2020高考理數(shù)必考題突破講座：立體幾何的綜合問(wèn)題

1、咼考必考題突破講座( (四)1.如圖，菱形 ABCD 中，/ ABC = 60 AC 與 BD 相交于點(diǎn) O, AE 丄平面 ABCD , CF / AE ,AB = AE = 2.求證：BD 丄平面 ACFE;當(dāng)直線 FO 與平面 BED 所成的角為 45 時(shí)，求異面直線 OF 與 BE 所成的角的余弦值 大小.AB解析 因?yàn)樗倪呅?ABCD 是菱形，所以 BD 丄 AC.因?yàn)?AE 丄平面 ABCD , BD?平面 ABCD , 所以 BD_LAE.因?yàn)?ACAAE= A，所以 BD 丄平面 ACFE.(2)以 O 為原點(diǎn)，OA, OB 的方向?yàn)?x, y 軸正方向，過(guò) O 且平行于 CF

2、 的直線為 z 軸(向 上為正方向)，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(0, . 3, 0), D(0，, 3, 0), E(1,0,2), F(- 1,0,Tn OB= 0,a)(a0), OF = (- 1,0, a) 設(shè)平面 EBD 的法向量為 n = (x, y, z),則有 一即n OE= 0,令 z= 1,則 n = (-2,0,1)，由題意得 sin 45 = |cos| =_1+_込 + 2z=0,|OF|n| Pa?+152TT一T T=牙因?yàn)?a0 ,所以解得 a = 3所以 OF = (- 1,0,3), BE= (1, - , 3, 2)，所以 cosOF , BETFBT=r

3、= =乎.故異面直線 OF 與 BE 所成的角的余弦值為|OF| |BE|n2. (2019 河南鄭州模擬)如圖，在 ABC 中，/ ABC = 4, O 為 AB 邊上一點(diǎn)，且 3OB =3OC= 2AB，已知 PO 丄平面 ABC, 2DA = 2AO= PO，且 DA / PO.(1)求證：平面 PBAD 丄平面 COD ;求直線 PD 與平面 BDC 所成角的正弦值.解析 證明：因?yàn)?OB = 0C,又因?yàn)? ABC =才,所以/OCB=n,所以/BOC =n,即CO 1AB.又 PO 丄平面 ABC ,OC?平面 ABC,所以 POJOC.又因?yàn)?PO,AB?平面 PAB, POPA

4、B =O,所以 CO 丄平面 PAB,即 CO 丄平面 PBAD 又 CO?平面 COD，所以平面 PBAD 丄平面 COD.以 OC, OB, OP 所在射線分別為 x, y, z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)|OA|= 1,則 |PO|=|OB|=|OC|= 2, |DA|= 1則 C(2,0,0) , B(0,2,0), P(0,0,2), D(0,- 1,1),所以PD = (0 , 1, 1) , BC = (2 , 2,0) , BD = (0 , 3,1).設(shè)平面 BDC 的法向量為2x 2y= 0 ,所以令 y= 1,則 x= 1 , z= 3,所以 n =3y + z

5、= 0 ,|PD|n|(2)求 AB 與平面lin BC= 0 ,n= (x , y , z),所以 n BD = 0 ,(1,1,3).設(shè) PD 與平面 BDC所成的PD n1x0+1X(1 片 3x(1)02+ 12+ 12x、12+12+322 .2211即直線 PD 與平面BDC 所成角的正弦值為解析 方法一（1）證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz,則 D(1,0,0)，A(2,2,0)，B(0,2,0)，設(shè) S(x, y，z)，則 x0，y0，z0，且 AS= (x 2, y- 2,TTT T：222z, ), BS= (x, y 2 , z).DS = (x 1 , y,

6、z) 由 |AS| = |BS|，得需(x 2) + (y 2)+ z =-x2+ y 22+ z2,得 x= 1，由 |DS|= 1 得 y2+ z2= 1，由 |BS|= 2 得 y2+ z2 4y+ 1 = 0,由解得 y= 2 2=于，所以 S1, 1 寧,AS1,-3于,BS=1， I，于,DS=0,1尹所以DSAS=0,DSBS=0，所以 DS IAS, DSJBS,又 ASnDS= S,所以 SD 丄平面 SAB.T3TT(2)設(shè)平面 SBC 的一個(gè)法向量為 m= (a, b, c), BS= 1,3虧,CB = (0,2,0), AB =千 3 仝aQb+c= 0,得22所以可

7、取 m= ( . 3, 0,2)，故 AB 與平2b= 0,方法二（1）證明：如下圖，取 AB 的中點(diǎn) E,連接 DE, SE,則四邊形 BCDE 為矩形，所以 DE = CB = 2,所以 AD = DE2+ AE2= .5.因?yàn)閭?cè)面 SAB為等邊三角形，AB= 2,所以 SA= SB= AB = 2,且 SE= 3,又 SD= 1 ,所以 SA2+ SD2= AD2,SE2+ SD2= ED2，所以 SD1SA, SD1SB,又 ASnDS= S,所以 SD 丄平面 SAB.m BS= 0,(2,0,0)，由Tm CB= 0面 SBC所成的m AB|m| |AB|-2X(-V3) 21=J

8、7X2=TA E R（2）作 S 在 DE 上的射影 G,因?yàn)?ABUSE, AB JDE , AB 丄平面 SDE，所以平面 SDE 丄平面ABCD，兩平面的交線為 DE，所以 SG 丄平面 ABCD，在 RtQSE 中，由 SD SE= DE SG 得 1X3 =2XSG,所以，作 A 在平面 SBC 上的射影 HU/ABH 為 AB 與平面 SBC 所成的 角，因?yàn)?CD /AB, AB 丄平面 SDE，所以 CD 丄平面 SDE，所以 CD _LSD,在 RtMDS 中，由 CD = SD= 1,求得 SC= ,2.在ASBC中，SB= BC = 1,SC= , 2,所以SZSBC=2

9、X2X -221=，由VA-SBC=VSABC得 1SZSBCAH = *-SZABC-SG,即AH=3XgX 2X2X.2,得AH =務(wù)21,所以 sinZABH = =亠孕，故 AB 與平面 SBC 所成的角的正弦值為 亠弓.7AB 774. (2019 安徽江南名校聯(lián)考)如圖，在四棱錐 P ABCD 中，PD 丄平面 ABCD , AB / DC ,AB 丄 AD, DC = 6, AD = 8, BC = 10,/ PAD = 45 E 為 PA 的中點(diǎn).(1) 求證：DE /平面 BPC;(2) 線段 AB 上是否存在一點(diǎn) F，滿足 CF 丄 DB ?若存在，試求出二面角 F PC

10、D 的余 弦值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析證明：取 PB 的中點(diǎn) M，連接 EM 和 CM，過(guò)點(diǎn) C 作 CN1AB,垂足為點(diǎn) N.因?yàn)镃N JAB, DA 1AB，所以 CNIDA，又 AB CD，所以四邊形 CDAN 為平行四邊形，所以 CN =AD = 8, DC = AN = 6,在 RtBNC 中，BN= BC2 CN2= 102 82= 6，所以 AB= 12,而E, M 分別為 PA, PB 的中點(diǎn)，所以 EM /AB 且 EM = 6,又 DC AB ,所以 EM /CD 且 EM =CD，四邊形 CDEM 為平行四邊形，所以 DE CM.因?yàn)?CM?平面 PBC, DE?平面

11、 PBC，所 以 DE /平面 BPC.N B(2)由題意可得 DA , DC, DP 兩兩互相垂直，如圖，以D 為原點(diǎn)，DA , DC, DP 分別為 x, y, z 軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，貝 U A(8,0,0), B(8,12,0), C(0,6,0), P(0,0,8).假設(shè)AB 上存在一點(diǎn) F 使 CF _LBD，設(shè)點(diǎn) F 坐標(biāo)為(8, t,0)，則 CF = (8, t- 6,0), DB = (8,12,0)，由T T2CF DB = 0 得 t = 3.又平面 DPC 的法向量為 m= (1,0,0)，設(shè)平面 FPC 的法向量為 n = (x,TT F16yz).又 P

12、C = (0,6 , 8) , FC = 8,亍,0 ；.由In FC = 05. (2017 山東卷)如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以 AB 邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 120得到的，G 是 DF 的中點(diǎn).解析 因?yàn)?AP JBE, AB JBE,AB, AP?平面 ABP, ABAAP= A,所以 BE 丄平面 ABP,又 BP?平面 ABP，所以 BE IBP,又 ZEBC = 120 因此/CBP = 30.(2)方法一 取 EC 的中點(diǎn) H，連接 EH , GH , CH.n PC = 0,6y 8z= 0,侍8x+J36y= 0,3z=4y,2 不妨令y=1

13、2有心師29).則x=少n mcos n, m =|n|m|81X. 82+122+9217又由圖可知，該二面角為銳二面角，故二面角F-PC D 的余弦值為.(1)設(shè) P 是 CE 上的一點(diǎn)，且 APIBE,求/ CBP 的大小;當(dāng) AB = 3,因?yàn)?EBC = 120所以四邊形 BEHC 為菱形，所以 AE = GE = AC = GC = .； 32+ 22=13.取 AG 中點(diǎn) M，連接 EM , CM , EC,則 EM 1AG , CM JAG,所以/EMC 為所求二面角的平面角.又 AM = 1，所以 EM = CM = 13- 1 = 2 3.在 ABEC 中，由于/ EBC

14、= 1202 2 2由余弦定理得 EC = 2 + 2 2X2X2Xcos 120 = 12,所以 EC = 2 .3,因此 EMC 為等邊三角形，故所求的角為60.方法二 以 B 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 BE, BP, BA 所在的直線為 x, y, z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由題意得A(0,0,3), E(2,0,0), G(1 , 3, 3), C( 1, ,3, 0)，故 AE=(2,0， 3), AG = (1 , , 3, 0), CG = (2,0,3)，設(shè) m= (x1, y1, Z1)是平面 AEG 的一個(gè)法向 m AE=0,2x1 3z1= 0,量由 可得丫ImAG

15、= 0弘+佝尸 0.取 Z1= 2，可得平面 AEG 的一個(gè)法向量 m = (3, . 3, 2)設(shè) n = (X2, y2, Z2)是平面 ACG 的法向量.n AG = 0,X2+ Q3y2= 0,由 m-n= 由圖可得此二面角為銳二面角，故所求的角 |m| |n |2為 606. (2017 全國(guó)卷川)如圖，四面體 ABCD 中， ABC 是正三角形， ACD 是直角三角形,/ABD= ZCBD,AB=BD.(1) 證明：平面 ACD 丄平面 ABC;(2) 過(guò) AC 的平面交 BD 于點(diǎn) E,若平面 AEC 把四面體 ABCD 分成體積相等的兩部分，求二面角 D AE C 的余弦值.解

16、析(1)證明：由題設(shè)可得 ABD 也 zCBD，從而 AD = CD.又ACD 是直角三角形，所以/ ADC = 90取 AC 的中點(diǎn) O,連接 DO , BO,貝 U DO 1AC, DO = AO.又因?yàn)?ABC 是正三角形，故 BO 丄 AC,所以/DOB 為二面角 D AC B 的平面角.在 RtAOB 中，BO2+ AO2= AB2,又 AB= BD，所以 BO2+ DO2= BO2+ AO2= AB2= BD2,故/BOD = 90.所以平面 ACD 丄平面 ABC.(2)由題設(shè)及(1)知，OA, OB , OD 兩兩垂直，以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA 的方向?yàn)?x 軸正方 向，|OA|為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則 A(1,0,0), B(0, .3, 0),1C( 1,0,0), D(0,0,1).由題設(shè)知，四面體 ABCE 的體積為四面體 ABCD 的體積的？，從而 E 到平面ABC 的距離為 D 到平面 ABC 的距離的寺即 E 為 DB 的中點(diǎn)，得 E，3,；,故 AD =(1,0,1), AC= (2,0,