同濟(jì)第六版《高等數(shù)學(xué)》教案WORD版-第12章微分方程

1、第十二章 微分方程 教學(xué)目的: 1 “了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。 2 “熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。 3 “會(huì)解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程。 4“會(huì)用降階法解下列微分方程： y(n) = f(x), y f (x, y )和y=f(y,y) 5 “理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。 6“掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法， 并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分 方程。 7.求自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性 微分方程的特解和通解。 8會(huì)解歐拉方程，會(huì)

2、解包含兩個(gè)未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程組。 9 “會(huì)解微分方程組(或方程組)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。 教學(xué)重點(diǎn)： 1、 可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法 2、 可降階的高階微分方程 y(n) = f (x) , y f (x, y )和y = f (y, y ) 3、 二階常系數(shù)齊次線性微分方程； 4、 自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微 分方程； 教學(xué)難點(diǎn)： 1、 齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、 線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理； 3、 自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微 分方程的

3、特解。 4、歐拉方程 2 , 1微分方程的基本概念 函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映 .利用函數(shù)關(guān)系又可以對(duì)客觀事物的規(guī)律性 進(jìn)行研究.因此如何尋找出所需要的函數(shù)關(guān)系 .在實(shí)踐中具有重要意義 ，在許多問題中.往往不 能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系 .但是根據(jù)問題所提供的情況 .有時(shí)可以列出含有要找的函數(shù)及其 導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，這樣的關(guān)系就是所謂微分方程 ，微分方程建立以后.對(duì)它進(jìn)行研究.找出未知函 數(shù)來.這就是解微分方程， 例1 一曲線通過點(diǎn)(1.2).且在該曲線上任一點(diǎn) M(x.y)處的切線的斜率為 2x.求這曲線的方 程， 解 設(shè)所求曲線的方程為 y刁(x),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義.可知未知函

4、數(shù) y=y(x)應(yīng)滿足關(guān)系式 (稱為微分方程) (1) 此外.未知函數(shù)y=y(x)還應(yīng)滿足下列條件： x=1 時(shí).y=2 .簡(jiǎn)記為 y|xm：=2 . 把(1)式兩端積分.得(稱為微分方程的通解) y = 2xdx 即 y/ C 其中C是任意常數(shù)， 把條件 X=1時(shí).y=2代入式.得 2 2=12 C 由此定出C =1 .把C =1代入式.得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件 yx=1=2的解)： y/ 1 . 例2列車在平直線路上以 20m/s(相當(dāng)于72km/h)的速度行駛“當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度 -0 4m/s2 “問開始制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住 .以及列車在這段時(shí)間里行駛了多少路程

5、？ 解設(shè)列車在開始制動(dòng)后 t秒時(shí)行駛了 s米，根據(jù)題意.反映制動(dòng)階段列車運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù) s =s(t)應(yīng)滿足關(guān)系式 牛T.4 dt2 此外.未知函數(shù)s弋(t)還應(yīng)滿足下列條件： ds t=0 時(shí) s=0 v 20 .簡(jiǎn)記為 s|t =0 s|t =20 . dt 把(4)式兩端積分一次.得 ds vQ = _0.4t G (6) dt 再積分一次.得 2 s-0 2t2 Cit C2. (7) 這里Ci C2都是任意常數(shù). 把條件v|t =20代入得 20i 把條件s|t衛(wèi)=0代入得0 2 . 把Ci C2的值代入及式得 v=-0 4t 20. (8) 2 s=0 2t 20t , (9) 在

6、(8)式中令v=0 .得到列車從開始制動(dòng)到完全停住所需的時(shí)間 t=50(s), 0.4 再把t=50代入(9).得到列車在制動(dòng)階段行駛的路程 2 s=0 2 50 20 50 500(m). 解設(shè)列車在開始制動(dòng)后t秒時(shí)行駛了 s米 4 .并且 s|t=0 s|t=0=20 . 把等式s=0 4兩端積分一次.得 s亠0 4t Ci .即v=-0 4t Ci (Ci是任意常數(shù)). 再積分一次.得 s-0 2 Cit C2 (Ci C2都Ci是任意常數(shù)). 由 v|t a=20 得 20=Ci .于是 v-0 4t 20 2 由 s|tn=0 得 0 =C2 .于是 s=-0 2t 20t. 令v=

7、0 .得t=50(s).于是列車在制動(dòng)階段行駛的路程 2 s0 2 50 20 50 犬00(m). 幾個(gè)概念： 微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程 常微分方程：未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程.叫常微分方程“ 偏微分方程：未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程.叫偏微分方程， 微分方程的階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù) .叫微分方程的階. 3 2 2 x 廠 x y -4xy =3x . y-4y 10y 42y 5y=sin2x y(n) 1 =0. 一般n階微分方程： F(x y y . .y)=0 . y f(x y y . y ). 微分方程的解：滿足微

8、分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式 )叫做該微 分方程的解，確切地說.設(shè)函數(shù)y=F(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù).如果在區(qū)間I上 Fx . (x)(x) . . (n) (x) =0 . 那么函數(shù)y= (x )就叫做微分方程F(x.yy；.：y(n) )=0在區(qū)間|上的解 通解：如果微分方程的解中含有任意常數(shù) .且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同 .這樣 的解叫做微分方程的通解 . 初始條件：用于確定通解中任意常數(shù)的條件 .稱為初始條件.如 x=x 時(shí) y 二y .yF 0 . 一般寫成 I y xn0 y 滅之=丫0， 特解：確定了通解中的任意常數(shù)以后 .就得到微分方程的

9、特解.即不含任意常數(shù)的解. 初值問題：求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題 如求微分方程 ym(x. y)滿足初始條件yxm=yo的解的問題“記為 f(x, y) y 積分曲線：微分方程的解的圖形是一條曲線 “叫做微分方程的積分曲線 ， 例3驗(yàn)證：函數(shù) xCcos kt C2 sin kt 是微分方程 與 k2x =0 dt2 的解 解求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 晉二-kC| sin kt kC2 coskt - -k2Gcoskt -k2C2S in kt - -k2(C1coskt C2S in kt). 將尋及x的表達(dá)式代入所給方程 得 dt2 2 2 -k (Ci cos kt C2S

10、in kt) k (Cicos kt Gsin kt)三0 , 這表明函數(shù)xicoskt，C2Sinkt滿足方程 密，k2x=0 .因此所給函數(shù)是所給方程的解 dt2 d 2x 例4已知函數(shù)x=Cicoskt C2Sinkt(k=0)是微分方程 2 k2x = 0的通解.求滿足初始條件 dt2 x| t =A X tz0 =0 的特解， 解 由條件 x| tz0 =A 及 x=Ci cos kt C2 sin kt.得 Ci A 再由條件 x | tz0 =0 .及 x (t) =-kCisin kt kC2COS kt.得 C2 =0 . 把Ci、C2的值代入xicos kt C2Sin k

11、t中.得 x=Acos kt . 12 ,2可分離變量的微分方程 觀察與分析： i “求微分方程yx的通解“為此把方程兩邊積分.得 y=x2 C 一般地.方程y f(x)的通解為y = f (x)dx C (此處積分后不再加任意常數(shù) ). 2，求微分方程 y=2xy2的通解 因?yàn)閥是未知的.所以積分.2xy2dx無(wú)法進(jìn)行.方程兩邊直 接積分不能求出通解 1 為求通解可將方程變?yōu)?-12 d2xdx兩邊積分得 y -1 =X C .或 y J y x2 C 可以驗(yàn)證函數(shù)y 1 是原方程的通解， 一般地.如果一階微分方程 y= (x y)能寫成 g(y)dy(x)dx 形式.則兩邊積分可得一個(gè)不含

12、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程 G(y)扌(x) C 由方程G(y)扌(x)C所確定的隱函數(shù)就是原方程的通解 對(duì)稱形式的一階微分方程 ： 一階微分方程有時(shí)也寫成如下對(duì)稱形式 ： P(x y)dx Q(x y)dy=0 在這種方程中.變量x與y是對(duì)稱的. 若把x看作自變量、y看作未知函數(shù).則當(dāng)Q(x,y)=O時(shí).有 dy _ _ P(x, y) dx Q(x, y) 若把y看作自變量、x看作未知函數(shù).則當(dāng)P(x,y)=O時(shí).有 dx_ Q(x, y) dyP(x,y) 可分離變量的微分方程 ： 如果一個(gè)一階微分方程能寫成 g(y)dyh(x)dx (或?qū)懗?y = (x)-(y) 的形式.就是說.能把微分

13、方程寫成一端只含 y的函數(shù)和dy.另一端只含x的函數(shù)和dx.那么原 方程就稱為可分離變量的微分方程 ， 討論：下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？ (1) y =2xy . 是二 y dy=2xdx . 2 . 2 (2) 3 x 5x -y =0. 是 尸 dy=(3x 5x) dx 2 2 (3) ( x y )dx-xydy=O .不是 y ： z1 x y2 xy2 .是，=y 千1 x)(1 y2). (5) y z1Qx V 是.=10d1Qxdx . y =蟲上 不是 y x 可分離變量的微分方程的解法 ： 第一步 分離變量.將方程寫成g(y)dy =f(x)dx的形式“ 第二

14、步 兩端積分：g(y)dy= f(x)dx.設(shè)積分后得G(y)=F(x) C 第三步 求出由G(y)=F(x) C所確定的隱函數(shù) y =(x)或x-?(y) G(y)=F(x) C ,y- (x)或x-?(y)都是方程的通解.其中G(y)=F(x) C稱為隱式(通)解 例1求微分方程 =2xy的通解 dx 解此方程為可分離變量方程.分離變量后得 1 dy =2xdx y 兩邊積分得 yd j2xdx . 即 In|y| =x2 Ci . 從而 y = x2 Ci =Ciex2 . 因?yàn)開eCi仍是任意常數(shù).把它記作C .便得所給方程的通解 2 y 二Cex . 解此方程為可分離變量方程.分離變

15、量后得 1 dy=2xdx y 兩邊積分得 ydy 二 2xdx 即 ln|y|=x2 InC 2 從而 y =Cex . 例2鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量 M成正比，已知t =0時(shí)鈾的含量為 Mo.求在 衰變過程中鈾含量 M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律. 解 鈾的衰變速度就是 M(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù) - dt 由于鈾的衰變速度與其含量成正比 .故得微分方程 dM dt 其中(0)是常數(shù)“前的曲面號(hào)表示當(dāng)t增加時(shí)M單調(diào)減少，即現(xiàn)：0 dt 由題意.初始條件為 M|t =Mo , 將方程分離變量得 兩邊積分 即 In M lnC .也即 M e_ t 由初始條件.得M=Ce0 所以鈾含量M(

16、t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律M知oe-l 例3設(shè)降落傘從跳傘塔下落后 .所受空氣阻力與速度成正比 .并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)速 度為零.求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系 . 解 設(shè)降落傘下落速度為 v(t)，降落傘所受外力為 F=mg-kv( k為比例系數(shù))，根據(jù)牛頓第二運(yùn) 動(dòng)定律F旳a .得函數(shù)v(t)應(yīng)滿足的方程為 dv . m mg -kv dt 初始條件為 方程分離變量.得 dv 二 dt mgkv m 兩邊積分.得 魚. mg_kv f m ln(mg _k 二上 C1 k m mg - eCi v Ce m (C ).-(i )dt . 將初始條件v|t衛(wèi)=0代入通解得。=_空 k 上t

17、于是降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為 齊) k 例4求微分方程 矽=1 +x + y2 +xy2的通解, dx 解方程可化為 dX=(1 x)(1 y2). 分離變量得 兩邊積分得 = J(1+x)dx .即 arctany =1x2+x+C 于是原方程的通解為 y 二ta門(才2 x C) 例4有高為1m的半球形容器.水從它的底部小孔流出.小孔橫截面面積為1cm2 .開始時(shí)容 器內(nèi)盛滿了水.求水從小孔流出過程中容器里水面高度 h隨時(shí)間t變化的規(guī)律 解 由水力學(xué)知道.水從孔口流出的流量 Q可用下列公式計(jì)算： =0.62S、2gh dt 其中0 , 62為流量系數(shù).S為孔口橫截面面積.g為重力加

18、速度現(xiàn)在孔口橫截面面積 S=1cm2.故 dV=0.62h2gh .或 dV =0.62、2ghdt . dt 另一方面.設(shè)在微小時(shí)間間隔t t dt內(nèi).水面高度由h降至h，dh(dh ：0).則又可得到 dV-二r2dh . 其中r是時(shí)刻t的水面半徑.右端置負(fù)號(hào)是由于 dh：0而dV 0的緣故.又因 r F1002 -(100 -h)2 =900h - h2 . 所以 dV-二(200h*2)dh 通過比較得到 0.62、2ghdt 二 -31 (200h-h2)dh 這就是未知函數(shù)h才(t)應(yīng)滿足的微分方程1 1 y2 dy =(1 x)dx . 此外.開始時(shí)容器內(nèi)的水是滿的 .所以未知函

19、數(shù)h(t)還應(yīng)滿足下列初始條件： h2=100 . 將方程0.62、,2ghdt =- ：(200h-h2)dh分離變量后得 1 3 dtO.62、2g（2O01j2）dh 兩端積分.得 1 3 f 2g（200h）dh 0.62、2g（4FhlC 其中 C是任意常數(shù). 由初始條件得 3 5 -0.62化晉 1002 I 1002） C C_ 二 (400000 200000)二 二 14。厶 0.62、2g( 3 5 0.62g 15 3 5 因此 t-一:(7 105 -103h2 3h2). 0.62屆 上式表達(dá)了水從小孔流出的過程中容器內(nèi)水面高度 h與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系 12 ,3齊

20、次方程 齊次方程： 如果一階微分方程 中的函數(shù)f(x, y)可寫成 dx 的函數(shù).即f (x, y) = (y).則稱這方程為齊次方程. x x F列方程哪些是齊次方程? (4) (2 x y-4)dx (x y-1)dy=0 不是齊次方程 = = - 一匚4 dx x + y1 (2xsh x 3ych ) dx3xch dy = 0 是齊次方程， x x x dy嚴(yán)已3泗型為 dx 3xchy dx 3 x x x 齊次方程的解法： 在齊次方程dy = (y)中.令u =.即y=ux .有 dx x x u x= (u). dx 分離變量.得 du dx (u) -u 一 x 兩端積分.得

21、 du (u) -u 求出積分后.再用y代替u .便得所給齊次方程的通解 x 例 1 解方程 y2 x2d-xyd . dx dx 解原方程可寫成xy -y -y2 _x2 =0是齊次方程 孚丄)2-1 dx x . x 1 -x2 y = 1 _ y2不是齊次方程 2 2 (x y )dx_xydy=0是齊次方程 2 2 dy _x y _ dy = x ,_y dx xy dx y x dy_ y2 _(X)2 dx xy x2 _y x 因此原方程是齊次方程，令l=u則 x dy ii+xdu y=ux u x - dx dx 于是原方程變?yōu)?u x雯筆 dx u -1 即 x血二亠 d

22、x u -1 分離變量.得 (1)du型. u x 兩邊積分.得un|u|CTn|x|. 或?qū)懗蒊n|xu|刃C 以乂代上式中的u.便得所給方程的通解 x In |y C x 例2有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡 .假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn) 0發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與 旋轉(zhuǎn)軸平行，求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 設(shè)此凹鏡是由xOy面上曲線L ：y=y(x)(y0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成.光源在原點(diǎn).在L上任取一點(diǎn) M(x, y).作L的切線交x軸于A “點(diǎn)0發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)M反射后是一條平行于 x軸射線.由光學(xué)及幾 何原理可以證明0A9M 因?yàn)?OA =AP -OP =PM cot ： OP 二- x . y 而 OM

23、 二 X2 y2 . 于是得微分方程 乂-x=、x2 y2 . y 整理得(x)2 i .這是齊次方程 dy y y 問題歸結(jié)為解齊次方程 學(xué)=仝+（蟲）2 +1 , dy y Y y 令=v 即 x=yv 得 v ydv =v、v2 1 y dy 即 yJv2 1 ydy 分離變量.得y牛 兩邊積分.得 In（v、v2 1） =1 n yInC ,二 v 、v2 1 二C , = （v）2 二v2 1, 2 1 C2 C 以yv承代入上式.得y2 =2C(x -號(hào))， 這是以x軸為軸、焦點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線 .它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 y2 z2 =2C（x 這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程 例

24、3設(shè)河邊點(diǎn)0的正對(duì)岸為點(diǎn)A .河寬OA=h .兩岸為平行直線.水流速度為a .有一鴨子從 點(diǎn)A游向點(diǎn)0 .設(shè)鴨子的游速為b(ba).且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn) O求鴨子游過的跡線的方 程， 例3設(shè)一條河的兩岸為平行直線 .水流速度為a .有一鴨子從岸邊點(diǎn) A游向正對(duì)岸點(diǎn) 0.設(shè) 鴨子的游速為b(ba).且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn) 0 .已知OA=h .求鴨子游過的跡線的方程 . 解 取0為坐標(biāo)原點(diǎn).河岸朝順?biāo)较驗(yàn)?x軸.y軸指向?qū)Π?設(shè)在時(shí)刻t鴨子位于點(diǎn)P(x, y). 則鴨子運(yùn)動(dòng)速度 另一方面 -a+b=蝕皿貳怎)“ 滬代啟八 因此血亠二 （x）2 1 x 即 dx =_a （x）2 r x

25、dy vy My y dy b y yy2 2yv 問題歸結(jié)為解齊次方程齊-二(x)2補(bǔ) 令=U .即x=yu .得 y 2 J y dy b 分離變量得 du 旦dy 耐 by - 兩邊積分.得 arshu - -(ln y In C) a .x i i早 i +a 將u=x代入上式并整理.得x = 2c【(Cy) b_(Cy) b. 以X|y出乂代入上式.得C =4 .故鴨子游過的軌跡方程為 h 1 b .0勻9 “ b _ x 二shln(Cy) a 二 y 1 二 - F2(Cy)a -(Cy)a b 1 1 衛(wèi) 1 b =x=2C(Cy) a -(Cy) a, 12.4線性微分方程

26、一、 線性方程 線性方程： 方程 歲 P(x) y二Q(x)叫做一階線性微分方程 “ dx 如果Q(x0.則方程稱為齊次線性方程 .否則方程稱為非齊次線性方程 , d a x=h【() J*) 將u十 代入arshu = - b(ln y In C)后的整理過程： arsh- - -b(ln y InC) y a =x=*(Cy)a-(C y冋 方程dy P(x)y =0叫做對(duì)應(yīng)于非齊次線性方程 dy P(x)y二Q(x)的齊次線性方程 dx dxF列方程各是什么類型方程? 2 2 (2) 3x 5x_5y ： y x 5x .是非齊次線性方程 y屯cos x=enx .是非齊次線性方程, d

27、y =10 x y不是線性方程 dx 2 (5)(y 1)2孚 x3=o=孚 x 2=o或d_(r_)_不是線性方程 dx dx (y 1)2 dy x3 齊次線性方程的解法： 齊次線性方程 魚-P(x)y=0是變量可分離方程.分離變量后得 dx 業(yè)=-P(x)dx . y 兩邊積分.得 ln |y|- - P(x)dx Ci . 或 y 二CeP(x)dx(C 二eCi). 這就是齊次線性方程的通解(積分中不再加任意常數(shù)) 例1求方程(x-2) = y的通解 dx 解這是齊次線性方程.分離變量得 dy _ dx y x _2 兩邊積分得 ln|y|=ln|x | InC . 方程的通解為 y

28、Ox-2). 非齊次線性方程的解法 ： 將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成 x的未知函數(shù)u(x).把 P(x)dx y =u(x)e(x2)沿匸 dy 1 dx x -2 y =0是齊次線性方程 設(shè)想成非齊次線性方程的通解，代入非齊次線性方程求得 u(x)eP(x)dx _u(x)eP(x)dXp(x) P(x)u(x)e_ 嗆曲=Q(x). 化簡(jiǎn)得 u(x)二Q(x)e P(x)dx . u(x) = JQ(x)edXdx +C . 于是非齊次線性方程的通解為 y-P(x)dx Q(x)eP(x)dxdx C. 或 y 二Ce P(x)dx eP(x)dx Q(x)e P(x)dxdx 非齊次線

29、性方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個(gè)特解之和 d 2 5 例2求方程 d- =(x+1)2的通解, dx x+1 解這是一個(gè)非齊次線性方程. 先求對(duì)應(yīng)的齊次線性方程史-創(chuàng) 0的通解 dx x+1 分離變量得 dy _ 2dx y x 1 兩邊積分得 In y =21 n (x 1) In C 齊次線性方程的通解為 2 C(x 1) 用常數(shù)變易法“把C換成u .即令y p(X 1)2 .代入所給非齊次線性方程 .得 2 5 u (x 1)2 2u (x 1)-； qu (x 1)2=(x 1)2 1 u =(x 1)2 . 兩邊積分.得 u =2(x 1)2 C 3 再把

30、上式代入y=u(x 1)2中.即得所求方程的通解為 y=(x 1)2|(x 1)2 C. 5 解：這里 P(x) 牛.Q(x)=(x 1)2 , x+1 2 P(x)dx= i(_)dx=-21 n(x 1) J $ x+1 e-P(x)dx=e|ln(x1)=(x 儼. 5 丄。 m Q(x)e P(x)dxdx 二(x 1)2(x 1)dx 二(x 1pdx =Z(x 1卩. 3 所以通解為 3 ybP(x)dxQ(x)eP(x)dxdx*(x1)|l(C, 例l有一個(gè)電路如圖所示 .其中電源電動(dòng)勢(shì)為 E壬msint(Em、，都是常數(shù)).電阻R和電感L 由電學(xué)知道.當(dāng)電流變化時(shí) 丄上有感應(yīng)

31、電動(dòng)勢(shì) -，由回路電壓定律得出 dt di Ri 上 dt L L 把E壬ms in t代入上式.得 di R. i dt L 初始條件為 i|t =0 P(t)二半 Q(t-Em s int . 由通解公式.得 i(t)hP(t)dt Q(t)eP(叫t C弋-訥(.甲sin te 叫 C) Em t -t Le L ( sin teL dt C)因?yàn)?都是常量 求電流i(t). 方程 站Ri 二Esint為非齊次線性方程.其中 _Rt (Rsin，t -，Leos t) Ce L R22L2 其中C為任意常數(shù)， R. I - R2 . .,2L2 二、伯努利方程 伯努利方程：方程 d +

32、P(x)Q(x)yn (n O1) dx 叫做伯努利方程， 下列方程是什么類型方程？ 歲 h J(i-2x)y4 是伯努利方程 dx 3 3 (2) dy =y xy=矽-y = xy5 .是伯努利方程 dx dx y =仝,二y-y二xy .是伯努利方程 y x x (4) dy -2xy =4x .是線性方程.不是伯努利方程 dx 伯努利方程的解法：以yn除方程的兩邊.得 yndy P(x)y1* =Q(x) dx 令z =y141 .得線性方程 券(1 -n)P(x)z=(1-n)Q(x). 例4求方程 申 y -a(ln x)y2的通解 dx x 解以y2除方程的兩端.得 -2 dy

33、1 _1 . y y al nx dx x 即 一如 ly =g|n x . dx x將初始條件 i|7=0代入通解.得C二丄鉛. 因此.所求函數(shù) i(t)為 Em 令z=y.則上述方程成為 dz 1 | z - -aln x . dx x 這是一個(gè)線性方程.它的通解為 z=XC_2(lnx)2. 以y代z .得所求方程的通解為 yXC|(l nx)2=1 經(jīng)過變量代換.某些方程可以化為變量可分離的方程 例5解方程dy -. dx x +y 解若把所給方程變形為 dx x y dy 即為一階線性方程.則按一階線性方程的解法可求得通解 令x y二u .則原方程化為 即屯二口 dx u 分離變量.

34、得 du =dx u 1 兩端積分得 uTn|u 1|承Tn|C| . 以u(píng) =x y代入上式.得 y-ln|x y 1|=Tn|C| .或 x=Cey_yT , 12 , 5全微分方程 全微分方程：一個(gè)一階微分方程寫成 P(x, y)dx Q(x, y)dy=0 形式后.如果它的左端恰好是某一個(gè)函數(shù) u=u(x, y)的全微分 du(x, y) =P(x, y)dx Q(x, y)dy .或化為已知其求解方法的方程 但這里用變量代換來解所給方程 那么方程P(x, y)dx Q(x, y)dy=O就叫做全微分方程，這里 衛(wèi)二P(x,y).衛(wèi)七(x,y). x :-y 而方程可寫為 du(x,

35、y)=0 . 全微分方程的判定：若P(x, y)、Q(x, y)在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) r r * .y :x 則方程P(x, y)dx Q(x, y)dy=0是全微分方程 全微分方程的通解： 若方程P(x, y)dx Q(x, y)dy=0是全微分方程.且 du(x, y) =P(x, y)dx Q(x, y)dy 則 u(x, y) 是方程P(x, y)dx Q(x, y)dy=0的通解 4 2 3 2 2 2 例 1 求解(5x 3xy -y )dx (3x y-3xy 亠y )dy=0 . 解這里 所以這是全微分方程，取(xo, yo)彳0, 0).有 x u(x, y) =

36、 L (5x4 +3xy2 y3)dx 十 =xFyxyiy3 于是.方程的通解為 x5 啟勺2 -xy3 y3 =C 2 3 積分因子：若方程P(x, y)dx Q(x, y)dy=0不是全微分方程.但存在一函數(shù) 鼻*x, y) (*x, y)=0).使方程 “僅 y)P(x, y)dx(x, y)Q(x, y)dy=0 是全微分方程.則函數(shù)J(x, y)叫做方程P(x, y)dx Q(x, y)dy=0的積分因子， .且 x y xoP(X,y)dX yo Q(xo, y)dx=C(xo,y) G). .:P =6xy-3丫2 =孚 ex y2dy 例2通過觀察求方程的積分因子并求其通解

37、ydxxdy=0 (1 xy)ydx (1 _xy)xdy=0 . 解(1)方程ydx彳dy=O不是全微分方程 因?yàn)?所以J_是方程ydx *dy d0的積分因子 于是 y ydx 了dy =o是全微分方程 所給方程的通解為 二C y2 y (2)方程(1 xy)ydx (1夕y)xdy=0不是全微分方程. 將方程的各項(xiàng)重新合并.得 (ydx xdy) xy(ydxxdy) =0 再把它改寫成 d(xy) x2y2(魚 -% =0 . x y 這時(shí)容易看出 1石為積分因子.乘以該積分因子后.方程就變?yōu)?(xy)2 d(xy) .dx_dy=0 (xy)2 x y 積分得通解 丄 -丄 In|=

38、lnC 即Cexy . xy y y 我們也可用積分因子的方法來解一階線性方程 yP(x)yg(x). 可以驗(yàn)證 i(x)=eP(x)dx 是一 一階線性方程 y P(x)y =Q(x)的一個(gè)積分因子 d(x2 ydx -xdy .在一階線性方程的 兩邊乘以J(xe P(x)dx得 yeP(x)dxyP(x)eP(x)dQ(x)eP(x)dx. 即 yeP(x)dx，yeP(x)dxr.Q(x)eP(x)dx . 亦即 yeP(x)dxQ(x)eP(x)dx. 兩邊積分.便得通解 P(x)dx P(x)dx ye = Q(x)e dx C . 或 y =e_(x)dx jQ(x)e(x)dxd

39、x+C, 例3用積分因子求2xy =4x的通解 dx 解方程的積分因子為 2 方程兩邊乘以ex得 2 2 2 2 2 y ex 2xex y = 4xex .即(ex y) =4xex . 2 2 2 于是 ex y = 4XW dx =2ex C 2 2 因此原方程的通解為 y= 4xexdx=2，Ce“ , 12 , 6可降階的高階微分方程 一、y(n旨(x)型的微分方程 解法：積分n次 y(Z = f(x)dx G . yW f(x)dx C1dx C2 例1求微分方程yx-cos x的通解 解對(duì)所給方程接連積分三次.得 y 二土 -sinx C . y=e2x cosx C1x C2

40、這就是所給方程的通解 y =-4e2x cosx 2Gx C2 . y =fe2x sinx Gx2 C2x G 這就是所給方程的通解 ， 例2質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受力F的作用沿Ox軸作直線運(yùn)動(dòng).設(shè)力F僅是時(shí)間t的函數(shù)F=F(t).在 開始時(shí)刻t=0時(shí)F(0) =F .隨著時(shí)間t的增大.此力F均勻地減小.直到t二T時(shí).F(T)=0 .如果開始 時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn).且初速度為零.求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 解 設(shè)Xh(t)表示在時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置“根據(jù)牛頓第二定律“質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程為 由題設(shè).力F(t)隨t增大而均勻地減小.且t=0時(shí).F(O)=F .所以F(t)=Fo-kt “又當(dāng)t=T時(shí).F(T)=0 從

41、而 F(t)=Fo(1-*). 于是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程又寫為 尊込(1丄) 把微分方程兩邊積分.得 再積分一次.得 6T)Gt C2. 于是所求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 其初始條件為dt 由初始條件x|t護(hù)0. dx|t-0 . dt 解設(shè)X承(t)表示在時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置. 根據(jù)牛頓第二定律.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程為 mx 于(t), 由題設(shè)F(t)是線性函數(shù).且過點(diǎn)(0 Fo)和 (T .0). 即 F(t)=Fo(1*). 于是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程又寫為 其初始條件為x|t =0 x |t =0 , 把微分方程兩邊積分.得 甘詰)C1 再積分一次.得 由初始條件x|t =0 .x|tz0=0 . 得

42、C1 =02=0 . 于是所求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 3 x 吩2t2 話)-g 二、y二f(xy)型的微分方程 解法：設(shè)y “中則方程化為 pT(x .p) 設(shè)p:N(x p)的通解為p= (xCi).則 dy=p(x,Ci) dx 原方程的通解為 y= (x,G)dx C2 例3求微分方程 (1 x2)y: =2xy 滿足初始條件 y|x =1 . y |x =3 的特解“ 解 所給方程是yf(x.y)型的“設(shè)y .代入方程并分離變量后6T)C2 6T 孔半dx. p 1 x2 兩邊積分.得 2 In|p|Tn(1 x ) C 即 ph =Ci(1 x) (Ci= e ), 由條件y |x衛(wèi)=3

43、 .得Ci =3 . 所以 y3(i x2), 兩邊再積分.得y=x3 3x C2 . 又由條件.得C2=1 于是所求的特解為 3 y 承 3x 1 例4設(shè)有一均勻、柔軟的繩索 .兩端固定.繩索僅受重力的作用而下垂 狀態(tài)時(shí)是怎樣的曲線？ 三、y f(y y)型的微分方程 解法：設(shè)y 羊有 原方程化為 黔5) 設(shè)方程pdp = f(y, p)的通解為，中h(y.C1).則原方程的通解為 dy 例5求微分yy予2=0的通解 解設(shè)/=p .則y =卩亞. dy 代入方程.得 dp 2 c yp p 0 dy 在y -0、p=0時(shí).約去p并分離變量.得 dp dy p y 兩邊積分得 In|p| =l

44、n|y| Inc . 即 p y 或 y Qy(c-_c).試問該繩索在平衡 y他型魚 dx dy dx dy dy (y,C1) x C2 再分離變量并兩邊積分.便得原方程的通解為 In|y|=Cx Inci . 或 y -Cie (Ci = ci), 例5求微分yy審2=0的通解 解設(shè)y書.則原方程化為 yp % 一 p2 =0 . dy 當(dāng)y=0、p=0時(shí).有 心p=0 dy yp (-dy 于是 p=ey C-y. 即 yCiy=0 從而原方程的通解為 y te Cldx =C2eC-x . 例6 一個(gè)離地面很高的物體 受地球引力的作用由靜止開始落向地面 .求它落 到地面時(shí)的速度和所需

45、的時(shí)間(不計(jì)空氣阻力) 12,7高階線性微分方程 一、二階線性微分方程舉例 例1設(shè)有一個(gè)彈簧.上端固定.下端掛一個(gè)質(zhì)量為 m的物體，取x軸鉛直向下 平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)， 給物體一個(gè)初始速度 V0=0后.物體在平衡位置附近作上下振動(dòng) .在振動(dòng)過程中 x是t的函數(shù)：x(t). 設(shè)彈簧的彈性系數(shù)為 c .則恢復(fù)力f-CX. 又設(shè)物體在運(yùn)動(dòng)過程中受到的阻力的大小與速度成正比 .比例系數(shù)為則 R-血 dt 由牛頓第二定律得 d2x | dx dt2 dt 卜 2 c 移項(xiàng).并記2n k=-. m m 2 .并取物體的 .物體的位置 則上式化為 dx - 2ndx - k2x=0 dt2 dt 這就是在有

46、阻尼的情況下 .物體自由振動(dòng)的微分方程 . 如果振動(dòng)物體還受到鉛直擾力 F =Hsi n pt 的作用.則有 弩 2n魚 k2x=hsin pt . dt2 dt N H 其中.這就是強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程 . m 例2設(shè)有一個(gè)由電阻 R、自感L、電容C和電源E串聯(lián)組成的電路.其中R、L、及C為常 數(shù).電源電動(dòng)勢(shì)是時(shí)間t的函數(shù):E =Emsin，t.這里Em及;.-；也是常數(shù)， 設(shè)電路中的電流為i(t).電容器極板上的電量為 q(t).兩極板間的電壓為 比.自感電動(dòng)勢(shì)為EL .由 電學(xué)知道 欝2如和廠且sin 7 dt2 dt 0 c LC = 1.這就是串聯(lián)電路的振蕩方程 2L x LC 如果電

47、容器經(jīng)充電后撤去外電源 (E 0 .則上述成為 2 今2匹晶廠0. dt2 dt 二階線性微分方程：二階線性微分方程的一般形式為 y P(x)y Q(x)y =f(x). i _dq I -q E _dt c EL 根據(jù)回路電壓定律 得 E-LG -q-Ri=0 dt C 即 LC令 RC如u dt2 dt 或?qū)懗?c = Em sin ，t . 7 若方程右端f(x)=0時(shí).方程稱為齊次的.否則稱為非齊次的 、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu) 先討論二階齊次線性方程 2 y P(x)y Q(x)y=O 即 d-y P(x)dy Q(x)y=O , dx2 dx 定理1如果函數(shù)yi(x)與y2(x)是方

48、程 y P(x)y Q(x)y=O . 的兩個(gè)解.那么 y-Ciyi(x) C2y2(x) 也是方程的解.其中Ci、C2是任意常數(shù)， 齊次線性方程的這個(gè)性質(zhì)表明它的解符合疊加原理 證明Ciyi C2y2 1 yi C2 y2 . Ciyi C2y2八=Ci yi C2 y2 . 因?yàn)閥i與y2是方程y P(x)y Q(x)y=O.所以有 yi P(x)yi Q(x)yi =0 及 y2 P(x)y2 Q(x)y2=0 . 從而 Ciyi C2y2 P(x) Ciyi Czy Q(x) Ciyi C2y2 二Ciyi P(x)yi Q(x)yi C2y2 P(x)y2 Q(x)y2 =0 0=0

49、 這就證明了 y iyi(x) C2y2(x)也是方程y，P(x)y Q(x)y=0的解 函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān) ： 設(shè)yi(x) y2(x) .yn(x)為定義在區(qū)間I上的n個(gè)函數(shù)，如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù) ki k2 . kn .使得當(dāng)x I時(shí)有恒等式 kiyi(x) k2y2(x) knyn(x)=0 成立.那么稱這n個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)“否則稱為線性無(wú)關(guān). 判別兩個(gè)函數(shù)線性相關(guān)性的方法 ： 對(duì)于兩個(gè)函數(shù).它們線性相關(guān)與否.只要看它們的比是否為常數(shù) .如果比為常數(shù).那么它們 就線性相關(guān).否則就線性無(wú)關(guān)， 例如.i .cos2x . sin2x在整個(gè)數(shù)軸上是線性相關(guān)的 ，函數(shù)i.x

50、.x2在任何區(qū)間(a, b)內(nèi)是線性無(wú) 關(guān)的 定理2如果如果函數(shù)yi(x)與y2(x)是方程 y P(x)y Q(x)y=0 的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.那么 y=Ciyi(x) C2y2(x) (Ci、C2是任意常數(shù)) 是方程的通解“ 例3驗(yàn)證yi=cosx與y2二sin x是方程y、y=0的線性無(wú)關(guān)解.并寫出其通解 解因?yàn)?yi ：yi =_COS x COS x=0 y2 y2=_sin x sin x=0 所以yi =cos x與y2=sin x都是方程的解， 因?yàn)閷?duì)于任意兩個(gè)常數(shù) ki、k2.要使 ki cos x k2Sin x 三0 只有ki*2=0 .所以cos x與sin x在(-匚

51、:，：)內(nèi)是線性無(wú)關(guān)的. 因此yicos x與y2=sin x是方程yy乂的線性無(wú)關(guān)解， 方程的通解為 yCicos x C2Sin x 例4驗(yàn)證yi =x與y2=ex是方程(xi)y_xy y =0的線性無(wú)關(guān)解.并寫出其通解 解因?yàn)?(x-i)yi y2=esin ：x 也是方程解， 可以驗(yàn)證.yiwEcosfix、yeasinPx是方程的線性無(wú)關(guān)解, 因此方程的通解為 y =e x( Ci cos x C2Sin x ). 求二階常系數(shù)齊次線性微分方程 ypyqy乂的通解的步驟為： 第一步 寫出微分方程的特征方程 r2 pr q=0 第二步 求出特征方程的兩個(gè)根 、J , 第三步 根據(jù)特征

52、方程的兩個(gè)根的不同情況 .寫出微分方程的通解“ 例1求微分方程y y =0的通解 解所給微分方程的特征方程為 2 r -2r-3=0 .即(r 1)(r )=0 . 其根1=一12弋是兩個(gè)不相等的實(shí)根.因此所求通解為 y=Cie C2e3x. 例2求方程y2yy=0滿足初始條件yk =4、y|x2的特解 解所給方程的特征方程為 2 2 r 2r 1=0 .即(r 1) =0 . 其根ri =r-i是兩個(gè)相等的實(shí)根.因此所給微分方程的通解為 y=(Ci C2X)e： 將條件y|x詔代入通解“得C4.從而 y=(4 C2X)e. 將上式對(duì)x求導(dǎo).得 x yi y2 =2e 一 cos y=C2-4

53、 2x)e 再把條件y 1x2代入上式.得C2 .于是所求特解為 x=(4 2x)e. 例3求微分方程y 2y 5y0的通解 解所給方程的特征方程為 r2-2r 5=0 . 特征方程的根為1=1 2 .2=1 -2i .是一對(duì)共軛復(fù)根. 因此所求通解為 x y=e (Cicos2x C2sin2x). n階常系數(shù)齊次線性微分方程：方程 (n) (n) (n-2) y piy p2 y 亠 亠 pny pny=0. 稱為n階常系數(shù)齊次線性微分方程.其中Pi . p2 . -pnd pn都是常數(shù). 二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式 .可推廣到 線性微分方程上去. 引入微分算子

54、D.及微分算子的n次多項(xiàng)式： n , nJ, n_2 , L(D)=D piD P2 D 亠 亠 pn/D 卩n . 則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作 (Dn pDnJL P2 Dn . pnjD 卩 n)y=0 或 L(D)y=0 . 注：D叫做微分算子D0yT.DymlD2yh： .Dny弓. 分析：令y毛伙.則 rxnn nV n-2, , , rx rx L(D)y二L(D)e (r pir p2 r pnjr pn)e L(r)e . 因此如果r是多項(xiàng)式L(r)的根.則是微分方程L(D)y=0的解 n階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程 ： L(r)二rn pirn4 卩2 rn -

55、 pnjr pn=0 稱為微分方程L(D)y=0的特征方程. 特征方程的根與通解中項(xiàng)的對(duì)應(yīng) ： 單實(shí)根r對(duì)應(yīng)于一項(xiàng) Ce 一對(duì)單復(fù)根ri .2R才卩對(duì)應(yīng)于兩項(xiàng):ecx(Cico+C2SinBx)； rx k i k重實(shí)根r對(duì)應(yīng)于k項(xiàng)e (Ci C2x Ckx )- n階常系數(shù)齊次 一對(duì)k重復(fù)根ri i 1對(duì)應(yīng)于2k項(xiàng) e*(Ci C2X亠 CkXk)cosx ( Di D2X亠 亠DkXk)sin x. 例4求方程y_2y5y=0的通解 解這里的特征方程為 r4-2r3 5r2 .即 r2(r2-2r 5)=0 . 匕的根是ri 2 =0和3.4 1 2i , 因此所給微分方程的通解為 x y

56、1 C2X e (C3cos2x C4Sin2x), 例5求方程y ： 4y=0的通解.其中卩：0 . 解 這里的特征方程為 r4 J . 它的根為 r1,2=2(1 二j) - r3,4 = (1 自) 因此所給微分方程的通解為 ：X 1 y =e 2 (G cos 2 x C2 sin 2, 10二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 ：方程 y py qy 他 稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 .其中p、q是常數(shù) 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對(duì)應(yīng)的齊次方程 的通解yh(x)與非齊次方程本身的一個(gè)特解 y=y*(x)之和 y 欽x) y*( x). 當(dāng)f(x)為

57、兩種特殊形式時(shí).方程的特解的求法： 一、f(x)二Pm(x)e X 型 當(dāng)f(x)=Pm(x)eX時(shí).可以猜想.方程的特解也應(yīng)具有這種形式 “因此“設(shè)特解形式為 y* -Q(x)e x .將其代入方程.得等式 Q (x) (2 p)Q (x) ( 2 p q)Q(x)二Pm(x). (1)如果不是特征方程r2 pr q=0 的根.則處邛人+q丸要使上式成立.Q(x)應(yīng)設(shè)為m次多項(xiàng) Qm(x)二box bi - bm jx bm . 通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù) .可確定bo bi . .bm.并得所求特解 X 1-：, 1-：, e 2 (C3COS X C4sinX). y* m(x)e 兀,

58、 (2) 如果，是特征方程r2齊rp=0的單根.則h2+pA/q=0 .但2Z/巾劉要使等式 2 Q (x) (2 p)Q (x)pq)Q(x)二Pm(x). 成立.Q(x)應(yīng)設(shè)為m+1次多項(xiàng)式： Q(x)=xQm(x). Qm(x) =boxm 亠bixm亠 亠bm .ix bm . 通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù) .可確定bo bi . .bm .并得所求特解 y* 朮Qm(x)ex, (3) 如果，是特征方程 prRf的二重根.則7了巾人勺=0 .2h+p=0.要使等式 2 Q (x)丸2 九p)Q (x)珥九4pMQd) =Pm(x), 成立Q(x)應(yīng)設(shè)為m 2次多項(xiàng)式： 2 Q(x)=x

59、 Qm(x). Qm(x)二boxm biXm，亠 亠bmx bm . 通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù) .可確定bo b bm .并得所求特解 y* =x2Qm(x)e 趙. 綜上所述.我們有如下結(jié)論 ：如果f(x)二Pm(x)ex.則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 y py qy =f(x)有形如 y* nkQm(x)e 的特解.其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項(xiàng)式.而k按不是特征方程的根、是特征方程的單根或 是特征方程的的重根依次取為 0、1或2 例1求微分方程y_2y，y=3x V的一個(gè)特解. 解 這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 .且函數(shù)f(x)是Pm(x)e x型(其中Pm(x3x V

60、 =0). 與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為 y -2/-30 . 它的特征方程為 2 r -2-3二0 由于這里=0不是特征方程的根.所以應(yīng)設(shè)特解為 y* =box bi . 把它代入所給方程.得 3box_2bo -3bi =3x 1 . 比較兩端x同次幕的系數(shù).得 念=3 1 由此求得bo=_i , b,=丄.于是求得所給方程的一個(gè)特解為 3 yx 例2求微分方程yyPyne2x的通解, 解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 .且f(x)是Pm(X)ex型(其中Pm(X)=X =2). 與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為 y dy 6y=0 . 它的特征方程為 2 r -5r 6=0 . 特征方程有兩個(gè)