二、點(diǎn)和直線

1、第二章 點(diǎn)和直線HVOX2.12.1 點(diǎn)的兩面及三面投影點(diǎn)的兩面及三面投影Aaa 點(diǎn)的兩面投影能夠唯一確點(diǎn)的兩面投影能夠唯一確定點(diǎn)的空間位置。定點(diǎn)的空間位置。兩面投影體系的建立：兩面投影體系的建立：V正面投影面正面投影面H水平投影面水平投影面OX投影軸投影軸ax矩形aax=A點(diǎn)到點(diǎn)到H面的距離（高度）面的距離（高度）aax=A點(diǎn)到點(diǎn)到V面的距離（深度）面的距離（深度）矩形矩形1. 1.點(diǎn)的兩面投影圖的形成點(diǎn)的兩面投影圖的形成Aaa HVOXaxa V Haax OXa aaxOX展開展開 去邊框去邊框正面投影與水平投影的連線垂直于正面投影與水平投影的連線垂直于OX軸；軸；正面投影到正面投影到O

2、X軸的距離等于軸的距離等于A點(diǎn)的高度；點(diǎn)的高度；水平投影到水平投影到OX軸的距離等于軸的距離等于A點(diǎn)的深度；點(diǎn)的深度；HVOXYZ3. 3.點(diǎn)的三面投影點(diǎn)的三面投影Aaa axa ayaz通常我們用大寫字母表示空間的點(diǎn)，相應(yīng)的小寫字母表示其水平投影，小寫字母加一撇表示其正面投影，小寫字母加兩撇表示其側(cè)面投影。WAHVOXYZaa axa ayazWa aa OXYHZYWaxayazay3. 3.點(diǎn)的三面投影點(diǎn)的三面投影2.22.2 點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系A(chǔ)HVOXYZaa axa ayazWxzyA點(diǎn)的點(diǎn)的x坐標(biāo)坐標(biāo)aay=aazA點(diǎn)的點(diǎn)的y坐標(biāo)坐標(biāo)aax=aazA

3、點(diǎn)的點(diǎn)的z坐標(biāo)坐標(biāo)aay=aay只要給出一點(diǎn)的任只要給出一點(diǎn)的任何兩個投影何兩個投影, ,就可以就可以求出其第三個投影求出其第三個投影a aax例：已知點(diǎn)的兩個投影，求第三投影。例：已知點(diǎn)的兩個投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一: :通過作通過作4545線線使使a a a az z= =aaaax x解法二解法二: :用圓規(guī)直接量用圓規(guī)直接量取取a az=aaxa 兩點(diǎn)的相對位置兩點(diǎn)的相對位置XOZYa a ab b bBA 兩點(diǎn)的相對位置是根據(jù)兩點(diǎn)相對于投影面的距離遠(yuǎn)近（或坐標(biāo)大?。﹣泶_定的。X坐標(biāo)值大的點(diǎn)在左；Y坐標(biāo)值大的點(diǎn)在前；Z坐標(biāo)值大的點(diǎn)在上。 XZYWYHOa a

4、 ab bb 重影重影點(diǎn)：點(diǎn)： 空間空間兩點(diǎn)在某一投兩點(diǎn)在某一投影面上的影面上的投影重合為投影重合為一點(diǎn)一點(diǎn)時，則稱此兩點(diǎn)時，則稱此兩點(diǎn)為為該投影面該投影面的重影點(diǎn)。的重影點(diǎn)。A A、C C為為H H面的重影點(diǎn)面的重影點(diǎn)a a c c 被擋住的投被擋住的投影加影加( )( )( )A A、C C為哪個投為哪個投影面的重影點(diǎn)影面的重影點(diǎn)呢？呢？a c例例2 2 已知已知A A點(diǎn)在點(diǎn)在B B點(diǎn)的右點(diǎn)的右1010毫米、前毫米、前6 6毫米、上毫米、上1212毫米，求毫米，求A A點(diǎn)的投點(diǎn)的投影影a a aXZYWYHOb bb 12106直線的分類直線的分類直直 線線一般位置直線一般位置直線特殊位置

5、直線特殊位置直線投影面垂直線投影面垂直線投影面平行線投影面平行線2.3 直線的投影直線的投影直線的投影 由 于 直 線 的投影一般情況下仍為直線，且兩點(diǎn)決定一直線，故要獲得直線的投影，只需作出已知直線上的兩個點(diǎn)的投影，再將它們相連即可。VHXOBAabab2.4 一般一般位置直線的投影特性位置直線的投影特性一般位置直線的投影特性：1）三面投影均不反映直線的實(shí)長（均小于實(shí)長）；2）直線與投影面之間的傾角在投影圖中均不反映實(shí)形。 只要空間直線的任意兩個投影都呈傾斜狀態(tài)，則該直線一定是一條一般位置直線。ABVWHXYZO一般位置直線對三個投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。對三個投影面都傾斜的直線稱

6、為一般位置直線。ZXabaOYHYWabbbbabaaXOababABababXOB0直角三角形法直角三角形法(求直線的實(shí)長及對水平投影面的夾角)mmABABmAB0=abBB0=AB兩點(diǎn)的高度差mabABababXOXOabab直角三角形法直角三角形法（求直線的實(shí)長及對正立投影面的夾角）nnnA0BA0=abAA0=AB兩點(diǎn)的寬度差nABabAB求解一般位置直線的實(shí)長及傾角求解一般位置直線的實(shí)長及傾角 根據(jù)一般位置直線的投影求解其實(shí)長及傾角是畫法幾何綜合習(xí)題中的常遇見的基本問題之一，也是工程實(shí)際中經(jīng)常需要解決的問題。而用直角三角形法直角三角形法求解實(shí)長及傾角最為簡便、快捷。2-5 2-5 特

7、殊位置直線特殊位置直線1.1.投影面投影面垂直線垂直線垂直于一個投影面，同時平行于其它兩個投影面的直線。垂直于一個投影面，同時平行于其它兩個投影面的直線。鉛垂線垂直于H面，同時平行于V、W面的直線。正垂線垂直于V面，同時平行于H、W面的直線。側(cè)垂線垂直于W面，同時平行于H、V面的直線。VWHXYZOAB鉛垂線鉛垂線（垂直于（垂直于H H面，同時平行于面，同時平行于V V、WW面的直線）面的直線）Zb Xa ba(b)OYHYWab a(b)a ab水平投影積聚為一點(diǎn)；正面投影及側(cè)面投影平行于OZ軸，且反映實(shí)長。VWHXYZOAB正垂線正垂線（垂直于（垂直于V V面，同時平行于面，同時平行于H

8、H、WW面的直線）面的直線）ZX(a)b baOYHYWabbababa正面投影積聚為一點(diǎn)；水平投影及側(cè)面投影平行于OY軸，且反映實(shí)長。VWXYZOABH側(cè)垂線側(cè)垂線（垂直于（垂直于WW面，同時平行于面，同時平行于H H、V V面的直線）面的直線）baababYWZXa(b)baOYHab側(cè)面投影積聚為一點(diǎn)；水平投影及正面投影平行于OX軸，且反映實(shí)長。投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性可概括如下：投影面垂直線的投影特性可概括如下：（1 1）直線在它所垂直的投影面上的投影）直線在它所垂直的投影面上的投影積聚成一點(diǎn)；積聚成一點(diǎn)；（2 2）該直線在其他兩個投影面上的投

9、影）該直線在其他兩個投影面上的投影分別垂直于相應(yīng)的投影軸，且都等于該直分別垂直于相應(yīng)的投影軸，且都等于該直線的實(shí)長。線的實(shí)長。 b a aba b b aa b ba 2. 2. 投影面平行線投影面平行線 在其平行的那個投影面上的投影反映實(shí)長，在其平行的那個投影面上的投影反映實(shí)長，并并反映直線與另兩投影面傾角的實(shí)大。反映直線與另兩投影面傾角的實(shí)大。 另兩個投影面上的另兩個投影面上的投影垂直于投影垂直于相應(yīng)的相應(yīng)的投影軸投影軸。水平線水平線側(cè)平線側(cè)平線正平線正平線投投 影影 特特 性：性：與與H面的夾角面的夾角: 與與V面的角面的角:與與W面的夾角面的夾角: 實(shí)長實(shí)長實(shí)長實(shí)長實(shí)長實(shí)長ba aa

10、b b 直線上的點(diǎn)具有兩個特性： 1 1 從屬性從屬性：若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個投影必在直線的各同面投影上。 2 2 定比定比性性：屬于線段上的點(diǎn)分割線段之比等于其投影之比。即A C: C B = a c : c b= a c : c b = a c : c b 2.6 直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)ABbbaaXOccCcb Xa abcc 例例3 3 已知線段已知線段ABAB的投影圖，試將的投影圖，試將ABAB分成分成1 1：2 2兩段，求分點(diǎn)兩段，求分點(diǎn)C C的投影。的投影。O 例例 已知點(diǎn)已知點(diǎn)C C在線段在線段ABAB上，求點(diǎn)上，求點(diǎn)C C的正面投影。的正面投影。bXaabccaccbXOAB

11、bbaacCcHVO例例4 4：判斷點(diǎn)判斷點(diǎn)K K是否在線段是否在線段ABAB上。上。a b k 因因k k 不在不在a a b b 上，上， 故點(diǎn)故點(diǎn)K K不在不在ABAB上。上。應(yīng)用定比定理應(yīng)用定比定理abka b k 另一判斷法另一判斷法? ?bbaaANMBVHOX根據(jù)從屬性判斷點(diǎn)與直線的相對位置根據(jù)從屬性判斷點(diǎn)與直線的相對位置mmnnOXbabanmmnH1X1O1VXHO 2-7 無軸投影圖無軸投影圖b1a1ABabbaXOX1O1abbab1a1把空間形體向投影面進(jìn)行正投影時，所的投影圖的大小、形狀與距離投影面的遠(yuǎn)近無關(guān)。 在工程上，一般只要求投影圖能夠表達(dá)出空間形體的形狀和大小

12、，而不需要考慮距投影面的距離，因此，投影軸也就沒有了意義，可以不必畫出。這種不需要畫出投影軸的正投影圖就叫做無軸投影圖無軸投影圖。無軸投影圖無軸投影圖無軸投影圖無軸投影圖例5：在無軸投影圖中，根據(jù)線段AB的水平投影和正面投影作側(cè)面投影。ababab過適當(dāng)點(diǎn)作一條過適當(dāng)點(diǎn)作一條與鉛垂線成與鉛垂線成4545角的輔助線角的輔助線 2-8 兩直線的相對位置兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置兩直線平行兩直線相交兩直線交錯空間兩直線平行空間兩直線平行 兩直線在空間互相平行，則它們的同面同面投影投影必然相互平行。反之亦然。反之亦然。ADCBabdcadcbXOadcbabdcXOabcdc a b d 例

13、例6 6：判斷圖中兩條直線是否平行。判斷圖中兩條直線是否平行。 對于對于一般位置直一般位置直線，只要有兩個同線，只要有兩個同名投影互相平行，名投影互相平行，空間兩直線就平行?？臻g兩直線就平行。AB/CDb d c a cbadd b a c 對于對于特殊位置直特殊位置直線，只有兩個同名線，只有兩個同名投影互相平行，空投影互相平行，空間直線不一定平行。間直線不一定平行。求出側(cè)面投影后可知：求出側(cè)面投影后可知：AB與與CD不平行。不平行。例例7 7：判斷圖中兩條直線是否平行。判斷圖中兩條直線是否平行。求出側(cè)面投影求出側(cè)面投影如何判斷？如何判斷？空間兩直線平行空間兩直線平行當(dāng)互相平行的兩直線垂直于某

14、一投影面時，則在該投影面上的投影（積聚為兩點(diǎn)），反映它們在空間的真實(shí)距離。ADCBa(b)c(d)空間兩直線相交空間兩直線相交 兩直線相交必有一個公共交點(diǎn)公共交點(diǎn)，因此：若空間兩直線相交，則它們的各同面投影均相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律。反之亦然。XOadcbkadckbXOadcbadcbkkADCBKcabb a c d k kd例例8 8：過過C C點(diǎn)點(diǎn)作水平線作水平線CDCD與與ABAB相交。相交。先作正面投影先作正面投影空間兩直線交錯空間兩直線交錯 空間兩直線交錯時，它們的同面投影可能相交，但“交點(diǎn)交點(diǎn)”不可能不可能符符合點(diǎn)的投影規(guī)律合點(diǎn)的投影規(guī)律；兩直線相交嗎？“交點(diǎn)交點(diǎn)”是兩直線上的一對重影點(diǎn)的投影，重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。d b a abcdc1 (2 )3(4 )123 4 空間兩直線交錯空間兩直線交錯空間兩直線即不平行也不相交時，稱為交錯交錯。VHXOABCDaacdbcdbXOacdbacdb重影點(diǎn)重影點(diǎn)VHXOABCDaacdbcdbXOacdbacdbefm(n)mnf (e)NME