相關(guān)系數(shù)與正態(tài)分布學(xué)習(xí)教案

1、相關(guān)系數(shù)與正態(tài)分布相關(guān)系數(shù)與正態(tài)分布第一頁，共20頁。1. 協(xié)方差協(xié)方差:covariance )( )( YEYXEXE ),(YXc co ov v協(xié)方差協(xié)方差(相關(guān)矩相關(guān)矩):離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 ： . ),()()( ijjijiyxpYEyXEx),cov(YX連續(xù)型隨機(jī)變量：連續(xù)型隨機(jī)變量： .),()()(dxdyyxfYEyXEx),cov(YX證證 )( )( ),cov(YEYXEXEYX （1）均值計(jì)算定理：）均值計(jì)算定理：)()()(),cov(YEXEXYEYX 2.協(xié)方差與均值、獨(dú)立、方差的計(jì)算關(guān)協(xié)方差與均值、獨(dú)立、方差的計(jì)算關(guān)系系一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)一、

2、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)第十四講第十四講 矩、方差矩、方差(fn ch)與相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù)第1頁/共20頁第二頁，共20頁。)()()()()()()(YEXEYEXEXEYEXYE )()()(YEXEXYE （2）獨(dú)立計(jì)算定理：）獨(dú)立計(jì)算定理：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X與與Y 相互獨(dú)立，則：相互獨(dú)立，則：. 0),cov( YX證證因?yàn)殡S機(jī)變量因?yàn)殡S機(jī)變量X與與Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, )()()(YEXEXYE )()()(),cov(YEXEXYEYX 0)()()()( YEXEYEXE )()()()(YEXEYXEXYEXYE 證證 2 )()( )(YXEYXEYXD (3)方差計(jì)算定理：

3、方差計(jì)算定理： 設(shè)設(shè)X與與Y是任意兩個(gè)隨機(jī)變量是任意兩個(gè)隨機(jī)變量,則：則：),cov(2)()()(YXYDXDYXD 又又稱稱方方差差加加法法公公式式第十四講第十四講 矩、方差矩、方差(fn ch)與相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù)第2頁/共20頁第三頁，共20頁。 2 2 )()( YEYEXEXE )()(2YEYXEXE ),cov(2)()(YXYDXD 2 )()( YEYXEXE 3.協(xié)方差的運(yùn)算協(xié)方差的運(yùn)算(yn sun)性質(zhì)性質(zhì)計(jì)算性質(zhì)：外，協(xié)方差還具有以下除了均值的計(jì)算公式以值計(jì)算公式即可得到。關(guān)于這一性質(zhì)，代入均。且）對稱性：即（)(),cov(),cov(),cov(1XDXXXYY

4、X算公式即可得到右邊。將等式左邊代入均值計(jì)）變量系數(shù)可提：即（).,cov(),cov(2YXabbYaX.),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(3YZXZYXZZYZXZYX或）滿足分配律，即（第十四講第十四講 矩、方差矩、方差(fn ch)與相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù)第3頁/共20頁第四頁，共20頁。)()()()()()()(),cov(ZEYEXEYZXZEZEYXEZYXEZYX證：).,cov(),cov()()()()()()(ZYZXZEYEZEXEYZEXZE4. 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量，我我們們稱稱為為，方

5、方差差為為是是均均值值為為，我我們們已已經(jīng)經(jīng)知知道道10)()()()(*YYEYYXXEXX （1）定義：）定義：X與與 Y 的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù): ),(cov),(),(),(cov* YXYXRYXRYXYXYXYX即；即；的相關(guān)系數(shù)，記作的相關(guān)系數(shù)，記作、為為則稱則稱是其標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量是其標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量、是隨機(jī)變量，是隨機(jī)變量，、設(shè)設(shè)第十四講第十四講 矩、方差矩、方差(fn ch)與相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù)第4頁/共20頁第五頁，共20頁。（2）相關(guān)系數(shù)的計(jì)算）相關(guān)系數(shù)的計(jì)算: )()(),cov(),(YDXDYXYXR , 0)()(* YEXE *),cov(),( YXEYXYXR

6、 )()()()(YYEYXXEXE )()()(),cov(*YXEYEYXEXEYX )()( )( )( YXYEYXEXE )()(),cov(YDXDYX ),(2)()()(* YXYDXDYXD c co ov v ),(12)(*YXRYXD 1),( YXR 證證, 0)()(* YEXE 1)(, 1)( YDXD0),(1 YXR , 0)(* YXD .1),()2( YXR性性質(zhì)質(zhì)定定理理：第十四講第十四講 矩、方差矩、方差(fn ch)與相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù)第5頁/共20頁第六頁，共20頁。并且(bngqi) . 0, 1;0, 1),(bbYXR(4)(4)強(qiáng)相關(guān)定

7、理強(qiáng)相關(guān)定理,bXaY 1),( YXR為為必必然然事事件件，即即：使使得得充充分分必必要要條條件件為為存存在在的的語語言言描描述述為為：強(qiáng)強(qiáng)相相關(guān)關(guān)定定理理常常用用概概率率注注bXaYbaYXR ,1),(1. 1),(01),(0, 1)(,1),( YXRbYXRbbXaYPbaYXRYX時(shí)時(shí)，時(shí)時(shí)，且且：使使得得條條件件為為存存在在的的充充分分必必要要的的相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)、隨隨機(jī)機(jī)變變量量變變量量稱稱為為不不相相關(guān)關(guān)。為為零零的的為為零零。我我們們將將相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)變變量量獨(dú)獨(dú)立立，則則相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)獨(dú)獨(dú)立立，協(xié)協(xié)方方差差為為零零，即即、量量決決定定其其分分子子，而而且且，變變值值

8、式式，相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)由由協(xié)協(xié)方方差差：由由相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)的的計(jì)計(jì)算算公公注注YX2）（證證明明過過程程超超范范圍圍，略略第十四講第十四講 矩、方差矩、方差(fn ch)與相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù)第6頁/共20頁第七頁，共20頁。不不相相關(guān)關(guān)。與與則則稱稱隨隨機(jī)機(jī)變變量量即即若若YXYEXEXYEYXR),()()(, 0),( (5)(5)不相關(guān)概念不相關(guān)概念由定義容易得到不相關(guān)的幾個(gè)由定義容易得到不相關(guān)的幾個(gè)(j (j )等價(jià)結(jié)等價(jià)結(jié)論論; 0),()1( YXR式得到）式得到）（由相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公（由相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公; 0),cov()2( YX到）到）由協(xié)方差的均值定理得由協(xié)方差的均值定理

9、得)()()()3(YEXEXYE 公公式式推推出出。提提示示：該該式式方方差差的的加加法法)()()()4(YDXDYXD ),cov(2)()()(YXYDXDYXD 來來確確定定。到到用用數(shù)數(shù)字字從從的的相相關(guān)關(guān)程程度度從從強(qiáng)強(qiáng)到到弱弱可可變變量量的的結(jié)結(jié)論論說說明明：兩兩個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)強(qiáng)強(qiáng)相相關(guān)關(guān)、不不相相關(guān)關(guān)和和011),( YXR第十四講第十四講 矩、方差矩、方差(fn ch)與相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù)第7頁/共20頁第八頁，共20頁。等價(jià)要牢記。系數(shù)為零不相關(guān)，三個(gè)強(qiáng)關(guān)正負(fù)一；標(biāo)準(zhǔn)變量相關(guān)系，線性提系分配律；方差加減協(xié)方差，對稱積期望減期望積；離差積，協(xié)方差E例例14-1-114-1-1

10、（20122012數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)(shxu)一，一，4 4分）分）. 1)(;21)(21)(; 1 )(1DCBA；）（兩段長度的相關(guān)系數(shù)為米的木棒截成兩段，則將長度為DXYXYYXYXXY，故選關(guān)系，從而，之間有明顯的線性與則顯然另一段為長度為分析：設(shè)其中一段木棒1, 1, 1,第十四講第十四講 矩、方差矩、方差(fn ch)與相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù)第8頁/共20頁第九頁，共20頁。例例14-1-214-1-2（20122012數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)(shxu)一，一，1111分）分）020 0100210414131121121XY的概率分布為：設(shè)二維離散型隨機(jī)變量),cov()2();

11、2(1YYXYXP求）求（41) 1, 2()0, 0()0()2(,21YXPYXPZPYXPYXZ則）令解：（的分布。還易求出的分布，令、）由已知，易得（XYZXYZYX,2第十四講第十四講 矩、方差矩、方差(fn ch)與相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù)第9頁/共20頁第十頁，共20頁。613121210X313131210Y12131127410XYZ32)(,35),()()(1,326123112102EZXYEEYxPxgXgEEYEXx易得：通過；同樣可求出根據(jù)已知分布，可求出配律于是，根據(jù)協(xié)方差的分.32)(22EYEYDY323213232)(),cov(),cov(),cov(DYEX

12、EYXYEYYYXYYX第十四講第十四講 矩、方差矩、方差(fn ch)與相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù)第10頁/共20頁第十一頁，共20頁。14-1-3 將一枚硬幣重復(fù)擲將一枚硬幣重復(fù)擲n次，次，X 和和Y 分別表示分別表示(biosh)正面向上正面向上和反面向上的次數(shù)，則和反面向上的次數(shù)，則X和和Y的相關(guān)系數(shù)等于的相關(guān)系數(shù)等于解解,nYX 1),()1, YXRbnaXnY（1),(, 01 YXRb又又選選(A).(A) - -1 (B) 0 (C) 0.5 (D) 1. （2001年）年）例題例題13-2-4（2000，3分）分）2222222222)()()()()();()()()()()()

13、()();()(),YEYEXEXEDYEXECYEYEXEXEBYEXEAYXYXYX （）不不相相關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件為為（與與則則隨隨機(jī)機(jī)變變量量）的的方方差差期期望望都都存存在在，設(shè)設(shè)二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量（ 0),cov(0),( R不相關(guān)不相關(guān)與與分析：分析：)()()(),cov(),cov(0YXEYXEYXYXEYXYX )()()()()()()(22222222YEYEXEXEYEXEYXE B故選故選第十四講第十四講 矩、方差矩、方差(fn ch)與相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù)第11頁/共20頁第十二頁，共20頁。二、正態(tài)分布的密度與分布二、正態(tài)分布的密度與分布.,2 N記

14、作記作 1.1.定義定義其中其中 及及 0 0都為常數(shù)，這種分布叫做都為常數(shù)，這種分布叫做正態(tài)分布正態(tài)分布或或高斯分布高斯分布。設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X X 的概率密度為的概率密度為 xexfx,21)(222)( 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) 時(shí)，正態(tài)分布時(shí)，正態(tài)分布 叫做叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 其概率密度為其概率密度為 xexx,2122 1,0N1, 0 O 21 xfx 若固定若固定=0 O x x第十四講第十四講 正態(tài)分布正態(tài)分布第12頁/共20頁第十三頁，共20頁。2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度的特性標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度的特性的的特特殊殊性性具具有有對對稱稱區(qū)區(qū)間間積積分分密密度度由由于于是

15、是偶偶函函數(shù)數(shù)，還還，標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)數(shù)數(shù)的的非非負(fù)負(fù)積積分分必必然然性性外外除除了了都都具具有有一一般般密密度度函函和和標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)密密度度的的密密度度正正態(tài)態(tài)5021)()(),(222.xexxfN 121221221)(1)()(02022222 dxedxedxexdxxdxxfxxx 是是偶偶函函數(shù)數(shù)且且212121020222 dxedxexx 第十四講第十四講 正態(tài)分布正態(tài)分布第13頁/共20頁第十四頁，共20頁。O1 xFx0.5 的的表表達(dá)達(dá)式式為為：因因此此，正正態(tài)態(tài)分分布布2, N dtexFxt222 21 3.3.正態(tài)變量的分布函數(shù)正態(tài)變量的分布函數(shù) xdxxf

16、xFxFxf)()(),()(的的關(guān)關(guān)系系式式是是首首先先：分分布布函函數(shù)數(shù)與與密密度度的的關(guān)關(guān)系系式式為為：與與其其密密度度，則則為為量量的的分分布布函函數(shù)數(shù)特特殊殊地地，設(shè)設(shè)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)變變)()()(xxx dtedxxxxxtxx2221)()(),()( xdttxx)()()( 可可以以查查表表求求出出，且且請請注注意意：第十四講第十四講 正態(tài)分布正態(tài)分布第14頁/共20頁第十五頁，共20頁。 xx 13）對對稱稱性性：（)()(xXPxXPy 軸軸對對稱稱，即即標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布密密度度關(guān)關(guān)于于)1)(1)()()xxXPxXPxXPx（即即 5 . 0)0(2 ：正正

17、態(tài)態(tài)密密度度的的偶偶函函數(shù)數(shù)特特點(diǎn)點(diǎn)）原原點(diǎn)點(diǎn)等等分分性性：由由標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)（4.正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)0)()(, 0)()(, 1)()(:)()(1 xxFFFxxF、點(diǎn)，即點(diǎn)，即非負(fù)規(guī)范和單調(diào)不減特非負(fù)規(guī)范和單調(diào)不減特，都具有，都具有，都是分布函數(shù)，因此，都是分布函數(shù)，因此還是還是）無論是）無論是（第十四講第十四講 正態(tài)分布正態(tài)分布第15頁/共20頁第十六頁，共20頁。 dtexFNXxxt .222221)(),(:)(5 則則設(shè)設(shè)求求區(qū)區(qū)間間概概率率和和分分布布函函數(shù)數(shù)由由 tz xzzdze2221)()()(212222 xzdzexzz z1)()()()()()(

18、)(12121221 xxttxFxFxXxP)()()()()(,222221 xxxXPxXPxx也可求單側(cè)區(qū)間概率：也可求單側(cè)區(qū)間概率：)(1)()()()(1111 xxXxPxXP走走，標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)奇奇偶偶伽伽馬馬求求一一般般地地：正正態(tài)態(tài)積積分分三三步步第十四講第十四講 正態(tài)分布正態(tài)分布第16頁/共20頁第十七頁，共20頁。14-2-1 ,2 , 12NX若若求求 .4 ;1 ;30XPXPXP解解 30 XP 210 213 5 . 0 1 15 . 0 1 16915. 08413. 0 .5328. 0 )1(1 XP 211 0 . 5 . 0 4 XP 2141 41XP 5 . 11 .0668. 0 )21()21()(211221 xxxXxP時(shí)，時(shí)，分析：分析： 第十四講第十四講 正態(tài)分布正態(tài)分布第17頁/共20頁第十八頁，共20頁。例題例題14-2-2（2010，4分）分）. 2)(; 1)(; 423)(; 432)(, )0, 0( ,0),(0),()(3, 1)()(2121 baDbaCbaBbaAbabaxxbfxxafxfxfxf）應(yīng)應(yīng)滿滿足足（則則若若均均勻勻分分布布的的概概率率密密度度，上上的的為為密密度度，為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布的的概概率率設(shè)設(shè)1)()(, 031,41)(,21)()(, 0)(