數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)

1、數(shù)學(xué)概念概述數(shù)學(xué)概念概述 反映數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的思維形式叫做“數(shù)學(xué)概念”。 “屬性”與“本質(zhì)屬性” ；概念及其名稱和符號 （1）從現(xiàn)實模型直接得來； （2）經(jīng)過多級抽象概括得來； （3）從數(shù)學(xué)內(nèi)部需要產(chǎn)生出來； (4)把客觀事物理想化和純粹化得出； (5)根據(jù)有理論上存在的可能性而提出等 數(shù)學(xué)概念是發(fā)展變化的：原因一方面事物是發(fā)展變化的，另一方面人們的認識是不斷深化的。如：自然數(shù)集（加零）擴大的自然數(shù)集（加正分數(shù)）算術(shù)數(shù)集（加負整（分）數(shù)）有理數(shù)集（加無理數(shù)）實數(shù)集（加虛數(shù)）復(fù)數(shù)集 數(shù)學(xué)概念的重要性：非?；?，也非常重要，判斷由概念構(gòu)成，推理由判斷構(gòu)成，論證由判斷和推理構(gòu)成，因此概念是其他思維

2、形式的基礎(chǔ)，是思維的細胞。 概念的概念的內(nèi)涵內(nèi)涵亦稱內(nèi)包，就是概念所反映的事物的本質(zhì)屬性的亦稱內(nèi)包，就是概念所反映的事物的本質(zhì)屬性的總和總和, , 是概念的質(zhì)的方面，它說明所反映的事物是什么樣的。是概念的質(zhì)的方面，它說明所反映的事物是什么樣的。是指概念所反映的對象的是指概念所反映的對象的特有屬性、本質(zhì)屬性特有屬性、本質(zhì)屬性。 概念的概念的外延外延亦稱外包，指概念所反映的對象的亦稱外包，指概念所反映的對象的總和（或范總和（或范圍），圍），是概念的量的方面，它說明概念所反映的是哪些事物是概念的量的方面，它說明概念所反映的是哪些事物。 例：例：“ABCABC的頂點的頂點” ” 內(nèi)涵內(nèi)涵是指點的性質(zhì)和

3、其中任一點同在這個三角形兩邊之上是指點的性質(zhì)和其中任一點同在這個三角形兩邊之上這個性質(zhì)；這個性質(zhì)； 外延外延是指是指 A A、B B、C C三點的集合。三點的集合。注：注：（1 1）數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延是在一定的數(shù)學(xué)科學(xué)體系中數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延是在一定的數(shù)學(xué)科學(xué)體系中來認識的。例如，來認識的。例如，角角的概念在平面幾何中和在平面三角中的的概念在平面幾何中和在平面三角中的內(nèi)涵和外延均不同。內(nèi)涵和外延均不同。 （2 2）概念的內(nèi)涵和外延是發(fā)展的）概念的內(nèi)涵和外延是發(fā)展的 （3 3）概念的內(nèi)涵和外延關(guān)系密切、互相依賴。概念的內(nèi)涵和外延關(guān)系密切、互相依賴。概念間的關(guān)系（指概念外延間的關(guān)系）概念間的關(guān)

4、系（指概念外延間的關(guān)系）同一關(guān)系相容關(guān)系 屬種關(guān)系交叉關(guān)系概念間的關(guān)系矛盾關(guān)系不相容關(guān)系 反對關(guān)系并列關(guān)系概念間的關(guān)系（概念外延間的同異關(guān)系）概念間的關(guān)系（概念外延間的同異關(guān)系）1、相容關(guān)系（、相容關(guān)系（兩個概念外延之間至少有一部分重合兩個概念外延之間至少有一部分重合）（1）同一關(guān)系（全同關(guān)系或重合關(guān)系）同一關(guān)系（全同關(guān)系或重合關(guān)系） 外延完全重合，內(nèi)涵可以不同。外延完全重合，內(nèi)涵可以不同。 例如例如：數(shù)數(shù)0是擴大的自然數(shù)集中最小的數(shù)，又是正數(shù)是擴大的自然數(shù)集中最小的數(shù)，又是正數(shù) 與負數(shù)的分界數(shù)，在數(shù)的運算中它又是兩個相等數(shù)與負數(shù)的分界數(shù)，在數(shù)的運算中它又是兩個相等數(shù) 的差等；的差等； 等腰三

5、角形底邊上的高線、中線以及頂角的平分線等腰三角形底邊上的高線、中線以及頂角的平分線 的外延都是同一條線段，而內(nèi)涵也各不相同。的外延都是同一條線段，而內(nèi)涵也各不相同。 注注：研究概念間的同一關(guān)系，可以對概念所反映的對：研究概念間的同一關(guān)系，可以對概念所反映的對 象得到較深刻、較全面的認識。另外，在推理證明中象得到較深刻、較全面的認識。另外，在推理證明中 具有全同關(guān)系的概念可以互相代換，使得論證簡明。具有全同關(guān)系的概念可以互相代換，使得論證簡明。)(BA 如果甲概念的外延如果甲概念的外延 真包含真包含乙概念的外延乙概念的外延 ，如，如下圖所示，那么，這兩個概念具有下圖所示，那么，這兩個概念具有從屬

6、關(guān)系從屬關(guān)系。其中，外延較其中，外延較大大的那個概念叫做的那個概念叫做屬概念屬概念，外延，外延較較小小的那個概念叫做的那個概念叫做種概念種概念。ABBA注：內(nèi)涵和外延的注：內(nèi)涵和外延的反比反比關(guān)系關(guān)系正方形內(nèi)涵正方形內(nèi)涵 矩形內(nèi)涵矩形內(nèi)涵 平行四邊形內(nèi)涵平行四邊形內(nèi)涵 四邊形內(nèi)涵四邊形內(nèi)涵正方形外延正方形外延 矩形外延矩形外延 平行四邊形外延平行四邊形外延四邊形外延四邊形外延 例如四邊形和平行四邊形是具有屬種關(guān)系的概例如四邊形和平行四邊形是具有屬種關(guān)系的概念；實數(shù)和有理數(shù)也具有屬種關(guān)系的概念。在念；實數(shù)和有理數(shù)也具有屬種關(guān)系的概念。在屬種關(guān)系中，屬種關(guān)系中，外延大的那個叫屬概念，外延小外延大的

7、那個叫屬概念，外延小的那個叫種概念的那個叫種概念（一個概念的屬概念是否唯一，（一個概念的屬概念是否唯一，一個概念的種概念是否唯一？）一個概念的種概念是否唯一？）注意：注意：一是種類概念之間具有相對性。二是要一是種類概念之間具有相對性。二是要區(qū)分從屬關(guān)系和全體與部分的關(guān)系。有的概念區(qū)分從屬關(guān)系和全體與部分的關(guān)系。有的概念之間既有從屬關(guān)系又有全體與部分的關(guān)系。有之間既有從屬關(guān)系又有全體與部分的關(guān)系。有的卻不然。例如的卻不然。例如,對數(shù)與它的首數(shù)、尾數(shù)之間對數(shù)與它的首數(shù)、尾數(shù)之間的關(guān)系不是從屬關(guān)系的關(guān)系不是從屬關(guān)系,只是全體與部分的關(guān)系。只是全體與部分的關(guān)系。 如果兩個概念的外延有且只有部分重合，如

8、果兩個概念的外延有且只有部分重合，那么這兩個概念具有那么這兩個概念具有交叉關(guān)系交叉關(guān)系或者叫做部分或者叫做部分重合關(guān)系，重合關(guān)系，AB 如果兩個概念的外延間沒有任何一部分如果兩個概念的外延間沒有任何一部分重合的關(guān)系，那么這兩個概念具有重合的關(guān)系，那么這兩個概念具有全異關(guān)系全異關(guān)系，這種關(guān)系又叫做這種關(guān)系又叫做“全異關(guān)系全異關(guān)系”或或“排斥關(guān)排斥關(guān)系系”。 全異關(guān)系又分為全異關(guān)系又分為反對關(guān)系反對關(guān)系、矛盾關(guān)系和并列矛盾關(guān)系和并列關(guān)系關(guān)系。 反對關(guān)系：兩個概念的外延完全不同，而且反對關(guān)系：兩個概念的外延完全不同，而且它們的外延之和小于其屬概念的外延，如正它們的外延之和小于其屬概念的外延，如正有理

9、數(shù)和負有理數(shù)相對于有理數(shù)來說是反對有理數(shù)和負有理數(shù)相對于有理數(shù)來說是反對關(guān)系。關(guān)系。AB反對關(guān)系A(chǔ)BABC 矛盾關(guān)系：兩個概念的外延完全不同，并且它矛盾關(guān)系：兩個概念的外延完全不同，并且它們的外延之和等于其屬概念的外延。如有理數(shù)們的外延之和等于其屬概念的外延。如有理數(shù)和無理數(shù)相對于實數(shù)來說就是矛盾關(guān)系和無理數(shù)相對于實數(shù)來說就是矛盾關(guān)系A(chǔ)B矛盾關(guān)系A(chǔ)BABC 并列關(guān)系：指兩個或兩個以上的同一系列的類概念，同時對于它們共同的種概念之間的關(guān)系，外延無公共部分。內(nèi)涵和外延的反變關(guān)系內(nèi)涵和外延的反變關(guān)系 概念的內(nèi)涵與外延這兩個方面是相互聯(lián)系、互相概念的內(nèi)涵與外延這兩個方面是相互聯(lián)系、互相制約的。當(dāng)概念的

10、內(nèi)涵擴大時制約的。當(dāng)概念的內(nèi)涵擴大時,則概念的外延就縮小則概念的外延就縮小;當(dāng)概念的內(nèi)涵縮小時當(dāng)概念的內(nèi)涵縮小時,則概念的外延就擴大。內(nèi)涵和則概念的外延就擴大。內(nèi)涵和外延之間的這種關(guān)系外延之間的這種關(guān)系,稱為反變關(guān)系。稱為反變關(guān)系。 例如例如,在四邊形的內(nèi)涵中在四邊形的內(nèi)涵中,增加增加“兩組對邊分別平行兩組對邊分別平行”這個性質(zhì)這個性質(zhì),那就得到平行四邊形的概念那就得到平行四邊形的概念,而平行四邊形而平行四邊形的外延比四邊形的外延縮小了。的外延比四邊形的外延縮小了。 不過這里要注意不過這里要注意,這種反變關(guān)系只能適用于外延間這種反變關(guān)系只能適用于外延間存在著包含和被包含的兩個概念之間。存在著包

11、含和被包含的兩個概念之間。 把概念的內(nèi)涵用語言表達出來，就是給概念把概念的內(nèi)涵用語言表達出來，就是給概念下定義。（下定義。（揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法）原始概念原始概念 （一些概念不能再用別的概念來定義，而被作一些概念不能再用別的概念來定義，而被作為概念體系的出發(fā)點，這樣的概念叫原始概念，或基本概念，為概念體系的出發(fā)點，這樣的概念叫原始概念，或基本概念，或不定義概念或不定義概念 ） 點、線、面、空間、集合、元素、對應(yīng)等。點、線、面、空間、集合、元素、對應(yīng)等。菱形平行四邊形四邊形多邊形正方形點集幾何圖形 定義的結(jié)構(gòu)定義的結(jié)構(gòu)：被定義項（被定義的概：被定義項（被定義的概念念 ）、

12、定義聯(lián)項（聯(lián)系詞）和定義項）、定義聯(lián)項（聯(lián)系詞）和定義項（下定義的概念）。如：（下定義的概念）。如：平行四邊形平行四邊形就就是是兩組對邊分別平行的四邊形。兩組對邊分別平行的四邊形。概念的劃分和分類概念的劃分和分類 劃分是明確概念外延的邏輯方法，就是將一個劃分是明確概念外延的邏輯方法，就是將一個概念所指的事物，按照不同的屬性分成若干小類，概念所指的事物，按照不同的屬性分成若干小類，從概念來說，就是將一個屬概念劃分成若干種概念，從概念來說，就是將一個屬概念劃分成若干種概念，被劃分的類叫做劃分的母項，若干小類叫做劃分的被劃分的類叫做劃分的母項，若干小類叫做劃分的子項。子項。 把一個屬概念分為若干個不

13、相容種概念的把一個屬概念分為若干個不相容種概念的邏輯方法叫做概念的劃分。邏輯方法叫做概念的劃分。 概念的分類是劃分的特殊形式，是根據(jù)概念所概念的分類是劃分的特殊形式，是根據(jù)概念所反映對象的本質(zhì)屬性或特征所進行的劃分。反映對象的本質(zhì)屬性或特征所進行的劃分。概念分類的要求：概念分類的要求：（1）排中律（不能同假，必有一真，即）排中律（不能同假，必有一真，即A和和A必居其必居其一，且僅居其一，一，且僅居其一，A或或A）（2）同一律（保持同一性，）同一律（保持同一性，A是是A）（3）矛盾律（使用同一標(biāo)準(zhǔn)，逐級分類等）矛盾律（使用同一標(biāo)準(zhǔn)，逐級分類等）概念學(xué)習(xí)的基本形式概念學(xué)習(xí)的基本形式1.概念的概念的

14、形成形成 概念形成就是讓學(xué)生從大量同類事物的不同例證中概念形成就是讓學(xué)生從大量同類事物的不同例證中獨立發(fā)現(xiàn)同類事物的本質(zhì)屬性，從而形成概念。因獨立發(fā)現(xiàn)同類事物的本質(zhì)屬性，從而形成概念。因此，數(shù)學(xué)概念的形成此，數(shù)學(xué)概念的形成實質(zhì)上是抽象出數(shù)學(xué)對象的共實質(zhì)上是抽象出數(shù)學(xué)對象的共同本質(zhì)特征的過程。同本質(zhì)特征的過程?？筛爬ㄈ缦拢嚎筛爬ㄈ缦拢海?）辨別辨別各種刺激模式，通過比較，在知覺水平上各種刺激模式，通過比較，在知覺水平上進行分析、辨認，根據(jù)事物的外部特征進行概括。進行分析、辨認，根據(jù)事物的外部特征進行概括。（2）分化分化出各種刺激模式的屬性。出各種刺激模式的屬性。（3）抽象抽象出各個刺激模式的共同

15、屬性。出各個刺激模式的共同屬性。（4）在特定的情境中檢驗假設(shè)，）在特定的情境中檢驗假設(shè)，確認確認關(guān)鍵屬關(guān)鍵屬性。性。（5）概括概括，形成概念。，形成概念。（6）把新概念的共同關(guān)鍵屬性）把新概念的共同關(guān)鍵屬性推廣推廣到同類事到同類事物中去。物中去。（7）用習(xí)慣的形式）用習(xí)慣的形式符號表示符號表示新概念。新概念?！昂瘮?shù)函數(shù)”概念的形成過程：概念的形成過程：1、觀察實例，寫出變量間的關(guān)系表達式：、觀察實例，寫出變量間的關(guān)系表達式：（1）以每小時）以每小時80千米的速度勻速行使的汽車，所駛千米的速度勻速行使的汽車，所駛過的路程和時間過的路程和時間（2）由某一天氣溫變化的曲線所揭示的氣溫和時刻）由某一天

16、氣溫變化的曲線所揭示的氣溫和時刻（3）用表格給出的某水庫的貯水量與水深。）用表格給出的某水庫的貯水量與水深。2、找出上例中兩變量之間關(guān)系的共同本質(zhì)、找出上例中兩變量之間關(guān)系的共同本質(zhì)3、辨別正反例，找出本質(zhì)屬性（一一對應(yīng)）、辨別正反例，找出本質(zhì)屬性（一一對應(yīng)）4、概括出函數(shù)定義、概括出函數(shù)定義5、練習(xí)鞏固成形、練習(xí)鞏固成形 教學(xué)過程中需注意：教學(xué)過程中需注意：（1）提供的刺激模式應(yīng)該是）提供的刺激模式應(yīng)該是正例正例，而且數(shù)量要恰當(dāng)；，而且數(shù)量要恰當(dāng)；（2）注意選擇那些刺激）注意選擇那些刺激強度適當(dāng)強度適當(dāng)、變化性大變化性大和和新穎新穎有趣有趣的例子；的例子；（3）讓學(xué)生進行）讓學(xué)生進行充分自主

17、充分自主的活動，使他們經(jīng)歷概念的活動，使他們經(jīng)歷概念產(chǎn)生的過程，了解概念產(chǎn)生的條件，把握概念形成產(chǎn)生的過程，了解概念產(chǎn)生的條件，把握概念形成的規(guī)律；的規(guī)律；（4）在確認了事物的關(guān)鍵屬性，概括成概念以后，）在確認了事物的關(guān)鍵屬性，概括成概念以后，教師應(yīng)采取適當(dāng)措施，使學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中的新舊概教師應(yīng)采取適當(dāng)措施，使學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中的新舊概念分化，以免造成新舊概念的混淆，新概念被舊概念分化，以免造成新舊概念的混淆，新概念被舊概念所湮沒；念所湮沒；（5）必須使新概念納入到已有的概念系統(tǒng)中）必須使新概念納入到已有的概念系統(tǒng)中去，使新概念與認知結(jié)構(gòu)中已有的起固著點去，使新概念與認知結(jié)構(gòu)中已有的起固著點作用的相

18、關(guān)概念作用的相關(guān)概念建立建立起起實質(zhì)實質(zhì)的和的和非人為非人為的的聯(lián)聯(lián)系系；（6）教師的）教師的語言中介語言中介作用很大，因為教師的作用很大，因為教師的語言引導(dǎo)可以使學(xué)生更加有的放矢地對概念語言引導(dǎo)可以使學(xué)生更加有的放矢地對概念的具體事例進行分析、歸納和概括；的具體事例進行分析、歸納和概括；（7）教師一定要扎扎實實地引導(dǎo)學(xué)生完成概）教師一定要扎扎實實地引導(dǎo)學(xué)生完成概念形成的每一個步驟。念形成的每一個步驟。（5）必須使新概念納入到已有的概念系統(tǒng)中）必須使新概念納入到已有的概念系統(tǒng)中去，使新概念與認知結(jié)構(gòu)中已有的起固著點去，使新概念與認知結(jié)構(gòu)中已有的起固著點作用的相關(guān)概念作用的相關(guān)概念建立建立起起實

19、質(zhì)實質(zhì)的和的和非人為非人為的的聯(lián)聯(lián)系系；（6）教師的）教師的語言中介語言中介作用很大，因為教師的作用很大，因為教師的語言引導(dǎo)可以使學(xué)生更加有的放矢地對概念語言引導(dǎo)可以使學(xué)生更加有的放矢地對概念的具體事例進行分析、歸納和概括；的具體事例進行分析、歸納和概括；（7）教師一定要扎扎實實地引導(dǎo)學(xué)生完成概）教師一定要扎扎實實地引導(dǎo)學(xué)生完成概念形成的每一個步驟。念形成的每一個步驟。2.2.概念的概念的同化同化 概念同化的學(xué)習(xí)形式是利用學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中的原有概念同化的學(xué)習(xí)形式是利用學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中的原有概念，以定義的方式直接向?qū)W生揭示概念的本質(zhì)屬概念，以定義的方式直接向?qū)W生揭示概念的本質(zhì)屬性。性。 由奧蘇伯爾的

20、有意義接受學(xué)習(xí)理論可知，要使學(xué)生由奧蘇伯爾的有意義接受學(xué)習(xí)理論可知，要使學(xué)生有意義地同化新概念，必須：有意義地同化新概念，必須： 第一第一，新概念具有，新概念具有邏輯意義邏輯意義；第二第二，學(xué)生的認知結(jié)，學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)中構(gòu)中具備具備同化新概念的同化新概念的適當(dāng)知識適當(dāng)知識；第三第三，學(xué)生，學(xué)生積極積極主動主動地使這種具有潛在意義的新概念與他認知結(jié)構(gòu)地使這種具有潛在意義的新概念與他認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)觀念發(fā)生中的有關(guān)觀念發(fā)生相互作用相互作用，改造舊知識，使新概，改造舊知識，使新概念與已有認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識進一步分化和融會念與已有認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識進一步分化和融會貫通。貫通。概念同化的階段概念同化

21、的階段（1）揭示揭示概念的概念的關(guān)鍵屬性關(guān)鍵屬性，給出定義、名稱和符號；，給出定義、名稱和符號；（2）對概念進行特殊的）對概念進行特殊的分類分類，討論這個概念所包含，討論這個概念所包含的各種特例，突出概念的本質(zhì)特征；的各種特例，突出概念的本質(zhì)特征；（3）使新概念與已有認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)觀念建立聯(lián)）使新概念與已有認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)觀念建立聯(lián)系，把新觀念納入到已有概念體系中，系，把新觀念納入到已有概念體系中，同化同化新概念；新概念；（4）用肯定例證和否定例證讓學(xué)生辨認，使新概念）用肯定例證和否定例證讓學(xué)生辨認，使新概念與已有認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念與已有認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念分化分化；（5）把新概念納入到相

22、應(yīng)的概念體系中，使有關(guān)概）把新概念納入到相應(yīng)的概念體系中，使有關(guān)概念念融會貫通融會貫通，組成一個整體。，組成一個整體。 如如“一次函數(shù)一次函數(shù)”的概念的概念給出名稱、定義、符號：函數(shù)給出名稱、定義、符號：函數(shù)特例特例： 等等把一次函數(shù)與函數(shù)概念、一次多項式概念等作把一次函數(shù)與函數(shù)概念、一次多項式概念等作比較比較用肯定、否定用肯定、否定例證例證讓學(xué)生讓學(xué)生辨認辨認：Rbkbkxy,其中0,ybyxykxy1, 0, 1yybxyxy) 0( 3,2axayxyxy 教學(xué)過程中要注意：教學(xué)過程中要注意：（1）同化方式學(xué)習(xí)概念，實際上是用演繹方）同化方式學(xué)習(xí)概念，實際上是用演繹方式來理解和掌握概念。

23、因為它是從抽象定義式來理解和掌握概念。因為它是從抽象定義出發(fā)來學(xué)習(xí)的，所以應(yīng)注意出發(fā)來學(xué)習(xí)的，所以應(yīng)注意及時利用實例及時利用實例，使抽象概念獲得具體例證的支持；使抽象概念獲得具體例證的支持；（2）學(xué)習(xí)中必須經(jīng)過）學(xué)習(xí)中必須經(jīng)過概念分類概念分類這一步，使學(xué)這一步，使學(xué)生從外延角度進一步對概念進行理解；生從外延角度進一步對概念進行理解；（3）在引入概念的同時，要求學(xué)生掌握一定）在引入概念的同時，要求學(xué)生掌握一定的的智力動作智力動作，以防止出現(xiàn)知道概念的定義而，以防止出現(xiàn)知道概念的定義而不知如何將它用于解題的情況；不知如何將它用于解題的情況；（4）為學(xué)生及時提供應(yīng)用概念進行）為學(xué)生及時提供應(yīng)用概念進

24、行推理推理、論論證證的機會，在應(yīng)用中強化概念，以防止由于的機會，在應(yīng)用中強化概念，以防止由于沒有經(jīng)歷概念形成的原始過程而出現(xiàn)的概念沒有經(jīng)歷概念形成的原始過程而出現(xiàn)的概念加工不充分、理解不深刻的情況；加工不充分、理解不深刻的情況；（5）一定要將所學(xué)概念）一定要將所學(xué)概念納入納入到到已有認知結(jié)構(gòu)已有認知結(jié)構(gòu)中，形成概念系統(tǒng)。中，形成概念系統(tǒng)。概念教學(xué)的基本要求和教法探討概念教學(xué)的基本要求和教法探討概念的引入概念的引入概念的明確概念的明確概念的系統(tǒng)化概念的系統(tǒng)化概念的運用概念的運用1、概念的引入、概念的引入（1）原始概念）原始概念 一般采用描述法和抽象化法或用直觀說明或指一般采用描述法和抽象化法或用

25、直觀說明或指明對象的方法來明確。明對象的方法來明確。 “針尖刺木板針尖刺木板”的痕跡引入的痕跡引入“點點”、用、用“拉緊拉緊的繩的繩”或或“小孔中射入的光線小孔中射入的光線”來引入來引入“直線直線”的方法是的方法是直觀說明直觀說明法，法，“1，2，3，叫做叫做自自然數(shù)然數(shù)”是是指明對象指明對象法。法。（2）對于用概念的形成來學(xué)習(xí)的概念對于用概念的形成來學(xué)習(xí)的概念 一般可通過一般可通過觀察實例觀察實例，啟發(fā)學(xué)生抽象出本質(zhì)屬性，啟發(fā)學(xué)生抽象出本質(zhì)屬性，師生共同進行討論，最后再準(zhǔn)確定義。師生共同進行討論，最后再準(zhǔn)確定義。（3）對于用概念的同化來學(xué)習(xí)的概念）對于用概念的同化來學(xué)習(xí)的概念（a）用屬加種差

26、定義的概念）用屬加種差定義的概念 新概念是已知概念的特例，新概念可以從認知結(jié)構(gòu)新概念是已知概念的特例，新概念可以從認知結(jié)構(gòu)中原有的具有較高概括性的概念中繁衍出來。中原有的具有較高概括性的概念中繁衍出來。（b）由概念的推廣引入的概念）由概念的推廣引入的概念 講清三點：推廣的講清三點：推廣的目的和意義目的和意義； 推廣的推廣的合理性合理性； 推廣后更加廣泛的推廣后更加廣泛的含義含義。（c）采用對比方法引入新概念）采用對比方法引入新概念 當(dāng)新概念與認知結(jié)構(gòu)中已有概念不能產(chǎn)生從當(dāng)新概念與認知結(jié)構(gòu)中已有概念不能產(chǎn)生從屬關(guān)系，但與已有的舊概念有相似之處時可屬關(guān)系，但與已有的舊概念有相似之處時可采用此法。采

27、用此法。 關(guān)鍵是講清不同之處，防止概念的負遷移。關(guān)鍵是講清不同之處，防止概念的負遷移。（d）根據(jù)逆反關(guān)系引入新概念）根據(jù)逆反關(guān)系引入新概念 多項式的乘法引入多項式的因式分解、由乘多項式的乘法引入多項式的因式分解、由乘方引入開方、由指數(shù)引入對數(shù)等。方引入開方、由指數(shù)引入對數(shù)等。 關(guān)鍵是講清逆反關(guān)系。關(guān)鍵是講清逆反關(guān)系。(4)發(fā)生式定義發(fā)生式定義 通過觀察實例或引導(dǎo)學(xué)生思考，進行討論，通過觀察實例或引導(dǎo)學(xué)生思考，進行討論，自然得出構(gòu)造過程，即揭示出定義的合理性。自然得出構(gòu)造過程，即揭示出定義的合理性。數(shù)學(xué)概念引入實例選擇注意以下幾個方面 針對性。應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性選擇實例,要淡化這些實例中的

28、非本質(zhì)屬性,以免干教學(xué)概念的形成?？杀刃浴＜纫O(shè)計所要形成的數(shù)學(xué)概念的正例，又要設(shè)計不符合這一概念的反例, 在概念引入階段，正例與反例應(yīng)當(dāng)容易識別,能明顯區(qū)分它們的某些不同屬性。數(shù)學(xué)概念的引入選擇實例注意以下幾個方面 適量性。實例要有一定的數(shù)量，數(shù)量太少不足以形成概念,數(shù)量太多會浪費學(xué)習(xí)時間并使學(xué)生感到乏味，實例的數(shù)量應(yīng)因人而異,為此應(yīng)充分了解學(xué)生的學(xué)習(xí)水平與接受能力。 趣味性。實例應(yīng)盡可能生動、有趣，語言要簡練，以利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,還可借助實物模型、圖片、錄像、多媒體課件等多種形式引人概念。數(shù)學(xué)概念的引入選擇實例注意以下幾個方面 參與性。組織學(xué)生對所列舉的實例進行比較、分類，并進一步展

29、開討論,找出它們的本質(zhì)屬性。概念的引入概念的引入概念的明確概念的明確概念的系統(tǒng)化概念的系統(tǒng)化概念的運用概念的運用2、概念的明確、概念的明確 定義的必要理解；定義的必要理解； 表示概念的名稱或符號的正確使用；表示概念的名稱或符號的正確使用； 抓住掌握概念的關(guān)鍵；抓住掌握概念的關(guān)鍵； 舉出肯定例證和否定例證；舉出肯定例證和否定例證； 充分揭示概念的內(nèi)涵；充分揭示概念的內(nèi)涵；3、概念的系統(tǒng)化、概念的系統(tǒng)化4、概念的運用和深化、概念的運用和深化數(shù)學(xué)概念運用的設(shè)計應(yīng)注意精心設(shè)計例題和習(xí)題,可以有以下幾種 數(shù)學(xué)概念的識別。針對數(shù)學(xué)概念中容易出錯的地方有目的地設(shè)計一些問題,供學(xué)生鑒別,以加深印象。與概念引人

30、和理解階段相比,這里的問題可以多一些隱蔽性，也可以設(shè)置一些干擾因素。數(shù)學(xué)概念的簡單運用。編制一組問題對所概括的數(shù)學(xué)概念加以運用，這組問題應(yīng)當(dāng)是遞進的,有一定的變化,難度不宜過高。數(shù)學(xué)概念運用的設(shè)計應(yīng)注意精心設(shè)計例題和習(xí)題,可以有以下幾種 數(shù)學(xué)概念的靈活運用。有時直接利用概念的定義來解決問題,常?？梢詫栴}化難為易,如利用橢圓、雙曲線和拋物線的定義解有關(guān)焦點半徑、焦點弦的問題往往比較簡單。教師可以選擇有關(guān)的問題作為例題和習(xí)題,培養(yǎng)學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)概念解決問題的能力. 目前在我國的數(shù)學(xué)教學(xué)中在該方面所存在的問題：目前在我國的數(shù)學(xué)教學(xué)中在該方面所存在的問題： 忽視概念的形成過程，否定新概念的形成需要

31、一忽視概念的形成過程，否定新概念的形成需要一個過程。個過程。 忽視結(jié)論的推導(dǎo)過程，認為學(xué)數(shù)學(xué)就是學(xué)一些結(jié)忽視結(jié)論的推導(dǎo)過程，認為學(xué)數(shù)學(xué)就是學(xué)一些結(jié)論去解題論去解題 忽視方法的思考過程。忽視方法的思考過程。（產(chǎn)生的后果：學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解水平下降；（產(chǎn)生的后果：學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解水平下降；分析、綜合等能力低下；學(xué)生負擔(dān)過重等。）分析、綜合等能力低下；學(xué)生負擔(dān)過重等。）美國（杜賓斯）的美國（杜賓斯）的APOSAPOS理論理論 Action（活動）（活動）Process（過程）（過程） Object（對象）（對象）Scheme（圖式）（圖式）函數(shù)概念 第一階段操作（Action）階段理解函數(shù)需要進行活動或操作例如，在有現(xiàn)實背景的問題中建立函數(shù)關(guān)系y= ，需要用具體的數(shù)字構(gòu)造對應(yīng)：24；39；416；525通過操作，理解函數(shù)的意義2x 第二階段過程（Process）階段把上述操作活動綜合成函數(shù)過程一般地有x ；其它各種函數(shù)也可以概括為一般的對應(yīng)過程：xf(x)2x 第三階段對象（Object）階段然后可以把函數(shù)過程上升為一個獨立的對象來處理；比如，函數(shù)的加減乘除、復(fù)合運算等在表示式f(x)g(x)中，函數(shù)f(x)和g(x)均作為整體對象出現(xiàn) 第四階段概型（Scheme）階段此時的函數(shù)概念，以一種綜合的心理圖式而存在于腦海中，在數(shù)學(xué)知識體系中占有特