2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章隨機變量及其分布能力深化提升新人教A版選修2-3

1、第二章隨機變量及其分布能力深化提升類型一條件概率【典例 1】已知 100 件產(chǎn)品中有 4 件次品，無放回地從中抽取 2 次,每次抽取 1 件,求下列事件的概率：(1) 第一次取到次品,第二次取到正品.(2) 兩次都取到正品.(3) 兩次抽取中恰有一次取到正品.【解析】設(shè) A=第一次取到次品,B=第二次取到正品.4(1)因為 100 件產(chǎn)品中有 4 件次品，即有正品 96 件，所以第一次取到次品的概率為P(A)=10,第二次取到96496正品的概率為 P(B|A),所以第一次取到次品，第二次取到正品的概率為P(AB)=P(A)P(B|A)= MHxW0.0388.969596因為 A=第一次取到

2、次品,且 P(八)=1-P(A)= WP(B| 八)y 所以 P(B)=P()P(B| )= 1 W95W 0.92.(3)兩次抽取中恰有一次取到正品,包括事件 AB 及山所以964P(ABU川 X小丿0.0776.【方法總結(jié)】條件概率的求法P(AB)(1) 利用定義，分別求出 P(A)和 P(AB),解得 P(B|A)=.(2) 借助古典概型的概率公式，先求事件 A 包含的基本事件數(shù) n(A),再在事件 A 發(fā)生的條件下求事件 B 包含n(AB)的基本事件數(shù) n(AB),得 P(B|A)=.【鞏固訓(xùn)練】5 個乒乓球，其中 3 個新的,2 個舊的，每次取一個，不放回地取兩次，求在第一次取到新球

3、的情 況下，第二次取到新球的概率.【解析】設(shè)“第一次取到新球”為事件 A, “第二次取到新球”為事件 B.方法一：因為 n(A)=3X4=12,n(AB)=3X2=6,-3 -n(XB) 6 1所以 P(B|A)= 川小=12=2.方法二:P(A)= C,P(AB)= =1。10P(AB) 3 1所以 P(B|A)=PG)=2類型二相互獨立事件同時發(fā)生的概率、獨立重復(fù)試驗及二項分布【典例 2】(2017 福州高二檢測)某射擊小組有甲、乙兩名射手，甲的命中率為 Pi，乙的命中率為 P2,在射擊比賽活動中每人射擊兩發(fā)子彈則完成一次檢測，在一次檢測中，若兩人命中次數(shù)相等且都不少于一發(fā)則稱該射擊小組為

4、“先進和諧組”(1)若P2=2,求該小組在一次檢測中榮獲“先進和諧組”的概率計劃在 2016 年每月進行 1 次檢測，設(shè)這 12 次檢測中該 小組獲得“先進和諧組”的次數(shù)為E,如果 E(E) 5,求 P2的取值范圍【解析】(1)因為 P1= *,P2=2,根據(jù)“先進和諧組”的定義可得，該小組在一次檢測中榮獲“先進和諧組”的包括兩人兩次都射中，兩人恰好各射中一次，所以該小組在一次檢測中榮獲“先進和諧組”的概率P=2 1 I 1 (2 2(1 1詞(幻功+(亍趴丈_3(2)該小組在一次檢測中榮獲“先進和諧組”/ . 2 1P=亍 W P2-(1-P2)+,而EB(12,P),所以 E(E)=12P

5、,()-4 -5 -血罰4由 E(E) 5 知， 125,解得：卜三 P2W1.【方法總結(jié)】求相互獨立事件同時發(fā)生的概率需注意的三個問題(1) “P(AB)=P(A)P(B) ”是判斷事件是否相互獨立的充要條件,也是解答相互獨立事件概率問題的唯一工具(2) 涉及“至多” “至少” “恰有”等字眼的概率問題，務(wù)必分清事件間的相互關(guān)系(3)公式“ P(AUB)=1-P(”常應(yīng)用于求相互獨立事件至少有一個發(fā)生的概率1【鞏固訓(xùn)練】(2017 成都高二檢測)甲、乙兩位籃球運動 員進行定點投籃，甲投籃一次命中的概率為 -,乙2投籃一次命中的概率為每人各投 4 個球,兩人投籃命中的概率互不影響.求甲至多命中

6、 1 個球且乙至少命中 1 個球的概率.所以甲至多命中 1 個球且乙至少命中1 個球的概率為 P(AB)=P(A)P(B)=、xJ1類型三離散型隨機變量的分布列及期望與方差【典例 3】(2016 天津高考)某小組共 10 人,利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3 的人數(shù)分別為 3,3,4.現(xiàn)從這 10 人中隨機選出 2 人作為該組代表參加座談會.(1) 設(shè) A 為事件“選出的 2 人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件 A 發(fā)生的概率.(2) 設(shè) X 為選出的 2 人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望【解題指南】(1)利用組合數(shù)表示出事件個數(shù).確定

7、隨機變量 X 的可能取值，計算相應(yīng)的概率，再列出分布列，計算數(shù)學(xué)期望.C +謁Q2【解析】(1)由已知事件 A:選 2 人參加義工活動，次數(shù)之和為 4,則 P=(2)隨機變量 X 可能的取值為 0,1,2,【解析】設(shè)“甲至多命中 1 個球”為事件 A, “乙至少命中1 個球”為事件B,由題意=16+16=16,卩但)=1_21-3 J804丄=1-81=81,580 25得,P(A)-6 -cl + cl + clpH山=-7 -P(X=1)=C語=肓尸(*=2)= C語巧則 X 的分布列為X012P415【方法總結(jié)】求離散型隨機變量的期望與方差的步驟【鞏固訓(xùn)練】(2017 南昌高二檢測)A,

8、B 兩個試驗方案在某科學(xué)試驗中成功的概率相同，已知 A,B 兩個方案至少一個方案試驗成功的概率是0.36.(1)求兩個方案均成功的概率設(shè)試驗成功的方案的個數(shù)為隨機變量E,求E的分布 列及數(shù)學(xué)期望 E(E).【解析】(1)設(shè) A,B 方案獨立進行科學(xué)試驗成功的概率均為 x,則 A,B 兩個試驗方案在試驗中都未能成功的 概率為(1-x)2,所以 1-(1-x)2=0.36,所以 x=0.2 或 x=1.8(不符合題意，舍去).所以兩個方案均成功的概率為20.2 =0.04.試驗成功的方案個數(shù)E的分布列為E012P0.640.320.04E(E)=0X0.64+1X0.32+2X0.04=04類型四

9、正態(tài)分布的概率-8 -【典例 4】設(shè) XN(10,1).(1)證明:P(1X2)=P(18X19).設(shè) P(XW2)=a,求 P(10X18).【解析】因為 XN(10,1),所以，正態(tài)曲線$(x)關(guān)于直線 x=10 對稱，而區(qū)間(1,2)和(18,19)關(guān)于直219線 x=10 對稱，所以 I $ - (x)dx$ (x)dx,即 P(1X2)=P(18X19).(2)因為 P(XW2)+P(2Xw10)+P(10X18)=1,P(Xw2)=P(X18)=a,P(2Xw10)=P(10X18),所以,2a+2P(10X18)=1,l-2a 12 2即 P(10X18)= J a.【延伸探究】 在題設(shè)條件不變的情況下，求 P(8wXw12).【解析】由 XN(10,1)可知，卩=10, /=1,又 P(8wXw12)=P(10-2wXw10+2)=0.9545.【方法總結(jié)】正態(tài)分布的概率求法(1) 注意“ 3c”原則，記住正態(tài)總體在三個區(qū)間內(nèi)取值的概率.(2) 注意數(shù)形結(jié)合.由于正態(tài)分布密度曲線具有完美的對稱性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想，因此運用對稱性結(jié)合圖象解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問題成為熱點問題【鞏固訓(xùn)練】某市去 年高考考生成績服從正態(tài)分布N(500,502),現(xiàn)有 25000 名考生，試確定考生成績在 550600 分的人數(shù).【解析】因為考生成績