2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第3講　二項(xiàng)式定理

1、第 3 講二項(xiàng)式定理一、知識(shí)梳理1二項(xiàng)式定理(1)定理：(ab)nc0nanc1nan1bcknankbkcnnbn(nn*)(2)通項(xiàng)：第 k1 項(xiàng)為 tk1cknankbk(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為：ckn(k0，1，2，n)2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)常用結(jié)論1兩個(gè)常用公式(1)c0nc1nc2ncnn2n.(2)c0nc2nc4nc1nc3nc5n2n1.2二項(xiàng)展開式的三個(gè)重要特征(1)字母 a 的指數(shù)按降冪排列由 n 到 0.(2)字母 b 的指數(shù)按升冪排列由 0 到 n.(3)每一項(xiàng)字母 a 的指數(shù)與字母 b 的指數(shù)的和等于 n.二、教材衍化1(12x)5的展開式中，x

2、2的系數(shù)為_解析：tk1ck5(2x)kck52kxk，當(dāng) k2 時(shí)，x2的系數(shù)為 c252240.答案：402若x1xn展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為 64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為_解析：二項(xiàng)式系數(shù)之和 2n64，所以 n6，tk1ck6x6k1xkck6x62k，當(dāng) 62k0，即當(dāng) k3 時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，t4c3620.答案：203若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，則 a0a2a4的值為_解析：令 x1，則 a0a1a2a3a40，令 x1，則 a0a1a2a3a416，兩式相加得 a0a2a48.答案：8一、思考辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)(ab)n的展開式中的第 r

3、 項(xiàng)是 crnanrbr.()(2)在二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng)()(3)在(ab)n的展開式中，每一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與 a，b 無關(guān)()(4)通項(xiàng) tr1crnanrbr中的 a 和 b 不能互換()(5)(ab)n展開式中某項(xiàng)的系數(shù)與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易錯(cuò)糾偏常見誤區(qū)|(1)混淆“二項(xiàng)式系數(shù)”與“系數(shù)”致誤；(2)配湊不當(dāng)致誤1在二項(xiàng)式x22xn，的展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和是 32，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為_解析：由題意得 2n32，所以 n5.令 x1，得各項(xiàng)系數(shù)的和為(12)51.答案：12已知(1x)10a0a1(1

4、x)a2(1x)2a10(1x)10，則 a8_解析： 因?yàn)?1x)102(1x)10， 所以其展開式的通項(xiàng)為 tr1(1)r210r cr10(1x)r，令 r8，得 a84c810180.答案：1803(x1)5(x2)的展開式中 x2的系數(shù)為_解析：(x1)5(x2)x(x1)52(x1)5展開式中含有 x2的項(xiàng)為20 x25x215x2.故 x2的系數(shù)為15.答案：15考點(diǎn)一二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)(系數(shù))(基礎(chǔ)型)復(fù)習(xí)指導(dǎo)|能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算角度一求解形如(ab)n(nn*)的展開式中與特定項(xiàng)

5、相關(guān)的量(1)在x12 x5的展開式中，x2的系數(shù)為_(2)在二項(xiàng)式ax21x5的展開式中，若常數(shù)項(xiàng)為10，則 a_【解析】 (1)x12 x5的展開式的通項(xiàng) tr1cr5x5r12 xr12rcr5x53r2， 令 532r2，得 r2，所以 x2的系數(shù)為 c2512252.(2)ax21x5的展開式的通項(xiàng) tr1cr5(ax2)5r1xrcr5a5rx105r2，令 105r20，得 r4，所以 c45a5410，解得 a2.【答案】(1)52(2)2求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)的系數(shù)問題的步驟(1)利用通項(xiàng)將 tk1項(xiàng)寫出并化簡(jiǎn)(2)令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)

6、為整數(shù)等)，解出k.(3)代回通項(xiàng)得所求角度二求解形如(ab)m(cd)n(m，nn*)的展開式中與特定項(xiàng)相關(guān)的量(1)(2019高考全國(guó)卷)(12x2)(1x)4的展開式中 x3的系數(shù)為()a12b16c20d24(2)(2020南昌模擬)已知(x1)(ax1)6的展開式中含 x2項(xiàng)的系數(shù)為 0，則正實(shí)數(shù) a_【解析】(1)展開式中含 x3的項(xiàng)可以由“1 與 x3”和“2x2與 x”的乘積組成，則 x3的系數(shù)為 c342c144812.(2)(ax1)6的展開式中 x2項(xiàng)的系數(shù)為 c46a2，x 項(xiàng)的系數(shù)為 c56a，由(x1)(ax1)6的展開式中含 x2項(xiàng)的系數(shù)為 0，可得c46a2c5

7、6a0，因?yàn)?a 為正實(shí)數(shù)，所以 15a6，所以 a25.【答案】(1)a(2)25求解形如(ab)m(cd)n的展開式問題的思路(1)若 m，n 中有一個(gè)比較小，可考慮把它展開，如(ab)2(cd)n(a22abb2)(cd)n，然后分別求解(2)觀察(ab)(cd)是否可以合并， 如(1x)5 (1x)7(1x)(1x)5(1x)2(1x2)5(1x)2.(3)分別得到(ab)m，(cd)n的通項(xiàng)，綜合考慮角度三求解形如(abc)n(nn*)的展開式中與特定項(xiàng)相關(guān)的量(1)(x2x1)10的展開式中 x3項(xiàng)的系數(shù)為()a210b210c30d30(2)(x2xy)5的展開式中 x5y2的系

8、數(shù)為()a10b20c30d60【解析】(1)(x2x1)10 x2(x1)10c010(x2)10c110(x2)9(x1)c910 x2(x1)9c1010(x1)10，所以含 x3項(xiàng)的系數(shù)為：c910c89c1010(c710)210.(2)(x2xy)5的展開式的通項(xiàng)為 tr1cr5(x2x)5ryr，令 r2，則 t3c25(x2x)3y2，又(x2x)3的展開式的通項(xiàng)為 tk1ck3(x2)3kxkck3x6k，令 6k5，則 k1，所以(x2xy)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為 c25c1330，故選 c【答案】(1)a(2)c三項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問題的處理方法(1)通常

9、將三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式積的形式， 然后利用多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問題的處理方法求解(2)將其中某兩項(xiàng)看成一個(gè)整體，直接利用二項(xiàng)式定理展開，然后再分類考慮特定項(xiàng)產(chǎn)生的所有可能情形1已知(1x)(1x)2(1x)na0a1xa2x2anxn(nn*)，若 a0a1an62，則 logn25 等于_解析：令 x1 可得 a0a1a2an222232n2(2n1)212n1262，解得 n5，所以 logn252.答案：22在x1x (2x1)6的展開式中，x3的系數(shù)是_(用數(shù)字作答)解析： 由題意得，x1x (2x1)6的展開式中含 x3的項(xiàng)為 xc46(2x)2(1)41x c26 (2

10、x)4(1)2180 x3，所以展開式中 x3的系數(shù)為180.答案：1803.3x123x10的展開式中所有的有理項(xiàng)為_解析：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為 tk1ck1012kx102k3，由題意102k3z，且 0k10，kn.令102k3r(rz)，則 102k3r，k532r，因?yàn)?kn，所以 r 應(yīng)為偶數(shù)所以 r可取 2，0，2，即 k 可取 2，5，8，所以第 3 項(xiàng)，第 6 項(xiàng)與第 9 項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為454x2，638，45256x2.答案：454x2，638，45256x2考點(diǎn)二二項(xiàng)展開式中的系數(shù)和問題(綜合型)復(fù)習(xí)指導(dǎo)|求二項(xiàng)展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)和(或差)問題，常用賦值法賦值法是

11、解決二項(xiàng)展開式的系數(shù)和的有效方法(1)在x3xn的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為 641，則 x3的系數(shù)為()a15b45c135d405(2)若(1x)9a0a1xa2x2a9x9，則|a1|a2|a3|a9|()a1b513c512d511【解析】 (1)由題意知4n2n64， 得 n6， 展開式的通項(xiàng)為 tr1cr6x6r3xr3rcr6x63r2，令 63r23，得 r2，則 x3的系數(shù)為 32c26135.故選 c(2)令 x0，得 a01，令 x1，得|a1|a2|a3|a9|1(1)91291511.【答案】(1)c(2)d賦值法求系數(shù)和的應(yīng)用技巧(1)“賦值法”對(duì)形如

12、(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cr)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令 x1 即可；對(duì)形如(axby)n(a，br)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令 xy1 即可(2)若 f(x)a0a1xa2x2anxn，則 f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 f(1)，偶次項(xiàng)系數(shù)之和為 a0a2a4f(1)f(1)2，奇次項(xiàng)系數(shù)之和為 a1a3a5f(1)f(1)2.令 x0，可得 a0f(0)1 若(1x)(12x)8a0a1xa9x9， xr， 則 a1 2a2 22a9 29的值為()a29b291c39d391解析：選 d(1x)(12x)8a0a1xa2x2a9x9，

13、令 x0，得 a01；令 x2，得 a0a12a222a92939，所以 a12a222a929391.故選 d2(ax)(1x)4的展開式中 x 的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為 32，則 a_解析：設(shè)(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令 x1，得 16(a1)a0a1a2a3a4a5，令 x1，得 0a0a1a2a3a4a5.，得 16(a1)2(a1a3a5)，即展開式中 x 的奇數(shù)次冪的系數(shù)之和為 a1a3a58(a1)， 所以 8(a1)32， 解得 a3.答案：3考點(diǎn)三二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最值問題(綜合型)復(fù)習(xí)指導(dǎo)|求解此類題的關(guān)鍵：一是方程引入，利用已知二項(xiàng)式系

14、數(shù)的最大值，求出參數(shù)的值； 二是公式應(yīng)用， 即利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式， 即可求出指定項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù)(y2x2)6的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第_項(xiàng)，系數(shù)最大的項(xiàng)為_【解析】因?yàn)?y2x2)6的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為 c36，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第 4 項(xiàng)因?yàn)?y2x2)6的展開式的通項(xiàng)公式為 tr1cr6y6r(2x2)rcr6(2)rx2ry6r，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為奇數(shù)項(xiàng)法一：設(shè)第 r1 項(xiàng)的系數(shù)最大，則cr6(2)rcr26(2)r2，cr6(2)rcr26(2)r2，因?yàn)?rz，0r6，且 r 為偶數(shù)，所以 r4，則 t5c46(2)4x8y2240 x8y2，所

15、以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 240 x8y2，法二：展開式中第 1，3，5，7 項(xiàng)的系數(shù)分別為 c06(2)0，c26(2)2，c46(2)4，c66(2)6，即 1，60，240，64，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 240 x8y2.【答案】4240 x8y2求解二項(xiàng)式系數(shù)或展開式系數(shù)的最值問題的一般步驟第一步， 求系數(shù)的最大值問題， 要先弄清所求問題是“展開式中項(xiàng)的系數(shù)最大”“二項(xiàng)式系數(shù)最大”以及“最大項(xiàng)”三者中的哪一個(gè)；第二步，若是求二項(xiàng)式系數(shù)最大值，則依據(jù)(ab)n中 n 的奇偶及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解若是求展開式中項(xiàng)的系數(shù)的最大值，由于展開式中項(xiàng)的系數(shù)的是離散型變量，設(shè)展開式各項(xiàng)的系數(shù)分別

16、為 a1，a2，an1，且第 k 項(xiàng)系數(shù)最大，因此在系數(shù)均為正值的前提下，求展開式中項(xiàng)的系數(shù)的最大值只需解不等式組akak1，akak1即得結(jié)果在x213xn的展開式中，只有第 5 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式的常數(shù)項(xiàng)是()a7b7c28d28解析：選 b因?yàn)橹挥械?5 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) c4n最大，所以n24，即 n8.x213x8的展開式的通項(xiàng)公式為 tr1cr8x28r13xr(1)rcr828rx843r，令 843r0，解得 r6，故常數(shù)項(xiàng)為 t7(1)6c68227.故選 b基礎(chǔ)題組練1.2x2x43的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()a3 2b3 2c6d6解析：選 d通項(xiàng) tr1cr32x2

17、3r(x4)rcr3( 2)3r(1)rx66r，當(dāng)66r0，即 r1 時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，t26，故選 d2(1x)5(1x)6(1x)7的展開式中 x4的系數(shù)為()a50b55c45d60解析：選 b(1x)5(1x)6(1x)7的展開式中 x4的系數(shù)是 c45c46c4755.故選 b3(多選)在二項(xiàng)式3x22x5的展開式中，有()a含 x 的項(xiàng)b含1x2的項(xiàng)c含 x4的項(xiàng)d含1x4的項(xiàng)解析：選 abc二項(xiàng)式3x22x5的展開式的通項(xiàng)公式為 tr1cr535r(2)rx103r，r0，1，2，3，4，5，故展開式中含 x 的項(xiàng)為 x103r，結(jié)合所給的選項(xiàng)，知 abc 的項(xiàng)都含有4在x3xn的展

18、開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為 321，則 x2的系數(shù)為()a50b70c90d120解析：選 c令 x1，則x3xn4n，所以x3xn的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和為 4n，又二項(xiàng)式系數(shù)和為 2n，所以4n2n2n32，解得 n5.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng) tr1cr5x5r3xrcr53rx532r，令 532r2，得 r2，所以 x2的系數(shù)為 c253290，故選 c51(1x)(1x)2(1x)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為()a2n1b2n1c2n11d2n解析：選 c令 x1，得 12222n1(2n11)212n11.6.x13xn的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和大于 8，但小于 32，則展開式中系數(shù)

19、最大的項(xiàng)是()a63xb4xc4x6xd4x或 4x6x解析：選 a令 x1，可得x13xn的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 2n，即 82n32，解得 n4，故第 3 項(xiàng)的系數(shù)最大，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是 c24( x)213x263x.7(x22)1x15展開式中的常數(shù)項(xiàng)是()a12b12c8d8解析：選 b1x15展開式的通項(xiàng)公式為 tr1cr51x5r(1)r(1)rcr5xr5，當(dāng) r52 或 r50， 即 r3 或 r5 時(shí)， 展開式的常數(shù)項(xiàng)是(1)3c352(1)5c5512.故選 b8.x1x15展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()a1b21c31d51解析：選 d因?yàn)閤1x15(x1)1x5c

20、05(x1)5c15(x1)41xc25(x1)31x2c35(x1)21x3c45(x1)11x4c551x5.所以x1x15展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 c05c5515c15c3413c25c131251.故選 d9已知(2x1)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0，則|a0|a1|a5|()a1b243c121d122解析：選 b令 x1，得 a5a4a3a2a1a01，令 x1，得a5a4a3a2a1a0243，得 2(a4a2a0)242，即 a4a2a0121.，得 2(a5a3a1)244，即 a5a3a1122.所以|a0|a1|a5|122121243.故選 b10(2020

21、?？谡{(diào)研)若(x2a)x1x10的展開式中 x6的系數(shù)為 30，則 a 等于()a13b12c1d2解析：選 d由題意得x1x10的展開式的通項(xiàng)公式是 tk1ck10 x10k1xkck10 x102k，x1x10的展開式中含 x4(當(dāng) k3 時(shí))，x6(當(dāng) k2 時(shí))項(xiàng)的系數(shù)分別為 c310，c210，因此由題意得 c310ac21012045a30，由此解得 a2，故選 d11若(1xx2)na0a1xa2x2a2nx2n，則 a0a2a4a2n等于()a2nb3n12c2n1d3n12解析：選 d設(shè) f(x)(1xx2)n，則 f(1)3na0a1a2a2n，f(1)1a0a1a2a3a

22、2n，由得 2(a0a2a4a2n)f(1)f(1)，所以 a0a2a4a2nf(1)f(1)23n12.12已知(x2)9a0a1xa2x2a9x9，則(a13a35a57a79a9)2(2a24a46a68a8)2的值為()a39b310c311d312解析：選 d對(duì)(x2)9 a0a1xa2x2a9x9兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得 9(x2)8a12a2x3a3x28a8x79a9x8，令 x1，得 a12a23a38a89a9310，令 x1，得a12a23a38a89a932.所以(a13a35a57a79a9)2(2a24a46a68a8)2(a12a23a38a89a9)(a12a23a38

23、a89a9)312，故選 d13(x yy x)4的展開式中，x3y3項(xiàng)的系數(shù)為_解析： 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是 tk1ck4(x y)4k (y x)k(1)kck4x4k2y2k2， 令 4k22k23，解得 k2，故展開式中 x3y3的系數(shù)為(1)2c246.答案：614(2019高考浙江卷)在二項(xiàng)式( 2x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是_，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是_解析：二項(xiàng)式( 2x)9展開式的通項(xiàng)為 tr1cr9( 2)9rxr.令 r0，得常數(shù)項(xiàng)為 c09( 2)916 2.當(dāng) r1，3，5，7，9 時(shí)，系數(shù)為有理數(shù)，共 5 項(xiàng)答案：16 2515設(shè) m 為正整數(shù)，(xy)2m展開式的二項(xiàng)

24、式系數(shù)的最大值為 a，(xy)2m1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為 b.若 13a7b，則 m_解析：(xy)2m展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為 cm2m，所以 acm2m.同理，bcm12m1.因?yàn)?13a7b，所以 13cm2m7cm12m1.所以 13(2m)！m！m！7(2m1)！(m1)！m！.所以 m6.答案：6綜合題組練1 已知c0n4c1n42c2n43c3n(1)n4ncnn729， 則c1nc2ncnn的值等于()a64b32c63d31解析：選 c因?yàn)?c0n4c1n42c2n43c3n(1)n4ncnn729，所以(14)n36，所以n6，因此 c1nc2ncnn2n126

25、163，故選 c2設(shè) az，且 0a13，若 512 018a 能被 13 整除，則 a()a0b1c11d12解析：選 d512 018a(521)2 018ac02 018522 018c12 018522 017c2 0172 01852(1)2 017c2 0182 018(1)2 018a.因?yàn)?52 能被13 整除，所以只需 c2 0182 018(1)2 018a 能被 13 整除，即 a1 能被 13 整除，所以 a12.3已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若數(shù)列 a1，a2，a3，ak(1k11，kn*)是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，則 k 的最大值是_解析：由二項(xiàng)式定理知，ancn110(n1，2，3，11)又(x1)10展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是第 6 項(xiàng)，所以 a6c510，則 k 的最大值為 6.答案：64已知(2x2)(1ax)3的展開式的所有項(xiàng)系數(shù)之和為 27，則實(shí)