完整版高等流體力學(xué)習(xí)題

1、第一講緒論習(xí)題：1 .綜述流體力學(xué)研究方法及其優(yōu)缺點。2 .試證明下列各式：(1)grad(f)±-=grad(.力rad()(2) grad( 4 g 的rad(帆(f)grad()f n .grad -(3)設(shè)= xi +yj+ zk,貝U1廠二廣(4)設(shè) r = xi +yj+ zk,求 div( r)= ?(5)設(shè) r = xi +yj+ zk,則 div( r4r)= ?3.給定平面標(biāo)量場f及M點處上已知兩個方向上的方向?qū)?shù)&f汨和冽，求該點處的gradf第二講應(yīng)力張量及應(yīng)變張量例2-1試分析下板不動上板做勻速運動的兩個無限大平板間的簡單剪切流動”他 甘0 W-口式

2、中k為常數(shù)，且k=u0/b。解：由速度分布和式(2-14、16和17)可得” 0k/2015門 000000 A 0A , ID 上 0 00 0 0再由式(2-18)可得所以 II=k=U0/b。p k 0II-叼X” 卜 0 0 - Cboo流動的旋轉(zhuǎn)張量 R的分量不全為零說明流動是有旋流動，I=trA=0表明流動為 不可壓縮流動，II=k表明了流場的 剪切速率 為常數(shù)。第三講流體的微分方程習(xí)題：試由純粘流體的本構(gòu)方程和柯西方程推導(dǎo)納維爾-斯托克斯方程(N-S方程)。第四講流動的積分方程【例3- 1】在均勻來流速度為 V的流場中放置一個垂直于來流的圓柱體，經(jīng)過若干距離后 測得的速度分布如圖

3、所示，假設(shè)圖示的控制體邊界上的壓力是均勻的，設(shè)流體為不可壓縮的，其密度為p,試求：(1)流線1-2的偏移量C的表達式；(2)單位長度圓柱體的受力F的表達式。解：(1)無圓柱體時流管進出口一樣大(即流線都是直線，無偏移)，進出口的流速分布也是相同的，而放入圓柱體之后出口處的流速分布變成圖示的那樣，即靠近中心線部分的流速變小，由于已經(jīng)假定流體是不可壓縮的流體，若想滿足進出口流量相同一一連續(xù)性方程，必然會導(dǎo)致流管邊界會向外偏移，也就是說出口處流管的截面會增大。因此，求解時可由進出口流量相等入手，設(shè)入口處平均流速為V,取寬度為L,所得的連續(xù)性方程應(yīng)為：x2a xL Kk2C xL42 匕尸上寺求得C=

4、a/2(2)在流管的進出口截面 1-1與2-2之間使用動量方程，即圓柱體的阻力應(yīng)等于單位時間 內(nèi)流出2-2面的流體的動量與流入 1-1面的流體的動量差，列 x方向的動量方程可表示為貝U, F=-R【例32】試求如圖所示的射流對曲面的作用力。解：假設(shè)水平射流的流量為 Q,因曲面對稱且正迎著射流，則兩股流量可以認(rèn)為相等，等于 Q/2。x方向動量方程為R py cos( 180* - p 產(chǎn) cosfl 80* - <?) *R - 1)所以，射流對壁面的作用力為0=90° 時，R= p Qy 當(dāng)射流沖擊力的分析是沖擊式水輪機轉(zhuǎn)動的理論基礎(chǔ)。從上式可知：當(dāng) 9=180 °時

5、，R=2 p Qy曲面所受沖擊力最大?！纠?3】某渦輪噴氣發(fā)動機，空氣進入壓氣機時的溫度T|=290K ,經(jīng)壓氣機壓縮后,出口溫度上升至 T2=450K,如圖所示。假設(shè)壓氣機迸出口的空氣流速近似相等，如果通過 壓氣機的空氣流量為 13.2lkg/s,求帶動壓氣機所需的功率 （設(shè)空氣比熱容為常數(shù)）。解：在壓氣饑中，外界并未向氣體加入熱量，氣體向外界散出的熱量也可以忽略不計，故空 氣通過壓氣饑可近似地認(rèn)為是絕熱過程，即 q=0。又因vi«v2,故由式（3 16）,有一孫布力廣仁式石一石）,一。）K-1。將已知數(shù)據(jù)代入上式，得明-237.08（450-290）-160 3kJ/kg14T,

6、即壓氣機每壓縮1kg空氣需授功160.8kJ,負(fù)號表示外界對氣體作功。帶動壓氣機所需功率 為M昭鵬13 2x160 871以WO積分方程的綜合應(yīng)用【作業(yè)】兩股不同流速、密度均為P且壓力相同的不可壓縮流體流入一段水平圓管，混合后速度、壓力均勻分布，如下圖所示。一股流速為V、面積為A/2,另一股流速為2V、面積為A/2,若不計摩擦，流動定常且絕熱。試求水頭損失及局部阻力系數(shù)，并證明單位時間內(nèi)機 械能損失為3 fAV3/16。解：由質(zhì)量守恒知，管道進出口流量相等：£ Z Qw ,知:£ A十2彳匕.，力得到出口流速在進出口截面上應(yīng)用動量定理，解出進出口壓力差值M=屋*用尹戶*升.

7、*"進出口處單位重量液體所具有的機械能分別為A 噌（以2/城水頭損失則為:局部阻力系數(shù)則為:第五講流體靜力學(xué)三、靜壓流場的質(zhì)量力條件對于所有的靜止流體，（3-4）式均成立，現(xiàn)對其兩端同時取旋度可得Vx f=V曲=_Vx( V)+V町尸V工x印PJ上式中應(yīng)用了標(biāo)量函數(shù)梯度的旋度為0這一結(jié)論，現(xiàn)證明之Vx(7p) = 7kd¥曲¥ rj d¥和¥ i。一桁寺一laT3加 3中）j/d中 3 dp=0 （矢量）將上式與(3-4)式進行點乘則有.(")=深.嗎'語上式右端為矢量的混合積，由混合積的定義可知由于三個矢量中有兩個同名， 所

8、以其值為0,可得2")7 (3-6)由此可以得出結(jié)論：流體靜止的必要條件是質(zhì)量力必須滿足凡$的=。(此 式自然成立啊，為什么還要證明呢？)對于不可壓縮流體，由于密度為常數(shù)，則平衡方程(3-4)式可寫成/ 、3 £ 6 (3-7)對上式兩端取旋度則有Vxf=V«V 巴 ' =0 =0 (3-8)這是不可壓縮流體靜止時對質(zhì)量力所附加的限制條件，即質(zhì)量力必須無旋。(矢量場的四等價定理：無旋必有勢；有勢必?zé)o旋；環(huán)量為零；線積分與路徑無關(guān)。)【證明】設(shè)質(zhì)量力f=Xi+Yj+Zk所代表的質(zhì)量力場中，若存在標(biāo)量函數(shù)U滿足口-一佳h冏+加心切=依+朋+2也)則稱之為質(zhì)量的

9、勢函數(shù)，其中的負(fù)號表示質(zhì)量力做正功時質(zhì)量力的是函數(shù)減小。 在靜止流場中任取一個微元矢量力 dr=dxi+dyj+dzk,dh =由于dr是任意的微元矢量，所以有將其代入（3-4）式可得-Vp = »7l/P上式表明等壓面方程 g=0與等勢面 W=0等價?！咀C畢】習(xí)題：1 .試證明等壓面是不相容流體間的分界面。2 .試證明等壓面是等密度面。第6講實驗流體力學(xué)基礎(chǔ)例5-1假設(shè)聲速與氣流的壓力、密度和粘度有關(guān)，試用瑞利法推導(dǎo)聲速公式。解：分析物理現(xiàn)象，找出相關(guān)的物理量。設(shè)聲速c與氣體的壓力p,密度p和粘度 科有關(guān)，先假定式中k為無量綱系數(shù)。寫出量綱方程。上式的量綱方程為仁廠6 0卜川丁丁&

10、quot;/戶利用量綱和諧原理建立關(guān)于指數(shù)的代數(shù)方程組，解出指數(shù)。由量綱和諧原理可知，上式兩端同名基本量綱的指數(shù)應(yīng)相同，所以有一r 與 一1=14 *2x - 7 , 】王十尸十二=0解之可得x=1/2, y=-1/2, z=0o將其回代到假設(shè)的物理方程中，整理可得對完全氣體有p= p RT,所以聲速公式為例5 2有一直徑為D的圓盤，沉沒在密度為p的液池中，圓盤正好沉于深度為H的池底，用瑞利法建立液體作用于圓盤面上的總壓力P=kpgh8,式中k為無量綱數(shù)。例53已知流體在圓管中流動時的壓差 /與下列因素有關(guān)：管道長度1,管道直徑d, 動力粘度系數(shù) 的液體密度p,流速v,管壁粗糙度 A試用兀定理

11、建立水頭損失 hw的計算 公式。解：這一流動現(xiàn)象所涉及的各物理量可寫成如下的函數(shù)形式fSp L 省乃。髀 4)=0 0選取流體的密度 P,流速v和管徑d為基本量，它們的量綱公式為【外如" m-山廠出。】|,及|它們量綱指數(shù)行列式為-3 0 11 。I 0 0說明這三個量的量綱是獨立的，可以作為基本量?，F(xiàn)在便可以用其它的 4個量與這三個基本量組成四個無量綱量了。_ 加由于用為無量綱量，則有或書量綱指數(shù)構(gòu)成的代數(shù)方程為r可解得x=1 , y=2, z=0,所以同理可得無量綱關(guān)系式為引入雷諾數(shù)Re=pvd科和相對粗糙度 Fd,則有上式又可表不為(5 4)1 3 h. = A * d 2g這

12、就是著名的達西公式。式中kf(1/Re,)稱為阻力系數(shù)，其值可用經(jīng)驗公式算得，也可通過查閱相關(guān)的圖表得到，或者由實驗確定。需要初學(xué)者注意，在上述推導(dǎo)過程中，始終使用的函數(shù)符號f并不表示明確的函數(shù)關(guān)系，而只是表示以其后括號里的物理量或無量綱量決定的一個量。比如 3sin(1/x)=sinx不一定成立，而f (1/Re)=2f (Re)則成立，因為 立口是一個具有明確含義的函數(shù)，而 f不是確定函數(shù),比如f(1/Re)和2f(Re)僅僅表示兩者都是 Re的函數(shù)而已，下面的例題中依然如此。例5- 4有一直徑為D的圓盤，沉沒在密度為p的液池中，圓盤正好沉于深度為H的池底，用兀定理建立液體作用于圓盤面上的

13、總壓力P=kpgh0,式中k為無量綱數(shù)。習(xí)題：1假設(shè)泵的輸出功率 N是液體密度p,重力加速度g,流量Q,和揚程H的函數(shù)，試用量綱 分析法建立其關(guān)系。2實驗分析表明飛機的飛行阻力F與空氣的密度 仍空氣的粘度 2飛行速度V、飛機的特征長度L、飛機的外表面面積A等因素有關(guān)，試用量綱分析方法建立飛機飛行阻力公式F=CD（Re）p2A,其中 Re = p vL第七講氣體流動的基本方程例41某渦輪噴氣發(fā)動機，空氣進入壓氣機時的溫度Ti=290K,經(jīng)壓氣機壓縮后，出口溫度上升至 T2=450K,如圖所示。假設(shè)壓氣機迸出口的空氣流速近似相等，如果通過 壓氣機的空氣流量為13.2lkg/s,求帶動壓氣機所需的功

14、率 （設(shè)空氣比熱容為常數(shù)）。解：在壓氣饑中，外界并未向氣體加入熱量，氣體向外界散出的熱量也可以忽略不計， 故空氣通過壓氣饑可近似地認(rèn)為是絕熱過程，即 q=0。又因V1«v2,故由式（1015）,有山）r貼Y）。將已知數(shù)據(jù)代入上式，得明 -2的上外050-290）-160 8kJ/kg14-1,即壓氣機每壓縮1kg空氣需授功160.8kJ,負(fù)號表示外界對氣體作功。帶動壓氣機所需功率 為O例4-2某噴氣發(fā)動機，在尾噴管出口處，燃?xì)馑俣葹?60m/s,溫度為873K,燃?xì)獾慕^熱指數(shù)k=1.33,氣體常數(shù)R=287.4J/（kg K）,求出口處燃?xì)饬鞯穆曀偌癕a數(shù)。解：c 屈J"罰

15、市了而,Ma ，瑞QW第八講氣動函數(shù)及壓力波例5-3用風(fēng)速管測得空氣流中一點的總壓p*=9.81 104Pa,靜壓p=8.44 104Pa,用熱電偶測得該點空氣流的總溫 T*=400K，試求該點氣流的速度 V。解：由式（822）可得展機.兩行皿6 O由氣動函數(shù)表（k=1.4）查得入=0.5025則氣流速度為0.5025* J2 mC87W xOO-L STrrfs 14 + 1例8-2有一擴壓器（見圖8-7）,設(shè)出口截面積和進口截面積之比A2/A1=2.5,己知進口截面上空氣流的為=0.80,求出口截面積上空氣流的屹。=p 2 °由式（8 29）可得O由氣動函數(shù)表（k=1.4）查得，

16、當(dāng)%=0.80時,q（刀）=0.9518。代入上式，則得虱4)D951825 0 3£0由圖8-5a可以看出，由q（»值找入數(shù)時，一個q（值可以找到兩個 入數(shù)，一個小于1, 一個大小1,究竟取哪一個要由其它條件決定，根據(jù)上面的q（為值，從表上可以查出兩個屹值為0.247或1.825。因為 刀=0.80,說明擴壓器進口為亞聲速氣流，如前所述，對于亞聲速氣流，流管截面積增大的流速減小，故擴壓器出口因此，應(yīng)取 屹=0.24。例8 3燃?xì)猓╧=1.33）在直管內(nèi)流動時，進口參數(shù)T*=750K, p*1=2.25 105Pa,入 1=0.35。已知在管內(nèi)加入燃?xì)獾臒崃繛閝=1.17X

17、103J/kg。不考慮燃?xì)馀c管壁間的摩擦力，設(shè)燃?xì)獾谋葻醕p=1.16J/（kg K），求出口氣流的參數(shù)：T*2、屹、p*2。解：氣流的能量方程為J?一書。怖K再利用動量方程式，因為管壁是平直的，又不考慮氣流與管壁間的摩擦力，故管壁作用于控制體上的力沿軸向的分量為零。由式（8-32）,得，碎由氣功函數(shù)表（k=1.33）查得 加=0.73,盡管過=1.37也可以滿足z（ 0=2.10,但實際上不能 實現(xiàn)，因為單純加熱不可能使亞聲速氣流變?yōu)槌曀贇饬?。由連續(xù)方程，得埠:鄴4）_包也對于所取的控制體，Ai=A2,故由氣動函數(shù)表查得P1q( *)=0.5273, q( 0=0.9143。故4-0.9143則p*2=0.882 2.55 105=2.25 M05Pa。由此可見，盡管略去了氣流與管壁間的摩擦，但給氣 流加熱也會造成總壓的下降。【習(xí)題】在人頭上400m上空有一架飛機，飛機前進了 800m時，此人才聽到的飛機的聲音。大氣的溫度為288K。試求該飛機的飛行馬赫數(shù)、速度及聽到飛機的聲音時飛機已飛行過其 頭頂多少時間。第九講變截面、摩擦及換熱氣流9-1試寫出各種形式的連續(xù)方程式，并說明其物理意義和適用條件。9-2試說明能量方程式的物理意義。9-3引入滯止參數(shù)的意義何在？9-4何謂聲速、臨界聲速？區(qū)