空間向量與立體幾何復(fù)習(xí)技巧

1、空間向量與立體幾何難點再析1空間向量加減法運(yùn)用的三個層次 空間向量是處理立體幾何問題的有力工具，但要用好向量這一工具解題，必須熟練運(yùn)用加減 法運(yùn)算.第1層用已知向量表示未知向量例1如圖所示，在平行六面體 ABCD AiBiCiDi中，設(shè)AAi = a, AB = b,AD = c, M , N, P分別是 AAi, BC, Ci Di的中點，試用 a, b, c表示以 下各向量：(1)AP ； (2)AiN；(3)MP + NC1.解（1） / P是CiDi的中點,二 AP = AAi+ A1D1 + DiP= a + AD + ?DiCi1 t1=a + c+ 2AB = a+ c+ 3 b

2、./ N是BC的中點，Ai N = AiA+ AB + BN = a + b+ 3BC1 t1=a+ b+ §AD = a + b+ 3c./ M是AAi的中點，-t-t -t 1 -t-tMP = MA + AP= 2AiA + AP1, K i i=?a+ a+ c+ 2 b = 2 a+ ?b+ c,例2 如圖，已知空間四邊形 ABCD，連接AC、BD 設(shè)M、G分別是BC、又 nCi = NC + cCi = qBC + AAi1 f f 1=，AD + AA i = 2 c+ a, MlP + NCi =+ 2b+ c + a+313=2 a+ 2 b+ 2c.點評 用已知向

3、量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵要正確 理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的 始點指向末尾向量的終點的向量，我們可把這個法則稱為向量加法的多邊形法則在立體幾 何中要靈活應(yīng)用三角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間仍然成立.第2層化簡向量CD的中點，化簡下列各表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量.ff f(1)AB + BC + CD ;f 1f ff 1f f(2)AB + 2(BD + BC) ； (3)AG ?(AB+ AC).解 (1)AB+ Bc + Cd = Ac+ Cd = Ad.f 1 f ff 1 f 1 f(2)A

4、B + 2(BD + BC) = AB + §BC + 嚴(yán)f ff f=AB + BM+ MG = AG.f 1 f f(3)AG 2(AB + AC) =AgAm = Mg.AD、AG、MG如圖所示.點評 要求空間若干向量之和，可以通過平移，將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量，如果首尾相 接的若干向量構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為0兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍成立，求始點相同的兩個向量之和時，可以考慮運(yùn)用平行四邊形法則.第3層證明立體幾何問題例3 如圖，已知 M、N分別為四面體 ABCD的面BCD與面ACD的重；fi心，且 G為AM上一點，且 GM : GA = 1 : 3求證：B

5、、G、N三點共線.證明設(shè)AB= a, AC= b, AD = c,>->->3 則 BG = BA+AG = BA + 4am1311一 a+ 4(a + b+ c) 4a + 4b+ 4c, -> -> -> -> 1 -> ->BN= BA+ AN = BA+ -(AC + AD) 3=-a+1 b+ |c= 3bG. Bn / BG,即卩b、g、n三點共線.易錯辨析q2空間向量易錯點掃描易錯點1對向量夾角與數(shù)量積的關(guān)系理解不清"ab<0”是"a, b為鈍角”的條件.錯解a b<0? cos a, b&g

6、t;=業(yè)|a|b|<0? a, b為鈍角，所以“ab<0”是"a, b為鈍角”的充要條件.錯因分析 錯解中忽略了兩個向量共線且反向的情況.剖析 當(dāng)a, b> = n時，a b<0，但此時夾角不為鈍角，所以“ a b<0”是"a, b>為鈍角” 的必要不充分條件.正解必要不充分 總結(jié) a b<0? a與b夾角為鈍角或 a與b方向相反，a b>0? a與b夾角為銳角或 a與b方向 相同.易錯點2忽略兩向量的夾角的定義例2 如圖所示，在 120°的二面角 a AB中，AC? a BD? 3,且AC丄AB , BD丄AB,

7、垂足分別為 A, B.已知AC = AB= BD = 6,試求線段 CD的長.解 / AC丄 AB, BD 丄 AB, CA AB= 0, Bd AB = 0,二面角 a AB 3 的平面角為 120° CA, BD= 120°2 2 > -> 2CD = CD = (CA+ AB + BD)=CA2+ AB2+ BD2+ 2CA AB + 2CA BD + 2BD AB = 3X 62+ 2 X 6很 cos 120°= 72, CD =6,2.錯因分析 錯解中混淆了二面角的平面角與向量夾角的概念.向量CA, BD的夾角與二面角a AB 3的平面角互

8、補(bǔ)，而不是相等.正解 / AC丄 AB, BD 丄 AB, CA AB= 0, BD AB = 0,面角 a AB 3的平面角為120°BD >= 180° 120° = 60°2 2 -> > 2 CD2= CD2= （CA+ AB + BD）2=CA2+ AB2+ BD2+ 2CA AB + 2CA BD + 2BD AB= 3 X 62 + 2 X 62X cos 60 = 144, CD = 12.易錯點3判斷是否共面出錯例3 已知0、A、B、C為空間不共面的四點，a = OA+ OB + OC, b= OA+ OB OC，則與

9、a、 b不能構(gòu)成空間的一個基底的是 （）a.Oa b.ob c.Oc d.Oa或0B錯解 a = 0A+0B+ Oc, b= 0A+0BOc,相加得：0A+ OB = 2（a + b）,所以0A、0B都與a、b共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故選D.剖析 0A + OB = 2（a+ b）,說明OA+ 0B與a、b共面，但不能認(rèn)為 OA、 0B都與a、b共面.對A、B :設(shè) 0A =xa+ y b, 因為 a= OA + OB + Oc, b= OA + OB Oc,代入整理得（x+ y 1）OA + （x+ y）OB + （x y）OC= 0，因為 0、A、B、C 不共面,所以O(shè)A、OB、OC

10、不共面，所以 x+ y 1 = 0, x + y= 0, x y= 0, 此時，x、y不存在，所以a、b與OA不共面，故a、b與OA可構(gòu)成空間的一個基底.同理a、b與0B也可構(gòu)成空間的一個基底.對 C:因為 a = 0A+ 0B+ OC, b= 0A+ Ob OC，相減有 OC = 2(a b)，所以 OC與 a、b 共 面，故不能構(gòu)成空間的一個基底.正解 C易錯點4混淆向量運(yùn)算和實數(shù)運(yùn)算例4閱讀下列各式，其中正確的是 ()A. a b= b c(bM 0)? a = cB . a b= 0? a= 0 或 b= 0C. (a b) c= a (b c)D. OA BO = |OA|°

11、;O|cos(180 Z AOB)錯解 A(或B或C)剖析 想當(dāng)然地將向量的數(shù)量積運(yùn)算和實數(shù)運(yùn)算等價，以致出錯向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足消去律、結(jié)合律 ，故A、C錯誤；若a b= 0? a= 0或b= 0或a丄b,故B錯誤；OA BO的夾角是 180° Z AOB.正解 D易錯點5忽略建系的前提例5 四邊形ABCD是邊長為2的菱形，Z ABC= 60° AE丄平面ABCD , AE= 2, F為CE 中點，試合理建立坐標(biāo)系，求 AF、BC所成角的余弦值.錯解 以a為坐標(biāo)原點，以Ab、Ad、Ae的方向分別為x、y、z軸的正方向，建立空間直角 坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.o-o-o -o f

12、3此時 AF = (1,1,1), BC = (0,2,0)，所以 cos < AF , BC= g.3剖析 空間直角坐標(biāo)系的建立的前提是三條直線兩兩垂直，而本題中直線AB與AD不垂直.正解 設(shè)AC、BD交于點O,則AC丄BD.因為F為CE中點，所以O(shè)F / AE ,因為AE丄平面ABCD , 所以O(shè)F丄平面 ABCD , OF丄AC, OF丄BD , 以O(shè)為坐標(biāo)原點，以O(shè)C、OD、OF的方向分別為x、y、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxy乙此時AF = (1,0,1), BC = (1,3, 0),所以 cos Af , BC=方法策略3空間直角坐標(biāo)系構(gòu)建三策略利用空間向量的方法解

13、決立體幾何問題，關(guān)鍵是依托圖形建立空間直角坐標(biāo)系，將其它向量 用坐標(biāo)表示，通過向量運(yùn)算，判定或證明空間元素的位置關(guān)系，以及空間角、空間距離問題 的探求所以如何建立空間直角坐標(biāo)系顯得非常重要，下面簡述空間建系的三種方法，希望 同學(xué)們面對空間幾何問題能做到有的放矢，化解自如.1 .利用共頂點的互相垂直的三條棱例1 已知直四棱柱中，AA1= 2,底面ABCD是直角梯形，/ DAB為直角，AB / CD , AB = 4, AD = 2, DC = 1,試求異面直線 BC1與DC所成角的余弦值.解 如圖以D為坐標(biāo)原點，分別以 DA, DC, DD1所在的直線為x軸，y ； : 軸，z軸，建立空間直角坐

14、標(biāo)系，則 D(0,0,0), C1(0,1,2), B(2,4,0), C(0,1,0),所以 BC1= (- 2, 3,2),Cd = (0, - 1,0).拱 、 BC 1 CD 3 17所以 cos BC 1, CD= _» _» = 17 .|BC1|CD|故異面直線BC1與DC所成角的余弦值為 齊尹點評 本例以直四棱柱為背景，求異面直線所成角求解關(guān)鍵是從直四棱柱圖形中的共點的 三條棱互相垂直關(guān)系處著眼，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出有關(guān)點的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)， 再求兩異面直線的方向向量的夾角即可.2 .利用線面垂直關(guān)系例2 如圖，在三棱柱 ABC AiBiCi中，AB

15、丄面BB1C1C, E為棱CiC的中n點，已知AB = 2, BBi= 2, BC= 1，/ BCCi = 3試建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出圖中所有點的坐標(biāo).解過B點作BP垂直BBi交CiC于P點，因為AB丄面BBiCiC，所以BP丄面ABBiAi, 以B為原點，分別以 BP, BBi, BA所在的直線為x, y, z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.n因為 AB = 2, BBi = 2, BC = i , / BCCi = 3,3所以 CP = i, CiP = 3, BP = # 則各點坐標(biāo)分別為B(0, 0,0), A(0,0,2), Bi(0,2,0), 5學(xué)i3 33 i2, 0), Ci

16、(F, 2 , 0), E(芬,2 , 0), Ai(0,2 , ,2).點評 空間直角坐標(biāo)系的建立，要盡量地使盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上，這樣建成的坐標(biāo)系，0 ,也為后續(xù)的運(yùn)算帶來了方既能迅速寫出各點的坐標(biāo)，又由于坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)含有便本題已知條件中的垂直關(guān)系“AB丄面BBiCiC” ,可作為建系的突破口.3.利用面面垂直關(guān)系例3 如圖i,等腰梯形 ABCD中，AD / BC, AB= AD = 2, / ABC = 60° , E是BC的中點.將 ABE沿AE折起，使平面 BAE丄平面 AEC(如圖2),連接BC , BD .求平面 ABE與平面 BCD 所成的銳角的大小.圖I圖

17、2解取AE中點M ,連接BM, DM.因為在等腰梯形 ABCD中，AD / BC , AB = AD , / ABC = 60° E是BC的中點, 所以 ABE與厶ADE都是等邊三角形， 所以BM丄AE , DM丄AE.又平面 BAE丄平面AEC ,所以BM丄MD .以M為原點，分別以 ME, MD, MB所在的直線為x , y , z軸,建立空間直角坐標(biāo)系 Mxyz，如圖,則 E(1,0,0), B(0,0,.3), C(2,3, 0), D(0,.3, 0),所以 DC = (2,0,0), BD = (0,3,-3),設(shè)平面BCD的法向量為 m = (x, y, z),| m

18、DC = 2x= 0,由 取 y= 1，得 m= (0,1,1),!m BD = y >/3z= 0.又因平面 ABE的一個法向量 MD = (0,3, 0),所以 cos m, MD >m MD 2t 2 , |m |MD|所以平面ABE與平面BCD所成的銳角為45° 點評 本題求解關(guān)鍵是利用面面垂直關(guān)系，先證在兩平面內(nèi)共點的三線垂直，再構(gòu)建空間直 角坐標(biāo)系，然后分別求出兩個平面的法向量，求出兩法向量夾角的余弦值，即可得所求的兩 平面所成的銳角的大小.用法向量的夾角求二面角時應(yīng)注意：平面的法向量有兩個相反的方 向，取的方向不同求出來的角度就不同，所以最后還應(yīng)該根據(jù)這個二

19、面角的實際形態(tài)確定其 大小.方法技巧4用向量法研究"動態(tài)”立體幾何問題“動態(tài)”立體幾何問題是在靜態(tài)幾何問題中滲透了一些“動態(tài)”的點、線、面等元素，同時由于“動態(tài)”的存在，使得問題的處理趨于靈活本文介紹巧解“動態(tài)”立體幾何問題的法 寶一一向量法，教你如何以靜制動.1 .求解、證明問題例1 在棱長為a的正方體 OABC O1A1B1C1中，E、F分別是AB、BC上的動點，且 AE =BF，求證：A1F 丄 C1E.證明 以O(shè)為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則 A1 (a,0, a), G(0, a, a).設(shè) AE = BF = x, E(a, x,0), F(a x, a,0)

20、.-Ai F = (一 x,a，一 a),CiE= (a, x一 a, 一 a).-AiF CiE = (一 x, a, 一 a) (a, x一 a, 一 a)22=ax+ ax a + a = 0,- AiF丄 CiE,即 AiF 丄 CiE.2. 定位問題例2 如圖，已知四邊形 ABCD , CDGF , ADGE均為正方形，且邊長為 i, 在DG上是否存在點 M ,使得直線MB與平面BEF的夾角為45°若存在， 求出點M的位置；若不存在，請說明理由.解題提示 假設(shè)存在點 M，設(shè)平面BEF的法向量為n，設(shè)BM與平面BEF 所成的角為0,利用sin 0=回嚴(yán)解出t，若t滿足條件則存

21、在.|BM|n|解因為四邊形CDGF , ADGE均為正方形,D為原點建所以GD丄DA , GD丄DC.又DA A DC = D，所以 GD丄平面 ABCD.又DA丄DC,所以DA, DG , DC兩兩互相垂直，如圖，以立空間直角坐標(biāo)系，則 B(1,1,0), E(1,0,1), F(0,1,1).因為點M在DG上，假設(shè)存在點M(0,0, t) (0 W tW 1)使得直線 BM與平面BEF的夾角為45 °設(shè)平面BEF的法向量為 n= (x, y, z).因為 BE = (0, 1,1), BF = ( 1,0,1),n BE= 0, y+ z= 0,則彳t即j令z= 1，得x= y

22、= 1,n BF = 0,一x+ z= 0,所以n= (1,1,1)為平面BEF的一個法向量.fIBM n|L 2 十 t|又BM = ( 1, - 1,t)，直線BM與平面BEF所成的角為45°所以sin 45 =1 =.|BM|n| 寸 t2+ 2/32，解得 t= 4±3 ,2又 OW t< 1 ,所以 t= 3 2 4.故在DG上存在點 M(0,0,3 ,2 4)，且DM = 3 2 4時，直線MB與平面BEF所成的角為45°點評 由于立體幾何題中“動態(tài)”性的存在，使有些問題的結(jié)果變得不確定，這時我們要以 不變應(yīng)萬變，抓住問題的實質(zhì)，引入?yún)⒘?，利用?/p>

23、間垂直關(guān)系及數(shù)量積將幾何問題代數(shù)化, 達(dá)到以靜制動的效果.數(shù)學(xué)思想5向量與立體幾何中的數(shù)學(xué)思想1 .數(shù)形結(jié)合思想向量方法是解決問題的一種重要方法，坐標(biāo)是研究向量問題的有效工具，利用空間向量的坐 標(biāo)表示可以把向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，從而溝通了幾何與代數(shù)的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的 重要思想向量具有數(shù)形兼?zhèn)涞奶攸c，因此，它能將幾何中的“形”和代數(shù)中的“數(shù)”有機(jī) 地結(jié)合在一起.例1如圖，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，Aa丄底面ABCD , / BAD = 90° AD / BC,且"A = AB= AD = 2BC = 2，點 E 在棱 AB上，平面 A1EC與棱C1D1相

24、交于點F.(1)證明：A1F /平面 B1CE ;若E是棱AB的中點，求二面角 A1 EC D的余弦值；求三棱錐B1 A1EF的體積的最大值.(1)證明 因為ABCD A1B1C1D1是棱柱，所以平面 ABCD /平面A1B1C1D1.又因為平面 ABCD門平面A1ECF = EC ,平面A1B1C1D1Q平面AjECF = AF , 所以A1F / EC.又因為 A1F?平面B1CE ,EC?平面B1CE，所以 A1F /平面B1CE.解 因為AAi丄底面ABCD ,丄BAD = 90°所以AAi, AB, AD兩兩垂直，以 A為原點, 分別為x軸、y軸和z軸， 如圖建立空間直角坐

25、標(biāo)系.則 Ai (0,0,2), E(1,0,0) , C(2,1,0),所以AE =(1,0 , - 2),AiC= (2,1 , 所以二面角A1 EC D的余弦值為3.解 過點F作FM丄A1B1于點M，因為平面 A1ABB1丄平面A1B1C1D1,FM?平面 A1B1C1D1, 所以FM丄平面A1ABB1，所以 1VB1 A1EF = VF B1A1E= 3x § A1B1EX FM=3 X 寸 fm = |fm. 因為當(dāng)F與點D1重合時，F(xiàn)M取到最大值2(此時點E與點B重合), 所以當(dāng)F與點D1重合時，三棱錐 B1 A1EF的體積的最大值為3.設(shè)平面 AiECF的法向量為 m

26、= (x, y, z),由 AiE m = 0, AiC m= 0,x 2z= 0,得2x + y 2z= 0.令 z= i,得 m= (2, 2,1).又因為平面 DEC的法向量為n= (0,0,1),所以 cos m, n >m n 1=|m| |n|= 3，由圖可知，二面角AA1 EC D的平面角為銳角,2 .轉(zhuǎn)化與化歸思想空間向量的坐標(biāo)及運(yùn)算為解決立體幾何中的夾角、距離、垂直、平行等問題提供了工具，因此我們要善于把這些問題轉(zhuǎn)化為向量的夾角、模、垂直、平行等問題，利用向量方法解決.將 幾何問題化歸為向量問題，然后利用向量的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算和論證，再將結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問題.這種"

27、從幾何到向量， 再從向量到幾何”的思想方法，在本章尤為重要.例 2 如圖，在長方體 ABCD AiBiCiDi 中，AAi = AB= 2AD = 2, E 為AB的中點，F(xiàn)為DiE上的一點，DiF = 2FE.證明：平面 DFC丄平面DiEC;求二面角A DF C的平面角的余弦值.分析求二面角最常用的辦法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩 個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.解(1)以D為原點，分別以 DA、DC、DDi所在的直線為 x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系， 則 A(1,0,0), B(1,2,0), C

28、(0,2,0), Di(0,0,2). E為AB的中點， E 點坐標(biāo)為 E(1,1,0),T DiF = 2FE,p 2 f 2-DiF = 3D1E = 3(1,1 , 2)224=(3, 3， 3)，f>->2 24 DF = DDi + DiF = (0,0,2) + (3, 3, 3)2=(3,2 23, 2)，設(shè)n = (x, y, z)是平面DFC的法向量,n DF = 0, 則$ pp.c,n DC= 0,22 2“ 3x+3y+ 3z= 0，2y = 0.取x= 1得平面FDC的一個法向量為 n= (1,0, - 1).設(shè)p= (x, y, z)是平面EDiC的法向量，pD?F = 0,則$ tIp DiC = 0,取y= 1得平面DiEC的一個法向量 p= (1,1,1),2y 2z= 0,n p= (1,0, 1) (1,1,1) = 0,平面DFC丄平面D1EC.設(shè)q= (x, y, z)是平面ADF的法向量，q DF = 0,則彳DA = 0,4解由題意知0,得一4W tw,3又 c= ( 1,1,3) + t(1,0, 2)= (- 1 +1,1,3 2t),冏=“1 + t2+ 3 2t2+ 1當(dāng)t _ 4, 3 1時，f(t)= 5t