2022屆高三數(shù)學一輪復習（原卷版）第1講　集合的概念與運算

1、第 1 講集合的概念與運算一、知識梳理1集合與元素(1)集合元素的三個特征：確定性、互異性、無序性(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于關系，用符號或表示(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號nn*(或 n)zqr注意n 為自然數(shù)集(即非負整數(shù)集)，包含 0，而 n*和 n的含義是一樣的，表示正整數(shù)集，不包含 0.2集合間的基本關系表示關系自然語言符號語言venn 圖子集集合a中所有元素都在集合b中(即若 xa，則 xb)ab(或 ba)真子集集合 a 是集合 b 的子集，且集合 b中至少有一個元素不在集合 a 中ab(或 ba

2、)集合相等集合 a，b 中元素相同ab3.集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集圖形語言符號語言abx|xa 或 xbabx|xa 且 xbuax|xu 且 xa常用結(jié)論|三種集合運用的性質(zhì)(1)并集的性質(zhì)：aa；aaa；abba；ababa(2)交集的性質(zhì)：a；aaa；abba；abaab(3)補集的性質(zhì)：a(ua)u；a(ua)；u(ua)a；u(ab)(ua)(ub)；u(ab)(ua)(ub)二、教材衍化1若集合 pxn|x 2 021，a2 2，則()aapbapcapdap解析：選 d因為 a22不是自然數(shù)，而集合 p 是不大于 2 021的自然數(shù)構(gòu)成的集合，所以 ap.故選

3、 d2設集合 ax|2x2，z 為整數(shù)集，則集合 az 中元素的個數(shù)是()a3b4c5d6解析：選 ca 中包含的整數(shù)元素有2，1，0，1，2，共 5 個，所以 az 中的元素個數(shù)為 5.一、思考辨析判斷正誤(正確的打“” ，錯誤的打“”)(1)若集合 ax|yx2，by|yx2，c(x，y)|yx2，則 a，b，c 表示同一個集合()(2)若 a 在集合 a 中，則可用符號表示為 aa()(3)若 ab，則 ab 且 ab()(4)n*nz.()(5)若 abac，則 bc()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易錯糾偏常見誤區(qū)|(1)忽視集合中元素的互異性致錯；(2)集合運算中端點取值

4、致錯；(3)忘記空集的情況導致出錯1已知集合 u1，0，1，ax|xm2，mu，則ua_解析：因為 ax|xm2，mu0，1，所以ua1答案：12已知集合 ax|(x1)(x3)0，bx|2x4，則 ab_，ab_，(ra)b_.解析：由已知得 ax|1x3，bx|2x4，所以 abx|2x3，abx|1x2答案：(2，3)(1，4)(，1(2，)3 已知集合 mx|xa0， nx|ax10， 若 mnn， 則實數(shù)a 的值是_解析：易得 ma因為 mnn，所以 nm，所以 n或 nm，所以 a0 或 a1.答案：0 或 1 或1考點一集合的概念(基礎型)復習指導|1.了解集合的含義，體會元素與

5、集合的“屬于”關系2能選擇自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象1設集合 axz|x|2，by|yx21，xa，則 b 中的元素有()a5 個b4 個c3 個d無數(shù)個解析：選 c依題意有 a2，1，0，1，2，代入 yx21 得到 b1，2，5，故 b 中有 3 個元素2設 a，br，集合1，ab，a0，ba，b，則 ba()a1b1c2d2解析：選 c因為1，ab，a0，ba，b，a0，所以 ab0，則ba1，所以 a1，b1.所以 ba2.3已知集合 axn|1xlog2k，集合 a 中至少有 3 個元素，則 k 的取值

6、范圍為_解析：因為集合 a 中至少有 3 個元素，所以 log2k4，所以 k2416.答案：(16，)4已知集合 am2，2m2m，若 3a，則 m 的值為_解析：由題意得 m23 或 2m2m3，則 m1 或 m32.當 m1 時，m23 且 2m2m3，根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意；當 m32時，m212，而 2m2m3，符合題意，故 m32.答案：32與集合中元素有關問題的求解策略考點二集合間的基本關系(基礎型)復習指導|理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集了解全集與空集的含義核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象(1)已知集合 ax|x23x20，xr，bx|0 x5，xn，則滿足

7、條件 acb 的集合 c 的個數(shù)為()a1b2c3d4(2)已知集合 ax|1x3， bx|mx0 時，因為 ax|1x3當 ba 時，在數(shù)軸上標出兩集合，如圖，所以m1，m3，mm.所以 00，bx| 5x2 或 x2 或 x0 x| 5x 5r.故選 b2已知集合 ax|x22x30，xn*，則集合 a 的真子集的個數(shù)為()a7b8c15d16解析：選 a法一：ax|1x3，xn*1，2，3，其真子集有：，1，2，3，1，2，1，3，2，3共 7 個法二：因為集合 a 中有 3 個元素，所以其真子集的個數(shù)為 2317(個)3設集合 ax|1x2，bx|xa，若 aba，則 a 的取值范圍是

8、()aa|a2ba|a1ca|a1da|a2解析：選 d由 aba，可得 ab，又 ax|1x2，bx|xa，所以 a2.故選d考點三集合的基本運算(綜合型)復習指導|1.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集2理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集3能使用 venn 圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用核心素養(yǎng)：數(shù)學運算角度一集合的運算(1)(2019高考全國卷)已知集合 u1，2，3，4，5，6，7，a2，3，4，5，b2，3，6，7，則 bua()a1，6b1，7c6，7d1，6，7(2)(2020鄭州市第一次質(zhì)量預測)設全集

9、ur， 集合 ax|3x1， bx|x10，則u(ab)()ax|x3 或 x1bx|x1 或 x3cx|x3dx|x3【解析】(1)依題意得ua1，6，7，故 bua6，7故選 c(2)因為 bx|x1， ax|3x3， 所以u(ab)x|x3故選 d【答案】(1)c(2)d集合基本運算的求解策略角度二利用集合的運算求參數(shù)(1)設集合 ax|1x2，bx|xa，若 ab，則 a 的取值范圍是()a12ca1da1(2)集合 a0，2，a，b1，a2，若 ab0，1，2，4，16，則 a 的值為()a0b1c2d4【解析】(1)因為 ab，所以集合 a，b 有公共元素，作出數(shù)軸，如圖所示，易知

10、 a1.(2)根據(jù)并集的概念，可知a，a24，16，故 a4.【答案】(1)d(2)d根據(jù)集合的運算結(jié)果求參數(shù)的值或取值范圍的方法(1)將集合中的運算關系轉(zhuǎn)化為兩個集合之間的關系若集合中的元素能一一列舉，則用觀察法得到不同集合中元素之間的關系； 若集合是與不等式有關的集合， 則一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值能否取到(2)將集合之間的關系轉(zhuǎn)化為解方程(組)或不等式(組)問題求解(3)根據(jù)求解結(jié)果來確定參數(shù)的值或取值范圍1 (2019高考天津卷)設集合 a1， 1，2，3， 5，b2，3， 4，cxr|1x3，則(ac)b()a2b2，3c1，2，3d1，2，3，4解析：選 d通解：因為 ac1，

11、2，b2，3，4，所以(ac)b1，2，3，4故選 d優(yōu)解：因為 b2，3，4，所以(ac)b 中一定含有 2，3，4 三個元素，故排除 a，b，c，選 d2(2020寧夏石嘴山三中一模)已知集合 a1，0，1，2，bx|x210，則右圖中陰影部分所表示的集合為()a1b0c1，0d1，0，1解析：選 b陰影部分對應的集合為 arb，bx|x210 x|x1 或 x1，則rbx|1x1，則 arb0，故選 b3已知集合 ax|x24，bm若 aba，則 m 的取值范圍是()a(，2)b2，)c2，2d(，22，)解析：選 d因為 aba，所以 ba，即 ma，得 m24，解得 m2 或 m2.

12、考點四集合的新定義問題(創(chuàng)新型)復習指導|以集合為背景的新定義問題常以“問題”為核心，以“探究”為途徑，以“發(fā)現(xiàn)”為目的，這類試題只是以集合為依托，考查考生對新概念的理解，充分體現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的數(shù)學抽象核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象定義集合的商集運算為abx|xmn，ma，nb已知集合 a2，4，6，bx|xk21，ka，則集合bab 中的元素個數(shù)為()a6b7c8d9【解析】由題意知，b0，1，2，ba0，12，14，16，1，13，則bab0，12，14，16，1，13，2，共有 7 個元素，故選 b【答案】b解決集合新定義問題的方法(1)要分析新定義的特點和本質(zhì)，認清新定義對集合元素的要求，結(jié)合題目

13、要求進行轉(zhuǎn)化，并將其運用到具體的解題過程中(2)要充分應用集合的有關性質(zhì)及一些特殊方法(如特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法等)，將新定義問題轉(zhuǎn)化到已學的知識中進行求解1如果集合 a 滿足若 xa，則xa，那么就稱集合 a 為“對稱集合”已知集合 a2x，0，x2x，且 a 是對稱集合，集合 b 是自然數(shù)集，則 ab_解析：由題意可知2xx2x，所以 x0 或 x3.而當 x0 時不符合元素的互異性，所以舍去當 x3 時，a6，0，6，所以 ab0，6答案：0，62設 a，b 是非空集合，定義 abx|xab 且 xab已知集合 ax|0 x2，by|y0，則 ab_解析：由已知 ax|0 x2，by

14、|y0，又由新定義 abx|xab 且 xab，結(jié)合數(shù)軸得 ab02，)答案：02，)基礎題組練1設集合 a1，1，2，3，5，b2，3，4，cxr|1x0，bx|x10 x|x3 或 x2，bx|x10 x|x1，所以 abx|x0，bx|xa0 x|x3，bx|xa0 x|xa因為 ba，所以 a1.故選 d7(多選)(2021預測)若集合 ax|x(x2)0，且 aba，則集合 b 可能是()a1b0c1d2解析： 選 bcd 因為 ax|x(x2)0， 所以 a0， 2 因為 aba， 所以 ba由選項知有0a，1a，2a故選 bcd8已知全集 ur，函數(shù) yln(1x)的定義域為 m

15、，集合 nx|x2x0，則下列結(jié)論正確的是()amnnbm(un)cmnudm(un)解析：選 a由題意知 mx|x1，nx|0 x1，所以 mnn.又unx|x0 或x1，所以 m(un)x|x0，mnx|x1m，m(un)，故選 a9(2020江蘇南京聯(lián)合調(diào)研改編)已知全集 u1，2，3，4，5，集合 a1，3，4，b3，5，則 ab_，ua_解析：因為全集 u1，2，3，4，5，集合 a1，3，4，b3，5，所以 ab3，則ua2，5答案：32，510已知全集 ur，ax|x0，bx|x1，則集合u(ab)_解析：由于 abx|x0 或 x1，結(jié)合數(shù)軸，u(ab)x|0 x1答案：x|0

16、 x0，所以rny|y0，mrn.故 c正確，a，b，d 錯誤2(創(chuàng)新型)如圖所示的 venn 圖中，a，b 是非空集合，定義集合 ab 為陰影部分表示的集合若 x，yr，ax|2xx20，by|y3x，x0，則 ab()ax|0 x2bx|12解析：選 d因為 ax|2xx200，2，by|y3x，x0(1，)，所以 ab0，)，ab(1，2，由題圖知 ab0，1(2，)，故選 d3(應用型)已知集合 ax|1x3，bx|2mx1m，若 ab，則實數(shù) m的取值范圍是_解析：因為 ab，若當 2m1m，即 m13時，b，符合題意；若當 2m1m，即 m13時，需滿足m13，1m1或m13，2m