類比化歸思想

1、化歸與類比的數(shù)學思想解題舉例（ 一 ）把一個陌生的問題、復雜的數(shù)學問題化成熟知的、簡單的數(shù)學問題，從而使問題得到解決，這就是化歸與類比的數(shù)學思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想有著廣泛的應用。實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是要構(gòu)造轉(zhuǎn)化的方法。下面介紹一些常用的轉(zhuǎn)化方法，及化歸與類比思想解題的應用。一、新授（一）正與反的轉(zhuǎn)化：有些數(shù)學問題，如果直接從正面入手求解難度較大，致使思想受阻，我們可以從反面著手去解決。如函數(shù)與反函數(shù)的有關(guān)問題，對立事件的概率、間接法求解排列組合問題、舉不勝舉。例 1：某射手射擊1 次擊中目標的概率是0.9 他連續(xù)射擊4 次且他各次射擊是否擊中目標是相互獨立的，則他至少擊中目標1 次的概率為分析：至少擊

2、中目標一次的情況包括1 次、 2 次、 3 次、 4 次擊中目標共四種情況，可轉(zhuǎn)化為其對立事件：一次都未中，來求解4（略解：）他四次射擊未中1 次的概率P1=C4 0.1 4=0.1 4?他至少射擊擊中目標1 次的概率為 1 Pi=1 - 0.1 4=0.9999例 3: 求常數(shù) m 的范圍，使曲線y=x 2 的所有弦都不能被直線y=n（x 3）垂直平分 .（分析）：直接求解較為困難，事實上，問題可以轉(zhuǎn)化為：在曲線y=x 1 2 存在關(guān)于直線 y=m （x 3）對稱的兩點，求m 的范圍2 2（略解）：拋物線y=x2 上存在兩點（ Xi, x 1 ）和（乂 2 , x 2 ）關(guān)于直線y=m(x

3、3)對稱，則廣乞上m( x 2 3)2 222AX!x21 X!x2mx； x；x26)即 Q1消去X2得% x2Lm2x i2 21x16m 1 0mm?存在 ( X1，X12),( X2, x j) ?上述方程有解12m 3 2m 212> 0m? (2m 1)(6m 2 2m 1) V 01從而 m<-21因此，原問題的解為m| m> - 2（二）一般與特殊的轉(zhuǎn)化當面臨的數(shù)學問題由一般情況難以解決，可以從特殊情況來解決，反之亦然,這種方法在選擇題，填空題中非常適用。歡迎下載2例 1 設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q, 前 n 項和為 S,若 S+i 、S、 S+2 成等差數(shù)列

4、，貝U q= _.【分析】由于該題為填空題，我們不防用特殊情況來求q 的值 ?如： S、 S、S3 成等差，求 q 的值 .這樣就避免了一般性的復雜運算略解：2S? a aq，S3aq qV S2 S3 2S12a 1 2a1q a 1q2a1 (a1 0)-q= 2 或 q=0 ( 舍去 )/43、例 2: 已知平面上的直線I 的方向向量 e （ 廠），點 （0， 0） 和 A（1,5'52）在 I 上的射影分別為0 和 A，若 OA e 則入為（）1111A.11B11C.2D255【分析】 : 直線 I 的斜率一定，但直線是變化的，又從選項來看,必為定值?？梢娭本€I 的變化不會影

5、響的值。因此我們可取I 為 y -x 來求解的4值。略解：設(shè)A(x.y) 則 (3可得 A(8, 6)55y x歡迎下載34歡迎下載4OA e即( 8, -)5( -J3)53 3例 3: 設(shè)三棱柱 ABC-ABC 的體積為 V, P、Q 分別是側(cè)棱 AA、 CG 上的點 ,且 PA=QC 則四棱錐 B- PAQG 勺體積為：1111A.、B. -VC. 1VD.36432【分析】 P、Q 運動四棱錐 B- PAQC 是變化的，但從選項來看其體積是不變 的，所以可以轉(zhuǎn)化為特殊情況來解決【略解】取 P 與 A 重合， Q 與 C 重合的特殊情況V B PAQCV B AC 1CVC1 ABC1

6、-V 3( 三 ) 主與次的轉(zhuǎn)化利用主元與參變量的關(guān)系,視參變量為主元( 即變量與主元的角色換位) 常?？梢院喕瘑栴}的解決，先看下面兩題。例 1: x2 ax 20對 x 1,1 上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍?<例 2: 對任何 a 1,1 函數(shù) f(x) x 2 (a 4)x 4 2a 的值總大于 0, 則實數(shù) x 的取值范圍是： _對于例 1：令 f(x) x 2 ax 2 則從圖像知f( 1) <0f(1) <0 K a< 1歡迎下載5對于例 2: 我們也可以轉(zhuǎn)化為例1 的形式只需視 f(x) 為關(guān)于 a 的函數(shù)，問題就可以轉(zhuǎn)化為例1 的情況：令 g(x) (x

7、2)a (x 2) 2(x 2) 為關(guān)于 a 的一次函數(shù)，由圖像知 g( 1) >0 或 xv 1 或 x>3Y勺> 0例 3: 設(shè) y 的實數(shù)， 4y 2 4xy x 5 0 則 x 的取值范圍是：_【分析】把4y 2 4xy x 5 0 看作是關(guān)于y 的二次方程，則利用0 求 解 x 的范圍?！韭越狻浚喊?y 2 4xy x 5 0 看作是關(guān)于y 的二次方程，因為y 的實數(shù)，所以方程有解。? = (4x) 242(x 6) >0/?x | x < -2 或 x > 3例 4: 關(guān)于 x 的二次方程 x2 2x 3 m 0 在(0,) 上有兩個不等的實根，

8、求 m 的范圍?！痉治觥浚簩⒎匠虒懗蒻x2 2x3 ，并且用函數(shù)的觀點認識，則m 就成了 x 的二次函數(shù)， m 的取值范圍就是在定義域( 0,) 上，函數(shù)值的范圍?！韭越狻繉⒎匠剔D(zhuǎn)化為m x 2 2x 3 作出圖像如圖m 3,4) 上和每一個m 都有不同的兩個不同的 X1， X2 與之對應。歡迎下載6/. m3,4)（四）數(shù)學各分支之間的轉(zhuǎn)化數(shù)學各分支間的轉(zhuǎn)化是一種重要策略，應用十分廣泛，比如用向量解立體幾何，用解析幾何處理平面幾何、代數(shù)、三角及立體幾何中的位置問題，求角與距離轉(zhuǎn)化為平面幾何中求角與距離等。例 1 在四面體 ABCD 內(nèi)部有一點 0,使得直線 AQ BQ CQ DC 與四面體的

9、面 BCD, CDA DAB, ABC 分別交于 A、Bi、 C、 D 四點，且滿足AQ BQCQ DQ K , 求 K 可能的取值。AQB1QC1Q D 1Q【分析】立體幾何中的四面體，可以與平面幾何中的三角形類比，四面體的面可以與三角形的邊類比，于是命題可以從“ABC 內(nèi)部有一點 Q,使得直線 A0BQ C0 與三角形的三邊BC CA AB 交于點 A、 Bi、 Ci,且滿足 竺 -B °-C °KA1Q B1Q C1Q求 K 的可能取值”的推理過程探求思考途徑，在平面幾何中AA 1S BCABB 1SACC1BCA1QS QBC1,S QCA1,QB1C1QS QBC

10、S QCA S QAB1,于是 K=2S ABCS ABCK 1,S QAB據(jù)上述思路的啟發(fā)，在空間四面體中，可轉(zhuǎn)化為體積關(guān)系來推理【解析】在四面體中，有広VQBCD1AA 1VABCDKB1QVQCDA1BB1V ABCD歡迎下載7V OABD1D1OV OABCCC i V CABD K 1 DD 1 V DABC KVOBCD V OCDA V OABD VOABC4“V ABCDK 1（五）陌生與熟悉的轉(zhuǎn)化例 1：學校將召開學生代表大會，高三有7 個名額分配給5 個班，每班至少有一個名額，問名額分配方法有多少種？4解：（插板法）：C 6 =15例 2: 方程的正整數(shù)解的組數(shù)為多少4解：

11、 7 個“ 1”之間插四個板C 6 =15二、練習：1 ?已知下列三個方程：x2 4ax 4a 3 0, x 2 （a 1 ）x a 2 0,x 2 2ax 2a 0 至少有一個方程有實根，求實數(shù)a 的取值范圍。3 a | a >-1 或 a< - 2o 1 *2. 過拋物線 y=4x 的焦點的直線交拋物線A、B 兩點， 0 為坐標原點，則OA OB 的值為： _A.12B .-12C . 3D .-3歡迎下載83 . 對于滿足 | P | < 2 的所有實數(shù) P,求使不等式歡迎下載9x2 px 1 >2x+p 恒成立的 x 的取值范圍 x | x v 1 或 x &l

12、t; 34?在平面中，三角形具有性質(zhì)：三角形的中線平分三角形的面積，試將該性質(zhì)推廣到空間，寫出相應的一個真命題_（過三棱錐的頂點及底面的中線的截面平分三棱錐的體積）三、小結(jié)：我們學習了化歸與轉(zhuǎn)化思想，正與反的轉(zhuǎn)化從集合的角度來看就是“補集”的思想一般與特殊的轉(zhuǎn)化只限選擇題，填空題中使用，在大題中可有管種方法來探究解題的突破口，尋求解題的方法。數(shù)學分支間的轉(zhuǎn)化是數(shù)學分支間內(nèi)在聯(lián)系的具體體現(xiàn)。將陌生變?yōu)槭煜?，是解每一道題的一般過程。主與次的轉(zhuǎn)化的方法，是如何看待一個等式（或不等式）中的兩個元素的地位，只要需要，就可以把其中任何一個元素看作“主”要元素來解題。類比與轉(zhuǎn)化思想在教學中應用非常普遍，我們在解每一道題時，實際上都在轉(zhuǎn)化和類比。將問題由難轉(zhuǎn)易,由陌生的問題轉(zhuǎn)為熟悉的問題，從而從問題得到解決，類比與轉(zhuǎn)化的