(用)高一數(shù)學(xué)必修3輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)pp(精)

1、1.3算法案例問題提出1.研究一個(gè)實(shí)際問題的算法，主要從 算法步驟、程序框圖和編寫程序三方面 展開.在程序框圖中算法的基本邏輯結(jié)構(gòu) 有哪幾種？在程序設(shè)計(jì)中基本的算法語 句有哪幾種？2.“求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)” 是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基礎(chǔ)性問題，它有各種 解決辦法，我們以此為案例，對(duì)該問題 的算法作一些探究.知識(shí)探究（一）：輾轉(zhuǎn)相除法思考1:18與30的最大公約數(shù)是多少？你 是怎樣得到的？先用兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除, 一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然 后把所有的除數(shù)連乘起來即為最大公 約數(shù).例.求30和75的最大公約數(shù)3| 30 755嚴(yán)2525所以，30和35的最大 公約數(shù)為15思考2:對(duì)于8

2、251與6105這兩個(gè)數(shù)，由于 其公有的質(zhì)因數(shù)較大，利用上述方法求 最大公約數(shù)就比較困難注意到8251=6105X1+2146,那么8251與6105這 兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)和6105與2146的公約數(shù) 有什么關(guān)系？148=37X4+0思考3:又6105=2146X2+1813,同理,6105與2146的公約數(shù)和2146與1813的公約數(shù)相等重復(fù)上述操作，你能得到8251與6105這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)嗎?8251=6105X1+2146, 6105=2146X2+1813,2146=1813X1+333, 1813=333X5+148,333=148X2+,148=X4+0.舉蓉相除法中狗羌健步瞬是

3、哪種邏輯輾轉(zhuǎn)相除法是一個(gè)反復(fù)執(zhí)行直到余數(shù)等于0停止的步驟，這實(shí)際上是 一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)。8251=6105X1+21466105=2146X2+18132146=1813X1+3331813=333X5+148用程333=48 X 2+思考5:上述求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù) 的方法稱為輾轉(zhuǎn)相除法或歐幾里得算法. 一般地，用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)正整數(shù)m, n的最大公約數(shù)，可以用什么邏輯結(jié)構(gòu)來 構(gòu)造算法？其算法步驟如何設(shè)計(jì)？ 第一步，給定兩個(gè)正整數(shù)m, n (mn).第二步，計(jì)算m除以n所得的余數(shù)工第三步，m=n, n=r.第四步，若r=0,則m, n的最大公約數(shù)等于m;否則，返回第二步.思考5:該算法的程

4、序框圖如何表示?結(jié)束思考6:該程序框圖對(duì)應(yīng)的程序如何表述?INPUT m, nDOr=m MODnm=n n=rLOOP UNTIL r=0 PRINT mEND思考7:如果用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)構(gòu)造算法，則用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)正整數(shù)m,n的最 大公約數(shù)的程序框圖和程序分別如何表 示？求m除以m=n否INPUT m, nWHILE n0 r=mMODn m=nn=rWENDPRINT m END練習(xí)1：利用輾轉(zhuǎn)相除法求兩數(shù)4081與20723的最大公約數(shù).20723=4081X5+314081=318X12+265;/蕭出結(jié)束265=53X5+0.知識(shí)探究(二)：更相減損術(shù)思考1： 設(shè)兩個(gè)正整數(shù)mn,若

5、m-n=k,貝!Jm與n的最大公約數(shù)和n與k的最大公約數(shù)相 等反復(fù)利用這個(gè)原理，可求得98與63的 最大公約數(shù)為多少？98-63=35,63-35=28，35-28=7,28-7=21,21-7=14,14-7=7.思考2:上述求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù) 的方法稱為更相減損術(shù)一般地， 用更相 減損術(shù)求兩個(gè)正整數(shù)叫n的最大公約數(shù)， 可以用什么邏輯結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法？其算 法步驟如何設(shè)計(jì)？第一步，給定兩個(gè)正整數(shù)n (mn)第二步，計(jì)算m-n所得的差k.第三步，比較n與k的大小，其中大者用示，小者用n表示.第四步，若m=n,則m, n的最大公約數(shù)等于m;否則，返回第二步.INPUTm, nWHILEmon

6、k=m-nIF nkTHEN思思考4:該程序框圖對(duì)應(yīng)的程序如何表述?開始n=kELSE ,PRIN“更相減損術(shù)”在中國古代數(shù)學(xué)專著九章算術(shù)中記述為：可半者半之，不可半者，副置分母、子 之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也， 以等數(shù)約之.INPUTum,n=u;m,nWhile donIFmn thena=mm=dm=nELSEn=am=nEND IFn=dK=0End ifWHILE m MOD 2=0d=m-nAND n MOD 2=0Wendm=m/2d=2Ak*dn=n/2PRINT dk=k+1EndWENDd=m- n理論遷移例1分別用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損 術(shù)求168與93的最大公約數(shù)

7、.輾轉(zhuǎn)相除法：168=93X1+75, 93=75X1+18,75=18X4+3,18=3X6.更相減損術(shù):168-93=75,93-75=18,75-18=57,57-18=39,39-18=21,21-18=3,18-3=15,15-3=12,12-3=9,9-3=6,例2求325, 130, 270三個(gè)數(shù)的最大 公約數(shù).因?yàn)?25=130X2+65, 130=65X2,所以325與130的最大公約數(shù)是65.因?yàn)?70=65X4+10, 65=10X6+5,10二5X2,所以65與270最大公約數(shù)是5.故325, 130, 270三個(gè)數(shù)的最大公約 數(shù)是5.小結(jié)作業(yè)1輾轉(zhuǎn)相除法，就是對(duì)于給定的兩個(gè)正整 數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù)，若余數(shù)不為 零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)， 繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡為止， 這時(shí)的較小的數(shù)即為原來兩個(gè)數(shù)的最大公約 數(shù).2.更相減損術(shù)，就是對(duì)于給定的兩個(gè)正 整數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然后將差 和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，繼續(xù)上面的減 法，直到差和較小的數(shù)相等，此時(shí)相等的兩 數(shù)即為原來兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).小結(jié)比較輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別(1)都是求最大公約數(shù)的方法，計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除 法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，