2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第4節(jié) 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 教案

1、1第四節(jié)第四節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入最新考綱1.理解復(fù)數(shù)的概念，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.3.能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算， 了解兩個(gè)具體復(fù)數(shù)相加、減的幾何意義1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念：形如 abi(a，br)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中 a，b 分別是它的實(shí)部和虛部 若 b0， 則 abi 為實(shí)數(shù)， 若 b0， 則 abi 為虛數(shù)， 若 a0 且 b0，則 abi 為純虛數(shù)(2)復(fù)數(shù)相等：abicdiac，bd(a，b，c，dr)(3)共軛復(fù)數(shù)：abi 與 cdi 共軛ac，bd(a，b，c，dr)(4)復(fù)數(shù)的模： 向量oz的模r叫做復(fù)數(shù)

2、 zabi的模， 即|z|abi| a2b22復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù) zabi一一對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) z(a， b)一一對(duì)應(yīng)平面向量oz(a， b)3復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè) z1abi，z2cdi(a，b，c，dr)，則加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；減法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：z1z2abicdi（abi） （cdi）（cdi） （cdi）acbdc2d2bcadc2d2i(cdi0)(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何 z1，z2，

3、z3c，有 z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)常用結(jié)論21(1i)22i；1i1ii；1i1ii2i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nn*)3zz|z|2|z|2，|z1z2|z1|z2|，|z1z2|z1|z2|，|zn|z|n.一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)若 ac，則 a20.()(2)已知 zabi(a，br)，當(dāng) a0 時(shí)，復(fù)數(shù) z 為純虛數(shù)()(3)復(fù)數(shù) zabi(a，br)的虛部為 bi.()(4)方程 x2x10 沒(méi)有解()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1若復(fù)數(shù) z(x21)(x1)i 為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) x 的值為()a1

4、b0c1d1 或 1az 為純虛數(shù)，x210，x10，x1.2在復(fù)平面內(nèi)，向量ab對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 2i，向量cb對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是13i，則向量ca對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()a12ib12ic34id34idcacbbacbab13i2i34i，故選 d.3設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足1z1zi，則|z|等于()a1b. 2c. 3d2a1z1zi，則 zi11ii，|z|1.4已知(12i)z43i，則 z_32i由(12i)z43i 得z43i12i43i12i52i.z2i.考點(diǎn) 1復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的分類(lèi)、復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部有關(guān)，所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，需把所給復(fù)數(shù)化為代

5、數(shù)形式，即 abi(a，br)的形式，再根據(jù)題意列方程(組)求解1.若復(fù)數(shù)(m2m)mi 為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) m 的值為()a1b0c1d2c由純虛數(shù)的概念得m2m0，m0，得 m1，故選 c.2(2019長(zhǎng)沙模擬)已知 i 為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù) za12ii(ar)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則 a()a5b1c13d53dza12iia（12i）（12i） （12i）ia52a55i，因?yàn)閺?fù)數(shù) za12ii(ar)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)， 所以a52a55， 解得 a53.故選 d.3(2019唐山模擬)已知z1i2i，則z(z 的共軛復(fù)數(shù))為()a3ib3ic3id3ic由題意得 z(2i)(1

6、i)3i，所以 z3i，故選 c.44(2018全國(guó)卷)設(shè) z1i1i2i，則|z|()a0b.12c1d. 2c法一： 因?yàn)?z1i1i2i（1i）2（1i） （1i）2ii2ii， 所以|z|1，故選 c.法二：因?yàn)?z1i1i2i1i2i（1i）1i1i1i，所以|z|1i1i|1i|1i|221，故選 c.解決此類(lèi)時(shí)，一定要先看復(fù)數(shù)是否為 abi(a，br)的形式，以確定實(shí)部和虛部考點(diǎn) 2復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問(wèn)題的解題策略(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘法：復(fù)數(shù)的加、減、乘法類(lèi)似于多項(xiàng)式的運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位 i 的看作一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng)， 不含 i 的看作另一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng)， 分別合并即可(2)復(fù)數(shù)

7、的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母實(shí)數(shù)化解題中要注意把 i 的冪寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式(1)(2019全國(guó)卷)若 z(1i)2i，則 z()a1ib1ic1id1i(2)計(jì)算：（2i） （1i）212i()a2b2c2id2i(3)(2019惠州模擬)已知復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)為z，若z(1i)2i(i 為虛數(shù)單位)，則 z()aibi1ci1di5(4)(2019武漢調(diào)研)已知復(fù)數(shù) z 滿足 z|z|1i，則 z()aibic1id1i(1)d(2)a(3)c(4)b(1)由題意得 z2i1i2i（1i）（1i） （1i）1i，故選 d.(2)（2i） （1i）212i（2i）2i

8、12i24i12i2，故選 a.(3)由已知可得 z2i1i2i（1i）（1i） （1i）1i，則 z1i，故選 c.(4)法一：設(shè) zabi(a，br)，則 z|z|(a a2b2)bi1i，所以a a2b21，b1，解得a0，b1，所以 zi，故選 b.法二：把各選項(xiàng)代入驗(yàn)證，知選項(xiàng) b 滿足題意(1)在只含有 z 的方程中，z 類(lèi)似于代數(shù)方程中的 x，可直接求解；(2)在含有 z，z，|z|中至少兩個(gè)的復(fù)數(shù)方程中，可設(shè) zabi，a，br，變換方程，利用兩復(fù)數(shù)相等的充要條件得出關(guān)于 a，b 的方程組，求出 a，b，從而得出復(fù)數(shù) z.1.(2018全國(guó)卷)(1i)(2i)()a3ib3ic

9、3id3id(1i)(2i)2i2ii23i.2對(duì)于兩個(gè)復(fù)數(shù)1i，1i，有下列四個(gè)結(jié)論：1；i；|1；220，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()a1b2c3d4c(1i)(1i)2，不正確；1i1i（1i）2（1i） （1i）i，正確；|i|1，正確；22(1i)2(1i)22i2i0，正確63 (2019貴陽(yáng)模擬)設(shè) i 為虛數(shù)單位， 復(fù)數(shù) z 滿足 i(z1)1， 則復(fù)數(shù) z()a1ib1ic1id1ic由題意，得 z1i11i，故選 c.4已知 a 為實(shí)數(shù)， 若復(fù)數(shù) z(a21)(a1)i 為純虛數(shù)，則ai2 0201i()a1b0c1id1idz(a21)(a1)i 為純虛數(shù)，則有 a210，a

10、10，得 a1，則有1i2 0201i111i2（1i）（1i） （1i）1i.考點(diǎn) 3復(fù)數(shù)的幾何意義與復(fù)數(shù)幾何意義相關(guān)的問(wèn)題的一般解法第一步，進(jìn)行簡(jiǎn)單的復(fù)數(shù)運(yùn)算，將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式；第二步，把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面的點(diǎn)之間的關(guān)系，依據(jù)是復(fù)數(shù) abi 與復(fù)平面上的點(diǎn)(a，b)一一對(duì)應(yīng)(1)(2019全國(guó)卷)設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足|zi|1，z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則()a(x1)2y21b(x1)2y21cx2(y1)21dx2(y1)21(2)(2019全國(guó)卷)設(shè) z32i，則在復(fù)平面內(nèi) z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限(3)已知 z(m3)(m1)i

11、在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是()a(3，1)b(1，3)c(1，)d(，3)7(1)c(2)c(3)a(1)設(shè)復(fù)數(shù) z 與 i 分別表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) z 與點(diǎn) p，則p(0，1)，且|zi|表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn) z 與點(diǎn) p 之間的距離，所以點(diǎn) z(x，y)到點(diǎn) p(0，1)的距離為定值 1，所以 z 的軌跡是以(0，1)為圓心，1 為半徑的圓，故選 c.(2)z32i，z32i，在復(fù)平面內(nèi)，z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(3，2)，此點(diǎn)在第三象限(3)由已知可得復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(m3，m1)，所以m30，m10，解得3m1，故選 a.復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量及向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，要求某個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，只需確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部即可1.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) z1，z2對(duì)應(yīng)的向量分別是oa， ob，則復(fù)數(shù) z1z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限d由已知oa(2，1)，ob(0，1)，所以 z12i，z2i，z1z212i，它所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1，2)，在第四象限2若復(fù)數(shù) z 滿足|zi| 2(i 為虛數(shù)單位)，則 z 在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的圖形的面積為_(kāi)2設(shè) zxyi(x，yr)，由|zi| 2得|x(y1)i| 2，所以x2（y1）2 2，所以 x2(y1)2