數(shù)值分析插值擬合

1、題庫分類填空題1. 緒論部分(1). 設(shè)x=3.214, y=3.213，欲計算u=, 請給出一個精度較高的算式u= . u=(2). 設(shè)y=f (x1,x2) 若x1,x2,的近似值分別為x1*, x2*,令y*=f(x1*,x2*)作為y的近似值,其絕對誤差限的估計式為: e £| |f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2|(3). 要使的近似值的相對誤差限£0.1%, 應(yīng)至少取_位有效數(shù)字？0.4´10, a1=4, er£´10-(n-1)< 0.1%故可取n³4, 即4位有效數(shù)字。

2、(4). 要使的近似值的相對誤差限£0.1%, 應(yīng)至少取_位有效數(shù)字？0.4´10, a1=4, er£´10-(n-1)< 0.1%故可取n³3.097, 即4位有效數(shù)字。(5). 對于積分In=e-1xnexdx試給出一種數(shù)值穩(wěn)定的遞推公式_。In-1=(1-In)/n , In»0易知 I0=1-e-1In=1-nIn-1 故In-1=(1-In)/n0<In£1/(n+1)®0 (n®¥)取In»0選擇填空(6). 計算 f=(-1)6 , 取1.4 , 利用下列算

3、式，那個得到的結(jié)果最好？(C)(A) , (B) (3-2)2,(C) , (D) 99-702. 方程的根(1). 用Newton法求方程f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值x0= 1.5, 則x1= (3) x1=1.5970149(2). 迭代公式xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a)是求a1/2的 (12) 階方法(3).3. 方程組直接解法4. 迭代解法(1). 設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為A=,全主元消元法的第一次可選的主元素為 (13) ，第二次可選的主元素為 (14) .列主元消元法的第一次主元素為 (15) ；第二次主元素為(用小數(shù)表示) (16) ; 記此方

4、程組的高斯-塞德爾迭代矩陣為BG=(aij)4´4，則a23= (17) ； -8，或8； 8+7/8或-8-7/8； -8； 7 .5；第 1 章 插值§1. 填空(1). 設(shè)Pk(xk,yk) , k=1,2,5 為函數(shù)y=x2-3x+1上的5個互異的點，過P1,P5且次數(shù)不超過4次的插值多項式是 _ 。y=x2-3x+1(2). 設(shè)x0, x1,x3是區(qū)間a, b上的互異節(jié)點，f(x)在a, b上具有各階導數(shù)，過該組節(jié)點的2次插值多項式的余項為： _ . R2(x)= (3). 設(shè) (i=0,1,n)，則 _ , 這里（xi¹xj,i¹j, n&#

5、179;2）。x(4). 三次樣條插值與一般分段3次多項式插值的區(qū)別是_ 三次樣條連續(xù)且光滑，一般分段3次連續(xù)不一定光滑。(5). 插值多項式與最小二乘擬合多項式都是對某個函數(shù)f(x)的一種逼近，二者的側(cè)重點分別為 _ 。用個作不超過次的多項值插值，分別采用Lagrange插值方法與Newton插值方法所得多項式 相等 (相等, 不相等)(6).§2. 計算題(1). (a10分)依據(jù)下列函數(shù)值表，建立不超過3次的lagrange 插值多項式L3(x).x0123f(x)19233解：基函數(shù)分別為l0(x)=-x3+x2-x+1l1(x)=l2(x)=l2(x)=Lagrange 插

6、值多項式L3(x)= =.(2). (b10分)已知由插值節(jié)點(0,0),(0.5,y),(1,3)和(2,2)構(gòu)造的3次插值多項式P3(x)的x3的系數(shù)為6，試確定數(shù)據(jù)y.解：P3(x)故最高次項系數(shù)為 帶入數(shù)值解得y=4.25.(3). (c15分)設(shè)lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函數(shù)，證明證明：其中，wn+1(x)=故當0£j£n時， =xj, 當j=n+1時，xn+1=將x=0帶入ok!(4). (c10分)設(shè)lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函數(shù)，證明是n次多項式，且最高次系數(shù)為x

7、0+ xn,證：查-5分注意余項=xn+1-wn+1(x) -5分ok!(5). (c10分)設(shè)函數(shù)f(x)是k次多項式，對于互異節(jié)點x1, xn,， 證明當n>k時，差商f x, x1,xnº0，當n£k時，該差商是k-n次多項式。證明：因注意到n>k時， f(n)(x)=0，n=k時， f(n)(x)=k!ak，ak為f(x)的k次項系數(shù)。(7f)n£k-1 由差分定義遞推,查n=k-1,k-2, (3f)ok!(6). (c10分)設(shè)g(x)和h(x)分別是f(x)關(guān)于互異節(jié)點x1, xn-1以及互異節(jié)點x2, xn的插值多項式，試用g(x)和h

8、(x)表示f(x)關(guān)于互異節(jié)點x1, xn的插值多項式.解：令(f(x)q(x)=Ag(x)(x-xn)+Bh(x)(x-x1)為待定n(n-1)次多項式，A,B為待定系數(shù)，注意到g(xk)=f(xk), k=1,n-1h(xk)=f(xk), k=2,n -(7f)帶入得A=1/x1-xn,B=1/xn-x1,帶入ok!(7). (a10f)設(shè)lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函數(shù)，證明(1) m=0,1,n(2) º0 m=1,2,n證明：由插值唯一性定理知(1)。展開知（2）(8). (a10f)證明對于不超過k次的多項式p(x)有 k&

9、#163;nlk(x)是關(guān)于互異節(jié)點x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函數(shù)證明：由插值唯一性定理知。(9). (a10f)設(shè)p(x)是任意首次項系數(shù)為1的n+1次多項式，lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函數(shù)證明 其中證明：插值余項直接計算ok!(10). (a10f)已知函數(shù)y=f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有n階連續(xù)導數(shù)，記xk=x0+kh (k=1,2,n), 證明證明：因 xÎ(x0,x0+nh)注意到n階導數(shù)連續(xù)性，兩邊取極限ok!(11). (c10f)用等節(jié)距分段二次插值函數(shù)在區(qū)間0,1上近似函數(shù)ex, 如何估算節(jié)點數(shù)

10、目使插值誤差£´10-6 .解：考慮子區(qū)間xi-1,xi二次插值余項令x=xi+1/2+s(h/2)上式化簡為令 得h£0.028413故子區(qū)間個數(shù)為N=2/h»70.4, 取N=71故插值節(jié)點數(shù)為2N+1=143 (12). (b10分)設(shè)f(x) 在區(qū)間a,b上有二階連續(xù)導數(shù)，P1(x)為其以a,b為節(jié)點的一次插值多項式，證明證明：利用插值余項結(jié)果可得線性插值多項式P1(x)在子區(qū)間a,b上的余項估計式，再估計最值ok!(13). (b10分)已知s(x)是0,2上的已知自然邊界條件的三次樣條函數(shù)，試確定s(x)=中的參數(shù)b,c,d解：利用邊界條件s

11、/(2-0)=0 及樣條函數(shù)定義可得b=-1,c=-3,d=1(14). (b10分)判斷下面2個函數(shù)是否是-1,1上以0為內(nèi)節(jié)點的三次樣條函數(shù)。設(shè)(1) S(x)=(2) S(x)= 解：(1)是，(2)否。(15). (a10f)令f(x)=x7+ x4+3x+1求f20, 21,27及f20, 21,28解：f20, 21,27=1f20, 21,28=0(16). (a10f)證明n階均差有下列性質(zhì)：(1) 若F(x)=cf(x), 則Fx0, x1,xn=c fx0, x1,xn(2) 若F(x)=f(x)+g(x), 則Fx0, x1,xn= fx0, x1,xn+ gx0, x1

12、,xn證明：其中，ak=ok!(17). (a10f)回答下列問題：（1）什么叫樣條函數(shù)？（2）確定n+1個節(jié)點的三次樣條函數(shù)所需條件個數(shù)至少需要多少？（3） 三轉(zhuǎn)角法中參數(shù)mi的數(shù)學意義是什么？答：（1）略（2）4n個（3） mi=S/(xi) 即樣條函數(shù)在節(jié)點xi處的一階導數(shù)。(18). (a10f)回答下列問題：（1）何謂Hermite 插值問題？（2）Hermite 插值與一般多項式插值有什么區(qū)別？第 2 章 擬合(1). 采用正交多項式擬合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常見的 (9) 問題.(2). 在函數(shù)的最佳一致逼近問題中,評價逼近程度的指標用的是函數(shù)的 (10) 范數(shù). 在函數(shù)

13、的最佳平方逼近問題中,評價逼近程度的指標用的是函數(shù)的 (11) 范數(shù). 無窮范數(shù) |f|¥；2-范數(shù)(3).§3. 計算題(1). (b10f)設(shè)f(x)Î-a,a的最佳一致逼近多項式為P(x),試證明(1) f(x)是偶函數(shù)時P(x)也是偶函數(shù)；(2) f(x)是奇函數(shù)時P(x) 也是奇函數(shù)。證明：（1）令t=-x, 考查|f(x)-P(x)|= |f(-t)-P(-t)|= |f(t)-P(-t)|, 故P(-x)也是f(x)Î-a,a的最佳一致逼近多項式，由最佳一致逼近多項式的唯一性知P(-x)=P(x).（2）略。(2). (a10f)試確定0,

14、1區(qū)間上2x3的不超過二次的最佳一致逼近多項式p(x), 該多項式唯一否？解： p(x)=(3/2)x, 唯一。(3). 求f(x)=2x3+x2+2x-1在-1,1上的最佳二次逼近多項式P(x)。已知T0(x)=cos0=1T1(x)=cosq=xT2(x)=cos2q=2x2-1T3(x)=cos3q=4x3-3xT4(x)=cos4q=8x4-8x2+1解: f(x)=2x3+x2+2x-1-P(x)=2.T3(x)= T3(x)故P(x)= f(x)-T3(x)= 2x3+x2+2x-1-2 x3+3x = x2+x-1(4). 求f(x)=2x4在-1,1上的3次最佳一致逼近多項式P

15、(x)。已知T0(x)=cos0=1T1(x)=cosq=xT2(x)=cos2q=2x2-1T3(x)=cos3q=4x3-3xT4(x)=cos4q=8x4-8x2+1解：P(x)= 2x2-1/4(5). 求f(x)=2x4在0,2上的3次最佳一致逼近多項式P(x)。已知T0(x)=cos0=1T1(x)=cosq=xT2(x)=cos2q=2x2-1T3(x)=cos3q=4x3-3xT4(x)=cos4q=8x4-8x2+1解：令x=t+1, tÎ-1,1, f(x)=g(t)=(t+1)4故g(t)的3次最佳一致逼近多項式為P3(t)=4t3+7t2+4t+7/8故f(x

16、)的3次最佳一致逼近多項式為P(x)=P3(x-1)= 4x3-5x2+2x-1/8(6). 設(shè)f(x)ÎCa,b, ,證明f(x)的最佳零次一致逼近函數(shù)為s(x)=(M+m)/2 ,其中M和m分別為f(x)在a,b上的最大與最小值。(7). 證明a,b上的正交函數(shù)系H=h1(x), h2(x), hm(x)是線性無關(guān)的函數(shù)系。證：寫出線性組合式子 2分作內(nèi)積求系數(shù)2分(8). （10分）求f(x)=lnx ,xÎ1,2上的二次最佳平方逼近多項式的法(正規(guī))方程組。（要求精確表示，即不使用小數(shù)）解：取F=span1,x,x2,a,b=1,2 法方程組為 計算知解之得：a0=

17、-1.142989, a1=1.382756,a2=-0.233507最佳平方逼近多項式為P2(x)=-1.42+1.38x-0.233x2平方誤差為|f-P2|22=(f,f)-a0(f,j0) a1(f,j1) a2(f,j2)»0.4´10-5 (9). 設(shè)f(x)在有限維內(nèi)積空間Fspanj0,jn上的最佳平方逼近為p(x),試證明，f(x)-p(x)與F中所有函數(shù)正交。證明：查(f(x)-p(x), jj)=(f, jj)- (p(x), jj)注意到ak是法方程組的解。而法方程組兩邊的j-th 分量為 (jj,j0) (jj,j1) (jj,jn) =(p(x)

18、, jj)ok!(10). 設(shè)是在空間Fspanj0,jn中對f(x)ÎCa,b的最佳平方逼近,證明：(f-p, f-p)=(f,f)- 證：注意到ak是法方程組的解。而法方程組故"k=1,n, (f(x)-p(x), jk)=0, -(5分)(p-f),p)=0 -(5分)(f-p, f-p)=(f,f)-2(f,p)+(p,p)=(f,f)-(f,p)+(p-f),p)=(f,f)-(f,p) -(5分)(11). 求下列矛盾方程組的最小二乘解解：x1=-29/12, x2=-39/12寫出相應(yīng)的法方程組ATAx=ATb 5分求解x1=-29/12, x2=-39/12

19、 5分(12). 推導用最小二乘法解矛盾方程組Ax=b 的法方程組ATAx=ATb解：給出目標函數(shù)h (x)=|Ax-b|2 -5=xTATAx-2xTATb+bTb -5求偏導得到駐點方程組ATAx-ATb=0 -5(13). 證明：j0,jn為點集ximi=1上的線性無關(guān)族Û法方程GTGa=GTy有唯一解。其中證：充分性）。首先注意到若a0,a1,.,an為方程組a0j0+a1j1+anjn=0 （9）的解，則必為方程組(j0,j0) a0+ (j1,j0)a1 +(jn,j0)an=0(j0,j1) a0+ (j1,j1)a1 +(jn,j1)an=0.(j0,jn) a0+

20、(j1,jn)a1 +(jn,jn)an=0(10)的解。事實上，令j0, j1,jn 分別與(9)兩端作內(nèi)積得(10)，知也！設(shè)|GTG|¹0Þ（10）僅有0解Þ(9) 也僅有0解故j0,jn無關(guān)。證必要性）。 j0,jn無關(guān)Þ (9)僅有0解 即 "a =(a0,a1,.,an)¹0ÞGa¹0ÞaTGTGa=(Ga)T(Ga)=|Ga|22>0ÞGTG正定Þ|GTG|>0|GTG|¹0.(14). 若j0(x), j1(x), jn(x)是點集x1,x2,xm

21、上的離散正交族。為給定數(shù)據(jù)對(xi,yi) (i =1,2,m)的最小二乘擬和函數(shù)。證明：證：法方程系數(shù)矩陣為QTQ= 此時法方程為故(15). 若j0(x), j1(x), jn(x)是a,b上的正交族。為f(x)的最佳平方逼近。證明：證：法方程系數(shù)矩陣為QTQ= 此時法方程為故(16). 求函數(shù)f(x)=|x| 在-1,1上求關(guān)于函數(shù)族span1,x2,x4的最佳平方逼近多項式。解：由內(nèi)積(f,g)= , 令j0=1，j1=x2, j2=x4, 計算知法方程得 解之得：a0=15/185=0.117a1=105/64=1.64a2=-105/128=-0.820最佳平方逼近多項式為: 0.117+1.64x2-0.820x4(17). 求函數(shù)f(x)= 在1,3上求關(guān)于函數(shù)族span1,x的最佳平方逼近多項式。解：由內(nèi)積(f,g)= , 令j0=1，j1=x, 計算法方程得解之得：a0=(13/2)ln3-6=1.14a1=3-3ln3=0.295最佳平方逼近多項式為: 1.14-0.295x(18). 求a,b,c的值，使達到最小解：就是求f(x)=sinx關(guān)于函數(shù)族span1,x,x2 在0,p上的最佳平方逼近。由內(nèi)積(f,g)= , 令j0=1，j1=x, j