2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第三節(jié) 第1課時 系統(tǒng)知識牢基礎(chǔ)——平面向量的數(shù)量積 教案

1、1第三節(jié)第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用第第 1 課時課時系統(tǒng)知識牢基礎(chǔ)系統(tǒng)知識牢基礎(chǔ)平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積知識點一知識點一平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積1向量的夾角向量的夾角(1)定義：定義：已知兩個非零向量已知兩個非零向量 a a 和和 b b，作，作 oaa a， obb b，則，則aob 就是向量就是向量 a a 與與 b b 的夾的夾角角(2)范圍：范圍：設(shè)設(shè)是向量是向量 a a 與與 b b 的夾角，則的夾角，則 0180.(3)共線與垂直：共線與垂直：若若0，則，則 a a 與與 b b 同向同向；若；若180，則，則 a a 與與 b b 反向

2、反向；若；若90，則，則 a a 與與b b 垂直垂直2平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積(1)定義定義：已知兩個非零向量已知兩個非零向量 a a 與與 b b，它們的夾角為它們的夾角為，則數(shù)量則數(shù)量|a a|b b|cos 叫做叫做 a a 與與 b b 的數(shù)量積的數(shù)量積(或內(nèi)積或內(nèi)積)，記作，記作 a a b b，即，即 a a b b|a a|b b|cos ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為 0，即，即 0a a0.(2)幾何意義：幾何意義：數(shù)量積數(shù)量積 a a b b 等于等于 a a 的長度的長度|a a|與與 b b 在在 a a 的方向上的投影的方向

3、上的投影|b b|cos 的乘積的乘積提醒提醒(1)數(shù)量積數(shù)量積 ab 也等于也等于 b 的長度的長度|b|與與 a 在在 b 方向上的投影方向上的投影|a|cos 的乘積的乘積，這兩個投影這兩個投影是不同的是不同的(2)a a 在在 b b 方向上的投影也可以寫成方向上的投影也可以寫成ab|b|，投影是一個數(shù)量投影是一個數(shù)量，可正可負也可為可正可負也可為 0，它的符號取它的符號取決于決于角的范圍角的范圍3向量數(shù)量積的性質(zhì)向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)設(shè) a a，b b 是兩個非零向量，是兩個非零向量，e e 是單位向量，是單位向量，是是 a a 與與 e e 的夾角，于是我們就有下列數(shù)量積的的夾角，于是

4、我們就有下列數(shù)量積的性質(zhì)：性質(zhì)：(1)e ea aa ae e|a a|e e|cos |a a|cos .(2)a ab ba ab b0.(3)a a，b b 同向同向a ab b|a a|b b|；a a，b b 反向反向a ab b|a a|b b|.特別地特別地 a a a a|a a|2a a2或或|a a| aa.(4)若若為為 a a，b b 的夾角，則的夾角，則 cos ab|a|b|.(5) |a ab b|a a|b b|.4謹記常用結(jié)論謹記常用結(jié)論2(a ab b)2|a ab b|2|a a|22a a b b|b b|2a a22a ab bb b2；a a2b b

5、2(a ab b)(a ab b)以上結(jié)論可作為公式使用以上結(jié)論可作為公式使用5平面向量數(shù)量積的運算律平面向量數(shù)量積的運算律(1)a ab bb ba a(交換律交換律)(2)a ab b(a ab b)a a(b b)(結(jié)合律結(jié)合律)(3)(a ab b)c ca ac cb bc c(分配律分配律)提醒提醒對于實數(shù)對于實數(shù) a，b，c 有有(ab)ca(bc)，但對于向量但對于向量 a a，b b，c c 而言而言，(a ab b)c ca a(b bc c)不一定成立，即不滿足向量結(jié)合律這是因為不一定成立，即不滿足向量結(jié)合律這是因為(a ab b)c c 表示一個與表示一個與 c c 共

6、線的向量共線的向量，而而 a a(b bc c)表示一個與表示一個與 a a 共線的向量共線的向量，而而 a a 與與 c c 不一定共線不一定共線，所以所以(a ab b)c ca a(b bc c)不一定成立不一定成立重溫經(jīng)典重溫經(jīng)典1(教材改編題教材改編題)設(shè)設(shè) a a，b b 是非零向量是非零向量“a ab b|a a|b b|”是是“a ab b”的的()a充分不必要條件充分不必要條件b必要不充分條件必要不充分條件c充要條件充要條件d既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件解析：解析：選選 a設(shè)設(shè) a a 與與 b b 的夾角為的夾角為.因為因為 a ab b|a a|b b|cos

7、 |a a|b b|，所以，所以 cos 1，即，即 a a 與與 b b的夾角為的夾角為 0，故，故 a ab b.當當 a ab b 時，時，a a 與與 b b 的夾角為的夾角為 0或或 180，所以所以 a ab b|a a|b b|cos |a a|b b|，所以所以“a ab b|a a|b b|”是是“a ab b”的充分不必要條件的充分不必要條件2已知向量已知向量 a a，b b 滿足滿足|a a|1，|b b|2 3，a a 與與 b b 的夾角的余弦值為的夾角的余弦值為 sin173，則則 b b(2a ab b)等等于于()a2b1c6d18解析：解析：選選 da a 與

8、與 b b 的夾角的余弦值為的夾角的余弦值為 sin17332，a ab b3，b b(2a ab b)2a ab bb b218.3已知已知 a a b b12 2，|a a|4，a a 和和 b b 的夾角為的夾角為 135，則，則|b b|的值為的值為()3a12b6c3 3d3解析：解析：選選 b因為因為 a a b b|a|b|a|b|cos 13512 2，所以所以|b b|12 24226.4(易錯題易錯題)已知已知|a a|5，|b b|4，a a 與與 b b 的夾角的夾角120，則向量則向量 b b 在向量在向量 a a 方向上的投影為方向上的投影為_解析：解析：由數(shù)量積的

9、定義知，由數(shù)量積的定義知，b b 在在 a a 方向上的投影為方向上的投影為|b b|cos 4cos 1202.答案：答案：25已知兩個單位向量已知兩個單位向量 e e1，e e2的夾角為的夾角為3，若向量，若向量 b b1e e12e e2，b b23e e14e e2，則，則 b b1b b2_.解析：解析：b b1b b2(e e12e e2)(3e e14e e2)3|e e1|22e e1e e28|e e2|2.其中其中|e e1|2|e e2|21，e e1e e2|e e1|e e2|cos3111212，所以，所以 b b1b b26.答案：答案：66.如圖如圖，在在abc

10、 中中，ab3，ac2，d 是邊是邊 bc 的中點的中點，則則 ad bc_.解析：解析： ad bc12( ab ac)( ab ac)12( ab2 ac2)52.答案：答案：52知識點二知識點二平面向量數(shù)量積的坐標表示平面向量數(shù)量積的坐標表示已知非零向量已知非零向量 a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，a a 與與 b b 的夾角為的夾角為.結(jié)論結(jié)論幾何表示幾何表示坐標表示坐標表示模模|a a| aa|a a| x21y21夾角夾角cos ab|a|b|cos x1x2y1y2x21y21 x22y22a ab b 的的充要條件充要條件a ab b0 x1x2y1y204|a a

11、b b|與與|a a|b b|的關(guān)系的關(guān)系|a ab b| |a a|b b| |x1x2y1y2| x21y21 x22y22 重溫經(jīng)典重溫經(jīng)典1(多選多選)設(shè)向量設(shè)向量 a a(2,0)，b b(1,1)，則，則()a|a a|b b|b(a ab b)b bc(a ab b)b bda a 與與 b b 的夾角為的夾角為4解析解析：選選 cd因為因為 a a(2,0)，b b(1,1)，所以所以|a a|2，|b b| 2，所以所以|a a|b b|，故故 a 錯誤錯誤；因因為為 a a(2,0)，b b(1,1)，所以，所以 a ab b(1，1)，所以，所以(a ab b)與與 b

12、b 不平行，故不平行，故 b 錯誤；又錯誤；又(a ab b)b b110，故，故 c 正確；又正確；又 cosa a，b ba ab b|a a|b b|22 222，所以，所以 a a 與與 b b 的夾角為的夾角為4，故故 d 正確正確2已知向量已知向量 a a(2,1)，b b(1，k)，a a(2a ab b)0，則，則 k_.解析：解析：2a ab b(4,2)(1，k)(5,2k)，由由 a a(2a ab b)0，得，得(2,1)(5,2k)0，102k0，解得，解得 k12.答案：答案：123已知向量已知向量 a a 與與 b b 的夾角為的夾角為 60，且，且 a a(2，

13、6)，|b b| 10，則，則 a ab b_.解析：解析：因為因為 a a(2，6)，所以，所以|a a| 2 2 6 22 10，又，又|b b| 10，向量，向量 a a 與與 b b 的的夾角為夾角為 60，所以，所以 a ab b|a a|b b|cos 602 10 101210.答案：答案：104(易錯題易錯題)向量向量 a a(3,4)在在 b b(1，1)方向上的投影為方向上的投影為_解析：解析：a a 在在 b b 方向上的投影為方向上的投影為ab|b|22.答案：答案：2255(教材改編題教材改編題)a a，b b 為平面向量為平面向量，已知已知 a a(4,3)，2a ab b(3,18)，則則 a a，b b 夾角的余弦值等夾角的余弦值等于于_解析解析：設(shè)設(shè) b b(x，y)，則則 2a ab b(8x,6y)(3,18)，所以所以8x3，6y18，解得解得x5，y12，故故 b b(5,12)，所以，所以 cosa a，b bab|a|b|1665.答案：答案：16656(易錯題易錯題)已知向量已知向量 a a(2,7)，b b(x，3)，且，且 a a 與與 b b 的夾角為鈍角，則實數(shù)的夾角為鈍角，則實數(shù) x 的取值范的取值范圍為圍為_解析：解析：由由 a a b b2x210，得，得 x21