11-1常數(shù)項級數(shù)的概念

1、一、問題的提出一、問題的提出1. 1. 計算圓的面積計算圓的面積R正六邊形的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正十二邊形的面積1a21aa 正正 形的面積形的面積n23 naaa 21naaaA 21即即 n10310003100310331. 2二、級數(shù)的概念二、級數(shù)的概念1. 1. 級數(shù)的定義級數(shù)的定義: : nnnuuuuu3211(常數(shù)項常數(shù)項)無窮級數(shù)無窮級數(shù)一般項一般項部分和數(shù)列部分和數(shù)列 niinnuuuus121級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 2. 2. 級數(shù)的收斂與發(fā)散級數(shù)的收斂與發(fā)散: : 當當n無限增大時無限增大

2、時, ,如果級數(shù)如果級數(shù) 1nnu的部分和的部分和數(shù)列數(shù)列ns有極限有極限s, , 即即 ssnn lim 則稱無窮級數(shù)則稱無窮級數(shù) 1nnu收斂收斂, ,這時極限這時極限s叫做級數(shù)叫做級數(shù) 1nnu的和的和. .并并寫成寫成 321uuus如果如果ns沒有極限沒有極限, ,則稱無窮級數(shù)則稱無窮級數(shù) 1nnu發(fā)散發(fā)散. .即即 常常數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) )余項余項nnssr 21nnuu 1iinu即即 ssn 誤差為誤差為nr)0lim( nnr無窮級數(shù)收斂性舉例：無窮級數(shù)收斂性舉例：KochKoch雪花雪花. .做法：先給定

3、一個正三角形，然后在每條邊上對做法：先給定一個正三角形，然后在每條邊上對稱的產生邊長為原邊長的稱的產生邊長為原邊長的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到了面積有限而周長無限的圖形了面積有限而周長無限的圖形“Koch“Koch雪花雪花”觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面積為面積為周長為周長為依次類推依次類推;43, 311 AP面積為面積為周長為周長為設三角形設三角形播放播放, 2 , 1)34(11 nPPnn)91(431121AAAnnnn

4、 1121211)91(43)91(43913AAAAnn , 3 , 2 n周長為周長為面積為面積為)94(31)94(31)94(31311221 nA第第 次分叉：次分叉：n于是有于是有 nnPlim)941311(lim1 AAnn.532)531(1 A結論：雪花的周長是無界的，而面積有界結論：雪花的周長是無界的，而面積有界雪花的面積存在極限（收斂）雪花的面積存在極限（收斂）例例 1 1 討論等比級數(shù)討論等比級數(shù)( (幾何級數(shù)幾何級數(shù)) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a的收斂性的收斂性. .解解時時如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan

5、,1時時當當 q0lim nnqqasnn 1lim,1時時當當 q nnqlim nnslim 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散時時如果如果1 q,1時時當當 q,1時時當當 q nasn 發(fā)散發(fā)散 aaaa級級數(shù)數(shù)變變?yōu)闉椴徊淮娲嬖谠趎ns lim 發(fā)散發(fā)散 綜上綜上 發(fā)散發(fā)散時時當當收斂收斂時時當當,1,10qqaqnn例例 2 2 判判別別無無窮窮級級數(shù)數(shù) )12()12(1531311nn 的的收收斂斂性性. .解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn)1211(21limlim n

6、snnn),1211(21 n,21 .21, 和為和為級數(shù)收斂級數(shù)收斂三、基本性質三、基本性質性性質質 1 1 如如果果級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, ,則則 1nnku亦亦收收斂斂. .性性質質 2 2 設設兩兩收收斂斂級級數(shù)數(shù) 1nnus, , 1nnv, ,則則級級數(shù)數(shù) 1)(nnnvu收收斂斂, ,其其和和為為 s. .結論結論: : 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù)級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù), ,斂散性不變斂散性不變. .結論結論: : 收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減. .性性質質 3 3 若若級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, ,則則 1knnu也也收

7、收斂斂)1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. .證明證明 nkkkuuu21nkkknuuu 21,kknss knknnnnss limlimlim 則則.kss 類似地可以證明在級數(shù)前面加上有限項不類似地可以證明在級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)的斂散性影響級數(shù)的斂散性.性性質質 4 4 收收斂斂級級數(shù)數(shù)加加括括弧弧后后所所成成的的級級數(shù)數(shù)仍仍然然收收斂斂于于原原來來的的和和. .證明證明 )()(54321uuuuu,21s .limlimssnnmm 則則,52s ,93s ,nms 注意注意收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂. )11()11(例如例

8、如 1111推推論論 如如果果加加括括弧弧后后所所成成的的級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散, ,則則原原來來級級數(shù)數(shù)也也發(fā)發(fā)散散. . 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散四、收斂的必要條件四、收斂的必要條件級級數(shù)數(shù)收收斂斂. 0lim nnu證明證明 1nnus,1 nnnssu則則1limlimlim nnnnnnssuss . 0 即即趨于零趨于零它的一般項它的一般項無限增大時無限增大時當當,nun級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件: :注意注意1.1.如果級數(shù)的一般項不趨于零如果級數(shù)的一般項不趨于零, ,則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散; ; 1)1(4332211nnn例如例如 發(fā)散發(fā)散2.2.必要條件不充分必要條件不充分.

9、.?, 0lim但級數(shù)是否收斂但級數(shù)是否收斂有有 nnu n131211例如調和級數(shù)例如調和級數(shù)討論討論nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其其和和為為假假設設調調和和級級數(shù)數(shù)收收斂斂)lim(2nnnss 于是于是ss , 0 .級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散)(210 n便有便有.這是不可能的這是不可能的 )21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8項4項2項2項 項m221每每項項均均大大于于21)1(1 mm項大于項大于即前即前.級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散由性質由性質4 4推論推論, ,調和級數(shù)發(fā)散調和級數(shù)發(fā)散. .五、小結五、小結1 1. .由由

10、定定義義, ,若若ssn, ,則則級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;2 2. .當當0lim nnu, ,則則級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ;3 3. .按按基基本本性性質質. .常數(shù)項級數(shù)的基本概念常數(shù)項級數(shù)的基本概念基本審斂法基本審斂法思考題思考題 設設 1nnb與與 1nnc都都收收斂斂，且且nnncab ), 2 , 1( n，能能否否推推出出 1nna收收斂斂？思考題解答思考題解答能能由柯西審斂原理即知由柯西審斂原理即知一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若nnan242)12(31 , ,則則 51nna= =_；2 2、 若若nnnna! , ,則則 51nna= =_；3 3、 若級數(shù)為若級數(shù)為

11、 642422xxxx則則 na_；4 4、 若級數(shù)為若級數(shù)為 97535432aaaa則則 na_；5 5、 若級數(shù)為若級數(shù)為 615413211 則當則當 n_時時 na_；當；當 n_時時 na_；6 6、 等比級數(shù)等比級數(shù) 0nnaq, ,當當_時收斂；當時收斂；當_時發(fā)散時發(fā)散 . .練習題練習題三、由定義判別級數(shù)三、由定義判別級數(shù) )12)(12(1751531311nn的收斂性的收斂性. .四、判別下列級數(shù)的收斂性四、判別下列級數(shù)的收斂性: :1 1、 n31916131；2 2、 )3121()3121()3121()3121(3322nn；3 3、 nn10121201411

12、0121 . .五、利用柯西收斂原理判別級數(shù)五、利用柯西收斂原理判別級數(shù) 61514131211的斂散性的斂散性 . .練習題答案練習題答案一、一、1 1、1086429753186427531642531422121 ； 2 2、543215! 54! 43! 32! 21! 1 ； 3 3、)2(6422nxn ； 4 4、12)1(11 nann； 5 5、kkkk21,2 , 12 . 12 ； 6 6、1, 1 qq. .三、收斂三、收斂. . 四、四、1 1、發(fā)散；、發(fā)散； 2 2、收斂；、收斂； 3 3、發(fā)散、發(fā)散、 nkknks12)10121( . .五、發(fā)散五、發(fā)散. .

13、取取np2 觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面積為面積為周長為周長為依次類推依次類推;43, 311 AP面積為面積為周長為周長為設三角形設三角形觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面積為面積為周長為周長為依次類推依次類推;43, 311 AP面積為面積為周長為周長為設三角形設三角形觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面積為面積為周長為周長為依次類推依次類推;43, 311 AP面積為面積為周長為周長為設三角形設三角形觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面積為面積為周長為周長為依次類推依次類推;43, 311 AP面積為面積