得出 AB=CD,AD=BC,OA=OC,由線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=CE由已知條件得出 BC+AB=1Q即可得出？ABCD的周長.【解答】(1)證明：四邊形 ABCD是平行四邊形， OD=OB, DC/ AB,/ FDO=Z EBQ在厶 DFO和厶 BEO 中，/ FDO=Z EBO OD= OB / FOD=Z EOB , DFOA BEO (ASA), OE=OF(2)解：四邊形 ABCD是平行四邊形， AB=CD AD

5、=BC, OA=OC,/ EF± AC, AE=CE/ BEC的周長是10 , BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10 ?ABCD的周長=2 ( BC+AB =20.【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定、線段垂直平分線的性質(zhì)；熟練掌 握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.2在面積為15的口ABCD中，過點(diǎn)A作AE垂直于直線BC于點(diǎn)E,作AF垂直于直線 CD于點(diǎn)F,若AB=5, BC=6,求CE+CF 的值2平行四邊形的性質(zhì)和面積，勾股定理。依題意，有如圖的兩種情況。設(shè)BE=x , DF=y。如圖1，由AB = 5 , B

6、E=x，得垃=屈-£。 由平行四邊形 ABCD的面積為15 , BC = 6，得丘 解得盂二士婕（負(fù)數(shù)舍去）。2由 BC= 6, DF=y，得 2*心-曲血-丫二。由平行四邊形 ABCD的面積為15 , AB = 5，得536-yJ = 15 , 解得（負(fù)數(shù)舍去）。CE+ CF= （6 -芋）+（ 5 -疝）=11 當(dāng)。如圖2，同理可得BE= , DF=朋。255、 r115 CE + CF= （6 + - ） + （ 5 + 3J3 ） =11 + 。故選C。3如圖，DABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD、AB上，依次連接EB EC FC FD,圖中陰影部分的面積分別為S1、S2、S3、

7、S4，已知 Sj=2、S2=12、S3=3,求 S4 的值【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì).【分析】影陰部分 S2是三角形CDF與三角形CBE的公共部分，而 S1, S4, S3這三塊是平行四邊形中沒有被三角形CDF與三角形CBE蓋住的部分，故 CDF面積+ CBE面積+ （ S1+S4+S3 -S2=¥行四邊形ABCD的面積，而 CDF與厶CBE的面積都是平行四邊形 ABCD面積的一半，據(jù)此求得S4的值.1【解答】解：設(shè)平行四邊形的面積為S,則SA CBE=S CDFS,2由圖形可知， CDF面積+ CBE面積+ （ S1+S4+S3心2=平行四邊形 ABCD的面積 S=S CBE+S C

8、DF+2+q +3-12 ,1 1即 S=S+S+2+S4+3-12,2 2解得S4 =7,故選（D）.【點(diǎn)評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是明確各部分圖形面積的和差關(guān)系：平行四邊形 ABCD的面積= CDF面積+ CBE面積+ （ S1+S4+S3 -S2.4如圖 口ABCD中, M是BC的中點(diǎn) 且AM=9 BD=12, AD=10，求ABCD的面積【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；三角形的面積；勾股定理的逆定理.【專題】壓軸題；轉(zhuǎn)化思想.【分析】求?ABCD的面積，就需求出 BC邊上的高，可過 D作DE/ AM，交BC的延長線于E,那么四邊形 ADEM 也是平行四邊形，則 AM=

9、DE;在厶BDE中，三角形的三邊長正好符合勾股定理的逆定理，因此BDE是直角三角形；可過D作DF丄BC于F,根據(jù)三角形面積的不同表示方法，可求出 DF的長，也就求出了 BC邊上的高，由此可求出四邊 形ABCD的面積.【解答】解：作 DE/ AM,交BC的延長線于E,則ADEM是平行四邊形， DE=AM=9, ME=AD=10,又由題意可得， BM=12BC=12AD=5,貝U BE=15, 在厶 BDE中，T BD2+DE2=144+8仁225=BE2 BDE是直角三角形，且/ BDE=90 ,過D作DF丄BE于F,貝U DF=BD?DEBE=365 S?ABCD=BC?FD=10 365=7

10、2 .故選D.【點(diǎn)評】此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理，正確地作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.5. （2012?淄博模擬）則在？ABCD中，/ BAD的平分線交直線 BC于點(diǎn)E,交直線DC于點(diǎn)F.若/ ABC=120° , FG/ CE FG=CE分別連接DB、DG、BG,Z BDG 的大小是（）A.30° B.45°C.60°D.75°【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).【專題】壓軸題.【分析】分別連接 GB、GC,求證四邊形 CEGF是平行四邊形，再求證厶 ECG是等邊三角形由AD / BC及AF平分/

11、BAD可得/ BAE=Z AEB,則可證得厶BEG DCQ然后即可求得答案.【解答】解：延長 AB、FG交于H,連接HD./ AD/ GF, AB/ DF,四邊形AHFD為平行四邊形，/ ABC=120 , AF平分/ BAD,/ DAF=30°,Z ADC=120°,Z DFA=30 , DAF為等腰三角形， AD=DF,平行四邊形 AHFD為菱形， ADH,A DHF為全等的等邊三角形， DH=DF, / BHD=Z GFD=60°,/ FG=CE CE=CF CF=BH BH=GF,在厶BHD和厶GFD中，BH= GFZ BHD=Z GFDDH= DF, B

12、HDA GFD (SAS , / BDH=Z GDF, / BDG=Z BDH+Z HDG=Z GDF+Z HDG=60°故選C.D【點(diǎn)評】此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與 性質(zhì)等知識點(diǎn)此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.6如圖，E、F分別是平行四邊形 ABCD的邊AB、CD上的點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)P, BF與CE相交于點(diǎn) Q,若 處APD=15cm2,BQC=25cm2,求陰影部分的面積.【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì).【專題】壓軸題.【分析】作出輔助線，因?yàn)?ADF與厶DEF同底等高，所以面積相等，所以

13、陰影圖形的面積可解.【解答】解：如圖，連接 EF ADF與 DEF 同底等高，處 ADF=S DEF即 SA ADF-S DPF=S DEF-笙 DPF,即 SA APD=S EPF=15cm2同理可得 SA BQC=S EFQ=25cm2,陰影部分的面積為 SA EPF+SX EFQ=15+25=40cm2.故答案為：40.【點(diǎn)評】本題綜合性較強(qiáng)，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解答此題關(guān)鍵是作出輔助線，找出同底等高的三角形.7如圖，在四邊形 ABCD中，/ ABC=90°, AC=AD, M , N分別為 AC, CD的中點(diǎn)，連接 BM , MN , BN.(1) 求證：BM=MN

14、;(2) Z BAD=60°, AC平分/ BAD, AC=2,求 BN 的長.【考點(diǎn)】三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理.1【分析】(1)根據(jù)三角形中位線定理得 MN= AD,根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得BM=12AD,根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得BM= 1 AC,由此即可證明.2首先證明/ BMN=90 °，根據(jù)BN2=BM2+MN2即可解決問題.【解答】(1)證明：在厶CAD中，T M、N分別是AC、CD的中點(diǎn), MN/ AD, MN=12AD ,在RTX ABC中，T M是AC中點(diǎn), BM=12AC, / AC=AD, MN=BM .（2）解：I/

15、BAD=60°, AC平分/ BAD,/ BAC=Z DAC=30°,由（1）可知，BM=12AC=AM=MC, / BMC=/ BAM+/ ABM=2 / BAM=60 ° ,/ MN / AD,/ NMC=/ DAC=30°,/ BMN= / BMC+/ NMC=90°, BN2=BM2+MN2 ,由（1）可知 MN=BM=12AC=1, BN=2【點(diǎn)評】本題考查三角形中位線定理、直角三角形斜邊中線定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識 解決問題，屬于中考?？碱}型.8. （ 2013?沈陽模擬）在？ABCD中，/ ADC的平分線

16、交直線 BC于點(diǎn)E交AB的延長線于點(diǎn) F,連接AC.（1）如圖1,若/ ADC=90°, G是EF的中點(diǎn)，連接 AG、CG. 求證：BE=BF 請判斷厶AGC的形狀，并說明理由；（2）如圖2,若/ ADC=60°,將線段FB繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至FG,連接AG、CG.那么 AGC又是怎樣的形 狀.（直接寫出結(jié)論不必證明）【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定；等腰直角三角形.【專題】壓軸題.【分析】（1 先判定四邊形 ABCD是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得/ ABC=90°, AB / DC, AD / BC,然后根據(jù)平 行線

17、的性質(zhì)求出/ F=/ FDC, / BEF=/ ADF,再根據(jù)DF是/ ADC的平分線，利用角平分線的定義得到/ADF=/ FDC,從而得到/ F=Z BEF,然后根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)即可證明；連接BG,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得/ F=Z BEF=45 ,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出 BG=FQ / F=Z CBG=45°,然后利用“邊角邊”證明 AFG和厶CBG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得 AG=CG再求出/ GAC+ / ACG=90，然后求出/ AGC=90°,然后根據(jù)等腰直角三角形的定義判斷即可；(2)連接BG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得 BFG是等邊三角形

18、，再根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)求出AF=AD,平行四邊形的對角相等求出/ ABC=Z ADC=60°,然后求出/ CBG=60°,從而得到/ AFG=Z CBG,然后利用“邊角邊” 證明 AFG和厶CBG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AG=CG全等三角形對應(yīng)角相等可得/ FAG=Z BCG,然后求出/GAC+Z ACG=120，再求出/ AGC=60°，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法判定即可.【解答】(1 )證明：四邊形 ABCD是平行四邊形，Z ABC=90°,四邊形ABCD是矩形，Z ABC=90 , AB / DC, AD / BC, Z

19、 F=Z FDC,Z BEF=/ ADF,/ DF是Z ADC的平分線， Z ADF=Z FDC, Z F=Z BEF,C BF=BE、AGC是等腰直角三角形.理由如下：連接BG,由知，BF=BE Z FBC=90 , Z F=Z BEF=45 , G是EF的中點(diǎn)， BG=FG Z F=Z CBG=45 ,vZ FAD=90 , AF=AD,又v AD=BC AF=BC在厶 AFG和厶 CBG 中，AF= BCZ F=Z CBG= 45° BG= FG, AFGA CBG (SAS ,AG=CG/ FAG=Z BCG,又/ FAG+Z GAC+Z ACB=90°,/ BCG+/ GAC+Z ACB=90 , 即Z GAC+Z ACG=90&