第二次：數(shù)列的極限ppt課件

1、 第一章 二二 、收斂數(shù)列的性質、收斂數(shù)列的性質 一、數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的定義 第二節(jié)第二節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 數(shù)列的極限數(shù)列的極限數(shù)學語言描述:r一一 、數(shù)列極限的定義、數(shù)列極限的定義引例引例. 設有半徑為 r 的圓 ,求圓面積。nA逼近圓面積 S .當 n 無限增大時, nA無限逼近 S, S就叫做這列數(shù)的極限,0,N正整數(shù)當 n N 時,SAn用其內接正 n 邊形的面積總有劉徽 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定義定義: 自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,記作)(nfxn或.nxnx稱為通項(一般項) .若數(shù)列nx及常數(shù) a 有下列關系 :,0,N正數(shù)當 n N 時,

2、總有記作此時也稱數(shù)列收斂 , 否則稱數(shù)列發(fā)散 .幾何解釋 :aaa)(axan)(Nn 即),(axn)(Nn axnnlim或)(naxn1Nx2Nxaxn則稱該數(shù)列nx的極限為 a ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趨勢不定收 斂發(fā) 散機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例1. 知知,) 1(nnxnn證明數(shù)列nx的極限為1. 證證: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1

3、n因而 , 取, 1N則當Nn 時, 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例2. 知知,) 1() 1(2nxnn證明.0limnnx證證:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11N則當Nn 時, 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N. 11N 與 有關, 但不唯一.不一定取最小的 N .說明說明: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例3. 設設,1q證明等比數(shù)列,112nqqq證證:0nx01nq, ) 1 ,0

4、(欲使,0nx只要,1nq即,lnln) 1(qn亦即因而 , 取qNlnln1, 則當 n N 時, 就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的極限為 0 . 1nq機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 23baab22abnabax二、收斂數(shù)列的性質二、收斂數(shù)列的性質證證: 用反證法用反證法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax從而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使當 n N2 時, 有2banx1. 收斂數(shù)列的極限唯一收斂數(shù)列的極限唯一.使當 n N1 時, 2ba2ab2ab假設22abnab

5、bxnbax223ab,2abnbx從而2banx矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當 n N 時, ,max21NNN 取故假設不真 !nx滿足的不等式機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例4. 證明數(shù)列證明數(shù)列),2, 1() 1(1nxnn是發(fā)散的. 證證: 用反證法用反證法.假設數(shù)列nx收斂 , 則有唯一極限 a 存在 .取,21則存在 N ,2121axan但因nx交替取值 1 與1 , ),(2121aa內,而此二數(shù)不可能同時落在21a21aa長度為 1 的開區(qū)間 使當 n N 時 , 有因此該數(shù)列發(fā)散 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2. 收斂數(shù)列一定有界收斂數(shù)列一定有界

6、.證證: 設設,limaxnn取,1,N那么當Nn 時, 從而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1則有. ),2,1(nMxn由此證明收斂數(shù)列必有界.說明說明: 此性質反過來不一定成立此性質反過來不一定成立 . 例如,1)1(n雖有界但不收斂 .aaxn)(, 1axn有數(shù)列機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 3. 收斂數(shù)列的保號性收斂數(shù)列的保號性.假設,limaxnn且0a,NN則Nn 當時, 有0nx, )0(. )0(證證: 對 a 0 , 取,2a,NN則,時當Nn axn2anx02aaax2a2a推論推論: 若數(shù)列從某項起0nx,limaxnn且0a則)0(. )0(用反證法證明)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ,axkn4. 收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關系：收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關系：,a證證: 設數(shù)列設數(shù)列knx是數(shù)列nx的任一子數(shù)列 .假設,limaxnn那么,0,N當 Nn 時, 有axn現(xiàn)取正整數(shù) K =N, 于是當Kk 時, 有knkNK 從而有由此證明 .limaxknk機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 如果數(shù)列如果數(shù)列 收斂于收斂于 則它的任一子數(shù)列也收則它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是斂，且極限也是 a .nx內容小結內容小結1. 數(shù)列極限的 “ N ” 定義及應用2. 收斂數(shù)列的性質:唯一性 ; 有界性 ;