四年級奧數(shù)正式教材學生用(共49頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上目錄（1） 找規(guī)律觀察是解決問題的根據(jù)。通過觀察，得以揭示出事物的發(fā)展和變化規(guī)律，在一般情況下，我們可以從以下幾個方面來找規(guī)律：1根據(jù)每組相鄰兩個數(shù)之間的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；2根據(jù)相隔的每兩個數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；3要善于從整體上把握數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，從而很快找出規(guī)律；4數(shù)之間的聯(lián)系往往可以從不同的角度來理解，只要言之有理，所得出的規(guī)律都可以認為是正確的。數(shù)列中的規(guī)律一、例題與方法指導例1：先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律在括號里填上適當?shù)臄?shù)。1，4，7，10，（ ），16，19思路導航：在這列數(shù)中，相鄰的兩個數(shù)的差都是3，即每一個數(shù)加上

2、3都等于后面的數(shù)。根據(jù)這一規(guī)律，括號里應(yīng)填的數(shù)為：10+3=13或163=13像上面按照一定的順序排列的一串數(shù)叫做數(shù)列。例2：先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，然后在括號里填上適當?shù)臄?shù)。 1，2，4，7，（ ），16，22思路導航：在這列數(shù)中，前4個數(shù)每相鄰的兩個數(shù)的差依次是1，2，3。由此可以推算7比括號里的數(shù)少4，括號里應(yīng)填：7+4=11。經(jīng)驗證，所填的數(shù)是正確的。應(yīng)填的數(shù)為：7+4=11或16-5=11例3：先找出規(guī)律，然后在括號里填上適當?shù)臄?shù)。23，4，20，6，17，8，（ ），（ ），11，12思路導航：在這列數(shù)中，第一個數(shù)減去3的差是第三個數(shù)，第二個數(shù)加上2的和是第四個數(shù)，第三個數(shù)減去3的

3、差是第五個數(shù)，第四個數(shù)加上2的和是第六個數(shù)依此規(guī)律，8后面的一個數(shù)為：17-3=14，11前面的數(shù)為：8+2=102、 鞏固訓練1.先找出下列各列數(shù)的排列規(guī)律，然后在括號里填上適當?shù)臄?shù)。（1）2，6，10，14，（ ），22，26（2）3，6，9，12，（ ），18，21（3）33，28，23，（ ），13，（ ），3（4）55，49，43，（ ），31，（ ），19（5）3，6，12，（ ），48，（ ），192（6）2，6，18，（ ），162，（ ）（7）128，64，32，（ ），8，（ ），2（8）19，3，17，3，15，3，（ ），（ ），11，32.先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，然后

4、在括號里填上適當?shù)臄?shù)。（1）10，11，13，16，20，（ ），31（2）1，4，9，16，25，（ ），49，64（3）3，2，5，2，7，2，（ ），（ ），11，2（4）53，44，36，29，（ ），18，（ ），11，9，8（5）81，64，49，36，（ ），16，（ ），4，1，0（6）28，1，26，1，24，1，（ ），（ ），20，1（7）30，2，26，2，22，2，（ ），（ ），14，2（8）1，6，4，8，7，10，（ ），（ ），13，143、 拓展提升先找出規(guī)律，然后在括號里填上適當?shù)臄?shù)。（1）1，6，5，10，9，14，13，（ ），（ ）（2）13，2，1

5、5，4，17，6，（ ），（ ）（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（ ），（ ），18，14（4）21，2，19，5，17，8，（ ），（ ）（5）32，20，29，18，26，16，（ ），（ ），20，12（6）2，9，6，10，18，11，54，（ ），（ ），13，486（7）1，5，2，8，4，11，8，14，（ ），（ ）（8）320，1，160，3，80，9，40，27，（ ），（ ）圖形中的規(guī)律我們通常會碰到一些圖形，它們在某一方面，比如顏色，形狀，大小，結(jié)構(gòu)，位置或繁難等有些共同的特征或變化規(guī)律，你能通過觀察找規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律推斷出結(jié)果嗎？一、例題與方法指導例1.

6、下面哪個圖形和其他幾個不一樣，你能找出來嗎？思路導航：題中幾個圖形的共同特征是：先連接各邊中點，組成一個復合圖形。所不同的是，B圖形是一個三角形，而其他幾個圖形都是四邊形，這樣，只有B與其他幾個不一樣。例2.找出下組圖形中不同的項。思路導航：題中只有D圖形不是由A翻轉(zhuǎn)過來的，其他圖形都是在同一個平面內(nèi)通過把A圖形旋轉(zhuǎn)而得到的。故不同的選項應(yīng)該為D例3.在下面圖形中找出一個與眾不同的.(1) (2) (3) (4) (5)思路導航：很容易看出題目圖中(1)逆時針旋轉(zhuǎn)就是(4),但是這樣一來,(2)、(3)、(5)都與它們不同了.題目上要求找出一個.所以放棄這種想法.圖(2)順時針旋轉(zhuǎn),且大、小兩

7、個矩形顏色互換一下就得到(5).而圖(1)與(3)的變化規(guī)律也是這樣:順時針旋轉(zhuǎn),大小兩部分顏色互換.因此(1)與(3)配對,(2)與(5)配對.解:與眾不同的是題目圖中的(4).例4.依照下面圖中所給圖形的變化規(guī)律,在空格中填圖.思路導航：我們分花盆、花莖、花葉、花朵四個部分逐步觀察.(1)花盆:花盆的形狀每一行都是由同樣的三種形狀組成,所以第三行所缺的形狀便是應(yīng)填的圖案中的花盆形狀;花盆的顏色在同一行中都是由黑、白、灰(畫有斜線)三色組成,圖中第三行已有白、灰二色，所以應(yīng)填的花盆為黑色(如下圖(1);(2)花莖:如同上面一樣的分析.花莖的形狀為魚鉤狀,方向向右(如下圖(2);(3)花葉:花

8、葉數(shù)量為兩朵,方向是向左、右平展(如下圖(3);(4)花朵:形狀為圓形(如下圖(4). (1) (2) (3) (4) 解:依照所給圖形的變化規(guī)律,空格中應(yīng)填的圖形如圖(4).2、 鞏固訓練1. 按順序觀察圖51與圖52中圖形的變化，想一想，按圖形的變化規(guī)律，在帶“?”的空格處應(yīng)畫什么樣的圖形?2.請觀察右圖中已有的幾個圖形，并按規(guī)律填出空白處的圖形。3. 按順序觀察下圖中圖形的變化規(guī)律，并在“?”處填上合適的圖形.4.下圖中的圖形是按一定規(guī)律排列的，請仔細觀察，并在“?”處填上適當?shù)膱D形.（2） 數(shù)字謎小朋友們都玩過字謎吧，就是一種文字游戲，例如“空中碼頭”（打一城市名）。謎底你還記得嗎？記

9、不得也沒關(guān)系，想想“空中”指什么？“天”。這個地名第1個字可能是天。“碼頭”指什么呢？碼頭又稱渡口，聯(lián)系這個地名開頭是“天”字，容易想到“天津”這個地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。這樣謎底就出來了：天津。算式謎又被稱為“蟲食算”，意思是說一道算式中的某些數(shù)字被蟲子吃掉了無法辨認，需要運用四則運算各部分之間的關(guān)系，通過推理判定被吃掉的數(shù)字，把算式還原?！跋x食算”主要指橫式算式謎和豎式算式謎，其中未知的數(shù)字常常用、等圖形符號或字母表示。文字算式謎是前兩種算式謎的延伸，用文字或字母來代替未知的數(shù)字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的數(shù)字，相同的數(shù)字或字母表示同一個數(shù)字。文字算式謎也是最難

10、的一種算式謎。在數(shù)學里面，文字也可以組成許許多多的數(shù)學游戲，就讓我們一起來看看吧。橫式字謎1、 例題與方法指導例1 ，8，97在上面的3個方框內(nèi)分別填入恰當?shù)臄?shù)字，可以使得這3個數(shù)的平均數(shù)是150。那么所填的3個數(shù)字之和是多少？思路導航：150*3-8-97-5=340所以3個數(shù)之和為3+4+5=12。例2 在下列算式的中填上適當?shù)臄?shù)字，使得等式成立：（1）64÷56=0，（2）78÷37=1，（3）33÷2=17，（4）8÷58=6。思路導航：（1） 6104/56=109 （2）7548/37=204（3） 3393/29=117（4）8468/58

11、=146例3 在算式40796÷=9998的各個方框內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)字后，就可以使其成為正確的等式。求其中的除數(shù)。思路導航：40796/102=399.98。例4 我學數(shù)學樂×我學數(shù)學樂=數(shù)數(shù)數(shù)學數(shù)數(shù)學學數(shù)學在上面的乘法算式中，“我、學、數(shù)、樂”分別代表的4個不同的數(shù)字。如果“樂”代表9，那么“我數(shù)學”代表的三位數(shù)是多少？ 思路導航：學=1，我=8，數(shù)=6 ，81619*81619=例5 ÷（÷÷）=24在式中的4個方框內(nèi)填入4個不同的一位數(shù)，使左邊的數(shù)比右邊的數(shù)小，并且等式成立。思路導航：這樣，我們可以先用字母代替數(shù)字，原等式寫成：a/(b/c

12、/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(a<b<c<d)當a=1時，有6*8/2=24，8*9/3=24；當a=2時，有4*9/3=12，6*8/4=12，8*9/6=12；所以，滿足要求的等式有：1÷（2÷6÷8）=24，1÷（3÷8÷9）=24，2÷（3÷4÷9）=24，2÷（4÷6÷8）=24，2÷（6÷8÷9）=24。例6 ×=5； 12+=，把1至9這9個數(shù)字分別填入上面兩個算式的各個方框中，使等式成立

13、，這里有3個數(shù)字已經(jīng)填好。2、 訓練鞏固1. 迎迎×春春=杯迎迎杯，數(shù)數(shù)×學學=數(shù)賽賽數(shù)，春春×春春=迎迎賽賽在上面的3個算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。如果這3個等式都成立，那么，“迎+春+杯+數(shù)+學+賽”等于多少？2. 迎+春×春=迎春，（迎+杯）×（迎+杯）=迎杯在上面的兩個橫式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。那么“迎+春+杯”等于多少？3、 拓展提升1.在下列各式的中分別填入相同的兩位數(shù)：(1)5×=2；(2)6×3。2. 將39中的數(shù)填入下列各式，使算式成立，要求

14、各式中無重復的數(shù)字：(1)÷=÷；(2)÷÷。3.在下列各式的中填入合適的數(shù)字：(1)448÷=；(2)2822÷=；(3)13×= 46。4. 在下列各式的中填入合適的數(shù)：(1) ÷32831；(2)573÷3229；(3)4837÷7427。豎式字謎1、 例題與方法指導例1 在圖4-1所示的算式中，每一個漢字代表一個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字那么“喜歡”這兩個漢字所代表的兩位數(shù)是多少？分析： 首先看個位，可以得到“歡”是0或5，但是“歡”是第二個數(shù)的十位，所以“歡”不能是0，只能是5。

15、再看十位，“歡”是5，加上個位有進位1，那么，加起來后得到的“人”就應(yīng)該是偶數(shù)，因為結(jié)果的百位也是“人”，所以“人”只能是2；由此可知，“喜”等于8。 所以，“喜歡”這兩個漢字所代表的兩位數(shù)就是85。例2 在圖4-2所示的豎式中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字如果：巧+解+數(shù)+字+謎=30，那么“數(shù)字謎”所代表的三位數(shù)是多少？分析：還是先看個位，5個“謎”相加的結(jié)果個位還是等于“謎”，“謎”必定是5（0顯然可以排出）； 接著看十位，四個“字”相加再加上進位2，結(jié)果尾數(shù)還是“字”，那說明“字”只能是6； 再看百位，三個“數(shù)”相加再加上進位2，結(jié)果尾數(shù)還是“數(shù)”，“數(shù)”可能是4

16、或9； 再看千位，（1）如果“數(shù)”為4，兩個“解”相加再加上進位1，結(jié)果尾數(shù)還是“解”，那說明“解”只能是9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于6與“字”等于6重復，不能； （2）如果“數(shù)”為9，兩個“解”相加再加上進位2，結(jié)果尾數(shù)還是“解”，那說明“解”只能是8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以。 所以“數(shù)字謎”代表的三位數(shù)是965。例3在圖4-3所示的加法算式中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字請把這個豎式翻譯成數(shù)字算式 分析：首先萬位上“華”=1； 再看千位，“香”只能是8或9，那么“人”就相應(yīng)的只能是0或1。但是“華”=1，所以，“人”就是0；

17、 再看百位，“人”=0，那么，十位上必須有進位，否則“港”+“人”還是“港”。由此可知“回”比“港”大1，這樣就說明“港”不是9，百位向千位也沒有進位。于是可以確定“香”等于9的； 再看十位，“回”+“愛”=“港”要有進位的，而“回”比“港”大1，那么“愛”就等于8；同時，個位必須有進位； 再看個位，兩數(shù)相加至少12，至多13，即只能是5+7或6+7，顯然“港”=5，“回”=6，“歸”=7。 這樣，整個算式就是：9567+1085=10652。例4 圖4-4是一個加法豎式，其中E，F(xiàn)，I，N，O，R S，T，X，Y分別表示從0到9的不同數(shù)字，且F，S不等于零那么這個算式的結(jié)果是多少？ 分析：先

18、看個位和十位，N應(yīng)為0，E應(yīng)為5；再看最高位上，S比F大1；千位上O最少是8；但因為N等于0，所以，I只能是1，O只能是9；由于百位向千位進位是2，且X不能是0，因此決定了T、R只能是7、8這兩個；如果T=7，X=3，這是只剩下了2、4、6三個數(shù)，無法滿足S、F是兩個連續(xù)數(shù)的要求。所以，T=8、R=7；由此得到X=4；那么，F(xiàn)=2，S=3，Y=6。所以，得到的算式結(jié)果是31486。2、 訓練鞏固1. 在圖4-5所示的減法算式中，每一個字母代表一個數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字那么D+G等于多少？2. 王老師家的電話號碼是一個七位數(shù)，把它前四位組成的數(shù)與后三位組成的數(shù)相加得9063，把它前三位數(shù)

19、組成的數(shù)與后四位數(shù)組成的數(shù)相加得2529求王老師家的電話號碼3. 將一個四位數(shù)的各位順序顛倒過來，得到一個新的四位數(shù)如果新數(shù)比原數(shù)大7902，那么在所有符合這樣條件的四位數(shù)中，原數(shù)最大是多少？3、 拓展提升1.已知圖4-6所示的乘法豎式成立那么ABCDE是多少？ 2. 某個自然數(shù)的個位數(shù)字是4，將這個4移到左邊首位數(shù)字的前面，所構(gòu)成的新數(shù)恰好是原數(shù)的4倍問原數(shù)最小是多少？ 3. 在圖4-7所示的豎式中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字則符合題意的數(shù)“迎春杯競賽贊”是多少？ （3） 定義新運算定義新運算通常是用特殊的符號表示特定的運算意義。它的符號不同于課本上明確定義或已經(jīng)約定

20、的符號，例如“+、-、×、÷、>、<”等。表示運算意義的表達式，通常是使用四則運算符號，例如ab=3a-3b，新運算使用的符號是，而等號右邊表示新運算意義的則是四則運算符號。正確解答定義新運算這類問題的關(guān)鍵是要確切理解新運算的意義，嚴格按照規(guī)定的法則進行運算。如果沒有給出用字母表示的規(guī)則，則應(yīng)通過給出的具體的數(shù)字表達式，先求出表示定義規(guī)則的一般表達式，方可進行運算。值得注意的是：定義新運算一般是不滿足四則運算中的運算律和運算性質(zhì)，所以，不能盲目地運用定律和運算性質(zhì)解題。1、 例題與方法指導例1.設(shè) ab都表示數(shù)，規(guī)定ab表示a的4倍減去b的3倍，即ab=4

21、15;a-3×b,試計算56，65。解56-5×4-6×3=20-18=2 65=6×4-5×3=24-15=9說明 例1定義的沒有交換律，計算中不得將前后的數(shù)交換。例2.對于兩個數(shù)a、b,規(guī)定ab表示3×a+2×b,試計算（56）7，5（67）。思路導航：先做括號內(nèi)的運算。解 （56）7=（5×3+6×2）7=277=27×3+7×2=95 5（67）=5（6×3+7×2）=532=5×3+32×2=79說明 本題定義的運算不滿足結(jié)合律。這是與

22、常規(guī)的運算有區(qū)別的。例3.已知23=2×3×4，42=4×5，一般地，對自然數(shù)a、b，ab 表示a×(a+1)×（a+b-1）.計算（63）-（52）。思路導航：原式=6×7-5×6 =336-30規(guī)定：a=a+(a+1)+(a+2)+（a+b-1）,其中a,b表示自然數(shù)。例4.求1100的值。已知x10=75,求x.思路導航：（1）原式=1+2+3+100=（1+100）×100÷2=5050（2）原式即x+(x+1)+(x+2)+（X+9）=75,所以10X+(1+2+3+9)=75 10x+45=7

23、5 10x=30 x=32、 鞏固訓練1.若對所有b,ab =a×x,x是一個與b無關(guān)的常數(shù)；ab=(a+b)÷2,且（13）3=1（33）。求（14）2的值。2. 如果規(guī)定：=2×3×4，=3×4×5，=4×5×6，=8×9×10，求+-+-+-的值。3、 能力提升（4） 雞兔同籠雞兔同籠問題是指雞與兔同在一個籠中，已知雞與兔的總頭數(shù)以及雞與兔的總足數(shù)，求雞和兔各是多少只的應(yīng)用題。這種類型題是古代趣題，在現(xiàn)實生活和生產(chǎn)中應(yīng)用廣泛，有著十分重要的使用價值。雞兔問題，也叫簡換問題。解答時，一般采用

24、假設(shè)法，即假定全部的只數(shù)都是雞或者是兔，算出假定情況下的足數(shù)和實際上的足數(shù)和、足數(shù)差，然后推算出雞和兔的只數(shù)。計算時的主要數(shù)量關(guān)系是：1.如果假定全部是兔，則雞的只數(shù)=（每只兔的足數(shù)×總頭數(shù)總足數(shù)）÷（每一只雞與兔足數(shù)的差）簡單理解就是：雞的只數(shù)=（4 ×總頭數(shù)總足數(shù)）÷2兔的只數(shù)=總頭數(shù)雞的只數(shù)2.如果假定全部是雞，則兔的只數(shù)=（總足數(shù)每只雞的足數(shù)×總頭數(shù)） ÷（每一只雞與兔足數(shù)的差）簡單寫就是兔的只數(shù)=（總足數(shù)2 ×總頭數(shù)） ÷2雞的只數(shù)=總頭數(shù)兔的只數(shù)1、 例題與方法指導例1. 雞兔同籠，共有100個頭，32

25、0只腳，問雞和兔各是多少只？思路導航：雞有2只腳，兔有4只腳，如果把兔子的兩只前腳用繩子捆起來，當成一只腳，兩只后腳也用繩子捆起來，當成一只腳，那么兔子和雞一樣，都是2只腳。雞和兔的總腳數(shù)就是100×2=200（只），但比實際320只腳要少320200=120（只），為什么會少了120只腳呢？是因為每只兔子只算一只前腳，一只后腳，而少算了一只前腳和一只后腳。也就是說每只兔子都少算了兩只腳，一共少算了120只腳，所以兔子應(yīng)該有120÷2=60（只）。解法一： 解法二：2×100=200（只）4×100=400（只）320200=120（只） 400320=

26、80（只）120÷2=60（只） 80÷2=40（只）10060=40（只） 10040=60（只）答：雞有40只，兔有60只。例2. 5元紙幣和2元紙幣總張數(shù)是200張，已知它們的總面值是940元，這兩種紙幣各多少張？思路導航：（1）假設(shè)200張紙幣完全是2元，共值： 2×200=400（元）（2）比實際少： 940400=540（元）（3）2元換成5元，每張增加： 52=3（元）（4）5元紙幣有： 540÷3=180（張）（5）2元紙幣有： 200180=20（張）答：有180張5元、20張2元紙幣。例3. 雞兔同籠，雞比兔多25只，腳數(shù)共176只，

27、雞、兔各多少只？思路導航：假設(shè)去掉多的25只雞，則一共去掉2×25=50（只）腳，那么17650=126（只）腳是雞和兔一樣多的腳的總數(shù)量，而一對雞兔共有24=6（只）腳，可以求出去掉25只雞以后一共多少對雞和兔，然后再加上去掉的25只雞。2×25=50（只）17650=126（只）24=6（只）126÷6=21（對）雞、兔各21只21+25=46（只） 雞的只數(shù)答：雞有46只，兔有21只。2、 鞏固訓練1.雞兔同籠，共有頭90只，腳252只。雞兔各多少只？2.雞兔同籠，共有頭80只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)多40只，雞兔各多少只？3.30枚硬幣由2分和5分組成，共值9

28、角9分，兩種硬幣各多少枚？3、 拓展提升1. 雞兔共100只，雞的腳數(shù)比兔少40只，雞兔各多少只？2. 46人去劃船，一共乘坐10條船，其中大船坐7人，小船坐4人，大、小船各多少條？3. 某車棚共停放三輪車和自行車共39輛，兩種車輪總和96個，三輪車和自行車各多少輛？（5） 行程問題行程問題是小學奧數(shù)中變化最多的一個專題，不論在奧數(shù)競賽中還是在“小升初”的升學考試中，都擁有非常重要的地位。行程問題中包括：火車過橋、流水行船、沿途數(shù)車、獵狗追兔、環(huán)形行程、多人行程，等等。每一類問題都有自己的特點，解決方法也有所不同，但是，行程問題無論怎么變化，都離不開“三個量，三個關(guān)系”：這三個量是：路程(s)

29、、速度(v)、時間(t)三個關(guān)系：1. 簡單行程： 路程 = 速度 × 時間2. 相遇問題： 路程和 = 速度和 × 時間3. 追擊問題： 路程差 = 速度差 × 時間牢牢把握住這三個量以及它們之間的三種關(guān)系，就會發(fā)現(xiàn)解決行程問題還是有很多方法可循的。追擊及遇問題1、 例題與方法指導例1.有甲、乙、丙三人同時同地出發(fā)，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇。問：這個花圃的周長是多少米？思路導航：這個三人行程的問題由兩個相遇、一個追擊組成，題目中所給的條件只有

30、三個人的速度，以及一個“3分鐘”的時間。第一個相遇：在3分鐘的時間里，甲、丙的路程和為（40+36）×3=228（米）第一個追擊：這228米是由于在開始到甲、乙相遇的時間里，乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追擊過程，可求出甲、乙相遇的時間為228÷ （38-36）=114（分鐘）第二個相遇：在114分鐘里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周長為（40+38）×114=8892（米）我們把這樣一個抽象的三人行程問題分解為三個簡單的問題，使解題思路更加清晰。例2.東西兩地間有一條公路長217.5千米，甲車以每小時25千米的速度從東到西地，1.5小時后，乙車從西地出發(fā)

31、，再經(jīng)過3小時兩車還相距15千米。乙車每小時行多少千米？思路導航：            從圖中可以看出，要求乙車每小時行多少千米，關(guān)鍵要知道乙車已經(jīng)行了多少路程和行這段路程所用的時間。解：（1）甲車一共行多少小時？1.5+3=4.5（小時）（2）甲車一共行多少千米路程？25×4.5=112.5（千米）（3）乙車一共行多少千米路程？217.5-112.5=105（千米）（4）乙車每小時行多少千米？ (105-15)÷3=30（千米）答：乙車每小時行30千米。例3.兄妹二人同時

32、從家里出發(fā)到學校去，家與學校相距1400米。哥哥騎自行車每分鐘行200米，妹妹每分鐘走80米。哥哥剛到學校就立即返回來在途中與妹妹相遇。從出發(fā)到相遇，妹妹走了幾分鐘？相遇處離學校有多少米？思路導航： 從圖中可以看出，哥與妹妹相遇時他們所走的路程的和相當于從家到學校距離的2倍。因此本題可以轉(zhuǎn)化為“哥哥妹妹相距2800米，兩人同時出發(fā)，相向而行，哥哥每分鐘行200米，妹妹每分鐘行80米，經(jīng)過幾分鐘相遇？”的問題，解答就容易了。解：（1）從家到學校的距離的2倍：1400×2=2800（米）（2）從出發(fā)到相遇所需的時間：2800÷（200+80）=10（分）（3）相遇處到學校的距離

33、：1400-80×10=600（米） 答：從出發(fā)到相遇，妹妹走了10分鐘，相遇處離學校有600米。2、 鞏固訓練1.兩城市相距328千米，甲、乙兩人騎自行車同時從兩城出發(fā)，相向而行。甲每小時行28千米，乙每小時行22千米，乙在中途修車耽誤1小時，然后繼續(xù)行駛，與甲相遇，求出發(fā)到相遇經(jīng)過多少時間？2. 快車和慢車同時從甲乙兩地相對開出，已知快車每小時行40千米，經(jīng)過3小時快車已過中點12千米與慢車相遇，慢車每小時行多少千米？3. 小華和小明同時從甲、乙兩城相向而行，在離甲城85千米處相遇，到達對方城市后立即以原速沿原路返回，又在離甲城35千米處相遇，兩城相距多少千米？3、 拓展提升1.

34、 客車和貨車同時從甲、乙兩地相對開出，客車每小時行54千米，貨車每小時行48千米，兩車相遇后又以原來的速度繼續(xù)前進，客車到達乙站后立即返回，貨車到達甲站后也立即返回，兩車再次相遇時，客車比貨車多行216千米。求甲乙兩站相距多少千米？2.甲、乙、丙三輛車同時從A地出發(fā)到B地去，甲、乙兩車速度分別為每小時60千米和48千米，有一輛迎面開來的卡車分別在他們出發(fā)后6小時、7小時、8小時先后與甲、乙、丙三車相遇。求丙車的速度。3.兩列火車從某站相背而行，甲車每小時行58千米，先開出2小時后，車以每小時62千米才開出，乙車開出5小時后，兩列火車相距多少千米？火車過橋    過

35、橋問題也是行程問題的一種。首先要弄清列車通過一座橋是指從車頭上橋到車尾離橋。列車過橋的總路程是橋長加車長，這是解決過橋問題的關(guān)鍵。過橋問題也要用到一般行程問題的基本數(shù)量關(guān)系：    過橋問題的一般數(shù)量關(guān)系是：因為：過橋的路程 = 橋長 + 車長 所以有：通過橋的時間 =（橋長 + 車長）÷車速車速 = （橋長 + 車長）÷過橋時間公式的變形：    橋長 = 車速×過橋時間 車長車長 = 車速×過橋時間 橋長后三個都是根據(jù)第二個關(guān)系式逆推出的?；疖囃ㄟ^隧道的問題和過橋問題的道理是一樣的，也要通過

36、上面的數(shù)量關(guān)系來解決。1、 例題與方法指導例1.一列客車經(jīng)過南京長江大橋，大橋長6700米，這列客車長100米，火車每分鐘行400米，這列客車經(jīng)過長江大橋需要多少分鐘？思路導航：                           從火車頭上橋，到火車尾離橋，這之間是火車通過這座大橋的過程，也就是過橋的路程是橋長 + 車長。通過“過橋的路程”和“車

37、速”就可以求出火車過橋的時間。    （1）過橋路程：6700 + 100 = 6800（米）    （2）過橋時間：6800÷400 = 17（分）答：這列客車通過南京長江大橋需要17分鐘。    例2.一列火車長160米，全車通過440米的橋需要30秒鐘，這列火車每秒行多少米？思路導航：    要想求火車過橋的速度，就要知道“過橋的路程”和過橋的時間。    （1）過橋的路程：160 + 440 = 600（米） 

38、0;  （2）火車的速度：600÷30 = 20（米）    答：這列火車每秒行20米。例3.某列火車通過360米的第一個隧道用了24秒鐘，接著通過第二個長216米的隧道用了16秒鐘，求這列火車的長度？思路導航：    火車通過第一個隧道比通過第二個隧道多用了8秒，為什么多用8秒呢？原因是第一個隧道比第二個隧道長360216 = 144（米），這144米正好和8秒相對應(yīng)，這樣可以求出車速。火車24秒行進的路程包括隧道長和火車長，減去已知的隧道長，就是火車長。    （1）第一個隧道比第

39、二個長多少米？    360216 = 144（米）    （2）火車通過第一個隧道比第二個多用幾秒？    2416 = 8（秒）    （3）火車每秒行多少米？    144÷8 = 18（米）    （4）火車24秒行多少米？    18×24 = 432（米）    （5）火車長多少米？    432

40、360 = 72（米）答：這列火車長72米。2、 鞏固訓練    1.某列火車通過342米的隧道用了23秒，接著通過234米的隧道用了17秒，這列火車與另一列長88米，速度為每秒22米的列車錯車而過，問需要幾秒鐘？2. 一列火車全長265米，每秒行駛25米，全車要通過一座985米長的大橋，問需要多少秒鐘？3. 一列長50米的火車，穿過200米長的山洞用了25秒鐘，這列火車每秒行多少米？3、 拓展提升1.一列長240米的火車以每秒30米的速度過一座橋，從車頭上橋到車尾離橋用了1分鐘，求這座橋長多少米？2.一列貨車全長240米，每秒行駛15米，全車連續(xù)通過一條隧道和一

41、座橋，共用40秒鐘，橋長150米，問這條隧道長多少米？3.一列火車開過一座長1200米的大橋，需要75秒鐘，火車以同樣的速度開過路旁的電線桿只需15秒鐘，求火車長多少米？4.在上下行軌道上，兩列火車相對開來，一列火車長182米，每秒行18米，另一列火車每秒行17米，兩列火車錯車而過用了10秒鐘，求另一列火車長多少米？（6） 植樹問題只要我們稍加留意，都會看到在馬路兩旁一般都種有樹木。細心觀察，這些樹木的間距一般都是等距離種植的。路長、間距、棵數(shù)之間存在著確定的關(guān)系，我們把這種關(guān)系叫做“植樹問題”。而植樹問題，一般又可分為封閉型的和不封閉型的（開放型的）。封閉型的和不封閉型的植樹問題，區(qū)別在于間

42、隔數(shù)（段數(shù)）與棵數(shù)的關(guān)系：1、不封閉型的（多為直線上），一般情況為兩端植樹，如下圖所示，其路長、間距、棵數(shù)的關(guān)系是：但如果只在一端植樹，如右圖所示，這時路長、間距、棵數(shù)的關(guān)系就是：如果兩端都不植樹，那么棵數(shù)比一端植樹還要再少一棵，其路長、間距、棵數(shù)的關(guān)系就是：2、封閉型的情況（多為圓周形），如下圖所示，那么：植樹問題的三要素：總路線長、間距(棵距)長、棵數(shù)只要知道這三個要素中任意兩個要素，就可以求出第三個植樹問題的分類：直線型的植樹問題封閉型植樹問題特殊類型的植樹問題1、 例題與方法指導例1 有一條公路長1000米，在公路的一側(cè)每隔5米栽一棵垂柳，可種植垂柳多少棵?思路導航：每隔5米栽一棵垂柳

43、，即以兩棵垂柳之間的距離5米為一段。公路的全長1000米，分成5米一段，那么里包含有1000÷5=200段。由于公路的兩端都要求種樹，所以要種植的棵數(shù)比分成的段數(shù)多1，所以，可種植垂柳200+1=201棵。例2 某一淡水湖的周長1350米，在湖邊每隔9米種柳樹一株，在兩株柳樹中間種植2株夾枝桃，可栽柳樹多少株?可栽夾枝桃多少株?兩株夾枝桃之間相距多少米?思路導航：在圓周上植樹時，由于可栽的株數(shù)等于分成的段數(shù)，所以，可栽柳樹=1350÷9=150株；由于兩株柳樹之間等距離地栽株夾枝桃，而間隔數(shù)（段數(shù)）為150，所以栽夾枝桃的株數(shù)=2×150=300株；每隔9米種柳樹

44、一株，在兩株夾枝桃之間等距地栽2株夾枝桃，這就變成兩端都不植樹的情形，即2株等距離栽在9米的直線上，不含兩端，所以，每兩株之間的距離=9÷(2+1)=3(米)。例3 一條街上，一旁每隔8米有一個廣告牌，從頭到尾有16個廣告牌，現(xiàn)在要進行調(diào)整，變成每12米有一個廣告牌。那么除了兩端的廣告牌外，中間還有幾個牌不需要移動？思路導航：16個廣告牌，每相鄰的兩個廣告牌的間隔為8米，則共有16-1=15 個間隔，這條街的總長度為8×15120（米）；現(xiàn)在要調(diào)整為每12米一個廣告牌，那么不移動的牌離端點的距離一定既是8的倍數(shù)，同時也是12的倍數(shù)；8×3=12×2=24

45、，也就是說，每24米及其倍數(shù)處的廣告牌可以不需要移動；120÷245，即段數(shù)為5個，但要扣除兩端的2個，所以，中間不需要移動的有5-1=4個。事實上，所謂植樹問題只是我們對這一種類型問題的總稱，并不單指植樹問題。例如，與之類似的還有爬樓（梯）問題、隊列問題、敲鐘問題、鋸木頭問題的等。所以，植樹問題又稱上樓梯問題。2、 鞏固訓練1 某人要到一座高層樓的第8層辦事，不巧停電，電梯停開。如果他從1層走到4層需要48秒，請問以同樣的速度走到八層，還需要多少秒？2 光華路小學三年級學生有125人參加運動會入場式，他們每5人一行，前后每行間隔為2米，主席臺長42米，他們以每分鐘45米的速度通過主

46、席臺需要多少分鐘?3 下圖是五個大小相同的鐵環(huán)連在一起的圖形，它的長度是多少？十個這樣的鐵環(huán)連在一起有多長？4 一個木工把一根長24米的木條鋸成了3米長的小段，每鋸斷一次要用5分鐘，共需多少分鐘?3、 鞏固訓練1. 一個街心花園如下圖所示，它由四個大小相等的等邊三角形組成。已知從每個小三角形的頂點開始，到下一個頂點均勻栽有9棵花。問大三角形邊上栽有多少棵花？整個花園中共栽多少棵花？2. 時鐘4點敲4下，用12秒敲完。那么6點鐘敲6下，幾秒鐘敲完？3. 鐵路旁每隔50米有一根電線桿，某旅客為了計算火車速度，測量出從經(jīng)過第1根電線桿起到經(jīng)過第37根電線桿止共用了2分?；疖嚨乃俣仁嵌嗌伲浚?） 有趣

47、的數(shù)陣圖把一些數(shù)字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問題叫數(shù)陣圖.數(shù)陣是一種由幻方演變而來的數(shù)字圖.數(shù)陣圖的種類繁多，這里只向大家介紹三種數(shù)陣圖，即封閉型數(shù)陣圖、輻射型數(shù)陣圖和復合型數(shù)陣圖.為了讓同學們學會解數(shù)陣圖的分析思考方法，我們舉例說明.一、例題與方法指導例1.在右圖的九個方格中填入不大于12且互不相同的九個自然數(shù)（其中已填好一個數(shù)），使得任一行、任一列及兩條對角線上的三個數(shù)之和都等于21。思路導航：由上一講例4知中間方格中的數(shù)為7。再設(shè)右下角的數(shù)為x，然后根據(jù)任一行、任一列及每條對角線上的三個數(shù)之和都等于21，如下圖所示填上各數(shù)（含x）。因為九個數(shù)都不大于12，由16x12知4x

48、，由x+212知x10，即4x10。考慮到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。經(jīng)驗證，當x6或8時，九個數(shù)中均有兩個數(shù)相同，不合題意；當x4或10時可得兩個解（見下圖）。這兩個解實際上一樣，只是方向不同而已。例2.將九個數(shù)填入下圖的空格中，使得每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和都相等，則一定有證明：思路導航：設(shè)中心數(shù)為d。由上講例4知每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和都等于3d。由此計算出第一行中間的數(shù)為2db，右下角的數(shù)為2d-c（見下圖）。根據(jù)第一行和第三列都可以求出上圖中處的數(shù)由此得到3d-c-（2d-b）3d-a-（2d-c），3d-c-2db3d-a-2dc，dcbd

49、ac，2cab，abc2。值得注意的是，這個結(jié)論對于a和b并沒有什么限制，可以是自然數(shù)，也可以是分數(shù)、小數(shù)；可以相同，也可以不同。例3.在下頁右上圖的空格中填入七個自然數(shù)，使得每一行、每一列及每一條對角線上的三個數(shù)之和都等于90。思路導航：由上一講例4知，中心數(shù)為90÷330；由本講例2知，右上角的數(shù)為（2357）÷240（見左下圖）。其它數(shù)依次可填（見右下圖）。例4.在右圖的每個空格中填入個自然數(shù)，使得每一行、每一列及每條對角線上的三個數(shù)之和都相等。思路導航：由例2知，右下角的數(shù)為（810）÷2=9；由上一講例4知，中心數(shù)為（59）÷2=7（見左下圖）

50、，且每行、每列、每條對角線上的三數(shù)之和都等于7×3=21。由此可得如圖的填法。二、鞏固訓練 1. 將16分別填在圖中,使每條邊上的三個內(nèi)的數(shù)的和相等. 2. 把18個數(shù)分別填入中,使每條邊上三個數(shù)的和相等.3. 把19個數(shù)分別填入中,使每條邊上四個數(shù)的和相等.4. 把110填入圖中,使五條邊上三個內(nèi)的數(shù)的和相等. 5. 將18個數(shù)分別填入圖中,使每個圓圈上五個數(shù)和分別為20,21,22.（8） 有趣的數(shù)陣圖練習1.把17填入下圖中,使每條線段上三個內(nèi)的數(shù)的和相等. 2.把116填入下圖中,使每條邊上4個數(shù)的和相等,兩個八邊形上8個數(shù)的和也相等.3.把49填入下圖中,使每條線上三個數(shù)的

51、和相等,都是18.4. 把18這8個數(shù)填入下圖,使每邊上的加、減、乘、除成立.-÷×=+=5.把09填入10個小三角形中,使每4個小三角形組成的大三角形的和相等.6.把111填入圖中,使每條線上三個數(shù)的和相等.7.把18,填入圖中,使每條線及正方形四個頂點上的數(shù)的和相等.8.把19,填入下圖中,使每條線段三個數(shù)和及四個頂點的和也相等.9.把17,23,25,31,46,53,58,66,72,88,94,100十二個數(shù)填入下圖,使任意三個相鄰的數(shù)相加的和除以7的余數(shù)相等.（9） 枚舉法一般地，根據(jù)問題要求，一一枚舉問題的解答，或者為了解決問題的方便，把問題分為不重復、不遺漏

52、的有限種情況，一一枚舉各種情況，并加以解決，最終達到解決整個問題的目的。這種分析問題、解決問題的方法，稱之為枚舉法。枚舉法是一種常見的數(shù)學方法，當然枚舉法也存在一些問題，那就是容易遺漏掉一些情況，所以應(yīng)用枚舉法的時候選擇什么樣的標準尤其重要。1、 例題與方法指導例1. 一本書共100頁，在排頁碼時要用多少個數(shù)字是6的鉛字？思路導航：解：把個位是6和十位是6的數(shù)一個一個地列舉出來，數(shù)一數(shù)。個位是6的數(shù)字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10個。十位是6的數(shù)字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10個?？偣?0+10=20（個）答：在排頁

53、碼時要用20個數(shù)字是6的鉛字。例2. 從A市到B市有3條路，從B市到C市有兩條路。從A市經(jīng)過B市到C市有幾種走法？（適于三年級程度）思路導航：解：作圖3-1，然后把每一種走法一一列舉出來。第一種走法：A B C第二種走法：A B C第三種走法：A B C第四種走法：A B C第五種走法：A B C第六種走法：A B C答：從A市經(jīng)過B市到C市共有6種走法。例3. 印刷工人在排印一本書的頁碼時共用1890個數(shù)碼，這本書有多少頁？思路導航：（1）數(shù)碼一共有10個：0、1、28、9。0不能用于表示頁碼，所以頁碼是一位數(shù)的頁有9頁，用數(shù)碼9個。（2）頁碼是兩位數(shù)的從第10頁到第99頁。因為99-9=9

54、0，所以，頁碼是兩位數(shù)的頁有90頁，用數(shù)碼：2×90=180（個）（3）還剩下的數(shù)碼：1890-9-180=1701（個）（4）因為頁碼是三位數(shù)的頁，每頁用3個數(shù)碼，100頁到999頁，999-99=900，而剩下的1701個數(shù)碼除以3時，商不足600，即商小于900。所以頁碼最高是3位數(shù)，不必考慮是4位數(shù)了。往下要看1701個數(shù)碼可以排多少頁。1701÷3=567（頁）（5）這本書的頁數(shù)：9+90+567=666（頁）2、 鞏固訓練1. 如圖9-10，有8張卡片，上面分別寫著自然數(shù)1至8。從中取出3張，要使這3張卡片上的數(shù)字之和為9。問有多少種不同的取法？ 2.從1至8這

55、8個自然數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)相加，要使它們的和大于10，共有多少種不同的取法？ 3. 現(xiàn)在1分、2分和5分的硬幣各4枚，用其中的一些硬幣支付2角3分錢，一共有多少種不同的支付方法？ 4. 媽媽買來7個雞蛋，每天至少吃2個，吃完為止，有多少種不同的吃法？ 5.有3個工廠共訂300份吉林日報，每個工廠最少訂99份，最多101份。問一共有多少種不同的訂法？ 3、 能力提升1. 甲、乙、丙、丁4名同學排成一行。從左到右數(shù)，如果甲不排在第一個位置上，乙不排在第二個位置上，丙不排在第三個位置上，丁不排在第四個位置上，那么不同的排法共有多少種？2. abcd代表一個四位數(shù)，其中a，b，c，d均為1，2，3，4中的某個數(shù)字，但彼此不同，例如2134。請寫出所有滿足關(guān)系ab，bc，cd的四位數(shù)abcd來。3. 一個兩位數(shù)乘以5，所得的積的結(jié)果是一個三位數(shù)，且這個三位數(shù)的個位與百位數(shù)字的和恰好等