群決策與社會選擇

1、群決策與社會選擇§ 12-1 概述一、為什么要研究群決策A. 在現(xiàn)實生活中任何決策會影響一群人,因此在公正、民主的社會中,重大的決策應(yīng)盡量滿足受該決策影響的群眾的愿望和要求.群眾通過代表反映愿望和要求,代表們構(gòu)成各種委員會.行政機構(gòu)中的領(lǐng)導(dǎo)班子社會發(fā)展信息和知識的積累及更新速度加快 ,領(lǐng)導(dǎo)個人難以在掌和應(yīng)付智囊團和咨詢機構(gòu)應(yīng)運而生并廣泛存在 ,作用加強 .委員會、代表大會、議會、協(xié)會、俱樂部, 領(lǐng)導(dǎo)班子、組織 , 智囊團等等都是群 ,群中的成員各有偏好 , 要形成集體意見需要研究群決策和社會選擇理論 .B. 世界上矛盾無處不在 , 人與人、組織與組織、國與國之間的矛盾如何解決 ,如何

2、避免沖突升級 ,需要研究協(xié)商、談判、仲裁、調(diào)解、合作對策等沖突分析方法 , 因而沖突分析也是群決策的主要研究內(nèi)容 .二、分類涉及內(nèi)容及解決辦法投票表決社會選擇社會選擇函數(shù)社會福利函數(shù)委員會集體專家判斷和激發(fā)創(chuàng)造性采集意見系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的探索決群體參與策Team theory仿真實施與管理群一般均衡理論遞階優(yōu)化決組織機構(gòu)決策組織決策策管理正規(guī)型多一般對策論擴展型人特征函數(shù)決Nash策沖協(xié)商與談判K-S突Mid-mid分均衡增量析主從對策與激勵仲裁與調(diào)解強制仲裁最終報價仲裁亞對策論組合仲裁三、社會選擇的定義與方式1. 定義 : ( Luce & Raiffa )社會選擇就是根據(jù)社會中各成員的價值

3、觀及其對不同方案的選擇產(chǎn)生社會的決策 ;即把社會中各成員對各種狀況的偏好序集結(jié)成為單一的社會偏好模式 2. 社會選擇的常用方式 :慣例、常規(guī)、宗教法規(guī)、職權(quán)、獨裁者的命令、投票表決和市場機制 .其中 : 投票 : 少數(shù)服從多數(shù) , 大多用于解決政治問題; 市場機制 :本質(zhì)是用貨幣投票, 大多用于經(jīng)濟決策; 獨裁 : 根據(jù)個人意志進行(取代 )社會選擇 ; 傳統(tǒng) :以慣例、常規(guī)、宗教法規(guī)等代替社會中各成員的意志.傳統(tǒng)到獨裁的演變: 傳統(tǒng) (無論慣例、 常規(guī)還是宗教法規(guī))在開始時是社會上大部分公民或成員認可的規(guī)則 (以及規(guī)定、法規(guī) ), 隨著社會的發(fā)展 , 總有新的問題、新情況是原來的規(guī)則 (以及

4、規(guī)定、法規(guī) )所無法解決的 ,解決這些新的問題、新情況的新規(guī)則就要由社會上比較有威望的某些人制訂 , 這些人在解決新問題、 新情況時就代替整個社會進行了選擇 . 只要這些人不是以民主方式選舉產(chǎn)生的, 他們的權(quán)力就會逐漸增大 , 成為代替社會進行決策的小團體. 這個小團體中最強有力的人物最終也就有可能成為獨裁者.§ 12.2 投票表決 (選舉 )(Voting)投票表決可分成兩步: 1.投票 ,應(yīng)簡單易行2. 計票 ,應(yīng)準確有效一、非排序式投票表決 (Non-ranked Voting Systems)(一)只有一人當選1. 候選人只有兩個時 : 計點制 (Spot vote)投票 :

5、 每人一票 ;計票 : 簡單多數(shù)票 (simple plurality) 法則(即相對多數(shù) ).2. 候選人多于兩個時 簡單多數(shù) (相對多數(shù) )過半數(shù)規(guī)則 (絕對多數(shù)Majority)第一次投票無人獲得過半數(shù)選票時 ,a.二次投票 ,如法國總統(tǒng)選舉.b. 反復(fù)投票 : i. 候選人自動退出 ,如美國兩黨派的總統(tǒng)候選人提名競選 ;ii. 得票最少的候選人的強制淘汰 ,如奧運會申辦城市的確定 .例 12.1由 11 個成員組成的群 ,要在 a、b、c、d四個候選人中選舉一人 .設(shè)各成員心目中的偏好序如下 :成員 i1234567891011排序第一位aaabbbbcccd第二位cccaaaaaaa

6、a第三位dddccccdddc第四位bbbddddbbbb按簡單多數(shù)票法則, b 得4 票當選.實際上,雖然有 4 雖然只有人認為 b3 人認為最好 ,但是有 7 人認為 b 最差 ;a 最好 ,但是其余8 人認為 a 是第二位的;例 12.2所以 ,由 a 當選為宜 .設(shè)各成員心目中的偏好序如下:成員i:1234567891011排序第一位bbbbbbaaaaa第二位aaaaaacccdd第三位cccddddddcc第四位dddccccbbbb按簡單多數(shù)票法則或過半數(shù)規(guī)則, b 得 6 票當選 .實際上 ,雖然有 6 人認為 b 最好 ,但是有 5人認為 b 最差 ; 雖然只有 5 人認為

7、a 最好 ,但是其余6 人認為 a 是第二位的 ; 所以 ,由 b 當選未必合適 .例12. 3設(shè)各成員心目中的偏好序如下:成員 i:1234567891011排序 第一位bbbccccddaa第二位aaaaaaaaabd第三位dcdbbbdcbdc第四位cdcdddbbccb按過半數(shù)規(guī)則 , 第一次投票無人獲得過半數(shù)選票, c、 b 得票多 ,第二投票時 ,6 人認為 c 比 b 優(yōu) , c 當選 . 而在該問題中沒有人認為 a 處于第二位以下 ,卻有 4 人認為 c 最差 .由上面三個例子可知 , 無論簡單多數(shù)票法則、 過半數(shù)規(guī)則 還是二次投票 ,都有不盡合理之處 .(二 ). 同時選出二

8、人或多人1. 單一非轉(zhuǎn)移式投票表決 (Single nontransferable voting)投票人每人一票, 得票多的候選人當選.如 :日本議員選舉采用選區(qū)制,每選區(qū)當選人數(shù)超過2 個 ,1890年起即用此法.2.復(fù)式選舉 (Multiple voting)每個投票人可投票數(shù)=擬選出人數(shù)但對每個候選人只能投一票弊端 : 在激烈的黨派競爭中,實力稍強的黨派將擁有全部席位 .因此該方法只能用于存在共同利益的團體、組織內(nèi)部,如黨團組織和班干部的選舉.3.受限的選舉 (Limited voting)每個投票人可投票數(shù)擬選出人數(shù)對每個候選人只能投一票弊端 : 同上 .1868 年英國議會選舉采用此

9、法, 1885 年即取消 .4. 累加式選舉 (Cumulate voting)每個投票人可投票數(shù) =擬選出人數(shù) .這些選票由選舉人自由支配 ,可投同一候選人若干票利 : 可切實保證少數(shù)派的利益.大多用于學(xué)校董事會的選舉,例 :英國(1870-1902).( 注意 :公司董事會的選舉與此不同.)5. 名單制 (List system)由各黨派團體開列候選人名單, 投票人每人一票, 投給黨團 .此法于 1899 年用于比利時, 以后被荷蘭、 丹麥、挪威和瑞典等國采用.計票分兩種 : .最大均值法 ; .最大余額法例 12. 4 24000 人投票 ,選舉 5 人 , A 、 B、 C、 D 四個

10、黨派分別得 8700、 6800、 5200、 3300 票 , 如何分配議席 ?(1)最大均值法 :A 黨首先分得第一席.第二席分給各黨派時, 各黨派每一議席的均值如下 :黨派得票除數(shù)均值 (每一議席的得票均值 )A870024350B680016800C520015200D330013300由于 B 黨的均值最大 B 黨得第二席 .分第三席時各黨派每一議席的均值如下 :黨派得票除數(shù)均值A(chǔ)870024350B680023400C520015200D330013300C 黨得第三席 , 分第四席時各黨派每一議席的均值如下:黨派得票除數(shù)均值A(chǔ)870024350B680023400C5200226

11、00D330013300由于 A 黨的均值最大 , A 黨得第四席 .分第五席時各黨派每一議席的均值如下 :黨派得票除數(shù)均值A(chǔ)870032900B680023400C520022600D330013300B 黨的均值最大B 黨得第五席 .最后 AB各得2席 ,C得1席. . 最大余額法 :首先計算 Q=N/K 的值 : Q=24000/5=4800, 用各黨派得票數(shù)除以 Q 并計算余數(shù) :黨派得票除數(shù)分得席位余額A8700480013900B6800480012000C520048001400D3300480003300按每 4800 票得一席 ,A、B、C 黨各得一席 , 剩余 2 席,因為

12、 A、D 兩黨的余額大 ,最后 A 黨得 2 席, B、C 和 D 黨各得一席 .可以證明 ,最大均值法對大黨有利; 最大余額法對小黨有利 .6. 簡單可轉(zhuǎn)移式選舉 (Single nontransferable voting)常常用于 3-6 個席位的選區(qū) .投票人每人一票 . 現(xiàn)況值Q=N/(K+1), 得票數(shù)大于 Q 的候選人人選 ,得票最少的候選人被淘汰 , 由未被淘汰的未當選候選人在下一輪中競爭剩余席位 .仍以例12.4說明.N=24000,K=5,故Q=N/(K+1)=24000/6=4000,設(shè)各黨派候選人的第一次投票得票數(shù)為 :候選人 :A 1A2A3B 1B 2C 1C 2D

13、 1得票數(shù) :4100410050041002700405011503300其中,A1,A 2,B1,C1第一次投票后可入選 ,A3被淘汰 ,B2,C2, D1通過第二次投票 競爭最后一席.這時Q=24000/2=12000. 支持 A 黨的可轉(zhuǎn)移投票方向, 他們在讓誰入選上有決定性影響 .7. 認可選舉 ( Approval vote )每個投票人可投任意張選票, 但他對每個候選人只能投一張票 . 得票最多的前K 個候選人當選 . 如職稱評定 , 評獎, 評先進等 .(三 ). 其它投票表決(選舉 )方法1.資格認定 .候選人數(shù) M=當選人數(shù) K即等額選舉 , 用于不存在競爭或不允許競爭的場

14、合. . 不限定入選人數(shù)如學(xué)位點評審 ,職稱評定 , 評獎等 . 目的不是排序 .而是按某種標準來衡量被選對象 .2. 非過半數(shù)規(guī)則 2/3 多數(shù) , 例美國議會推翻總統(tǒng)否決需要2/3 多數(shù) . 2/3 多數(shù) 60%多數(shù) , 例如希臘議會總統(tǒng)選舉 ,第一次需要 2/3 多數(shù) ,第二次要 60% 多數(shù) . 3/4 多數(shù) , 美國憲法修正案需要 3/4 州議會的批準 . 過半數(shù)支持 , 反對票少于 1/3. 例如 1993 年前我國博士生導(dǎo)師的資格認定.一票否決 , 安理會常任理事國的否決權(quán).二、偏好選舉與投票悖論1.記號N= 1, 2,A=a 1 ,( Paradox of voting ),n

15、 表示群 ,即投票人的集合;,a m 備選方案 ( 候選人)集合;i, i成員 (投票人 ) i的偏好; G ,n或jkGN(aja k)群的排序群中認為.a j優(yōu)于ak的成員數(shù)采用上述記號, 過半數(shù)規(guī)則可以表示為:對aj,a k A若njk nkj則ajGa k;若n jk =n kj則 a j G ak2. Borda 法 ( 1770 年提出 )由每個投票人對m 個候選人排序, 排在第一位的得m-1 分 ,排在第二位的得m-2 分 ,根據(jù)各候選人所得總分多少確定其優(yōu)劣.3. Condorcet 原則 ( 1785 年提出 )對候選人進行成對比較, 若某個候選人能按過半數(shù)規(guī)則擊敗其它所有候

16、選人, 則稱為Condorcet 候選人 ; 若存在Condorcet候選人,則由其當選.用上述記號表示,即 :若njk n kj a k Aa j,則aj當選.例 12.5群由60 個成員組成, A= a, b, c ,群中成員的態(tài)度是:23 人認為acb(即a 優(yōu)于c ,c優(yōu)于b, a也優(yōu)于b)19 人認為16 人認為2 人認為a 與 b 相比N(aa 與 c 相比N(ab 與 c 相比N(bbcacbcab)=25,N(bc)=23,N(cc)=19,N(caba)=35a)=37b)=41因此有因此有因此有bccGaGaGb由于候選人c 能分別擊敗a 與b,所以c 是Condorcet

17、候選人,由 c 當選 .但是 ,常常不存在Condorcet 候選人 .4. 多數(shù)票循環(huán) (投票悖論 )例 12. 6 若群中 60 個成員的態(tài)度是 :23人認為abc17人認為bca2人認為bac8人認為cba10人認為cab由于 N(ab)=33,N(ba)=27因此有 aG bN(bc)=42,N(ca)=18因此有 bG cN(ac)=25,N(ca)=35因此有 cG a每個成員的偏好是傳遞的, 但是按過半數(shù)原則集結(jié)得到的群的排序并不傳遞,出現(xiàn)多數(shù)票循環(huán),這種現(xiàn)象稱作Condorcet 效應(yīng) (也叫投票悖論 )5. 出現(xiàn)Condorcet 效應(yīng)的概率成員數(shù) N:357111525方案

18、數(shù)m=3.0556.0694.0750 .0798.082.0843.08774.111.14.15.17555.16.20.22.25136.20.25.27.31528.4152101 .488715.608720.681130.791449.8405三、策略性投票(操縱性 )1. 小集團控制群例 : 百人分蛋糕2. 謊報偏好而獲益例 12.7群由 30 個成員組成 , A= a, b, c ,群中成員的態(tài)度是:14 認為abc4 人認為bac4 人認為bca8 人認為cba根據(jù) Borda 法和 Condorcet 原則 ,都應(yīng)由 b 當選 , 但是 , 若認為a b c 的 14 人中

19、有 8 人撒謊 , 稱他們認為 a c b , 則按Borda法 ,將由a 當選.3. 程序(議程)問題例12.6 所述問題:后參加表決的方案獲勝.四、衡量選舉方法優(yōu)劣的標準能否充分利用各成員的偏好信息若存在Condorcet 候選人 ,應(yīng)能使其當選 .能防止策略性投票§ 12.3社會選擇函數(shù)一、引言1. 仍以例 12.5 為例 :群由 60 個成員組成 , A= a, b, c ,群中成員的態(tài)度是:23 人認為acb19人認為bca16人認為cba2人認為cab根據(jù) Condorcet 原則c 當選根據(jù)簡單多數(shù)規(guī)則a 當選根據(jù)過半數(shù) (二次投票 )規(guī)則b 當選該例中一共只有三個候選

20、人, 采用不同選舉方法時, 這些候選人都有可能當選. 那么這些方法中究竟何者合理?據(jù)何判斷選舉方法的合理性?2 例 12.6 表明多數(shù)票循環(huán)不可避免, 問題是 : 出現(xiàn)多數(shù)票循環(huán)時該誰當選?研究社會選擇問題的理論家提出：應(yīng)該采用某種與群中成員偏好有關(guān)的數(shù)量指標來反映群(即社會 )對各方案的總體評價.這種數(shù)量指標稱為社會選擇函數(shù).二、社會選擇函數(shù)的幾個性質(zhì)0. 記號在對 x,y 比較時1若 xi yD i =0若 x i y-1若 yi x群中各成員的偏好分布D = ( D 1 , ,D n )偏好分布的集合D= -1, 0, 1 n社會選擇函數(shù)F(D) = f( D 1 , ,D n )D D

21、即 F : -1, 0, 1 n -1, 0, 1 1. 明確性 (Decisiveness)D0 F(D) 02.中性 (Neutrality) 又稱對偶性對侯選人的公平性f( -D 1 , ,-D n ) = - f( D 1 , ,D n )3.匿名性 (Anonymity) 又稱平等原則各成員的權(quán)力相同f( D 1 , ,D n ) = f( D ( 1) , ,D ( n) )其中是(1,n)的新排列4. 單調(diào)性 (Monotonicity) 又稱正的響應(yīng)若 D D則 F(D)F(D )5.一致性 (Unanimity) 又稱 Weak Pareto 性f ( 1, 1, , 1)

22、= 1or f ( -1, -1, , -1) = -16.齊次性 (Homogeneity)對任意正整 數(shù) m F ( mD ) = F ( D )7.Pareto 性D i 1, 0 for all Iand D = 1 for some k F(D)= 1D i = 0for allI F ( D ) = 0三、社會選擇函數(shù)1. Condorcet-函數(shù)f c (x) =min N( xiy )yA xf c ( .) 值愈大愈優(yōu) .例 12. 6群中 60 個成員的態(tài)度是:23人認為abc17人認為bca2人認為bac8人認為cba10人認為cabN(ab)=33, N(ac)=25因

23、此 f c ( a ) = 25N(ba)=27, N(bc)=42,因此 f c ( b ) = 27N(ca)=18, N(ca)=35,因此 f c ( c ) = 18 b G a G cCondorcet-函數(shù)值還可以用下法求得:根據(jù)各方案成對比較結(jié)果列出表決矩陣-3325矩陣中各行最小元素:25N=27-42273518-18即 Condorcet- 函數(shù)值 .Condorcet- 函數(shù)滿足性質(zhì)16.2. Borda-函數(shù)fb(x) =N( xiy )yA xfb(x) 即表決矩陣中x 各元素之和,fb( .)值愈大愈優(yōu) .例 12. 6 中方案a ,b ,c 的 Borda- 函

24、數(shù)值分別是58, 69, 53, bG aGcBorda-函數(shù)滿足性質(zhì)16.3. Copeland-函數(shù)根據(jù)各方案兩兩比較的勝負次數(shù)的差來定f cp (x) = My: y A 且 xG y- My: y A 且 yG xf cp ( .) 值愈大愈優(yōu) . 例 12.6 中方案 a ,b ,c 的 Copeland函數(shù)值均為0, 三者平局 .Copeland-函數(shù)滿足性質(zhì)16.4. Nanson 函數(shù)用 Borda- 函數(shù)求解 , 每次淘汰 Borda- 函數(shù)值最小的方案 :即: A1 =A,A j 1 = A j x A j ; f b(x) f b(y), 且對某些 yf b(x) f b

25、(y) 直到A j 1 = A j為止 .例 12. 6 中 f b (c) 的 Borda- 函數(shù)值最小 ,= a, b A 3 = A 2 b = a aGb A 2 = A 1 c G cNanson 函數(shù)不滿足性質(zhì)(4).5. Dodgson 函數(shù)英， 1832 1898)使某個候選人成為Condorcet 候選人需要N 中成員改變偏好的總選票數(shù) .N 個成員 ,m 個候選人記 n jk= N (a jiak )n 為偶數(shù)時n0 =n/2n 為奇數(shù)時n0 =(n+1)/2n jj= 0f (a j ) =mj=1, ,mk 1 |n0njk | ( n0 n jk ) 2例 12.6

26、中, a,b,c 的 Dodgson 函數(shù)值分別為5, 3, 12, bGaGcDodgson 函數(shù)不滿足(4).6.Kemeny 函數(shù)· 使社會排序與各成員對方案的偏好序有最大的一致性.首先定義：社會選擇排序矩陣L = ljk 1a jG akl jk=0a j Gak-1akGa jA 上的每一線性序都對應(yīng)一個L記n jk= N (a jG ak )nkj= N (a k G a j)n*jk= N (a j G ak )比例矩陣M = mjk m jk= ( n jk + n*jk /2)/n投票矩陣E=M-M Tn jknkje jk =nn定義<E·L>

27、;=jke jkl jk即 , 群中認為 a jak的成員的比例與群的排序l jk 的內(nèi)積 ,它反映群的排序與成員排序的一致性.Kemeny 函數(shù)f k = max < E· L > 。7.Cook-Seiford函數(shù)設(shè)成員 i 把方案 j 排在r ij 位 , 方案 j 的群體序為K則成員 I 與群體序的總偏差:| r ij -K |j各成員排序與群體序的總偏差d jk =| r ij -K |ij數(shù)學(xué)規(guī)劃mind jkp jkjks.t.pjpkjkjk= 1= 1的解中p jk= 1表示方案j 的群體序為K8.本征向量函數(shù)Dodgson 矩陣D = d jk 其中

28、: d jk = n jk /n kj ,顯然 d jk= 1/d kj, 但是 d jk djl*dlk ,可由(D - mI) W = 0求得W 后.按各分量的大小排相應(yīng)方案的次序.9. Bernardo 函數(shù)上述各種方法只根據(jù)各成員對各方案的總體優(yōu)劣集結(jié)成群體序 .對某些多人多準則問題, 尤其是實際工程問題,應(yīng)該根據(jù)每個準則下各方案的優(yōu)劣次序集結(jié)成群體序.一般的多準則社會選擇問題可以表述為: 對有限方案集A= a 1 ,am ,由委員會 N= 1, 2, ,n 根據(jù)準則集 (即評價指標體系 ) C=c1, c1, ,cr 來確定各方案的優(yōu)先次序 .在求解問題時 , 首先要根據(jù)r 種不同的

29、準則中的每一種準則 ,分別描述各方案aj 的優(yōu)劣 . 為了集結(jié)各成員的意見,可以用協(xié)商矩陣表示委員會對各方案優(yōu)劣的總體感覺. 是 m×m 方陣 , 其元素 jk 表示將方案 aj 排在第 k 位的成員人數(shù) . 為了反映各準則的重要性 , 可以對各準則加權(quán) . 權(quán)向量 W=w1, w2, wr. 設(shè)根據(jù)準則 cl, 有 xljk位成員將 ajr排在第 k 位 , 則 jk = wl . xljk ,Bernardo 定義一個0-1 矩陣1P, 其每行、每列只有一個元素為1,余者均為0. 使jk p jkj ,k極大, 即maxjk p jkjks.t.m=1k=1,2,mp jkj 1

30、mp jk =1j=1,2,mk 1p jk 0,1P 中的非 0 元素 p jk =1 表示方案aj 應(yīng)該排在k 位 .§ 12.4 社會福利函數(shù) (Social Welfare Function)一、社會福利(Social Welfare)1. 福利經(jīng)濟學(xué)是經(jīng)濟學(xué)中的一個學(xué)派，主要研究社會的福利與福利的判斷問題；2. 福利經(jīng)濟學(xué)家 (例 Bergson, Samulson 等)認為：社會福利是一種可以測度的量，人們可據(jù)以判斷一種社會狀況是優(yōu)于，無差異于還是劣于另一種社會狀況。即可以用 Social welfare function 來度量社會福利。定義：SWF 是社會狀態(tài)x 的實

31、值函數(shù)， 是社會福利的測度，記作 W( x)=G(w 1 (x), ,w n (x)Note: 社會福利是社會中各成員所享受福利的綜合，而非總和 ;個人的福利 wi( x)與該成員對社會的貢獻、地位、個人的興趣、愛好等多種因素有關(guān) .3. 若用 u i (x) 表示社會狀態(tài)x 帶給成員 i 的福利，則W(x)=G(u 1 (x), ,u n (x),在相互效用獨立時 G 可表示為加性，即W(x)=ni 1 i ui ( x)但是，由于存在不確定性, 設(shè)導(dǎo)致x j 的自然狀態(tài) j 的概率為 ( j )故應(yīng)有： max E W( x) =W( x j ) ( j ) ,所以社會福利的判j斷極其復(fù)雜

32、 .即使對確定性的xa)各成員間的效用并不獨立：不患寡而患不均;b)兩個人的福利相加并無意義 (一個人享受雙分福利與二人各享受一份絕不等價 ), 所以加性社會福利函數(shù)并無實際意義 .而且使用SWF 存在如下問題 :各成員的福利(效用 )函數(shù)如何確定 ?人與人間的福利函數(shù)如何校定基準值與比例尺，即如何進行效用的人際比較?由誰評價 ? 怎樣評價 ? 即個人的誠實性與評價的公平性如何檢驗 ?社會福利函數(shù)的實質(zhì)：是一種規(guī)則，是潛在的群決策過程 , 是從個人對社會狀況的排序得出社會總體排序的方法.二、偏好斷面(profile of preference ordering)( 偏好分布 )1 可能的偏好序

33、(1)二個方案xy ,xy ,x y(2)三個方案R 1 : xyz,R 2 : x zy , R13:xyz記各方案間可能的偏好序集合r= R1,R2, , RS,則可能的偏好序種類S 為 :方案數(shù)m234578只考慮強序時m!26241207205040全 部S313755414386460332偏好斷面：記成員 i 的排序為 Oi , Oi r偏好斷面 P = ( O1,O2,On)P r ( n)社會福利函數(shù)f : P r3. 可能的社會福利函數(shù)2個成員 , 2 個方案成員的偏好序 S=3 時 ,f 的定義域即偏好分布有3 2 = 9 種 , f 的值域即群的排序為 3,因此 , f

34、的可能形式有 39=19683 種 .3個成員 , 2 個方案時 , f 的可能形式有 3 27=7.6256× 1012 種 .2個成員 , 3 個方案時 , f 的可能形式有13 169 =1.8 ×10 188種 .3個成員 , 3 個方案 , 只考慮強序時 ,f 的可能形式有6 216 =1.2× 10 168 種 .在這許多可能形式中 ,哪些比較合理呢 ? K. J. Arrow 研究了社會福利函數(shù)應(yīng)當滿足的條件 .三、 Arrow條件 1.的條件 (即社會福利函數(shù)應(yīng)當具有的性質(zhì)完全域 (廣泛性 )Universality)a).m 3b).N 2c).

35、 社會福利函數(shù)定義在所有可能的個偏好分布上;條件 2. 社會與個人價值的正的聯(lián)系(Positive association ofsocial and individual value)若對特定P,原來有 xG y，則在 P 作如下變動后仍有有 x G yi. 對除 x 以外的方案成對比較時偏好不變ii. x與其他方案比較時或者偏好不變，或者有利于x。(有利于x 是指xi y xi y或者yi xxi y或xi y)原來有xG y,則在 P 作如上變動后仍有xG y 或xG y條 件3無 關(guān) 方 案 獨 立 性 (I ndependence ofIrrelevantA lternatives)i

36、. A1A , A1 A1= A對A1中方案的偏好變化不影響A1中方案的排序,換言之ii. x , y 的優(yōu)劣不因 z 的加入而改變 .條件 4. 非強加性 (公民主權(quán) Citizen sovereignty) 總要有某些成員認為 x i y 時，才能有 x G y.條件 5. 非獨裁性 ( Non-Dictatorship )群中任一成員i 都沒有這樣的權(quán)力:xi y xG y此外，個人和群的優(yōu)先序應(yīng)滿足連通性(可比性 )，傳遞性 .條件 2 加條件 4 即 Pareto 條件 .四、 Arrow的可能性定理定理 1(m=2 的可能性定理)若方案總數(shù)為 2,過半數(shù)決策方法是一種滿足條件 1

37、5 的社會選擇函數(shù)，它能對每一偏好分布產(chǎn)生一個社會排序。定理 2 (一般可能性定理)即 Arrow 不可能定理若 m 3，社會中的成員可以對方案以任何方式自由排序，則滿足條件 2 和 3 且所產(chǎn)生的社會排序滿足連通性和傳遞性的社會福利函數(shù)就必定是，要么是獨裁的，要么是強加的。Arrow不可能定理的本質(zhì)是Condorcet 效應(yīng) (投票悖論 )的公理化描述.另一種表述法 *:滿足的防投票策略性選舉都可能產(chǎn)生一個獨裁者,即沒有一種選舉方法是非獨裁的且是防投票策略的.五、單峰偏Black 好與 Coombs 條件要使 Arrow 的不可能定理成為某種可能性定理 , 必須放松 Arrow 的條件 1、

38、 2 、 3. 首先放松條件 1(完全域 ).1. 單峰偏好背景 : 在議會中 ,通?？筛鶕?jù)各黨團的政治傾向從左到右 ( 或從激進到保守 )依次排列 .此時議員對各黨派 (以及該黨派的議案或候選人 )的排序就和這些黨派的政治傾向與議員本人的政治觀點的距離有關(guān) , 即滿足單峰偏好約束.2. Coombs 條件背景 : 給 aj 賦值 (aj), 成員 i 的理想點為Ii, 方案aj 的優(yōu)劣與 | (aj)- Ii |的大小成反比例 .Coombs 條件與單峰偏好的區(qū)別： Coombs 條件要求對稱于Ii .3. 多樣性程度 (不考慮 , 只考慮強序 )Fb(m) = 2 m 1Fc (m ) = (m 1)m +12m345710Fb(m)