2018年高考數(shù)學(xué)命題角度4.3空間位置關(guān)系證明與二面角求解大題狂練理

1、(2)：AABB1為等邊三角形，AB = 2,二OB, = J3,命題角度 4.3 :空間位置關(guān)系證明與二面角求解(1)求證：AB _ BQ；BCi二2，求二面角Ci-ABi-B的余弦值.【答案】見解析；（2）.7【解析】試題分析：（1）證明線面垂直，一般利用線面垂直判定定理，即從線線垂直出發(fā)給予證明，而線線垂直的尋找與論證往往需要結(jié)合平幾知識，如利用等腰三角形性質(zhì)得底邊上中線垂直底面得線線垂直，（2） 一般利用空間向量數(shù)量積求二面角大小，先根據(jù)條件確定恰當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，利用方程組求各面法向量，利用向量數(shù)量積求法向量夾 角余弦值，最后根據(jù)法向量夾角與二面角關(guān)系確定二面角的余弦值

2、試題解析：T四邊形皿陽為平行四邊形，且4/ = 4目，么幼嚴(yán)60S二MBB內(nèi)等邊三角形,取M中點O,連接OC ,則血丄OB,:CACB9:.AB丄0C,/ OCrOBj =0fOB】u 平E0BYCOCu平圓OBjC1.如圖所示，已知三棱柱ABC-ABG中,AC1= B G，A A = A Bi，.AAiBi=60.(2)：AABB1為等邊三角形，AB = 2,二OB, = J3,丄平面OCB :.AB丄-3 -/在:ABC中，AB =2,BC=AC=2,O為AB中點,OC = 1, BQ二2,OB = 3 , OBJ OC2工BQ2,.OB OC, 又OB,_ AB,OB,_ 平面ABC.以

3、O為原點，OB,OC,OB,方向為x,y,z軸的正向，建立如圖所示的坐標(biāo)系,A -1,0,0，B,0,0,、3，B 1,0,0，C 0,1,0，r T T T TLr則O =OC CCOC BB=：1,1八3，則C.-1,1, 3A。=0,1j3 ，則平面BAB1的一個法向量m=0,1,0,設(shè)克=(x,y,z )為平面ABQ的法向量，則；憎一x+0,令乙=_1,x=y = J3,n A = y += 0,n -、3,3, -1,點睛：垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型(1) 證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2) 證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直（3）證明線線垂直，需

4、轉(zhuǎn)化為證明線面垂直AB1h1,0八3-4 -2.如圖，四棱錐PABCD中，平面PAD _平面ABCD,底面ABCD為梯形，AB/CD,AB =2DC =2、一3, AC一BD = F，且：PAD與.：ABD均為正三角形，G為PAD的重心.（1）求證：GF /平面PDC；（2）求平面AGC與平面PAB所成銳二面角的正切值.【答案】（1）見解析（2）11【解析】試題分析：（1）要證線面平行，則需在平面中找一線與之平行即可，所以連接AG并AF 2延長交PD于H，連接CH.由梯形ABCD , AB / /CD且AB=2DC，知，又G為FC 1AG AF 2PAD的重心，故GF / HC從而的證明（2）

5、求解二面角時則通過建GH FC 1立坐標(biāo)系求兩面的法向量，再利用向量的數(shù)量積公式求解即可試題解析：解：連接AG并延長交PD于H，連接CH.由梯形ABCD, AB/CD且AB = 2DC，AF 2AG AF 2知A/，又G為PAD的重心，.AF=2，故GF /HC.又HC平面FC 1GH FC 1PCD , GF二平面PCD , GF /平面PDC.：平面PAD平面ABCD，厶PAD與ABD均為正三角形，延長PG交AD的中點E，連接BE,. PE _ AD,BE _ AD,. PE_平面ABCD，以E為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:AB =2DC =2亦,二A(,0,0 ),P(0,0,3

6、) B(0,3,0 ),D(-T3,0,0 ),G(0,0,1 ),-5 -.AG 3,0,1 ,AB二-3,3,0 ,AP二- .3,0,3 C x),y ,z A* DC =；AB, x 3,成銳二面角的正切值為8.11點睛：證線面平行首先要明確和熟悉其判定定理，在面內(nèi)找一線與一直線平行即可，求面面 角時則通常經(jīng)過建立直角坐標(biāo)系，求出兩面的法向量，（1）求證：AC_平面C1EB；（2）求二面角A - AB -C的余弦值.1【答案】（1）見解析；（2）1.3【解析】試題分析：證明線面垂直，只需尋求線線垂直，利用題目提供的面面垂直，可以得 到線面垂直，進(jìn)而說明線線垂直； 求二面角可采用建立空間

7、直角坐標(biāo)系， 借助法向量求解，本題需要設(shè)AA二x,AAC-r,根據(jù)條件求出x，再利用法向量求出二面角的余弦,yo,z)=邪-揚3,0) )3石3門3屈3xo2一,yy0, Cr2,0|_墜,？,0 j,設(shè)平面PAB的一個法向量為n,=風(fēng)，y1,z1,m _ AB由rm _AP A/3x+3y=0-爲(wèi)x + 3 z = 0令z, =1，得m .3,1,1理可得=(廳,5,3 ),；cos(n1,門2面AGC3 5 3 _ 11537185，所以平面AGC與平面PAB所再通過向量夾角公式計算即可3.如圖，在三棱柱ABC - ABC,中，平面AiACCi_ 平面ABC，ACB =30；，GCB =1

8、20；，BG _ AC，E為AC的中點.-6 -試題解析：（1）證明：BA=BC,E為AC的中點，BE_AC，又平面AACC!_平面ABC，平面AACG平面ABC = AC,BE -平面ABC,BE平面A1ACC1,-7 -又AC二平面AACC!, BE _ AfC.又BG _ AC,BE一BC!= B, /AC _面GEB.(2)方法一：由平面“CC丄平面ABCf作C.MXAC于則G丄面ABC .作 丄BC千N ,連 卬則qN丄BCr由cosZqOT= , cosZqGMr= CNcosZ?Va/=Dcoszqcv= coszqa/ co&ZAO/ ,而ZCjCM = 60；CAf故

9、l=coszcca/,即coszqca/=223在四邊形應(yīng)”中，設(shè)上4=英.3則由余弦定理得AC2=X2 12-2x 2一3 =X2-4X 12.3222 2 2AH =AC,GH=上GE，而AiC丄CiE，則AH +QH = AG.33于是4(X2_4x +12 )+(x2+2X+3)=(2T3)，即x2_x 6=0,x = 3或_2(舍)99容易求得：AE二6，而AiE2AE2二AAi2.故AiE _ AC，由面AACCi_面ABC，則AE面ABC，過E作EF_ AB于F，連AF，則.A1FE為二面角A,- AB -C的平面角，由平面幾何知識易得、3AE=縣=1A,F3 33EX32cos

10、AFE =GE2=x23-2 x .3，設(shè)AC與GE交于點H，則2-8 -方法二：以A點為原點，AC為y軸，過點A與平面ABC垂直的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA.=x，. AAC - v，貝U B 1/ 3, 0，C 0,2 3,0，E 0八3,0,G 0,2 *3 xcosyxsinr. AC _ BG,的十雲(yún);c）2擊if J-”當(dāng)丸=0即-x-6 = 0f醉得 k 二弓或一2舍），故AA1=3 ,則4仗點岡沖,Go”于是巫二他返岡，25=（Lo）,設(shè)平面4血的法問重 為心（兀朋），則芒即申+茫，取円，則當(dāng)心一屁AB= 0 x+3y02CB = I,、3,0,CG二0,

11、xcosyxsinv.由?3xCOST122xcos#，貝Ab導(dǎo)呼x，得于是AC=0乎一織BCi二-1,312，叩朋+孚孚,-9 -n1n2不妨設(shè)平面ABC的法向量n2= 0,0,1，則cos羸1故二面角A1- AB -C的余弦值為 .3-10 -【點睛】證明線面垂直，只需尋求線線垂直，利用題目提供的面面垂直，可以得到線面垂直， 進(jìn)而說明線線垂直；求二面角的方法有兩種，傳統(tǒng)方法為“作、證、求”，用空間向量，借 助法向量更容易一些2 4.如圖，在梯形ABCD中，ABJCD，藝BCD =，四邊形ACFE為矩形，且CF丄平3面ABCD，AD二CD二BC二CF = 1.（2）點M在線段EF（含端點）上

12、運動，當(dāng)點M在什么位置時，平面MAB與平面FCB所 成銳二面角最大，并求此時二面角的余弦值【答案】（1）見解析（2）77【解析】試題分析：（1 ）由N BC，AD=CD = BC可得BC丄AC.由CF 丄平面 ABCD可得3AC _ CF.從而EF_ 平面BCF.（2）分別以直線CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸的如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,是平面FCB的一個法向量 0蘭九蘭J3,.當(dāng)人=0時，cos日有最小值 五.令FM -，（ 0 _，_ 3）.平面MAB的一個法向量 6=（1,3,3 - ）,n2= （1,0,0）（1）求證：EF_平面BCF；-11 -7試題解析：（I）在梯形ABCD中

13、，AB/CD，設(shè)AD二CDWBC=1,又BCD=2, AB2 ,AC2二AB2BC2-2AB BC cos60= 3.3AB2=AC2+BC2.BC丄AC./CF _ 平面 ABCD,AC 二平面 ABCD,AC _ CF，而CF - BC =C, AC _ 平面 BCF .-12 - EF /AC, EF _ 平面 BCF.設(shè)q = x,y,z為平面MAB的一個法向量,得x + y = , hx_y + z = 0,取x=1,則n1=(1,3 n2=(1,0,0)是平面FCB的一個法向量，0蘭九蘭J3, 當(dāng)人=0時，cos日有最小值,7點M與點F重合時，平面MAB與平面FCB所成二面角最大，

14、此時二面角的余弦值為77 5.如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為正方形，AE _平面CDE,已知AE =DE =2,F為線段DF的中點.(II)由(I)可建立分別以直線CA,CB,CF為x軸,y軸，z軸的如圖所示建立空間設(shè)AD= CD .3),則C(0 , 0, 0) ,A( . 3 , 0,0) ,B(0 , 1, 0),AB=(-3,1,0),M( , 0, 1),BM=(,-1 , 1),n1AB = 0,nBM1=0,直角坐12-13 -(I)求證：BE_平面ACF；(II )求平面BCF與平面BEF所成銳二面角的余弦角【解析】試題分析；(I)連接和交于。，連接OF利用中位線

15、定理得出OF |，故而HE|平面MCF (ID求出切,以.D為原點建立坐標(biāo)系，求出兩平面的法問量，計算法問量的夾甬即可得出 二面角的余弦值.試題解析； (連接和交于點O 連接OF ,因為四邊形血仞為正方形， 所臥O対BD的中點. 因為FDE的中點，所OFBE 因為BE9平面ACF, OFc平面AFC ,(II)因為AE_平面CDE, CD二平面CDE， 所以AE _CD因為ABCD為正方形，所以CD丄AD.因為AE一AD二A,AD,AE平面DAE，所以CD丄平面DAE.因為DE平面DAE，所以DE _ CD所以以D為原點，以DE所在直線為x軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則E 2,0,0 ,F

16、 1,0,0 ,A 2,0,2 ,D 0,0,0.因為AE_平面CDE , DE平面CDE,【答案】(1)見解析；(2)5 5151-i14 -所以AE _CD因為AE =DE=2，所以AD =22.因為四邊形ABCD為正方形，所以CD = 2 2,所以C 0,2-.2,0.=02x?_ 2 z?= 0,-2咼2=0,令目2=i，得x2= 22, z2- -22，所以f2、2,i,-2、2 .設(shè)平面BCF與平面BEF所成的銳二面角為 二，/ vnin2i + 45/5iCOSni, n2前胡VVi75i所以平面BCF與平面BEF所成的銳二面角的余弦值為【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理

17、以及利用空間向量求二面角的大小，屬于難 題空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（i ）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3 ）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，禾U用兩直由四邊形ABCD為正方形,得DB二DA DC22、2,2,所以B 2,3，.2,2.設(shè)平面BEF的一個法向量為ni =Xi, yi,Zi，又知BE二0,2.2,-2 , FE二i,0,0，BE =0由niFE =0二嚴(yán)2yi：Zi巾xi0,令yi=1，得Xi= 0,Zi - -2,設(shè)平面BCF的一個法向量為門2=：X2,y2,Zi2,又知BC=】廠2,0, -2 ,CF 1,-2,0

18、,由n2BCn2CF =0X25、5i5i-15 -線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離 .6.如圖，在三棱臺ABC- ABC中，CCi_ 平面ABC，AB = 2AB= 2CCi，M，N分 別為AC，BC的中點.(1) 求證：AB1/平面C1MN；(2) 若AB _ BC且AB = BC，求二面角c - M - N的大小.【答案】(1)證明見解析；(2)60.【解析】試題分析：(1)利用中位線，有AB/MN ,BB1/C1C，所以平面ABB1/平面MN，所以AB1/平面C1MN； (2)易得MA,MB,MA1兩兩垂直，

19、以此建立空間直角坐標(biāo)系，分別計算平面CMC1,NMC1的法向量，利用法向量夾角來計算二面角C - MC,- N的余弦值為1 1，所以二面角為60.2試題解析：-16 -( (1證明：連接B.C,設(shè)西C與交于點G ,在三棱臺ABC-AC,中血=24耳,則BC =2BQ ,而N是月C的中點，BGHBC ,則禺CJfNC ,所以四邊形耳GCM是平行四邊形，G是鳥C的中點，在曲&中，亞是/C的中點，則MGf/AB又北衛(wèi)平面CfN、AfGu平面C、MN,所認(rèn)ABJf平面q泗.(2)解：由C_平面ABC，可得AM平面ABC,而AB_BC,AB=BC,則MB _ AC,所以MA,MB,MA1兩兩垂直

20、，故以點M為坐標(biāo)原點，MA,MB,MA1所在的直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空 間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB= 2,則AB廠CC廠1,AC=22,AM嚴(yán)邁,B(0, .2,0),C(- . 2,0,0),G (- 2,0,1),N ( 2,2,0)，則平面ACCiA的一個法向量為n, =(0,1,0),n2MN =0,設(shè)平面GMN的法向量為門2=(X2, y2,Z2),則 T2，MCr= 0,取X2= 1,則y2-1,Z2 = 21cos : m, n2一-,易得二面角宀1十1 +2 2所以二面角C - MC1- N的大小為60飛遼0一T冷 + 二-y2=0,2 2-、2x2z2= 0,n2=(

21、1,1,，2),C -MC1- N為銳角,-17 -考點：空間向量與立體幾何 7T姮Z-ABE BC =-7.如圖， 三棱柱-;/ 中， 側(cè)面：;是邊長為 2 的菱形，且 ,四棱錐：的體積為 2,點在平面內(nèi)的正投影為，且在上點 I是線段上，且(1)證明：直線二平面宀；(2)求二面角:丁的余弦值.【答案】(1)詳見解析；7 屈(2):【解析】試題分析：(1)通過構(gòu)造輔助線 FH,證明 為平行四邊形，即借助線線平行證 明線面平行；(2)借助底面四邊形的對角線互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)，利用向量方法求 解二面角(I)解析:因為四棱錐：的體積為 2,1苗VF - ABED= X-X4X2XFG = 2

22、_ -即，所以CM-18 -屈3BC EF = EG =又，所以即點 是靠近點的四等分點,33過點作交于點，所以，：,3MF -CF又I ,所以屹二豎且 r -,所以四邊形* 為平行四邊形，所以，所以直線平面.建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：媲 -1）以顧- 昇）網(wǎng)攀-詁）_ /35 1設(shè)平面f心的法向量為.，.mBA 0m-BM二 0 則術(shù)=（1一品,-1）點睛：本題主要考查直線與平面平行的判定定理、二面角、空間向量的應(yīng)用，以三棱柱為載 體，考查借助空間想象能力、邏輯推證、轉(zhuǎn)化能力、運算能力線面平行的判定方法一是線 面平行的判定定理，二是證面面平行，其解題的關(guān)鍵是在面內(nèi)找到一線與面外一線平行，

23、或 由線面平行導(dǎo)出面面平行， 性質(zhì)的運用一般要利用輔助平面； 求二面角通常通過建立空間直 角坐標(biāo)系利用空間夾角公式求解.8.如圖，在正方形 ABCD 中，點E , F分別是AB, BC 的中點，將厶 AED , DCF分別沿DE,DF折起，使 A , C 兩點重合于P.TIBA 071、RF= 0cosO =：即為所求n =，則-19 -（I）求證：平面PBD _平面 BFDE;（H）求二面角P DE F的余弦值2【答案】（I）詳見解析（H）3【解析】試題分析：（I）證明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即從線面垂直出發(fā)給予證明, 而線面垂直的證明往往利用線面垂直判定與性質(zhì)定理，即從線線垂直

24、出發(fā)給予證明，而線線垂直的尋找與論證往往需結(jié)合平幾知識進(jìn)行：連接EF交BD于 0,則根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得EF 一 0D , EF 一 OP （n）求二面角，一般利用空間向量進(jìn)行求解，先根據(jù)條件建立空間直 角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，利用方程組解出各面法向量，利用向量數(shù)量積求法向量夾角，最 后根據(jù)二面角與向量夾角之間關(guān)系求解試題解析：（I）證明：連接EF交BD于0，連接 0P.P在正方形 ABCD 中，點E是AB中點，點F是 BC 中點,所以 BE =BF , DE =DF ,所以 DEB DFB ,所以在等腰DEF 中，0 是EF的中點，且 EF 一 OD ,因此在等腰PEF 中，EF 一 OP

25、,從而EF _平面 0PD,又EF 平面 BFDE,所以平面BFDE _平面 0PD,-20 -即平面PBD _平面 BFDE . .6 分在正方形遜D中，連接腫，交DE于 C 設(shè)正方形磁D的邊長為2,由于點E是朋中點，點F是恥中點，所以RtADAE望Rt屈F ,于是ZADE = ZKAB ,從而ZADGZDAG=ZEAGZDAG= ,52 2 2PG GF -PF 2 cos PGF二2PG GF方法二: 由題知皿,冊,他兩兩互相垂直，故以卩為原點，向量麗，西，面方向分別為工y,軸的正方 向，建立如團(tuán)的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方形邊長為乳貝怦(Q 0.0),糾0，1，0), F(l ,0 ,0)

26、,刊0 , o , 2).所以麗(-1,0), -(0, -1, 2).設(shè)m =x , y，z為平面EFD的一個法向量,GF 晉，PF =1-PGF 為二面角P一DE - F的平面角,AGGF =疵在正方形 ABCD 中，解得55由余弦定理得所以，二面角2P DE F的余弦值為312 分(II )方法一:?所以AF _ DE,于是，在翻折后的幾何體中,- 2 寸 5所以，在 PGF中，PG=AG=9?-21 -x _y =0-y 2z=0-22 -令 X =1 ,考點：空間面面垂直的判定與性質(zhì)、空間面面夾角【思路點睛】禾U用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建 恰當(dāng)

27、的空間直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；第三，破“求法 向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.9.女口圖，四棱錐P - A B C中，PA _平面A B C DAD LI BCPA二AB二AD二2BC = 2,BAD - v,E是棱PD的中點.(I)若v -60，求證：AE_ 平面PCD；(n)求 v 的值，使二面角P-CD-A的平面角最小.亠ji【答案】(I)見解析；(n).3【解析】試題分析：(I )利用題意證得CD _ AE,PD _ AE AE_ 平面PCD.(n)建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得cos,要使最小，則cos最又由題知n 二 1 ,0,0

28、 是平面PED的一個法向量,所以 cosm,n gn 3所以，二面角P _DE _F的余弦值為12 分-23 -大，得3試題解析：當(dāng)v -60時，/AD J BC,AB二AD = 2BC = 2. CD _ AD.又PA_ 平面ABCDPA_CD.CD_ 平面PAD.又AE平面PAD,CD _ AE又PA二AD,E是棱PD的中點，PD _ AEAE_平面PCD.(II如圖建立空間直角坐標(biāo)系4-砂，則尸(002),月2釦巴2迢0), C(2sin巴2詔十10),D(020).麗=(Q-Z2)、55=(2x111.25 0-1.0)設(shè)平面PCD的法冋量為并=(盂M)、,HD?-2J+2Z0則二、t、亓丄)6(21?x+(2cos& 1J y = 02co詛-1-24 -、2siu-25 -又易知平面