級計(jì)算與數(shù)論部分

1、第一講 速算與巧算湊整法：當(dāng)要計(jì)算的數(shù)接近一個容易計(jì)算的數(shù)時，先用后者計(jì)算，再去除之間的差。積（商）不變：湊5×210，25×4100，125×81000，625×1610000等易算數(shù)，如：160÷5（160×2）÷（5×2）320÷1032144000÷125144000÷1000×8144×811521.76×7.5（0.88×2）×（15÷2）0.88×150.44×3013.2提取公因式法：兩個式

2、子相加減，先找出兩者的公因式（共同的乘數(shù)），再利用乘法的結(jié)合律提取公因式。（當(dāng)需要改變運(yùn)算順序時，注意要帶符號“搬家”）整體代換法：當(dāng)某幾個數(shù)（或者式子）在復(fù)雜的計(jì)算時多次出現(xiàn)，可先將這幾個數(shù)（或者式子）看成一個整體（用某個字母代替），最后再計(jì)算。公式法：常用公式有（a±b）2a2±2ab+b2， a2-b2 (a+b)(a-b)， 尾數(shù)法:本質(zhì)上是分析某數(shù)除以10的余數(shù)。在選擇題中，當(dāng)各選項(xiàng)尾數(shù)不同時，應(yīng)考慮使用。兩個數(shù)的尾數(shù)之和（差、積）等于和（差、積）的尾數(shù)。一般不適合除法。棄九法：本質(zhì)上是分析某數(shù)除以9的余數(shù)。把一個數(shù)的各位數(shù)字反復(fù)相加，直到和是一個1位數(shù)（08，如

3、果是9，就減9），這個數(shù)就是原數(shù)的棄九數(shù)。在選擇題中，是尾數(shù)法的補(bǔ)充。兩個數(shù)的棄九數(shù)之和（差、積）等于和（差、積）的棄九數(shù)。同樣不適合除法。例1. 計(jì)算1999991999919991991922225例2. 計(jì)算（1351989）（2461988）995例3計(jì)算 3893873833853843863882702例4計(jì)算（494249434938493949414943）÷64941.例5計(jì)算5499×99459900.例6計(jì)算 9999×22223333×333433330000.例71999999×9991000000.例8比較A與B的大

4、?。篈987654321×123456789，B987654322×123456788. AB.例9不用筆算，請你指出下面哪道題得數(shù)最大，并說明理由.241×249、242×248、243×247、244×246、245×245. 245×245的積最大.一般說來，將一個整數(shù)拆成兩部分（或兩個整數(shù)），兩部分的差越小，乘積越大。例10. 求 1966、1976、1986、1996 2006五個數(shù)的總和。 1986×59930.例11. 2、4、6、8、10、12是連續(xù)偶數(shù)，如果五個連續(xù)偶數(shù)的和是320，求它

5、們中最小的一個. 中間數(shù)為 320÷564，依次為60、62、64、66、68，最小的是60.中數(shù)：三個連續(xù)自然數(shù)，中間一個數(shù)為首末兩數(shù)的平均值；五個連續(xù)自然數(shù)，中間的數(shù)也有類似的性質(zhì)它是五個自然數(shù)的平均值.如果用字母表示更為明顯，這五個數(shù)可以記作：x2、x1、x、x1、x2.如此類推，對于奇數(shù)個連續(xù)自然數(shù)，最中間的數(shù)是所有這些自然數(shù)的平均值.如：對于2n1個連續(xù)自然數(shù)可以表示為：xn，xn1，xn2， x1， x， x1，xn1，xn，其中 x是這2n1個自然數(shù)的平均值.1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 2122 23

6、 24 25 26 27 28 995 996 997 998 999 1000 1001例12將11001各數(shù)按右圖格式排列：一個正方形框出九個數(shù)，要使這九個數(shù)之和等于：1986，2529，1989，能否辦到？如果辦不到，請說明理由.中數(shù)是九個數(shù)的平均值，框中的九個數(shù)之和應(yīng)是9的倍數(shù)。不能被9整除，281÷740×71，這說明281在題中數(shù)表的最左一列，不能做中數(shù)；只有1989能辦到。例13. 選擇題：（1.1）2+（1.2）2+（1.3）2+（1.4）2的值是（D）。A. 4.98 B. 5.49 C. 6.06 D. 6.30例14. 11338×25583

7、的值是（ A ）。A. 290060054 B. 290060154 C. 290060254 D. 290060354例15. 計(jì)算（1）。（將分子、分母同時乘以1×2×3××15，分子、分母均為15×16×17××29）例16. 計(jì)算：（1+）×（）（1+）×（）（令A(yù)，B，原式（1+A）×B(1+B)×ABA）例17. 計(jì)算 （裂項(xiàng)，）第2講 數(shù)列與圖形規(guī)律等差數(shù)列：相鄰兩項(xiàng)的差是一個固定的數(shù)，像這樣的數(shù)列就稱為等差數(shù)列.其中這個固定的數(shù)就稱為公差，一般用字母d表示（d

8、可以為0）。通項(xiàng)公式：ana1+(n1)d例1. 已知等差數(shù)列2，5，8，11，14，問47是其中第幾項(xiàng)？（16）等差數(shù)列的變形多級等差數(shù)列：相鄰兩項(xiàng)的差成等差數(shù)列（或成多級等差數(shù)列）如：20, 20, 33, 59, 89，（150） 3, 12, 33, 72, 135，（228）等比數(shù)列：從數(shù)列的第2項(xiàng)起，每項(xiàng)都是前一項(xiàng)的同一個非零倍數(shù)，這個倍數(shù)成為公比，一般用字母q表示。通項(xiàng)公式為：ana1×q(n1)如：6, 18, 54，162， 6×3n-1，和數(shù)列：通過對數(shù)字求和得到的后項(xiàng)的數(shù)列。例2: 2， 3， 5， 8， 13， 21， （34）例3： 1， 3， 5

9、 ，9， 17， 31， 57，（105）其中：91+3+5， 173+5+9，其它數(shù)列：根據(jù)某種特有的規(guī)律形成的數(shù)列。如：8， 9， 10, 11, 12，1， （2） 鐘表數(shù)列1， 4， 9， 16， 25， （36） 平方數(shù)列1， 2， 3， 5， 7， 11， 13，(17) 非合數(shù)數(shù)列 4， 6， 8， 9， 10， 12， 14， （15） 合數(shù)數(shù)列等等。多級數(shù)列：將基本數(shù)列進(jìn)行多級組合形成的數(shù)列。組合數(shù)列：奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)（或者分組）分別滿足某種規(guī)律。例4. 33， 32， 34， 31， 35， 30， 36， 29， （37） 其中，奇數(shù)項(xiàng)是等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)也是等差數(shù)列（前項(xiàng)比

10、后項(xiàng)大1）。例5根據(jù)下列各串?dāng)?shù)的規(guī)律，在括號內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)： 15， 20， 12， 25， 9， 30，（ 6 ），35， 3，（40），奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別求。 1， 2， 2， 8， 3， 18， （4）， 32， 5，（50），偶數(shù)項(xiàng)為相鄰奇數(shù)項(xiàng)的平方乘2 0， 2， 6， 12， 20， 30，（42）， 第n項(xiàng)為n（n1） 1, 5, 10，2， 10， 20， 3， 15， 30， （4），（20），（40）， 1，2，6，24，120，（720 ），5040 例6. 找出下列各組與眾不同的數(shù) 3， 5， 7， 11， 15， 19， 23， 6， 12， 3， 27， 21， 1

11、0， 15， 30， 2， 5， 10， 16， 22， 28， 32， 38， 24， 2， 3， 5， 8， 12， 16， 23， 30 42， 126， 168， 63，882例7按右圖分割三角形，即：把三角形等分為四個相同的小三角形（如圖（b）；把中的小三角形（尖朝下的除外）都等分為四個更小的三角形（如圖（C）繼續(xù)下去，將會得到一系列的圖。依次記錄這些圖中不重疊的三角形個數(shù)，成為一個數(shù)列：1，4，13，40請你從中找出規(guī)律，并得出數(shù)列的第10項(xiàng)。顯然，數(shù)列的第10項(xiàng)為：1+3+32+33+34+35+36+37+38+3929524解：數(shù)列的規(guī)律如下：第1項(xiàng)1第2項(xiàng)41+3第3項(xiàng)13

12、4+3×3第4項(xiàng)4013+3×3×3第5項(xiàng)12140+3×3×3×32 4 6 8 16 14 12 10 18 20 22 2432 30 28 26 例8. 數(shù)字排列如右圖所示，問2012在第幾行，第幾列?解：偶數(shù)的個數(shù)為2012÷21006（個）把每8個看成一組，1006÷8125（組）.6前125組有250行，第6個數(shù)是每組的第2行。因此，2012在第252行，第3列。12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 例9. 右圖中2012在第幾行，第幾個數(shù)?解：觀察每行最右邊數(shù)是行數(shù)

13、的平方，估計(jì)一下：4421936，4522025，顯然在第45行；第45行共有45×2189個數(shù)（或20251036），2012193676，即：2012是第45行，第76個數(shù)。1位數(shù)有9個，占9位2位數(shù)有90個，占90×2180位3位數(shù)有900個，占900×32700位例10. 把自然數(shù)依次寫下來得到一個數(shù)：1 2 3 4 5，問這個數(shù)從左邊第一位起第2000個數(shù)字是幾? 第20000個數(shù)字呢?解：（2000189）÷31811÷3603.2603+99+1703, 703的第2位數(shù)字即第2000個數(shù)字是0。（200002889）÷

14、442773， 4227+999+15227, 第3位即是第20000個數(shù)字是2。例11. 從左至右依次寫上12012這2012個自然數(shù)，然后從左至右每隔三位點(diǎn)一個逗號：123，456, 789, 101, 112，那么第100個逗號前的那個數(shù)字是多少?解：同上，即求第300個數(shù)字。（300189）÷337, 73+99+1173，是172的“2”。練習(xí)1一.用簡便方法計(jì)算下列各式：（123456234561345612456123561234612345）÷62013×20122012-2011×20132013（125×99125）

15、5;16+72000÷1253×99.90.39.9×80.82×0.91.2（10+876+312）×（876+312+918）（10+876+312+918）×（876+312）（提示：令t876+312，w876+312+918）(1+0.23+0.34)×(0.23+0.34+0.65)（1+0.23+0.34+0.65）×（0.23+0.34）99999×77778+33333×66666（44332-443.32）÷（88664-886.64）二、分別比較下面兩組數(shù)的大小

16、98765×98769， 98766 × 98768 1992×19991999， 1993×19981998，1994×19971997， 1995×19961996三、19個連續(xù)奇數(shù)的和是361，求其中最大和最小的數(shù).1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 28 97 9899 100四、145是從小到大五個整數(shù)之和，這些整數(shù)相鄰兩數(shù)之差是3，請你寫出這五個數(shù).五、把從1到100的自然數(shù)如下表那樣排列。在這個數(shù)表里，把長的方面3個數(shù)，

17、寬的方面2個數(shù)，一共6個數(shù)用長方形框圍起來，這6個數(shù)的和為81，在數(shù)表的別的地方，如上面一樣地框起來的6個數(shù)的和為429，問此時長方形框子里最大的數(shù)是多少？六、已知12+22+32+n2，那么，112+122+132+212 。七、2012減去它的，再減去剩下的，再減去剩下的，最后減去剩下的，問最后剩下的數(shù)是多少?八、用1，5，5，5和7，7, 3, 3兩組數(shù)字及運(yùn)算符號分別寫成一個數(shù)學(xué)算式，結(jié)果等于24。練習(xí)21. 在1997后面寫一串?dāng)?shù)字，寫下的每個數(shù)字都是它前面兩個數(shù)字乘積的個位數(shù)，問這串?dāng)?shù)字從1開始往右數(shù)，第2012個數(shù)字是幾?2. 有一列數(shù)字：2.3.6.8.8.從第3個數(shù)起，每個數(shù)

18、都是前兩個數(shù)乘積的個位數(shù)字，那么第80個數(shù)是多少?3. 有一列數(shù)：1， 1989， 1988， 1， 1987， 從第三個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)中大數(shù)減小數(shù)的差，那么第1989個數(shù)是多少?4. 求333333333（共2012個3）除以7的余數(shù)。5. 2012個47的乘積的個位數(shù)字是幾?填全右表。并根據(jù)表中的規(guī)律計(jì)算下式結(jié)果的個位數(shù)字：20015+20025+ 20035+20045+ 20055+20065+20075+20085+20095 an6. an的尾數(shù)表012345678910123456789201496569413456789 7. 緊接著1989后面寫一串?dāng)?shù)字，寫下的

19、每一個數(shù)字都是它前面兩個數(shù)字的乘積的個位數(shù)。得到一串?dāng)?shù)19892868.，那么這串?dāng)?shù)字從1開始往右數(shù)，第2012個數(shù)字是多少?8. 10÷71.428571438571是一個循環(huán)小數(shù)。問： 小數(shù)點(diǎn)后第2012位數(shù)是幾? 若商的某一位數(shù)字之前的各位上的數(shù)之和是302，這個數(shù)字是幾?在小數(shù)點(diǎn)后第幾位?9. 把2013個2013相乘，所得的結(jié)果的個位數(shù)字是多少?10. 除以13所得的余數(shù)是多少?智巧題選做 池塘中的睡蓮，每天長大一倍，10天就把池塘遮住。問要遮住半個池塘需要多少天? 枯井井深10米，一蝸牛從井底往上爬，白天上爬3米，晚上下滑2米。幾天爬出井? 3個空汽水瓶可以換一瓶汽水喝，

20、小明有10個空汽水瓶。共可以喝到多少瓶汽水? 紅、藍(lán)墨水各一瓶，一樣多，用一根滴管從紅瓶中吸一滴給藍(lán)瓶，攪拌后，再反過來從藍(lán)瓶中吸一滴給紅瓶。問：此時紅瓶中的藍(lán)墨水多，還是藍(lán)瓶中的紅墨水多? 有6根短鏈子，每根4個環(huán)，打開一個環(huán)要5分鐘，封閉一個環(huán)要7分鐘，要把6根短鏈子連接成一條長鏈子，至少要用多少時間?第3講 數(shù)列求和一、等差數(shù)列求和若a1 小于a2，則公差為d的等差數(shù)列a1,a2,a3an可以寫為a1,a1+d,a1+d×2，a1+d×（n-1）.所以，容易知道：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=an-1+a2=an+a1.設(shè) Sn=a1+a

21、2+a3+an，也可以寫成 Sn=an+an-1+an-2+a1兩式相加可得：2×Sn=（a1+an）+(a2+an-1)+(an+a1)即：2×Sn=n×（a1+an）,所以，Sn=n×（a1+an）÷2注意：與梯形面積公式比較二、其它數(shù)列求和裂項(xiàng)求和： ,n（n+1）裂項(xiàng)法、公式法、分組求和法1+2+3+.+n= ，a2-b2 (a+b)(a-b)，*共多少項(xiàng)?*每項(xiàng)的特點(diǎn)?*通項(xiàng)公式將有規(guī)律的最高項(xiàng)用字母n代替，n是項(xiàng)數(shù)，寫成一個通用算式。通項(xiàng)公式：n×（n+1）例1、通項(xiàng)公式：（1×2×3）+（2×

22、;3×4-1×2×3）+（3×4×5-2×3×4）+（100×101×102-99×100×101）343400例2、 通項(xiàng)公式：4×n2 例3、22+42+62+82+10024×（12+22+32+.+502）通項(xiàng)公式：n（40n）或：（20+n）（20n）4×2×100×101×671353400例4、19×21+18×22+17×23+1×39（20+1）（201）+（20+2）

23、（202）+（20+3）（203）+（20+19）×（2019）19×202（12+22+32+192）19×20219×20219×10×1319×10×（4013）190×275130練習(xí)題1、 1×2 + 2×4 + 3×6 + 4×8 + 100×2002、 1×3 + 2×4 + 3×5 + 4×6 + 10×123、 1×3 + 3×5 + 5×7 + 7×

24、;9 + 17×194、 +5、 +6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 17、 18、 數(shù)的整除1、能被2、3、5、9整除的數(shù)的特征 2、能被4或25整除的數(shù)的特征3、能被8或125整除的數(shù)的特征4、能被11整除的數(shù)的特征 5、能被7，11，13整除的數(shù)的特征（7×11×131001）6、能被一個合數(shù)整除的數(shù)的特征例1.已知：45|，求所有滿足條件的六位數(shù)。解：455×9， 5|，9| y可取0或5. x0當(dāng)y0時，1+9+9+3+022，所以x5，當(dāng)y5時，1+9+9+3+527，能被9整除，所以x9。例2.

25、已知整數(shù)能被11整除，求所有滿足這個條件的整數(shù)。解： 11| 根據(jù)能被11整除的特征可知：1+2+3+4+5與5a之差是11的倍數(shù)，即：11|（15-5a）15-5a5（3-a），因此：11|（3-a），a3符合題意的整數(shù)只有1223334353例3.把三位數(shù)接連重復(fù)地寫下去，共寫1993個，所得的數(shù)恰是91的倍數(shù)，求。解： 917×13，且（7,13）1 7|，13|根據(jù)能被7或13整除的特征可知：當(dāng)且僅當(dāng)：-能被7和13整除時成立。（7,10）1，（13,10）1， 7|，13|即：7|，13|反復(fù)進(jìn)行996次，最后化成：當(dāng)且僅當(dāng)能被7和13整除。91×4364，364

26、 64例4.在865后面補(bǔ)上三個數(shù)字，組成一個六位數(shù)，使它能分別被3、4、5整除，且使這個數(shù)值盡量小。解：設(shè)這個六位數(shù)是 4|，5| c0， b只能取0、2、4、6、8之一又3|， 且8+6+519， 19÷361a+b除以3余2為了滿足數(shù)值盡量小，取a0，b2 這個六位數(shù)是865020例5.求能被26整除的六位數(shù)。解： 262×13，能分別被2和13整除y只能取0、2、4、6、8， 13能整除與的差當(dāng)y0時，120÷1393 即13|（120-3）-3100x+17（7×13+9）x+177×13x+13+9x+4 有13|9x+4經(jīng)試驗(yàn)：只

27、有當(dāng)x1時成立。所以120120是其中一個解。當(dāng)y2時，122÷1395-5100x+15（7×13+9）x+257×13x+13+9x+2 有13|9x+2經(jīng)試驗(yàn)：只有當(dāng)x7時成立。所以720122是其中一個解。當(dāng)y4時，124÷1397-7100x+13（7×13+9）x+137×13x+13+9x 有13|9x經(jīng)試驗(yàn)：無解。當(dāng)y6時，120÷1399-9100x+11（7×13+9）x+117×13x+9x+11 有13|9x+11，相當(dāng)于13|9x-2,經(jīng)試驗(yàn)：無解。,當(dāng)y8時，120÷

28、13911-11100x+31（7×13+9）x+97×13x+9x+9 有13|9x+9經(jīng)試驗(yàn)：無解。綜上，滿足要求的解為：120120、720122兩個。例6. 用1到9這9個不同的數(shù)字可以組成很多沒有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)，其中能被11整除的九位數(shù)有31680個，求出其中最大的和最小的九位數(shù)。解：先不看能否被11整除，最大的和最小的分別是987654321和123456789，根據(jù)被11整除的特性，奇數(shù)位和為25，偶數(shù)位和為20，奇數(shù)位比偶數(shù)位大5.當(dāng)任意互換其中不同奇偶的兩個數(shù)字時，奇偶位的總和與更換前相差為偶數(shù)，如更換6和3，其奇偶位的和差6。因此，奇數(shù)位比偶數(shù)位大5，

29、可描述為奇數(shù)位比偶數(shù)位小6（偶數(shù)）。只要在九位數(shù)的后面幾位，通過更換奇偶位數(shù)字，使得奇數(shù)位比偶數(shù)位增加6即可，最大：（4+2）（3+1）2，而（4+3）（1+2）4 偶位 奇位 2， 奇位 偶位 4， 最大是：987652413最小：因?yàn)椋?+7）（8+6）2，奇數(shù)位的和比偶數(shù)位的和大2，無法滿足。需要增加一位變換的位置。 （9+7+5）（8+6）7，而（9+8+7）（6+5）13 奇位 偶位 7， 奇位 偶位 13， 最小是：123475869練習(xí)題1、如果41位數(shù)55555（20個5）9999999（20個9）能被7整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是幾？2、判斷1059282是否是7的倍數(shù)？3、

30、在內(nèi)填上合適的數(shù)字，使六位數(shù)1988能被35整除。4、學(xué)校買了28支價格一樣的鋼筆，共付了人民幣9.2元。已知數(shù)字相同，請問每支鋼筆的價格是多少？5、一個三位數(shù)，能同時被2、5、7整除，這樣的三位數(shù)按照由小到大的順序排成一列，中間的一個數(shù)是幾？6、求一個四位的完全平方數(shù)，其前兩位數(shù)字相同，后兩位數(shù)字也相同。7、用0到9這十個不同的數(shù)字可以組成許多的十位數(shù)，在這些數(shù)字中能被11整除的最大的十位數(shù)是多少？（每個數(shù)字只能用一次）8、商場里有六箱貨物，分別重15、16、18、19、20、31千克，兩個顧客買走了其中5箱，其中一個顧客買的總重量是另一個顧客的2倍。問：商店還剩下哪箱貨物?9、用6、7、8

31、、9四個數(shù)字組成的，各個數(shù)字互不相同的四位數(shù)中，能被11整除的有多少個？10、在內(nèi)填上合適的數(shù)字，使六位數(shù)1991能被66整除。11、在28的前面連續(xù)寫上若干個1993，得到199319931993199328。如果這個數(shù)字能被11整除，那么它最小是幾位數(shù)？12、 判斷3456725能否被13整除。13、從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這10個數(shù)字中選出5個不同的數(shù)，組成一個5位數(shù)，使它可以被3、5、7、13整除，這個數(shù)字最大是多少？14、求能被65整除的六位數(shù)x2012y。15、甲乙兩個人約定一個整數(shù)N，然后由甲開始，輪流地用數(shù)字組成一個六位數(shù)的一位，數(shù)字可以重復(fù)。如果這個六位數(shù)能被

32、N整除，就算是乙勝，如果這個六位數(shù)不能被N整除，就算是甲勝。設(shè)N小于15，那么當(dāng)N取哪個幾個數(shù)時，乙才能取勝？16、把三位數(shù)5ab接連重復(fù)地寫下去，共有2011個5ab，所得的這個多位數(shù)恰好是91的倍數(shù)。求ab等于多少？17、一家水果店進(jìn)了六筐水果，分別裝著香蕉和桔子，重量分別是8、9、16、20、22和27千克。當(dāng)天只賣出一筐桔子，在剩下的五筐中香蕉的重量是桔子重量的2倍。問水果店進(jìn)了多少千克的香蕉?18、任一個三位數(shù)連續(xù)寫兩次得到一個六位數(shù).試證：這個六位數(shù)能同時被7、11、13整除。19、求最小的四個自然數(shù)，使得任意兩個的和都是2的倍數(shù)，任意三個的和都是3的倍數(shù)。20、某個七位數(shù)2000

33、能同時被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么最后三位是什么？21、173是一個四位數(shù)數(shù)學(xué)老師說：“我在其中的方框內(nèi)中先后填入3個數(shù)字，所得到的3個四位數(shù)：依次可被9，11，6整除”問：數(shù)學(xué)老師先后填入的3個數(shù)字的和是多少?22、 如果六位數(shù)1992能被105整除，那么它的最后兩位數(shù)是多少?23、某個七位數(shù)1993能夠同時被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位數(shù)字依次是多少?24、證明以下命題：A任意兩個連續(xù)奇數(shù)的和一定是4的倍數(shù)；B任意兩個連續(xù)偶數(shù)的乘積是8的倍數(shù)；C任意三個連續(xù)偶數(shù)的和一定是6的倍數(shù)；D任意三個連續(xù)自然數(shù)的乘積一定是6的倍數(shù)；E如果不大于四位數(shù)的自然數(shù)

34、能被99整除，則它各個數(shù)位的數(shù)字之和能被18整除。25、在六位數(shù)1111中的兩個方框內(nèi)各填入一個數(shù)字，使此數(shù)能被17和19整除，那么方框中的兩位數(shù)是多少?26、用1-9這九個數(shù)碼各一次，組成三個分別能被7、9、11整除的三位數(shù)，并要求這三個數(shù)的和盡可能大。（提示：9、8、7這三個數(shù)應(yīng)放在百位，4、5、6這三個數(shù)盡可能放在十位。答案：756、831、924。）27、四名學(xué)生做加法練習(xí)：任寫一個六位數(shù)，把它的個位數(shù)字（不等于0）拿到這個數(shù)最左邊一位數(shù)字的左邊得到一個新的六位數(shù)，然后與原六位數(shù)相加，他們的得數(shù)分別為372535，568741，620708，845267，其中只有一名同學(xué)做對了。問：正

35、確答案是幾？（原數(shù)可設(shè)為：A×10B ，新數(shù)為：B×100000A。和A×10BB×100000AA×11B×100001A×11B×9091×11)分解質(zhì)因數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)互質(zhì)數(shù)：兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1.最大公約數(shù)×最小公倍數(shù)這兩個數(shù)的積。短除法和輾轉(zhuǎn)相除法（1127/1518，22848/42483,9889/35061，12642/15738，4811/1981）例1.三個連續(xù)自然數(shù)的

36、乘積是210，求這三個數(shù)。解：2102×3×5×7，可知這三個數(shù)是5、6、7例2.兩個質(zhì)數(shù)的和是40，求這兩個質(zhì)數(shù)的乘積的最大值。解：4017+2311+193+37乘積的最大值是17×23391 例3.連續(xù)9個自然數(shù)中至多有幾個質(zhì)數(shù)?為什么?解：如果這9個數(shù)在1-20之間，顯然最多有4個質(zhì)數(shù)（如：2、3、5、7）。如果連續(xù)9個自然數(shù)最小的一個是不為2的質(zhì)數(shù)（奇數(shù)），連續(xù)9個自然數(shù)至少有4個是偶數(shù)，另有一個個位數(shù)為5的數(shù)，顯然也是合數(shù)，最多也是4個質(zhì)數(shù)。綜上，連續(xù)9個自然數(shù)中至多有4個質(zhì)數(shù).例4.有三個自然數(shù)，最大的比最小的大6，另一個是它們的平均數(shù)，并

37、且三個數(shù)的乘積是42560.求這三個數(shù)。解：30×30×3027000，遠(yuǎn)小于42560 40×40×4064000，遠(yuǎn)大于42560這三個數(shù)在30-40之間而 4256026×5×7×1925×（5×7）×（19×2）32×35×38,符合題目要求。要求的三個自然數(shù)分別是32、35、38.例5.把下列完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：9,36,144,1600,275625。解：932 3622×32 14424×32 160026×52 275

38、62532×54×72（注意：一個完全平方數(shù)分解的每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)均為偶數(shù)，反之也成立。）例6.一個整數(shù)a與1080的乘積是一個完全平方數(shù)，求a的最小值與這個平方數(shù)。解：108023×33×5，每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)均為奇數(shù)a與1080的乘積是一個完全平方數(shù),分解質(zhì)因數(shù)后，每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)一定是偶數(shù)a必然含有質(zhì)因數(shù)2、3、5，故a的最小值為2×3×5301080×a32400例7.問360共有多少個約數(shù)?解：36023×32×55顯然只有2個約數(shù)1和5，32有1、3、9共3個約數(shù)，將2個約數(shù)與三個約數(shù)分別相乘，

39、可知：32×5共有2×36個約數(shù)， 23有4個約數(shù)，360共有2×3×424個約數(shù)（一個數(shù)的約數(shù)個數(shù)，等于它的每個質(zhì)因數(shù)的個數(shù)加1的連乘的積） 練習(xí)題1、如果AB70，A×B1161，那么A與B的差是多少？2、A、B、C為三個不同的質(zhì)數(shù)，已知3A+2B+C20，求：A、B、C.3、把1、2、3、4、5、6、7、8、9九張卡片分給甲乙丙三人，每人3張，甲說：我的三張卡片上的數(shù)乘積是48；乙說：我的三張卡片上數(shù)的和是16，丙說：我的三張卡片上的數(shù)乘積是63。問甲乙丙各拿了哪幾張卡片？4、長方形的面積是375平方米，已知它的寬比長少10米。這個長方形

40、的周長是多少米?5、一個兩位數(shù)除310余37，這個數(shù)可以是（   ）或者（   ）。（提示：考慮31037）6、237除以一個兩位數(shù)，所得的余數(shù)是6，請寫出適合這個條件的所有兩位數(shù)。7、5100除以一個三位數(shù)，余數(shù)是95，這個三位數(shù)最大是多少？8、某班同學(xué)在老師的帶領(lǐng)下去植樹，學(xué)生恰好分成三組，如果師生每人種樹一樣多，一共種了1147棵，那么，平均每人種了多少棵？9、將下列分?jǐn)?shù)約分：、10、小明用21.6元買了一種畫片若干張，如果每張畫片的價錢便宜1分錢，那么他就可以多買3張，問小明買了多少張？11、自然數(shù)a乘以2376，所得的積正好是自然數(shù)b

41、的平方。求a最小是多少？12、小明買了鉛筆、橡皮和本三種文具，已知它們的數(shù)目是各不相同的質(zhì)數(shù)，且滿足：鉛筆數(shù)×（橡皮數(shù)+本數(shù)）=110+本數(shù)，求小明買了多少個本?13、要使下面乘積的最后四位數(shù)都是0，在括號內(nèi)最小應(yīng)填什么數(shù)? 475×195×516×( )14、中學(xué)生李明比賽后說：“我的名次、分?jǐn)?shù)和我的年齡乘起來是4074”。他是第幾名?15、三個數(shù)的乘積是90720，三個數(shù)成公差為3的等差數(shù)列，求這三個數(shù)。16、分母是1989的所有最簡真分?jǐn)?shù)的和是多少？ 17、求一個四位數(shù)，它等于抹去它的首位數(shù)字之后剩下的三位數(shù)的3倍與234之差。18、求一個四位數(shù)，

42、它等于抹去它的首位與末尾數(shù)字之后剩下的兩位數(shù)的75倍。19、組成325和523兩個數(shù)的數(shù)碼完全相同，次序正好相反，這樣性質(zhì)的兩個數(shù)稱為一對“反序數(shù)”。若一對反序數(shù)的乘積等于30492，試求出這兩個反序數(shù)。20、有一個自然數(shù)，被10除余7，被7除余4，被4除余1，這個自然數(shù)是多少？21、求小于1000的、只有15個約數(shù)的最大自然數(shù)。22、某商店把幾十個單價原為0.2元的卷筆刀降價后全部售出，共賣得2.53元，問降價后的單價是多少?23、a、b兩數(shù)的最大公約數(shù)是12，已知a有8個約數(shù)，b有9個約數(shù)，求a和b。24、一盒圍棋子，4顆4顆的數(shù)多3顆，6顆6顆的數(shù)多5顆，15顆15顆的數(shù)多14顆，這盒棋

43、子在150至200顆之間。這盒棋子共有多少顆？25、分別將木棍平均分成10等分用紅色做標(biāo)記、12等分用黃色做標(biāo)記和15等分用藍(lán)色做標(biāo)記。如果沿這三種標(biāo)記把木棍鋸斷。木棍總共被鋸成多少段？26、父子二人在雪地散步，父在前，子在后。起點(diǎn)同步，如果可能的話，兒子將踩在父親的腳印里，父親每步80厘米，兒子每步60厘米。在120米內(nèi)一共留下了多少個腳??？27、修改31743中的某個數(shù)字，可以得到823的倍數(shù)。問修改后的五位數(shù)是幾?28、一張長方形紙，長2703厘米，寬1113厘米.要把它截成若干個同樣大小的正方形，紙張不能有剩余且正方形的邊長要盡可能大.問：這樣的正方形的邊長是多少厘米？29、求2167

44、2和11352的最小公倍數(shù)。30、一支隊(duì)伍不超過八千人，列隊(duì)時按4人、5人、6人、7人和8人一排，最后一排都缺3人，改為11人一排時，最后一排只有3人。問共有多少人?31、爺爺對小明說：“我現(xiàn)在的年齡是你的7倍，過幾年是你的6倍，再過若干年就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍?！蹦阒罓敔敽托∶鳜F(xiàn)在的年齡嗎?32、10個連續(xù)的三位數(shù)最大的不超過130，這10個數(shù)的和是77的倍數(shù)，求這10個數(shù)。33、把數(shù)碼5寫在某自然數(shù)右端，該數(shù)增加了A1111，A表示一個看不清的數(shù)碼，求A。34、一個三位數(shù)與組成它的三個數(shù)碼之和的比最大是多少?奇偶性1. 已知a、b、c中有一個是5，一個是6，一個是7.求證a-

45、1，b-2，c-3的乘積一定是偶數(shù)。2. 任意改變某一個三位數(shù)的各位數(shù)字的順序得到一個新數(shù)。試證明新數(shù)與原數(shù)之和不能等于999。3. 用代表整數(shù)的字母a、b、c、d寫成等式組：a×b×c×d-a=1991a×b×c×d-b=1993a×b×c×d-c=1995a×b×c×d-d=1997問：符合條件的整數(shù)a、b、c、d是否存在?4. 在中國象棋盤任意取定的一個位置上放置著一顆棋子“馬”，按中國象棋的走法，當(dāng)棋盤上沒有其他棋子時，這只“馬”跳了若干步后回到原處，問：“馬”所跳的

46、步數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？5. 有100個自然數(shù)，它們的和是偶數(shù).在這100個自然數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)比偶數(shù)的個數(shù)多.問：這些數(shù)中至多有多少個偶數(shù)？6. 求證：四個連續(xù)奇數(shù)的和一定是8的倍數(shù)。7. 一次宴會上，客人們相互握手.問握手次數(shù)是奇數(shù)的那些人的總?cè)藬?shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。8. 有8只盒子,每只盒內(nèi)放有同一種筆.8只盒子所裝筆的支數(shù)分別為17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支.在這些筆中,圓珠筆的支數(shù)是鋼筆的支數(shù)的2倍,鋼筆支數(shù)是鉛筆支數(shù)的,只有一只盒里放的水彩筆.這盒水彩筆共有_支。余數(shù)與同余及其應(yīng)用a÷bqr，0rb （b0） 余數(shù)r0，a能被b整除,寫作：a0（m

47、od b）r0，a不能被b整除，寫作：ar（mod b）如果A、B兩個整數(shù)，除以自然數(shù)M所得的余數(shù)相同，則稱：A、B模M（關(guān)于除數(shù)M）同余。記為AB （mod M） 如：2722557（mod 5） 3139843 (mod 4)性質(zhì)：如果 ab(mod n), 則 ba(mod n); ambm(mod n) 如果 ab(mod n),bc(mod n) 則 ac(mod n)如果 ab(mod n),cd(mod n) 則 a+cb+d(mod n) a-cb-d(mod n) a×cb×d(mod n)中國剩余定理：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團(tuán)圓正半月，除

48、百零五便得知?！崩?. 求將一批貨物共328千克裝入紙箱中，每箱13千克，最后余多少千克?例2. 求14389除以7的余數(shù)。例3求自然數(shù)210031014102的個位數(shù)字。例4. 三個連續(xù)的自然數(shù),分別是17、19、21的倍數(shù),試寫出滿足條件的最小的數(shù)。解：15，17和19的最小公倍數(shù)是15×17×194845,4845+154860能被15整除，4845+174862能被17整除，4845+194864能被19整除，所以4860，4862，4864分別能被15，17，19整除，這三個數(shù)都是偶數(shù)，且都相差2，把這三個數(shù)分別除以2，得到2430，2431，2432，它們也一定能分別被15，17，19整除。練習(xí)題A1、一個數(shù)被3除余1，被5除余2，這個數(shù)被15除余幾？2、一個三位數(shù)除以5余3，除以6余2，除以7余1，求最小數(shù)是多少?3、一個數(shù)被3除余1，被5除余2，被7除余3，這個數(shù)最小是幾？4、學(xué)校圖書館買來一批數(shù)學(xué)參考書，總數(shù)在2500本至3000本之間。若每包24本，最后一包缺2本，若每包28本，最后一包還是缺2本，若每包32本，最后一包還是缺2本，這批參考書一共有多少本？5、有三個連續(xù)的自然數(shù)，第一個數(shù)是3的倍數(shù)，第二個數(shù)是5的