(完整word版)微分方程及其應(yīng)用

1、第九章微分方程及其應(yīng)用 9.19.1 微分方程及其相關(guān)概念所謂微分方程，就是含有自變量、自變量的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程。例如，以下各式都是微分方程：F(x, y, y- y(n)=0. .只含一個(gè)自變量的微分方程，稱(chēng)為常微分方程，自變量多于一個(gè)的稱(chēng)為偏微分方程。本章只研究 常微分方程，因而以后各節(jié)提到微分方程時(shí)均指常微分方程。微分方程中所含有的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱(chēng)為該微分方程的階。例如，、為一階 方程，、為二階方程，而為n n 階方程。微分方程中可以不含有自變量或未知函數(shù)，但不能不含有導(dǎo)數(shù)，否則就不成為微分方程。微分方程與普通代數(shù)方程有著很大的差別，建立微分方程的目

2、的是尋找未知函數(shù)本身。如果P196P196有一個(gè)函數(shù)滿(mǎn)足微分方程，即把它代入微分方程后，使方程變成（對(duì)自變量的）恒等式，這個(gè)若方程解中含有獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù)，則稱(chēng)此解為微分方程的通解,13女口yx-就是的通解。31從通解中取定任意常數(shù)的一組值所得到的解，稱(chēng)為微分方程的特解。 例如yx3二就是3的一個(gè)特解。用來(lái)確定通解中任意常數(shù)值的條件稱(chēng)為定解條件，當(dāng)自變量取某個(gè)值時(shí)， 給出未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的相應(yīng)值的條件稱(chēng)為初始條件。在本章中，我們遇到的用來(lái)確定任意常數(shù)值的條件一般為初始條“ 13件。例如，如果的初始條件為y 0二二，則在代入到通解yx3c后，可以求得c = ”：，從313而

3、得到特解y x3*二。3一般的，因?yàn)閚階微分方程的通解中含有n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)。 需要有n個(gè)（一組）定解條件，所以n階方程的初始條件為：y（x）= y, y （x ）=力,y（x ）=y?,，y。）=y其中yo,y1,y2,，yz為n個(gè)給定常數(shù)。dy2xdxm空dt2dxhx kx = f (t).dt史+P(x)y =Q(x). .dx與dt2dt l函數(shù)就叫做微分方程的解。例如y=x3顯然是的解，因?yàn)?13嚀)dx微分方程的解所對(duì)應(yīng)的幾何圖形叫做微分方程的積分曲線。通解的幾何圖形是一族積分曲線, 特解所對(duì)應(yīng)的幾何圖形是一族積分曲線中的某一條。13例如，方程的積分曲線族如圖 9 91所示。其

4、中y x二3特解。 9.29.2微分方程的經(jīng)典案例例 1 1 自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律自由落體運(yùn)動(dòng)是指物體在僅受到地球引力的作用下，初速度為零的運(yùn)動(dòng)。根據(jù)經(jīng)典力學(xué)的牛頓第二定律：物體動(dòng)量變化的大小與它所受到的外力成正比，其方向與外力的方向一致。當(dāng)物體的運(yùn)5動(dòng)速度v的絕對(duì)值不大（與光速 =3=310km/skm/s 相比較）時(shí)，其質(zhì)量m可以是一恒量。于是這一運(yùn)動(dòng)定律能表達(dá)成ddvmv = F,或m F（ 1 1）dtdt其中F表示物體所受外力的合力。對(duì)于僅受到地球引力作用的自由落體的運(yùn)動(dòng)，則有:-_ _ dS -F二mg,v這里g表示重力加速度，其大小一般取為:dtS表示自由落體運(yùn)動(dòng)的路程，其大小以S

5、表示之。-_- - dS注意到S的方向與g的方向一致，將F=mg,v= dS代入式后得到自由落體運(yùn)動(dòng)立場(chǎng)大小運(yùn)動(dòng)規(guī)律式表示一個(gè)微分方程問(wèn)題。等式（2 2）的左端是路程大小S的二次微商它的右端是常數(shù)g。這里S和g之間不是普通的函數(shù)關(guān)系，而是二微商的關(guān)系。例 2 2 單擺運(yùn)動(dòng)單擺又稱(chēng)為鐘擺或數(shù)學(xué)擺。所謂單擺運(yùn)動(dòng)是指一質(zhì)量為m00 的小球，用長(zhǎng)度為I的柔軟細(xì)繩拴住，細(xì)繩的一端固定在某點(diǎn)O O 處。小球在鉛垂平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，略去空氣的阻力和細(xì)繩在O O 點(diǎn)處的摩擦力。并且認(rèn)為細(xì)繩的長(zhǎng)度I不變，僅考慮地球的引力和細(xì)繩對(duì)小球的拉力（見(jiàn)圖 9 9 2 2）。在鉛垂平面內(nèi)引進(jìn)以 O O 為坐標(biāo)原點(diǎn)的極坐標(biāo)系統(tǒng)，由

6、于細(xì)繩長(zhǎng)度不變且細(xì)繩總是直的，所以小球的位置用一個(gè)坐標(biāo)t就能表示。這里 二表示細(xì)繩|和鉛垂方向之間的夾角。鉛垂方向即是小球的平衡方向，它對(duì)應(yīng)的 二為零。就是滿(mǎn)足初始條件y 0 =二的2g = 9.8m/s；變化的規(guī)律:2 2d2S十d2Sm亍=mg或 -=gdtdt(2)作用在小球上的地球引力的大小f為mg,其方向鉛垂向下。重力沿細(xì)繩方向的分力的大小為mg cos二，其方向沿細(xì)繩指向外。這個(gè)力與小球運(yùn)動(dòng)所需要的向心力剛好平衡。所以小球沿細(xì)(6)繩方向沒(méi)有運(yùn)動(dòng)。重力在垂直于細(xì)繩方向的分力的大小為mgsi，它的方向與角 二增加的方向相反。根據(jù)牛頓第二定律得到單擺運(yùn)動(dòng)的規(guī)律為:關(guān)系式（4 4）是包含

7、 r 及其二接微商的方程，并且 二不是線性而是非線性地出現(xiàn)在方程中（以sin=這種非線性形式）。從方程（4 4）來(lái)求出二隨著時(shí)間變化規(guī)律的分析表達(dá)式是困難的。當(dāng)I二|比較小時(shí)，對(duì)微分方程（4 4）能夠進(jìn)行線性化出處理，即用二代替sin,，或者說(shuō)，用-來(lái)近似si nr。這樣得到式（4 4）的線性化微分方程:在相同初始條件下服從微分方程5求得的二隨時(shí)間t變化的規(guī)律二t是單擺運(yùn)動(dòng)的近似規(guī)律。通常將式5寫(xiě)成如下的規(guī)范形式:dt2其中k2。l例 3 3 真空中的拋射體運(yùn)動(dòng)在真空中運(yùn)動(dòng)的拋射體， 它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律十分復(fù)雜。 這里僅考慮在真空中拋射體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。即忽略拋射體所受的空氣阻力，而僅考慮質(zhì)量為m的拋射

8、體受地球引力作用而引起的運(yùn)動(dòng)。取一直角坐標(biāo)系Oxyz，Ox軸沿水平方向；Oy軸垂直于Ox軸；Oz軸垂直于xOy平面，并與Ox軸、Oy軸一起組成右手坐標(biāo)系。依牛頓第二定律，拋射體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為:d2xm2=0dt2d2zm2mgdt2d2y小m2=0dt2于是從式（3 3）得出:d mv二-mgsinr根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)llvdt(3)dt2二-g sin v(4(4)(5(5)拋射體的初始狀態(tài)取為:xO二yO二zO =0;其中Vo是拋射體的初始速度， 位于xOy平面內(nèi)，Vo表示Vo的大??；表示Vo與水平方向（即Ox軸）之間的夾角（見(jiàn)圖 9-49-4）。例 4 4 深水炸彈的水下運(yùn)動(dòng)一質(zhì)量為m的深水炸彈

9、，從高為h m處自由下落到海中。這里不考慮深水炸彈在水平方向的運(yùn)動(dòng)，而僅考慮它在鉛直方向的運(yùn)動(dòng)。由經(jīng)典力學(xué)知：物體由高為h m處自由下落至海平面時(shí)，其鉛垂方向的速度Vo為：Vo =. 2gh這里g為重力加速度。按如下方式取定坐標(biāo)系：坐標(biāo)原點(diǎn)O取在海平面上某處，Ox軸沿鉛垂向下，（見(jiàn)圖 9-59-5）。深水炸彈m自高度為h m處自由下落至海平面的時(shí)間為t0。于是深水炸彈的初始狀態(tài)為：dx|_x to= 0,|t = to= Vo =. 2ghdt深水炸彈在海中運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們不考慮海水對(duì)它的浮力，這時(shí)炸彈受到兩個(gè)力的作用，：一是地球引力mg，其方向鉛垂向下；另一個(gè)是海水對(duì)炸彈的摩擦力。這個(gè)摩擦力是很

10、復(fù)雜的，它和炸彈 的形狀、速度等因素有關(guān)，這里近似的認(rèn)為摩擦力的大小和炸彈的速度v成正比，比例系數(shù)即摩擦系數(shù)u為常數(shù)。摩擦力的方向與炸彈的速度方向相反，因而是鉛垂向上的。于是摩擦力f能表示dx二一u v = -udt解 鈾的衰變速度就是M t對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)釗，由于鈾的衰變速度與其含量成正比，故得dt微分方程型dt =幾M其中0是常數(shù)，叫做衰變系數(shù)。前置符號(hào)是由于當(dāng)t增加時(shí)M單調(diào)減少，即 型：0的緣故。按題意，初始條件為M |t=0二M0dx y = Vocos ,t =0二Vosin :-為:根據(jù)牛頓第二定律知深水炸彈在水下運(yùn)動(dòng)的規(guī)律為:m史u v mg dt2d x u dx小2gdt2m

11、dt(7(7)例 5 5 放射性元素的衰變 放射性元素鈾由于不斷的有原子放射出微粒子而變成其他元素,鈾的含量就不斷減少， 這種現(xiàn)象叫做衰變。由原子物理學(xué)知道， 鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量M成正比。已知t=0時(shí)鈾的含量為Mo，求在衰變過(guò)程中鈾含量M t隨時(shí)間t變化的規(guī)律。dt例 6 6 指數(shù)增長(zhǎng)模型（馬爾薩斯人口模型）英國(guó)人口學(xué)家馬爾薩斯（MalthusMalthus，1766-18341766-1834）根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計(jì)資料，于17981798 年提出了著名的人口指數(shù)增長(zhǎng)模型。這個(gè)模型的基本假設(shè)是：人口的增長(zhǎng)率是常數(shù)，或者說(shuō)，單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)的人口成正比。記時(shí)刻t的人

12、口為x t，當(dāng)考察一個(gè)國(guó)家或一個(gè)很大地區(qū)的人口時(shí)，x t是很大的整數(shù)。為了利用微積分這一數(shù)學(xué)工具，將xt視為連續(xù)、可微函數(shù)。記初始時(shí)刻t = 0的人口為X。，人口增長(zhǎng)率為 r r，r r 是單位時(shí)間內(nèi)xt的增量與x t的比例系數(shù)。于是，xt滿(mǎn)足如下的微分方程：dxrx dt込（0 ）=Xoe表明人口將按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)r 0。例 7 7 阻滯增長(zhǎng)模型（LogisticLogistic 模型）例 6 6 中的指數(shù)增長(zhǎng)模型在 1919 世紀(jì)前比較符合人口增長(zhǎng)情況，但從 1919 世紀(jì)以后，就與人口事實(shí)上的增長(zhǎng)情況產(chǎn)生了較大的差異。產(chǎn)生上述現(xiàn)象的主要原因是，隨著人口的增加，自然資源，環(huán)境條件等因素對(duì)

13、人口繼續(xù)增長(zhǎng)的阻滯作用越來(lái)越顯著。如果當(dāng)人口較少時(shí)（相對(duì)于資源而言）人口增長(zhǎng)率還可以看作常數(shù)的話，那 么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率就會(huì)隨著人口的繼續(xù)增加而逐漸減少。為了使人口預(yù)報(bào)特別是長(zhǎng)期預(yù)報(bào)更好的符合實(shí)際情況，必須修改指數(shù)增長(zhǎng)模型關(guān)于人口增長(zhǎng)率是常數(shù)這個(gè)基本假設(shè)。將增長(zhǎng)率 r r 表示為人口x t的函數(shù)r x，按照前面的分析，r x應(yīng)該是 x x 的減函數(shù)。一個(gè)最簡(jiǎn)單的假定是設(shè)r x為 x x 的線性函數(shù)r x =r-sx，（r, s 0）這里 r r 相當(dāng)于x=0時(shí)的增長(zhǎng)率，稱(chēng)固有增長(zhǎng)率。它與指數(shù)模型中的增長(zhǎng)率r r 不同（雖然用了相同的符號(hào)）。顯然對(duì)于任意的x 0,增長(zhǎng)率r x :：

14、: r，為了確定系數(shù)s的意義，弓 I I 入自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用摘要隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，國(guó)內(nèi)資金積累量在不斷增加，但是中國(guó)人口近幾年還是呈增加的趨勢(shì)，這樣就會(huì)影響人均收入。由于國(guó)民收入是資金積累的 一部分，國(guó)民收入變化可以反映資金積累的變化。因此研究資金積累、國(guó)民收入與人口增長(zhǎng)的關(guān)系可以轉(zhuǎn)化成研究資金積累與人口增長(zhǎng)的關(guān)系。若國(guó)民平均收入與按人口平均資金積累成正比，說(shuō)明僅當(dāng)資金積累的相對(duì)增長(zhǎng)率大于人口的相對(duì)增長(zhǎng)率時(shí)，國(guó)民平均收入才是增長(zhǎng)的。本文通過(guò)微分方程建立 有關(guān)人口增長(zhǎng)與資金積累、國(guó)民收入的關(guān)系的模型。關(guān)鍵詞： 總資金積累 人口平均資金積累 國(guó)

15、民平均收入 資金積累增長(zhǎng) 人口增長(zhǎng)一、人口預(yù)測(cè)模型由于資源的有限性 , , 當(dāng)今世界各國(guó)都注意有計(jì)劃地控制人口的增長(zhǎng) , , 為了 得到人口預(yù)測(cè)模型 , , 必須首先搞清影響人口增長(zhǎng)的因素 , , 而影響人口增長(zhǎng)的因 素很多, , 如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的遷移、自然災(zāi)害、 戰(zhàn)爭(zhēng)等諸多因素 , ,如果一開(kāi)始就把所有因素都考慮進(jìn)去，則無(wú)從下手 . .因此, , 先 把問(wèn)題簡(jiǎn)化 , , 建立比較粗糙的模型 , , 再逐步修改 , , 得到較完善的模型 . . 而此次討 論的則是資金積累、國(guó)民收入與人口增長(zhǎng)的關(guān)系。在人口自然增長(zhǎng)過(guò)程中 , , 凈相對(duì)增長(zhǎng)（出生率與死亡率之差）是常數(shù)

16、 , , 即 單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與人口成正比 , , 比例系數(shù)設(shè)為 r,r, 而若國(guó)民平均收入 x x 與按人口平均資金積累 y y 成正比，說(shuō)明反當(dāng)總資金積累的相對(duì)增長(zhǎng)率 k k 大于 人口的相對(duì)增長(zhǎng)率r r 時(shí)，國(guó)民平均收入才是增長(zhǎng)的。在此假設(shè)下 , , 推導(dǎo)并求解 人口增長(zhǎng)與資金積累、國(guó)民收入的關(guān)系。二、問(wèn)題的重述資金積累、國(guó)民收入、與人口增長(zhǎng)的關(guān)系：(1 1)若國(guó)民平均收入 x x 與按人口平均資金積累 y y 成正比，說(shuō)明僅當(dāng)總資金積 累的相對(duì)增長(zhǎng)率 k k 大于人口的相對(duì)增長(zhǎng)率 r r 時(shí)，國(guó)民平均收入才是增長(zhǎng)的. .( 2 2)作出 k(x)k(x) 和 r(x)r(x) 的

17、示意圖，分析人口激增會(huì)引起什么后果 . .三、問(wèn)題分析人均國(guó)民收入主要與國(guó)家資金總積累量和總?cè)丝跀?shù)有關(guān)， 若總?cè)丝跀?shù)的增 長(zhǎng)率大于資金積累增長(zhǎng)率，則增長(zhǎng)的資金不能使每一位國(guó)民增加收入，只能 使少量國(guó)民收入增加，因此，總體來(lái)說(shuō)，國(guó)家人均收入實(shí)際上是減少的。四、模型假設(shè)假設(shè)總資金增長(zhǎng)和人口增長(zhǎng)均為指數(shù)增長(zhǎng)， 資金積累增長(zhǎng)率和人口增長(zhǎng)率 為二次曲線模型。五、符號(hào)說(shuō)明a a 為國(guó)民收入在總資金積累中所占比例；y(t)y(t) 為總資金積累量；N N(t t)為總?cè)丝跀?shù)；NmNm 為人口的峰值；x(t)x(t) 為人均國(guó)民收入；r r 為人口增長(zhǎng)率；k k 為資金積累增長(zhǎng)率。解：若國(guó)民平均收入 x x

18、與按人口平均資金積累 y y 成正比，說(shuō)明反當(dāng)總資金積累的相對(duì)增長(zhǎng)率 k k 大于人口的相對(duì)增長(zhǎng)率 r r 時(shí)，國(guó)民平均收入才是增長(zhǎng)的N(k) =Noer(ksN(t)e：J 106所以，當(dāng) k k 大于 r r 時(shí)，國(guó)民收入才會(huì)增加總資金積累的相對(duì)增長(zhǎng)率示意圖X(t)二y(t)N(t)dX(t簞)y(t.：t) - y(t)dty(t) kN(t) r，厶t 0人口相對(duì)增長(zhǎng)示意圖1980198519901995200020052010可見(jiàn)， 當(dāng)人口激增時(shí)， 在一定程度上， 人口資金積累和人均國(guó)民收入相對(duì) 減少，人們生活水平就會(huì)下降。因此，國(guó)家應(yīng)該實(shí)施宏觀調(diào)控，以控制人口 增長(zhǎng)，以保證人們的生活水平進(jìn)一步提高。