2020新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)二輪講義：第二部分專(zhuān)題七第3講分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想

1、第 3 講 分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想 分類(lèi)討論的原則 分類(lèi)討論的常見(jiàn)類(lèi)型 1.由數(shù)學(xué)概念而引起的分類(lèi)討論 1.不重不漏 2.由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求而引起的分類(lèi)討論 2標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，層次要分明 3由性質(zhì)、定理、公式的限制而引起的分類(lèi)討論 3.能不分類(lèi)的要盡量避免，決不 無(wú)原則的討論 4. 由圖形的不確定性而引起的分類(lèi)討論 5. 由參數(shù)的變化而引起的分類(lèi)討論 分類(lèi)與整合的思想是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題 的解答來(lái)實(shí)現(xiàn)解決原問(wèn)題的策略 應(yīng)用一 由概念、法則、公式引起的分類(lèi)討論 典型例題 【解析】 由an是等比數(shù)列，Sn0,可得 ai = S10, q 丸，當(dāng) q= 1 時(shí)，

2、S = nai0. 當(dāng) q豐1 時(shí)，Sn = 3 也0, i - q 即上 = 1, 2, 3,), i - q 1q0, 1q0, 1 qn0. 由得一 1q1. 故 q 的取值范圍是(一 1, 0)U (0, +s). 【答案】(1, 0) U (0, +8) 設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q，前 n項(xiàng)和 30(n = 1, 2, 3,)，貝 U q 的取值范圍是 a1 (1 qn) 題根據(jù)等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式的使用就要分 q= 1,3= nai和 1, Sn= 進(jìn)行討論. i q 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 1 .一條直線過(guò)點(diǎn)(5, 2)，且在 x 軸，y 軸上的截距相等，則這條直線的方程為 ( ) A .

3、x + y 7 = 0 B. 2x 5y= 0 C. x+ y 7 = 0 或 2x 5y= 0 D. x + y+ 7 = 0 或 2y 5x= 0 解析：選 C.設(shè)該直線在 x軸，y 軸上的截距均為 a,當(dāng) a= 0 時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)直線 2 x y 方程為 y=x,即 2x 5y= 0;當(dāng) a豐0 時(shí)，設(shè)直線方程為匚+：= 1,則求得 a=乙 直線方程為 5 a a x+ y 7 = 0. 2.若函數(shù) f(x)= ax(a0, a* 1)在1, 2上的最大值為 4,最小值為 m,且函數(shù) g(x)= (1 4m)寸殳在0,+ )上是增函數(shù)，則 a= _ . 解析：若 a1,則 a2=

4、4, a1= m,故 a= 2, m =1,此時(shí) g(x)= x,為減函數(shù)，不合 題意；若 0a1， 1 答案：1 4 應(yīng)用二由參數(shù)變化引起的分類(lèi)討論 典型例題 側(cè) 已知 f(x) = x aex(a R , e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)). (1) 討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性； 若 f(x) e2x對(duì) x R 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍. 【解】(1)由題知，fx)= 1 aex, 當(dāng) a0,函數(shù) f(x)是(一汽 +P 上的單調(diào)遞增函數(shù)； 當(dāng) a0 時(shí)，由 f x)= 0 得 x= ln a, 若 x (, ln a),則 fx)0 ; 若 x ( ln a, +),則 fx)0，得 q 的范

5、圍，這種解答是不完備的. 則 a-1 = 4, a2= m,故 a =1, m=,檢驗(yàn)知符合題意，所以 a=三. 4 16 4 x 1 一 e 一 x 設(shè) g(x)=exex,則 gx(= -x . 當(dāng) x0, g x)0, 所以 g(x)在( a, 0)上單調(diào)遞增. 當(dāng) x0 時(shí)，1 e2x0, g x) 1. 故 a 的取值范圍是1, + a). (1) 參數(shù)的變化取值導(dǎo)致不同的結(jié)果，需對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，如含參數(shù)的方程、不等式、 函數(shù)等. 解析幾何中直線點(diǎn)斜式、斜截式方程要考慮斜率 k 存在或不存在，涉及直線與圓錐曲線 位置關(guān)系要進(jìn)行討論. (2) 分類(lèi)討論要標(biāo)準(zhǔn)明確、統(tǒng)一 ，層次分明，分類(lèi)

6、要做到“不重不漏”. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 x, 1 1 .設(shè) f(x)= 若 f(a)= f(a +1)，則 f( 1)=( ) 2 (x 1), x 1. a A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解析：選 C.當(dāng) 0a1 , f(a)= ,a, f(a+1) = 2(a + 1 1) = 2a, 因?yàn)?f(a)= f(a + 1),所以.a = 2a, 1 解得 a= 4 或 a = 0(舍去). 所以函數(shù) f(x)在(汽 ln a)上單調(diào)遞增，在(ln a, + )上單調(diào)遞減. (2) f(x)w e2x? a 二ex, 1 所以 f(；)= f(4) = 2 X (4 1) = 6. a 當(dāng)

7、a1 時(shí)，a + 12,所以 f(a) = 2(a 1), f(a +1) = 2(a + 1 1) = 2a,所以 2(a 1) = 2a, 無(wú)解. /宀 1 綜上，f(a)=6. 2.設(shè)函數(shù) f(x)=ax2 (3a+ 1)x+ 3a + 2ex. (1) 若曲線 y= f(x)在點(diǎn)(2 , f(2)處的切線斜率為 0,求 a; (2) 若 f(x)在 x= 1 處取得極小值，求 a 的取值范圍. 解：因?yàn)?f(x)= ax2 (3a + 1)x+ 3a+ 2ex, 所以 fx( ax2 (a + 1)x+ 1ex. f (2) (2a 1)e2. 1 由題設(shè)知 f (2=)0, 即(2a

8、 1)e2= 0,解得 (2)由(1)得 fx)= ax2 (a+ 1)x+ 1ex = (ax 1)(x 1)ex. 1 若 a1,則當(dāng) x -, 1 時(shí)，f刈0. 所以 f(x)在 x= 1 處取得極小值. 若 aw 1,則當(dāng) x (0, 1)時(shí)，ax 1x10. 所以 1 不是 f(x)的極小值點(diǎn). 綜上可知，a 的取值范圍是(1, +8). 應(yīng)用三由圖形位置或形狀引起的分類(lèi)討論 典型例題 述 J 設(shè)圓錐曲線 C 的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 F1, F2,若曲線 C 上存在點(diǎn) P 滿足|PF1| : |F1F2| : |PF2|= 4 : 3 : 2,則曲線 C 的離心率等于 _ . 【解析】 不

9、妨設(shè) IPFg 4t, |F1F2|= 3t, |PF2| = 2t,其中 t 工 0. 若該曲線為橢圓,則有|PF1|+ |PF2|= 6t= 2a, c 2c 3t 1 lF1F2匸 3t = 2c, e= a=石=6 = 2； 若該曲線為雙曲線，則有|PF1| |PF2|= 2t= 2a, c 2c 3t 3 |F1F2匸3t=2c, e=訐才滬 2 1 3 【答案】2 或 3 (1)圓錐曲線形狀不確定時(shí)，常按橢圓、雙曲線來(lái)分類(lèi)討論，求圓錐曲線的方程時(shí)，常按 焦點(diǎn)的位置不同來(lái)分類(lèi)討論. (2)相關(guān)計(jì)算中，涉及圖形問(wèn)題時(shí)，也常按圖形的位置不同、大小差異等來(lái)分類(lèi)討論. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 2 1.過(guò)雙

10、曲線 X2- y2 = 1 的右焦點(diǎn) F 作直線 I交雙曲線于 A, B 兩點(diǎn)，若|AB|= 4,則這樣的 直線 I有( ) A . 1 條 B . 2 條 C. 3 條 D . 4 條 解析：選 C因?yàn)殡p曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離是 2,小于 4,所以當(dāng)直線 I與雙曲線左、 右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)一定有兩條直線滿足條件； 當(dāng)直線 I與實(shí)軸垂直時(shí)， v2 一 有 3 2 = 1 ,解得 y= 2 或 y= 2,此時(shí)直線 AB 的長(zhǎng)度是 4,即只與雙曲線右支有兩個(gè)交點(diǎn) 的所截弦長(zhǎng)為 4 的直線僅有一條. 綜上，可知有 3 條直線滿足|AB| = 4. 2 設(shè) F1, F2為橢圓扌+

11、 4 = 1 的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) P 為橢圓上一點(diǎn).已知 P, F1, F2是一個(gè) 9 4 直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|PF2|，則器的值為 _ 解析：(1)若/ PF2F1= 90 則 |PF=|PF2|2+ |F1F2|2, 又因?yàn)?|PF11 +|PF2|= 6, |F1F2|= 2 .5, 解得|PF1| =晉，眄2|= 4,所以常=纟 若 / F1PF2= 90 ,則 |F1F2|2= |PF1|2+ |PF2|2 , 萬(wàn)世點(diǎn) 所以 |PF1|2+ (6 |PF1|)2= 20 , 所以 |PF1|= 4 , |PF2|= 2,所以 卜 2. 綜上知，*冒的值為 2 或 2. 答案

12、：7 或 2 二、轉(zhuǎn)化與化歸思想 轉(zhuǎn)化與化歸的原則 常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化與化歸的方法 1.熟悉化原則 2簡(jiǎn)單化原則 3.直觀化原則 4正難則反原則 1直接轉(zhuǎn)化法 2換兀法 3數(shù)形結(jié)合法 4. 構(gòu)造法 5.坐標(biāo)法 6.類(lèi)比法 7.特殊化方法 8.等價(jià)問(wèn)題法 9.加強(qiáng)命題法 10.補(bǔ)集法 轉(zhuǎn)化與化歸思想就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)， 米用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化， 進(jìn)而使問(wèn)題得到解決的一種數(shù)學(xué)思想方法 應(yīng)用一 一般與特殊的相互轉(zhuǎn)化 典型例題 例 HI過(guò)拋物線 尸 ax3 4(a0)的焦點(diǎn) F，作一直線交拋物線于 P, Q 兩點(diǎn).若線段 PF 與 1 1 FQ 的長(zhǎng)度分別為 p, q,則-+ -等于(

13、 ) 1 A . 2a B. 2a 3 1 所以 p+q=4a. (2)由題意，不妨設(shè) b= (2, 0), a= (cos 0, sin 0), 貝 U a + b = (2 + cos 0 sin 0), a b= (cos 2, si n 0), 令 y= |a + b|+ |a b| =( 2 + cos0)?+ sin? 0 + p(cos0 2)2 + sin? 0 = 5 + 4cos 0+ 5 4cos 0, 則 y2= 10+ 2- 25 16COS20 16, 20. 由此可得(|a + b|+ |a b|) max = 20 = 2 5, (|a+ b|+ |a b|)m

14、in = .16= 4, 即|a + b|+ |a b|的最小值是 4,最大值是 2 .5. 4 C. 4a D - a (2)已知向量 a, b 滿足|a|= 1, |b|= 2，則|a + b|+ |a b|的最小值是 _ ，最大值是 1 1 【解析】(1)拋物線 y= ax2(a0)的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2 = _y(a0),焦點(diǎn) F 0, a 4a 一 1 過(guò)焦點(diǎn) F 作直線垂直于 y 軸，則|PF|=|QF|=亦， 【答案】(1)C (2)4 2 5 smci (1) 一般問(wèn)題特殊化，使問(wèn)題處理變得直接、簡(jiǎn)單特殊問(wèn)題一般化 ，可以使我們從宏觀 整體的高度把握問(wèn)題的一般規(guī)律，從而達(dá)到成批處理

15、問(wèn)題的效果. (2) 對(duì)于某些選擇題、填空題，如果結(jié)論唯一或題目提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí) ， 可以把題中變化的量用特殊值代替 ，即可得到答案. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 已知函數(shù) f(x) = (a 3)x ax3在1,1上的最小值為一 3,則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是( ) A ( m, 1 B 12 ,+8 ) 3 “ C. 1 , 12 D 2，12 解析：選 D.當(dāng) a= 0 時(shí)，函數(shù) f(x) = 3x, x 1, 1,顯然滿足條件，故排除 A、B; (注意，對(duì)于特殊值的選取，越簡(jiǎn)單越好，0, 1 往往是首選.) 3 3 c 9 當(dāng) a = 3時(shí),函數(shù) f(x) = 2x3 2x, f，x(= 2

16、x2 2= |(x2 1), 3 | 當(dāng)1W x 0 在(t, 3)上恒成立,或g，x)w 0 在(t, 3)上恒成立. 2 2 由得 3x2 + (m + 4)x 20,即 m+ 4一 3x 在 x (t, 3)上恒成立,所以 m + 47 3t x t 恒成立，貝 U m+ 4 1,即 m一 5; 2 由得 m+ 4 一一 3x在 x (t, 3)上恒成立， x 2 37 則 m+ 4W 3 9,即 mW . 37 所以函數(shù) g(x)在區(qū)間(t, 3)上總不為單調(diào)函數(shù)的 m 的取值范圍為一*m 5. 3 37 【答案】(37 5) tamo (1)本題是正與反的轉(zhuǎn)化，由于函數(shù)不為單調(diào)函數(shù)有

17、多種情況，所以可先求出其反面情況， 體現(xiàn)“正難則反”的原則. (2)題目若出現(xiàn)多種成立的情形 ，則不成立的情形相對(duì)很少，從反面考慮較簡(jiǎn)單，因此， 間接法多用于含有 “至多”“至少”及否定性命題情形的問(wèn)題中. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 1 .由命題存在 xo R，使 exo 1| m 0”是假命題，得 m 的取值范圍是(汽 a), 則實(shí)數(shù) a的取值是( ) B. ( , 2) C. 1 解析： 選 C.由命題“存在 xo R,使 eX。1| m0”是真命題，可得 m 的取值范圍是( 1),而( a)與( , 1)為同一區(qū)間，故 a = 1. 2.若二次函數(shù) f(x) = 4X2 2(p 2)x 2p2 p+ 1

18、 在區(qū)間1, 1內(nèi)至少存在一個(gè)值 c,使得 f(c)0 ,則實(shí)數(shù) p 的取值范圍是 f ( 1) W 0, pW 2或p 5, 解析：如果在1, 1內(nèi)沒(méi)有值滿足 f(x)0,則 ？ ？ pw f (1)W 0 pw 3 或 pI 3 或 p3,故實(shí)數(shù)滿足條件的 p 的取值范圍為 3, 2 . 5 3 答案：3, 2 應(yīng)用三 常量與變量的相互轉(zhuǎn)化 典型例題 斑可 已知函數(shù) f(x) = x3 + 3ax 1, g(x)= fx) ax 5,其中 fx)是 f(x)的導(dǎo)函數(shù)對(duì)任意 a 1, 1,都有 g(x)0，則實(shí)數(shù) x 的取值范圍為 【解析】 由題意，知 g(x) = 3x1 6 ax+ 3a

19、 5, 令 Q(a)= (3 x)a+ 3x2 5, 1w aw 1. 0( 1) 0, 3x2 x 20 , 2 由題意得 即 解得一3x1. 0 ( 1) 0, 3 + x 80 , 2 故 x的取值范圍為一 3 i. 2 【答案】2，i (1)本題是把關(guān)于 x 的函數(shù)轉(zhuǎn)化為1, 1內(nèi)關(guān)于 a 的一次函數(shù)的問(wèn)題. 在處理多變?cè)臄?shù)學(xué)問(wèn)題時(shí) ，我們可以選取其中的常數(shù) (或參數(shù)),將其看成“主元”， 而把其他變?cè)闯沙Ａ浚瑥亩_(dá)到減少變?cè)?jiǎn)化運(yùn)算的目的. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 1 .對(duì)于滿足 Ow p4x+ p 3 成立的 x的取值范圍是 解析：設(shè) f(p) = (x 1)p+ x2 4x + 3, 則當(dāng)

20、 x= 1 時(shí)，f(p)= 0.所以XM 1. f (0) 0 , ( x 3)( x 1) 0, f(p)在 0w pw 4 時(shí)恒為正等價(jià)于 即 解得 x3 或 x0 , x2 10 , 故 x的取值范圍為(一R, 1) U (3, +). 答案：( R, 1) U (3,+ ) 2 .設(shè) y= (log2x)2 + (t 2)log2x1+ 1，若 t 在2, 2上變化時(shí)，y 恒取正值，則 x 的取值 范圍是 _ . 解析：設(shè) f(t)= (Iog2x 1)t + (log 2x)2 2log2x+ 1, 即 0 x8 , f ( 2) 0, 貝 U f(t)是一次函數(shù)，當(dāng) t 2 , 2

21、時(shí)，f(t)0 恒成立，貝 U 即 f (2) 0, (log2x) 2 4log2x+ 30, 解得 log2x3, (log2x) 2 10, 1 故 x的取值范圍是 0, 2 U (8, . 1 答案：0, 1 U (8,+ ) 應(yīng)用四 形、體位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化 典型例題 -I 4 在平行六面體 ABCD-AiBiCiDi 中，AAi = AB, ABi 丄 BiCi. 求證：(i)AB /平面 AiBiC； 因?yàn)?AB?平面 AiBiC, AiBi?平面 AiBiC, 所以 AB /平面 AiBiC. 在平行六面體 ABCD-AiBiCiDi中，四邊形 ABBiAi為平行四邊形. 又因

22、為 AAi = AB,所以四邊形 ABBiAi為菱形， 所以 ABi丄 AiB. 因?yàn)?ABi 丄 BiCi, BC/BiCi, 所以 ABi丄 BC. 又因?yàn)?AiBABC = B, AiB?平面 AiBC, BC?平面 AiBC, 所以 ABi丄平面 AiBC, 又因?yàn)?ABi?平面 ABBiAi, 所以平面 ABBiAi丄平面 AiBC. 形體位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化是針對(duì)幾何問(wèn)題采用的一種特殊轉(zhuǎn)化方法.主要適用于涉及平行、 垂直的證明，如線面平行、垂直的推理與證明就是充分利用線面位置關(guān)系中的判定定理、性 質(zhì)定理實(shí)現(xiàn)位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 1.如圖，在棱長(zhǎng)為 5 的正方體 ABCD AiBiC

23、iDi中，EF是棱 AB 上的一條線段，且 EF =2,點(diǎn) Q 是 AiDi的中點(diǎn)，點(diǎn) P 是棱 CiDi上的動(dòng)點(diǎn)，則四面體 PQEF 的體積（ ） A 是變量且有最大值 B 是變量且有最小值 C.是變量且有最大值和最小值 D 是常數(shù) 解析：選 D.點(diǎn) Q 到棱 AB 的距離為常數(shù)，所以 EFQ 的面積為定值.由 CiDi/EF ,可得 棱 CiDi /平面 EFQ ,所以點(diǎn) P 到平面 EFQ 的距離是常數(shù)，于是可得四面體 PQEF 的體積為常 數(shù). 2 .已知三棱錐 P ABC 中，F(xiàn)A = BC = 2.34, PB = AC= i0 , PC = AB = 2 4i，則三棱錐 P ABC的體積為 _ . 解析：因?yàn)槿忮F P ABC 的三組對(duì)邊兩兩相等，故可將此三棱錐放在一個(gè)特定的長(zhǎng)方 體中（如圖所示）,把三棱錐 P ABC 補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體 AEBG-FPDC , 易知三棱錐 P ABC 的各棱分別是此長(zhǎng)方體的面對(duì)角線. 不妨令 PE= x, EB= y, EA =乙 則由已知，可得 2 2 x2 + y = i00, x= 6, x2 + 2= i36, ? y= 8, y2 + z2= i64 z= iO. 從而知 VP ABC = VAEBG FPDC VP AEB VC ABG VB PDC VA FPC= VAEBG FPDC