高中數(shù)學(xué)圓錐曲線重要結(jié)論

1、1.點(diǎn)P處的切線PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角.2.PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).3.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.,以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.4.若在橢圓上，則過(guò)的橢圓的切線方程是.5.若在橢圓外 ，則過(guò)Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.6.橢圓 (ab0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則.7.橢圓（ab0）的焦半徑公式：,( , ).8.過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連AP 和AQ交F橢圓

2、準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MFNF.9.過(guò)橢圓焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于P、Q, A1、A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MFNF.10.AB是橢圓的不平行于對(duì)稱(chēng)軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，即。1.點(diǎn)P處的切線PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.2.PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).3.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）4.若在雙曲線（a0,b0）上，則過(guò)的雙曲線的切線方程是.5.若在雙曲線（a0,b0）

3、外 ，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦.6.雙曲線（a0,bo）的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)角形.7.雙曲線（a0,bo）的焦半徑公式：( , 當(dāng)在右支上，, 當(dāng)在左支上時(shí),8.過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線交于P、Q，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一頂點(diǎn)，連AP 和AQ交于焦點(diǎn)F雙曲線準(zhǔn)線于M、N，則MFNF.9.過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于P、Q, A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MFNF.10.AB是雙曲線的不平行于對(duì)稱(chēng)軸的弦，M為AB的中點(diǎn)則，即。11.在內(nèi)，被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程.過(guò)Po的弦中點(diǎn)的

4、軌跡.1.若P為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn), , ，則.2.設(shè)橢圓（ab0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在PF1F2中，記, ,，則有.3.若橢圓（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng)，則當(dāng)0e時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).4.P為橢圓（ab0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.5.橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.6.已知橢圓（ab0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且（1） ;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值

5、是.7.過(guò)橢圓（ab0）的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.8.已知AB在橢圓（ ab0）上，線段AB的中垂線與x軸相交于點(diǎn), 則.9.設(shè)P點(diǎn)是橢圓（ ab0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2) .10.設(shè)A、B是橢圓（ ab0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .11.已知橢圓（ ab0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF 的中點(diǎn).12.過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的

6、圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.13.橢圓焦三角形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率)（注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱(chēng)為內(nèi)、外點(diǎn)）內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng). 14.橢圓（abo）的頂點(diǎn),，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)軌跡.15.過(guò)橢圓上一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）.1.雙曲線頂點(diǎn),，與y軸平行的直線交雙

7、曲線于P1、P2,A1P1與A2P2交點(diǎn)軌跡.2.過(guò)上一點(diǎn)作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）.3.若P為雙曲線（a0,b0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn), , ，則（或）.4.設(shè)雙曲線（a0,b0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在PF1F2中，記, ,，則有.5.若雙曲線（a0,b0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng)，則當(dāng)1e時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).6.P為雙曲線（a0,b0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共

8、線且和在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立.7.雙曲線（a0,b0）與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.8.已知雙曲線（ba 0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1） ;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.9.過(guò)雙曲線（a0,b0）右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.10.雙曲線（a0,b0）,A、B在雙曲線上，線段AB的中垂線與x軸交于, 則或.11.設(shè)P點(diǎn)是雙曲線（a0,b0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2) .12.設(shè)A、B是雙曲線（a0,b0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，, ,，c、e分別是雙曲

9、線的半焦距離心率，則(1). (2) .(3) .13.已知雙曲線（a0,b0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF 的中點(diǎn).14.過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.15雙曲線焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率)(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱(chēng)為內(nèi)、外點(diǎn)).其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線

10、段分成定比e.半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng).例1. 已知點(diǎn)A（3，2），F(xiàn)（2，0），雙曲線，P為雙曲線上一點(diǎn)。求的最小值。雙曲線離心率為2，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，由第二定律知即點(diǎn)P到準(zhǔn)線距離 例2. 求共焦點(diǎn)F、共準(zhǔn)線的橢圓短軸端點(diǎn)的軌跡方程。 解：取如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為p（定值），橢圓中心坐標(biāo)為M（t，0）（t為參數(shù)） ， 再設(shè)橢圓短軸端點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），則 消去t，得 例3. 已知，且滿足方程，又，求m范圍。 解析：的幾何意義為，曲線上的點(diǎn)與點(diǎn)（3，3）連線的斜率，如圖所示 例4. 已知圓和直線的交點(diǎn)為P、Q，則的值為_(kāi)。 例5. 已知橢圓：，直線：，P是上一點(diǎn)，

11、射線OP交橢圓于一點(diǎn)R，點(diǎn)Q在OP上且滿足，當(dāng)點(diǎn)P在上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程。如圖，共線，設(shè)， ，則， 點(diǎn)R在橢圓上，P點(diǎn)在直線上， 即 化簡(jiǎn)整理得點(diǎn)Q的軌跡方程為： （直線上方部分）例6. 求經(jīng)過(guò)兩圓和的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程。 設(shè) 則圓心為，在直線上 解得 故所求的方程為例7. 過(guò)點(diǎn)A（2，1）的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)P1、P2，求線段P1P2中點(diǎn)的軌跡方程。 解：設(shè)，則 <2-1>得即 設(shè)P1P2的中點(diǎn)為，則 又，而P1、A、M、P2共線 ，即 中點(diǎn)M的軌跡方程是例1 已知點(diǎn)T是半圓O的直徑AB上一點(diǎn)，AB=2、OT=t (0<t<1)，以AB為直腰作直

12、角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圓于P、Q兩點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.(1)寫(xiě)出直線的方程； （2）計(jì)算出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)； （3）證明：由點(diǎn)P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射后，反射光線通過(guò)點(diǎn)Q.(1 ) 顯然, 得直線的方程為；（2）由方程組解出、； （3）, . 由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點(diǎn)P發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)T反射，反射光線通過(guò)點(diǎn)Q.例2 已知直線l與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對(duì)角線的矩形ORPS的一個(gè)頂點(diǎn)P的軌跡方程由已知，直線l不過(guò)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，所以設(shè)直線l的方程為代入橢圓方程得 =0即 在直線方程中，分別令y=

13、0，x=0，求得 令頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）， 由已知，得 代入得 即為所求頂點(diǎn)P的軌跡方程例3已知雙曲線的離心率，過(guò)的直線到原點(diǎn)的距離是 （1）求雙曲線的方程； （2）已知直線交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值. （1）原點(diǎn)到直線AB：的距離.故（2）把中消去y，整理得 . 設(shè)的中點(diǎn)是，則 即則k=±. 例4 已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且F1PF2的最大值為90°，直線l過(guò)左焦點(diǎn)F1與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，ABF2的面積最大值為12 （1）求橢圓C的離心率； （2）求橢圓C的方程 （1）設(shè), 對(duì) 由余

14、弦定理, 得 得 （2）考慮直線的斜率的存在性，可分兩種情況： i) 當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)l的方程為 橢圓方程為 由 得 .于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為 將代入，消去得 ,整理為的一元二次方程，得 .則x1、x2是上述方程的兩根且，也可這樣求解： AB邊上的高 ii) 當(dāng)k不存在時(shí)，把直線代入橢圓方程得 由知S的最大值為 由題意得=12 所以 故當(dāng)ABF2面積最大時(shí)橢圓的方程為： 另一解法 設(shè)過(guò)左焦點(diǎn)的直線方程為： 橢圓的方程為：由得：于是橢圓方程可化為：把代入并整理得： 是上述方程的兩根.,AB邊上的高,當(dāng)且僅當(dāng)m=0取等號(hào)，即由題意知, 于是 .故當(dāng)ABF2面積最大時(shí)橢圓的方程為： 例5 已知直線與橢圓

15、相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線上.（）求此橢圓的離心率；（2 ）若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的在圓上，求此橢圓的方程.（1）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 得, 線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）. 由已知得，故橢圓的離心率為 . （2）由（1）知從而橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為解得 由已知得 ，故所求的橢圓方程為 .例6 已知M：軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA，QB分別切M于A，B兩點(diǎn)，（1）如果，求直線MQ的方程；（2）求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程.（1）由，可得由射影定理，得 在RtMOQ中， ，故，所以直線AB方程是（2）連接MB，MQ，設(shè)由點(diǎn)M，P，Q在一直線上，得由射影定理得即 把（*）及（*）消去a，并注意到，可得例7 如圖，在RtABC中，CBA=90°，AB=2，AC=。DOAB于O點(diǎn)，OA=OB，DO=2，曲線E過(guò)C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在E上運(yùn)動(dòng)，且保持| PA |+| PB |的值不變.（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；A O B C（2）過(guò)D點(diǎn)的直線L與曲線E相交于不同的兩點(diǎn)M、N且M在D、N之間，設(shè)，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍（1）建立平面直角坐標(biāo)系, 如圖所示| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y=動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓曲線E的方程是 . （2）設(shè)直線L的方程為 , 代入曲線E的方程，得設(shè)M1（, 則 i) L與y軸重合時(shí)， ii)