線性方程組習(xí)題參考答案

1、第三章線性方程組習(xí)題參考答案P154,1.用消元法解下來(lái)線性方程組x * 3x? + 5 X3 4 X4 1X1 3x2 2x3 - 2X4 X5 -1x 2x? + X3 X4 X5 = 3x 4x? + x + X4 X5 = 3 2 X? X3 - X4 X5 二-1解:135-401、2 -1535-40-T132-21-100-321-23 1T1-21-1-130-5-43-124 -11-411-130-7-45-125 -1<121-11-b<0-1-431一2135-401、r135-401、0-1-431-24 一 530-1-431-24 一16300-321

2、-2Tr -4- Q r001-2-120016-12-612583丄00021-2衛(wèi)02416-816>10 '4e0000°(1-4-2-2-2<012120<0方程組的解是XL皆0X4 一 1-2k2kXs二kXi +2x2 3x4 + 2x5 =1Xi - x2 - 3x3 ' X4 - 3 X5 = 2 2xt 3x2 +4x3 5x4 +2x5 =79xi - 9x2 6x3 - 16x4 2x5 = 25解：112<90-3-31-5-16-325403_22>-1-31-3-3-34-5-110-78033-2529(12

3、01030廣1-1-31-32、1-1-31-32、0-110-783T0-110-78300-3325-29-800-3325-29-8<0033-252970000-b最后一列為(0,0,0,0,0,-1),所以方程組無(wú)解X 2x2 +冷4x4 =4X33捲 +3x2 +x4 =1_ 7x2 3X3 X4 二 _3123-4 4""1-23-431011 1301-11T130 1 105-35Li<073 1-300-4810 0-2-8 ”100 0-801 0 13010 03TT00 1 06001 06<00 0 10<000 10&g

4、t;3x<| +4x2 _5x3 +7x4 =0J2xt 3x2 + 3x3 -2x4 =04Xt +iix2 - 13x3 + 16x4=07Xi _2X2 +X3 +3x40解:4、1-23-44、-33 - 5d01_ 11-3T-37r1002012 24<00126有唯一解:X1= -8, X2=3, X3=6, X4=0.解:324J4-311-2-53-137-216r4 - 2r3r1 -r2r3-2r2s7-89-33-2r2-2r1r4+r117-1920-2427-29 廣120<_1570-17017I。-17-819-19199、廣17-89、03-

5、7713、17-200-119120170119-77201720T0000T0000201°0001°00°得解:X2171917xk20I2禺 +x2 -x3 +x4 =13% 2x2 +2x3 _3x4 =2 1 2 3 4 5x1 + X2 _ X3 + 2X4 = -1J 2x1 - X2 X3 - 3X4 = 4解：21 -111n -rAA21-111'21-1113-22-32413-22-32r +r141 33-22-3231 2 T51 -12-102-240T02-240-11-34><0-22-43丿1<0000

6、3最后一列為(0,0,0,0,3),所以方程組無(wú)解% +2x2 +3x3 _x4 =13為 一 2x2 + X3 x4 = 1(6)2% +3x2 +怡 +x4 =12為 + 2x2 + 2x3 _ x4 = 15為 5x2 2x3 二 2 解:100010T001000I000f般解為51 1_66716651 ._66000015,備=二+k66:17.x?=k2 66-15.+-k3 66J,k為任意數(shù).2.把向量B表成向量a, a,a, a的線性組合.(123-11n23-1r<10-100r5-r2 丁3r2 r4321-110-4-82-20-11-20323111T0-1巧

7、3-1006巧13-2T222-110-11-2000000r3r1&5202丿11°0000丿1°0000丿(1)解解設(shè) B = a+ X2 a+ X3 a+ X4a,則X1x2x3x4 = 1x1x2 - Xq - x4 = 2X1-x2x3 - x4 = 1X1IZ z+ zX2X3X4二 1f5X1 =41X2 =J4I1X3 =-1411|X4 =-141 =5-141:41-I-1-I-(2)解：設(shè) B=1 a+ X2 a+ x3 a+ x4 a,則X3X4 = 03.證明：如果向量組oa, a,a線性無(wú)關(guān)，而向量組a , a,a,性相關(guān)，貝U B可由向

8、量組ai, 證明：因?yàn)橄蛄拷Maa, 02,，a,02 ,ar線性表出.B線性相關(guān)，所以存在ki, k2,kr, l不全為0,xa2x2 x3 = 0xa + x2 + x3 + X4 = 00 3x2- x4 = 0xa x2- x4 = a使 4 k2： 2 Hk ： r I ： = 0 若I=0,貝U kl,kr不全為0，于是存在不全為零的數(shù)ka,kr使得oi, a,a線性無(wú)關(guān)矛盾.所以I0,則=(一¥)a (_¥): 2 (-牛)r.即B可由向量組a, a,a線性表出.證法2.由于向量組a , a,，a, B線性相關(guān)，所以存在ka, k2, ,kr, I不全為0, 使

9、 ka k22 * Hlkrr I ： =0 .若 l=0,則得 k仁a k2> 2 r =0.因?yàn)橄蛄拷Ma, a,，a線性無(wú)關(guān)，所以K=k2八=kr = 0.與ka, k2, ,kr, I不全為0矛 盾.所以I 0,這樣2 =(-：八* (-：2)2* (-,)=即B可由向量組aa,a, ,a線性表出.4. 設(shè)a=(a ia,ai2,ain), i=a,2，,n,證明如果|aj| 0,貝貝a, a,a線性無(wú)關(guān). 證明：設(shè) Xa a+x2 a+Xn an=0，貝UanaXn 二 0a.% 二 0aaaxa a2ax2111aa2Xa + a22X2+111lllHHIiniHIIIIII

10、IIIIHIIIIIaanXa a2nX2 川=0因?yàn)橄禂?shù)行列式(aj =aj式0，由Cramer法則，上面的方程組有唯一解，即只有零解，得xa = x2二二xn=0,于是a, a,1-1 a線性無(wú)關(guān).5. 設(shè)ta,t2,tr是互不相同的數(shù)(r n)，證明a=(a, ti,礦)，i=a,2，,r線性無(wú)關(guān)證法1 ：添加tr+1,tn,使tl, t2,tr , tr+1,tn兩兩不同,得向量組2n-1a=(1, tt, tt ,tt ) i=1,2,.,n.由于a, a,，a的分量作成一個(gè) Van dermo nde行列式且不等于0,由上一題,卷2,，偽，n線性無(wú)關(guān)，于是它的任一部分組線性無(wú)關(guān)證法

11、2:因?yàn)閞n,所以令廣 111.1A =t1t2trm*ann_J n<1t2tr則A的前r行作成一個(gè)r階范德蒙行列式B,從而非零.于是B的列向量線性無(wú) 關(guān)，增加分量后為A的列向量，所以A的列向量也線性無(wú)關(guān).證法 3.設(shè) X1 d+X2 02+Xr cr=0,貝q +x2 +幷=0+t2x2 十八 +trxr = 0(1)It；X1 t；X2 -Xr =0考慮(1)的前r個(gè)方程作成的齊次線性方程組："% +x2 + xr =0t1x1 +t2x2 + +trxr = 01122 r r (2)It； Jx1 - t2x2xr =0因?yàn)閠1, t2,tr兩兩不同，所以的系數(shù)行列式

12、為r階Vandermonde行列式1tr-0.1 1 t1 t2 r -1 r -1t1t2于是線性方程組(2)有唯一的零解.又由于(1)的解都是(2)的解，而只有零解，所以(1)只有零解.即 =X2二二Xr =0,于是a1, 2,'-' a線性無(wú)關(guān).6. 假設(shè)a1, 02 , 03線性無(wú)關(guān)，證明p1= 02+ 03,血=03+ O1 ,隔=0d+ 02線性無(wú)關(guān).證法 1：設(shè) X1 ®+X2 臣+X3 直=0,貝U(X2+X3)1+(X3+X1) (S+(X1+X2)3=0由于01, 2, O線性無(wú)關(guān)得：x2 X3 乂x1 x3衛(wèi)，該齊次線性方程組只有零解.x1 x2

13、 =0X1 = X2=X3=0，因而 0,吊他線性無(wú)關(guān).ri o r證法 2：由于( +02,2 +。3,+旳)二©"!,0,0) 110 ,I0 1J廣101、矩陣A= 1 10可逆，所以兩個(gè)向量組等價(jià).又已知向量組 a, a, a的秩為<0 1 b3, 所以后一個(gè)向量組的秩也是3,從而后一個(gè)向量組也線性無(wú)關(guān).注：無(wú)論向量組 a, a a, 4線性無(wú)關(guān)或相關(guān)，a + a , 2c+ a , a+a, 4+ a線性相關(guān).7. 設(shè)向量組A: oa, 2,，cs的秩為r,證明向量組A的任意r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組 都構(gòu)成它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.證明：設(shè)向量組A: ai, 2,

14、，as任一線性無(wú)關(guān)向量組B:羽，j%，jr,任取A中 的一個(gè)向量0由于R(A)=r,所以A中任意r+1個(gè)向量線性相關(guān)，有如,，, 0線性相關(guān)，由條件知向量組B線性無(wú)關(guān)，由臨界定理，0可以由向量組B線性表示，故向量組B是極大無(wú)關(guān)組.證法2.設(shè)A： aj1, aj2,，a jr是d, 2,，as中的任一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組，0是A 中的一個(gè)向量，由于R(A)=r,所以A中任意r+1個(gè)向量線性相關(guān)，有朗,，ajr, 0線性相關(guān)，滿足極大無(wú)關(guān)組定義的條件，所以aj1, j2,，員是向量組A的極大無(wú) 關(guān)組.8. 設(shè)向量組(I)： a1, 2,，as的秩為r, 01, j2,，jro是(I)中的r個(gè)向量，使

15、得(I)中每個(gè)向量都可以被它們線性表出，證明j, j%，jr是(I)的極大無(wú)關(guān)組.證明：設(shè)向量組(I) OI, 2,，s，R(A)=r; (II): 01, j%，jr是已給向量組，取(I)的 極大無(wú)關(guān)組(III) ak1, k2,，熄由條件，(III)可由(II)線性表出，于是r=R(III) R(II)r.于是R(II)=r,即雷，,jr線性無(wú)關(guān),所以是(I)的極大無(wú)關(guān)組.9. 證明一個(gè)向量組的任何一個(gè)線性無(wú)關(guān)組都可以擴(kuò)充成為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組證明：設(shè)A是一個(gè)n維向量組，A1是它的一個(gè)線性無(wú)關(guān)組，1 °逐個(gè)檢查A中的向量二2 a若二可以由向量組Ai線性表示，則去掉 二，檢查下一個(gè)ab

16、、若:.不可以由向量組Ai線性表示，則添加到Ai中將Ai擴(kuò)充為A2, 回到檢查第1個(gè)向量，重復(fù)1° 2°若干步后(有限步后，任意n+1個(gè)n維向量也相關(guān)，必含停止)，得到Ai,A2, -Ak, 而Ak不能再擴(kuò)大，于是Ak是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，且 AiAk.10. 設(shè) a=(i,-i,2,4), a=(0,3,i,2), a=(3,0,7,i4), a=(i,2,2,0), a=(2,i,5,6).證明a, a線性無(wú)關(guān).(2)把a(bǔ), 2擴(kuò)充成一個(gè)極大無(wú)關(guān)組解(i)：v ai與a的分量不成比例，故 a與a線性無(wú)關(guān)(2):解法 i.考慮 a, a, 3a t 3 ai+ a2 = a3

17、 , 去掉a.考慮aa a,取它們的后三個(gè)分量3i 2=28式0,二增加一個(gè)分量后仍然線性無(wú)關(guān)。即oa, 2,4線性無(wú)關(guān).再考慮oi ,2, 4, 5因?yàn)榉至啃辛惺絠-i2403i2=0,即05= ai+ a2+ %,所以匕的極大線性無(wú)關(guān)組是ai, 2,i-i202i56解法2.由-下式103121031210312(°1,。2,°3,°4,口5)=-130-11T03303T01101217250110100011<421406丿<知：d , 2, 4為極大無(wú)關(guān)組.ii. 用消元法求下列向量組的極大無(wú)關(guān)組和秩ai=(6,4,i

18、,-i,2),宓=(i,0,2,3,-4), a3=(i,4,-9,-i6,22), a4=(7,i,0,-i,3).解:/6117、4041(°1,口2,G3,°4)=12-90-1316-12 -4223丿q 2-90廣12-90 -157/110-150 -151/8>0000 1-5 1/5000e -153/8J400 R( a, 2a a a 5)=3, 且 52,n 6r30-11557、r24r3m+r308401r52r3j129005-25-1<08403丿0、卩2-9 07/110-15 01>000 11000 01丿400 03,

19、 5為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組. R(A)=3(2) d=(1，-1,2,4), c2=(0,3,1,2), c3=(3,0,7,14), o4=(1, -1,2,0).1-1240312307141-120r3 2r2、700<0031033101002100<0010031001010>010031000010R( a,2,4)=3, al, 2, 4是極大無(wú)關(guān)組.12. 如果向量組(I)可由向量組(II)線性表出，則R(I) R(ll).證：設(shè)(I)為(II ) ”分別為、(II )的極大無(wú)關(guān)組，則有(I八(1),(11八(II)(表示兩個(gè)向量組等價(jià)),所以(I)可由(II)線性

20、表出.設(shè)(I)含r個(gè)向量，(II)含t個(gè)向量，因?yàn)?I)線性無(wú)關(guān)，且 可由(II )線性表 出，所以r <,t即秩(I)胡秩(II)13已知 加，2,，n是一組n維向量，、，；211,冷可被它們線性表出，證明 01, 2,，n線性無(wú)關(guān).證明：由于 2JII,咕可由oil, i2,，浪線性表出，因?yàn)閱挝幌蛄拷M',；2川，；n 線性無(wú)關(guān)，由(定理2推論)12題的結(jié)論，n.n=R( 1, ；2, ；n) R( 01, 2,- , on)所以得a , a'-：n,線性無(wú)關(guān)14. 設(shè)al, 2,，n是一組n維向量，證明ai, 2,，n線性無(wú)關(guān)的充要條件是任意 n維向量可以被它們線性

21、表出.證明：必要性.設(shè) 卷2,，n線性無(wú)關(guān)，對(duì)任意一個(gè)n維向量a,由于n維空間 的n+1個(gè)向量線性相關(guān)，所以ai,爲(wèi)，n, a線性相關(guān)，所以a可由娥2,，n 線性表出充分性由13題可得.”aiixi+ai2X2 + +amxn = b15. 證明方程組 T a22X2a2nXn二b2對(duì)任何應(yīng),.,bn都有解的充要條anlXi an2X2*nn Xn = bn件是系數(shù)行列式|aj |0.證明：“ ”若系數(shù)行列式|aij|工,則由Cramer法則，對(duì)任何常數(shù)bi,b2,b有唯 一解。Z ”令旳=2： , i =1,2,., n. B =b2，則原方程組為®i Ja jXi ： 1 屜：2

22、 川 X n 二：.(*)fb 1b1由于原方程組對(duì)任意的b1,b2,b都有解，所以由(*)知，Pn中任何向量b= $4都可由d , 2,，n線性表出.依次讓二；1,；2,1山;n，則得1,；2，；n可由a1,2,，n線性表出，由13題知也，2,，n線性無(wú)關(guān)，即R (A)=n,由定理5，Al工016.已知d,馮,a (I)與刃，cc, r+1,s(II)有相同的秩，證明這兩個(gè)向量組 等價(jià)證明：對(duì)向量組d,c2,，ar(I)及a1,ar,ar+1,，s(II)，有 R(l)=R(ll)=t，設(shè)ai1,62,，it創(chuàng)II)為(I)的極大無(wú)關(guān)組；則由于ai1,:終，it線性無(wú)關(guān)，且為(II)部分組,

23、由R(ll)=t得，(III)也是(II)的極大無(wú)關(guān)組.所以(III) (II),而(III) (I),由等價(jià) 的傳遞性得(I)與(II)等價(jià)17 .證明，若儀=a+ + a,血=ai+oa+ ar,®=ai+ar-1,則or,1,2,r與1,2,r有相同的秩.證明:妝=a2+ ar,血=a+a+ &, r=ai+ a-i,即向量組1, 2, -r可由向量組 1,2,r線性表出.又=1 +2+ r=(r-1)(1 +2 + r),:i 1i ,r -1a可以儀,倫,B線性表示，這兩個(gè)向量組等價(jià),秩必相同18.計(jì)算下列矩陣的秩101-r廣1101-1、0-1-111T0-1-1

24、110000300-402<00-402<00003>A > R(A)=4.A00°顯然B中有2階子式不等于且所有3階子式等于0.秩(B)=2秩(A) =2廣1-1210廣1-1210、廣1-1210'000-40T03001T03001030-41000-40000-40<03001<000-40<00000'610421917 R(A)=3.A >q0014、10014、10014、01025010250102500136T00136T00136023132800391800000<05628612061836

25、丿000°A > R(A)=3.10100、q0100、10100、q0100、01-10001_10001-10001-10001100T00-200T00-200T00-20000110001100001000010<01011<00111J<00011<00001JA > R(A)=5.19.討論當(dāng) , a, b取什么值時(shí)下列方程組有解并求解| /.X1 X2 X3 = 1 (1) X<| - ,；“X2 X3 二2X1X2 - X3 :Z 112解 1& 1 =(九 +2® -1 )；T2 - 211九當(dāng)工1時(shí)，有唯

26、一解。x1,x2二 ，x3九+ 2人+ 2-2 1 1當(dāng)九=2時(shí)，A=1-211 1 -213 +(1 卄2)-2111-2：1-21-2T40003R(A)=2<R( A)=3,所以方程組無(wú)解當(dāng)-=1時(shí)，元方程組變?yōu)橐粋€(gè)方程X1+X2+X3=1. 令 X2X3為自由未知量取(X2 , X3) = (1,0),得 1=( -1,1,0).取(X2 , X3) = (0,1),得 2 = (-1,0,1).取X2 = X3=0,得特解0=(1,0,0).于是方程組去全部解為=o+k1什k2 2, k1, k2為任意數(shù).(3)X1X2 2X3 二+ (扎一 1) x2 + x3 = 2 丸+

27、1)X1 +X2 +(九 +3)X3 =3九 + 312解：系數(shù)解列式D=入人一1 1=幾3 k2 = k2(九一1 ).3(扎+1)扎 X+3當(dāng)豐0且豐1時(shí)，有唯一解：(用Cramer法則)3 12 -92, X3 二 -14'23212 -93 3-159x12,x21a2 123x-| x2 2x3當(dāng)1 =0時(shí)為-X2 X3 = 03x1 3X3 =33120、3120)A =0-110>0-110<3033丿003丿R(A)=2<R( A)=3,所以方程組無(wú)解4x1 x2 2x3 =1當(dāng)九=1時(shí)為* Xt + x3 = 26x<i + x2 + 4x3

28、= 3<4121、012、廣1012、A =1012>01-2-7、01-2-7e143丿<01-2一9丿<000一2丿R(A)=2<R( A)=3,方程組無(wú)解.axt x2 x3 =4 xt + bx2 + x3 =3+2bx2 + x3 =4a11解：系數(shù)行列式1b1=b(1a).12b1當(dāng)0且1時(shí),4b2ab -1b1-a、1 -2b1有唯一解：捲，x2 = ,x3b(1a) b若b=0,無(wú)解.”X1 十 X2 十 X3 = 4若a=1,方程組為x1+bx2+x3=3N +2bx2 +x3 = 41114、1 114、1114、A =1b13>0 b-

29、10-102b-20212b14丿2 2b 100丿<02b 100丿卩114、11 14 、卩01 2 '0_ 102r3+(2b-1)r20-1 0-2>0-10 -2T102b100丿<00 02-4b 丿1000 2 4b 丿若b=1/2, R(A)=2<R( A)=3,則方程組無(wú)解若b=1/2, R(A)=2<R( A)=2,方程組有無(wú)窮多解令X3為自由未知量，取X3 =0,得到特解° =(2,2,0).取X3 =1,得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為=(-1,0,1).于是線性方程組的全部解為=0 k , k為任意數(shù).(1,0,0)取 X3.X4

30、.X5 = (0,1,0),(0,0,1)得基礎(chǔ)解系為:12 3P卩卜=(1,一2,1,0,0) =(1,-2,0,1,0).=(1,一2,0,0,1)20.求下列齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系并用它表示出全部解11111 、1 11110-1-1-5、解：3211-3T0-1-2-6T01226012260 12-600000433-b<0-1-2_6><00000 >X3.X4.X5為自由未知量.于是方程組的全部解為=k! ! k2 2 k3 3, k1,k2,k3為任意數(shù)1 珂-1,1,1,0,0)(2)廣110-3-1、110-3-r廣110-3-T1-12-10

31、0-2221T0-22214-263-40-661500009-3<24-24一7e2-210一51°0012一4710 121 0 1 0 26150 111 0 1-1026110 0 0 1 -0 0 0 1 -332 0 0 0 0 ?2 0 0 0 0即X1,X2,X5為基本，X3,X4為自由未知量取(x3,x4) =(1,0), (0,1)，得基礎(chǔ)解系為即基礎(chǔ)解系為(-1,11,0, -2)和(7,5,0,2,6),于是方程組的全部解為(X3,X4.X5)=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為巾-21-11 、1-21-11 、10

32、3-11、21-12-3T05-34-5011003-2-11-20444-500-84-5<2-51-22-1-100 >0-84一50100001012 -58 -% 5801x1x421令 X4M578 X5X2 = _X47xc 87X52 821X3X40,1得基礎(chǔ)解系為：；雹方程組的全部解為：ki i k? 2, ki,k?為任意數(shù).21.用基礎(chǔ)解系表示出第一題(1),(4),(6)題中線性方程組的全部解.解：(1)其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為=(1,1,0,1,-2),特解為 。=(1,0,0,0,-2).其全部解為:=0 k , k為任意數(shù).(4)基礎(chǔ)解系為1=(3,0,1

33、9,0,17,0),2=(0,-130-20,0,17),其全部解為：X=k11+k22,K,k2為任意數(shù).其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為=(5/6,-7/6,5/6,1),特解為0=(1/6,1/6,1/6,0).其全部解為:X=(X1,X2,X3,X4)=0 +k, k 為任意數(shù)22. a, b取什么值時(shí)，線性方程組有解，在有解的情形，求出一般解解：(11 1111、n11111 、in0-1_1-5-2'3211-3a0_1-2_2-6a -3012263A =01 2263012263T00000a433-1b<0_1-2_2-6b -5丿<00000b_2j由于方程組有解

34、=R(A)=R( A ),故有解=a=0, b=2.此時(shí)，X1,X2為基礎(chǔ)未知量，X3,X4,X5為自由未知量.特解為0=(-2,3,0,0,0).依次取n=(1,-2,1,0,0), n=(1,-2,0,1,0), n=(5,-6,0,0,1).方程組的全部解為x=0+kin+k2rp+k3 n , ki,k2,k3為任意常數(shù)23.解：1-1000印、n-1000a1'01-100a201-100a2A =001-10a3001-10a30001-1a40001-1a4<-10001a5 000081+82+83 + 84 + 85 j_5_5因?yàn)?R(A) =4, R( A

35、)=5=、4=0. R( A )=4=、a 0 .i 4i 4_5故由有解判別定理，方程組有解二R(A)=R( A) = '、 a0.i 45有解時(shí)，即ai =0,矩陣化為最簡(jiǎn)階梯 ti 110000100000100a-ia2a3a4a2a3a4a3 a4a4025.設(shè)n元齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩為r,證明方程組的任意 nr個(gè)線性無(wú)關(guān)的解都是特解為0=(a1+a2+a3+a4, a2+ a3+ a4, a3+a4,0),導(dǎo)出組基礎(chǔ)系(只有一個(gè)自由求知數(shù) X5)為n=(1, 1, 1, 1, 1 )。所以方程組的通解為 x=0+k n k為任意的數(shù)。2IH t是一個(gè)向量組且24.證明

36、：與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組也是基礎(chǔ)解系證明：設(shè)1,2,IH s是某齊次方程組的基礎(chǔ)解系，而1,2, s 與 1,Jill等價(jià).首先，由等價(jià)性，每一個(gè) i都可由“2,1 s線性表出，從而每一個(gè) i都是方程組的解.再者，由于兩個(gè)向量組等價(jià)，所以方程組的任意解均可由向量組 1,'1 t線性表出又由條件知1,t線性無(wú)關(guān)，所以必有 S = t.從而1,t也是基礎(chǔ)解系.一個(gè)基礎(chǔ)解系證明：設(shè)系數(shù)矩陣為A,由于R(A)=r,故基礎(chǔ)解系含有n-r個(gè)向量n, n,，n-r (r <n ). 設(shè)Z, Z,Z-r是任意n-r個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，對(duì)于任意一個(gè)解，則向量組Z, ZZ-r可由基礎(chǔ)解系n

37、, n,，n-r線性表出，由定理 2知，Z, Z,Z-r,線性相關(guān)，而Z,Z,Z-r線性無(wú)關(guān)，所以 可由Z1, Z，Z-r線性表出，所以Z, Z，,Z-r是基礎(chǔ)解系 26.證明：如果1, 2,，t是一線性方程組的解，那么U1 1 U2Ut t也是解，其中U1+U2+ +Ut=1.證明：(1)若1, 2,., t是一個(gè)齊次線性方程組的解，則它們?nèi)我獾木€性組合仍是原方程組 的解,從而 5 n+U2 n Utn也是解，其中 U1+U2+ut=1.(2)若1, 2,., t是一個(gè)非齊次線性方程組Ax=b的解，則A廠b, i =1,2,.,t.所以A(Ui 1U2 2 丨IIUtt)二U1A1U2A2

38、川Ut At=(U氏-_Ut) b = b.所以U1 1 U2Ut t也是解.27.多項(xiàng)式f (x) =2x-3x2 X 3與g(x)=x3xT在，取什么值 時(shí)有公共根?R(f,g)二2-33000-3-&10 002-33000-3-&1 0002-3扎3000-3110九10010k10 0010&10010&1 00010Z100132扎0解：f(x)和g(x)有公共根等價(jià)于f(x)和g(x)有非常數(shù)的公因式，即結(jié)式 R(f,g)=O.珂 2)(2 214 -13) =(2)(-7 -5 3)-75 3-7 - 5 3一2或'時(shí)，f(x)和g(x)

39、有公共根.28.解下列聯(lián)立方程解: (1)=(-1)3+15-6x25x -1600x + 5005-6x5x2 _1600-5x2+ 5x + 41-x-12x2 x401-x 101x12x2 x 4012x2 -x 4R. f.g 二直接展開方程相加2-6x2 9x 9 (2x 一 x 4)-x 5-x -12-5x + 5x + 42x2 x44=32 X -96 X3+96 X-64=3243222(X -3 X + X +3 X-2)=32( X -1)( X -3 X+ 2)2=32( X-1)( X+1)( X-2)有4個(gè)解是Xi = X2=1,用X=1代入在方程組得X 3=2

40、， X 4=-1。2 -工5y 6y -11 = 0x 二12，有公共解y=_1，即y _2y _3二0y 一1用y=2代入在方程組得用X =-1代入在方程組得5y2-12y 0有公共解“2,即2y2_3y_3=oy=T2 -5y 6y T1 = 0x = _1有公共解y =1,即y2-1=0y = 1x =1rJ =2$ = 1y = -1JX = -1即得到三組解y =1補(bǔ)充題1. 設(shè)向量 可由1,2，,r線性表示，證明，表示法唯一的充要條件是1,2,r線性無(wú)關(guān)。證明：由條件，設(shè) 上kl ：v+k2：2+kr：r必要性：首先若 可由1,2,r唯一線性表示，貝U 1,2,r中沒有零向量否則不

41、妨設(shè)1=0,則 還有另一個(gè)表達(dá)式=(k1 + 1) ： 1 + k2 ： 2+kr： r.表達(dá)式唯一矛盾.所以1,2，,r中沒有零向量.若1,2，兒線性相關(guān)，存在不全為零的數(shù)l1,l2,.,lr使得1仁 412： 2 亠 Tr ： r =0.不妨假設(shè)110，則:'二口22川川mj r代入(1)式，得存在另一個(gè)表達(dá)式=化2m2)： 2 血 k) r與表示法唯一矛盾.所以必有 1, 2,r線性無(wú)關(guān). 充分性：設(shè) 1,2,r線性無(wú)關(guān)，若-=kr1 k2： 2kr ： r 二 l< 22 r： r則(k1-11)1+( k2-12)2+(kr-1r)r=0,由(k2-12)=(kr-|r)=0,即 ki=1 i, i = 1,2,., r.2.設(shè)1,2,r線性無(wú)關(guān)可得(k1-11)=1,2，'r是一組線性無(wú)關(guān)的向量,rajj'Xj,i =1,2，r.證i =1明,1,2,r線性無(wú)關(guān)的充要條件是aiia21ai2a22a1ra2rar1a r2a