中國(guó)古代的計(jì)算工具

1、中國(guó)獨(dú)特的計(jì)算工具籌算和珠算根據(jù)馬來(lái)西亞的報(bào)紙報(bào)道，現(xiàn)在的馬來(lái)西亞政府在全國(guó)的小學(xué)數(shù)學(xué)教育，采用中國(guó)的算盤(pán)為計(jì)算工具。 在美國(guó)也有一些小學(xué)，利用中國(guó)的算盤(pán)來(lái)計(jì)算，而不是用計(jì)算器。 我想在這里介紹一下中國(guó)人在發(fā)明算盤(pán)之前是用什么計(jì)算工具，以及算盤(pán)產(chǎn)生的經(jīng)過(guò)。 中國(guó)在三百多萬(wàn)年前已有古人類(lèi)活動(dòng)，在云南的元謀，人們找到距今一百七十萬(wàn)年前的人類(lèi)化石，陜西出現(xiàn)八十萬(wàn)年前的藍(lán)田人以及廣東馬壩人、湖北長(zhǎng)陽(yáng)人、廣西柳江人、北京山頂洞人等舊石器時(shí)代的古人類(lèi)。 大約在一萬(wàn)年前，我們的祖先進(jìn)入新石器時(shí)代，人們過(guò)著群聚、漁獵的生活，懂得磨出石器及制造陶器。隨著以后生活及生產(chǎn)的需要，人們開(kāi)始要計(jì)數(shù)。最初我想人們是以他們

2、的手指作為計(jì)算工具，這是“屈指可數(shù)”這個(gè)成語(yǔ)的來(lái)源。 后來(lái)人們用石子、貝殼等自然實(shí)物來(lái)協(xié)助計(jì)算。在中國(guó)古書(shū)易經(jīng)的系辭里記載：“上古結(jié)繩而治，后世圣人，易之以書(shū)契?！痹谒那Ф嗄昵暗募坠俏?，有一個(gè)“數(shù)”字，左邊形如一根繩上打了許多結(jié)，上下有被栓在主繩上的細(xì)繩，而右邊是一只右手，這表示古人是用結(jié)繩來(lái)計(jì)數(shù)（見(jiàn)圖一）。 我們沒(méi)有實(shí)物可以證明中國(guó)人結(jié)繩，可是從古代秘魯人的遺物（圖二、圖三）我們是看到這樣的例子。 可能結(jié)繩還不是太方便計(jì)算。在黃河、長(zhǎng)江流域生活的祖先，利用盛產(chǎn)的竹子制成竹簽，稱(chēng)為籌碼，擺成不同的形式來(lái)表示數(shù)字。 我們現(xiàn)在的“算”這個(gè)字，在古代是寫(xiě)成下面形狀： 這是很形象的表示用手?jǐn)[弄算籌的象

3、形。這個(gè)字形在公元前三世紀(jì)已出現(xiàn)。 在石頭、泥坯、樹(shù)木上進(jìn)行刻痕劃線(xiàn)來(lái)表達(dá)與計(jì)算數(shù)字，應(yīng)該是許多民族進(jìn)化過(guò)程的一種生活活動(dòng)。在西安半坡等遺址出土的六千年前的彩陶缽口沿上有一些刻劃的符號(hào)和后來(lái)在甲骨文、金文出現(xiàn)的“”、“”、“|”、“|”、“十”等數(shù)字符號(hào)相似。陶文中還有這樣的符號(hào)（圖五），可能是表示較大的數(shù)字。 在臺(tái)灣的少數(shù)民族排灣族，以及在云南的一些少數(shù)民族在五十多年前還在木棒上刻線(xiàn)表示他們狩獵到野豬的數(shù)目。 籌的起源 有許多外國(guó)人以為中國(guó)古代的人是用算盤(pán)來(lái)作計(jì)數(shù)工具。事實(shí)上，在幾千年前中國(guó)人為了生活的需要利用一種獨(dú)特的計(jì)算工具算籌。 籌是一些小竹、木棍。從西周直到宋元，有兩千多年的時(shí)間，人

4、們都是以籌來(lái)作計(jì)算工具。籌也有以骨、玉、鐵等材料制成。 1954年考古學(xué)家在湖南省長(zhǎng)沙左家公山發(fā)現(xiàn)一座距今二千一百多年前戰(zhàn)國(guó)晚期的楚墓，里面有一個(gè)竹筒，裝有天平、法碼、毛筆，以及四十根長(zhǎng)短約12厘米的竹籌，這是最早發(fā)現(xiàn)也是最古的算籌實(shí)物。 到了1978年在河南省登封出土的早期戰(zhàn)國(guó)陶器，在上面刻有算籌記數(shù)的陶文。因此可以把使用算籌的時(shí)間推上更遠(yuǎn)。 遠(yuǎn)在人們從漁獵時(shí)代過(guò)渡到畜牧?xí)r代，為了計(jì)算他們的羊群或馬群。人們用小石塊或木枝來(lái)和所畜養(yǎng)的動(dòng)物建立一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這樣方便及較準(zhǔn)確的計(jì)算。可是有時(shí)搬遷的地方，沒(méi)有太多石塊，或者攜帶石塊來(lái)計(jì)算太過(guò)笨重。于是人們想到為什么不用到處可見(jiàn)的竹子為材料制造幫

5、助計(jì)算的工具。 在五千多年前古代黃河流域一帶，氣候比現(xiàn)在溫暖濕潤(rùn)，竹子叢生，是大象、犀牛出沒(méi)的地方。我們的祖先已會(huì)充分利用竹子建住房、作竹筏、制箭、吃竹筍、用筷子夾烤熟的肉免燙手，當(dāng)然會(huì)想到削竹片來(lái)作為計(jì)算的輔助工具。 由于竹容易腐爛，不易保存幾千年，因此我們看不到在殷墟出土有算籌的實(shí)物?？墒悄抢锪粝聛?lái)的二十多萬(wàn)片龜甲獸骨上的文字，就有明顯的數(shù)字遺跡顯示距現(xiàn)在三千三百多年前的商代，人們已用算籌了。 在甲骨文上的“一”、“二”、“三”、“四”、“五”、“六”和“十”是形如“一”“=”“”“ ”“ ”“X”和“”、“|”的樣子。 如果用|、|、|、|、|來(lái)表1、2、3、4、5，那么很自然我們會(huì)想到

6、用6根竹棒表示6了，可是這樣很不方便，在公元前六到公元前三世紀(jì)的周人就用 或 表示6。而7就用 、 來(lái)表示。8就用 、 來(lái)表示，而9就是以 或 來(lái)表示。 到了秦漢時(shí)期基本上就把數(shù)碼定為橫式及縱式兩種，而且固定個(gè)位、百位、萬(wàn)位是用縱式，而十位，千位是用橫式： 大約在公元三世紀(jì)出現(xiàn)的孫子算經(jīng)中說(shuō)：“凡算之法，先識(shí)其位。一縱十橫（個(gè)位縱劃，十位橫劃），百立千僵（百位縱的，千位橫的），千十相望（千位和十位相同），萬(wàn)百相當(dāng)（萬(wàn)位和百位相同）?！保ㄒ?jiàn)圖六） 籌算加減法 籌算加減的方法比較簡(jiǎn)單。把加數(shù)和被加數(shù)擺上兩行，然后由高位數(shù)算起，即由左向右計(jì)算，變成一行就是答案。這方法和我們現(xiàn)在通行的筆算恰好相反?，F(xiàn)

7、代的筆算法是由低位數(shù)往高位數(shù)計(jì)算。古代西方和中國(guó)人一樣是由左而右計(jì)算的，到了12-13世紀(jì)以后才轉(zhuǎn)變成我們現(xiàn)在的方法。 我們舉下面的例子說(shuō)明進(jìn)行籌算時(shí)的過(guò)程： 我們要算43792+3056   減法的計(jì)算剛好是前面的逆轉(zhuǎn)。比如我們要算 46848-3056 首先列出46848，然后由千位中減去3，依次再減去百位、十位和個(gè)位的數(shù)碼，也是由左向右計(jì)算的。讀者可在計(jì)算過(guò)程試試發(fā)現(xiàn)。 3世紀(jì)末的孫子算經(jīng)是一部算術(shù)啟蒙書(shū)，里面有講乘法，可是現(xiàn)在的中學(xué)生要看懂一千六百多年前的文字，并理解它的意義是不太容易的，故我們加以說(shuō)明，在下面逐步解釋?zhuān)?1）重置其位，上下相觀(guān)。（下層的最低位數(shù)與上層的最高位

8、數(shù)對(duì)齊。） （2）以上八呼下八，八八六十四，即下六千四百于中位。 （3）以上八呼下一，一八如八，即位下八十。 （4）退下位一等，收上頭位八十。（下層乘數(shù)向右移一位，去掉上屬八。） （5）以上位一呼下八，一八如八，即于中位下八十。 （6）以上位一呼下位一，一一如一，即于中位下一。 （7）上下位俱收，中位即得六千五百六十一。（把上下位數(shù)去掉，剩下中位數(shù)就是答案6561。） 從這個(gè)例子可以看出，把多位數(shù)乘多位數(shù)變成用單位數(shù)去乘多位數(shù)，乘一位加一位，基本想法是和現(xiàn)在的筆算是一樣。 現(xiàn)在舉另外一個(gè)例子236×428，為了讓習(xí)慣看阿拉伯?dāng)?shù)字的讀者能較易理解，我們不寫(xiě)籌式而用阿拉伯?dāng)?shù)碼記數(shù)。 消掉

9、（5）中的6，及把下位的數(shù)去掉，我們?nèi)砍送?，所得的答案就是中位所示?籌算除法 根據(jù)孫子算經(jīng)及夏侯陽(yáng)算經(jīng)的記載，我們知道除法的過(guò)程像是乘法的逆運(yùn)算。這個(gè)除法和我們現(xiàn)在所用的筆算是一致。 其法則如下：“凡除之法，與乘正異，乘得在中央，除得在上方，假令六為法，百為實(shí)。以六除百，當(dāng)進(jìn)之二等，令在正百下，以六除一，則法多而實(shí)少，不可除，故當(dāng)退就十位。以法除實(shí)言一六而折百為四十，故可除。若實(shí)多而法少，自當(dāng)百之，不當(dāng)復(fù)退，故或步法，十者置于十位，百者置于百位，除法皆如乘時(shí)，實(shí)有余者，以法命之，以法為母，實(shí)除為子?！?現(xiàn)在舉例子說(shuō)明，計(jì)算2761÷56。 （2）因被除數(shù)首二位27小于除數(shù)56，不

10、夠除。把除數(shù)向右移一位。 （3）將初商4置于被除數(shù)之上，以4乘除數(shù)各位，并從被除數(shù)中減去。 （4）把除數(shù)再向右移一位，議得次商9后，得余數(shù)17。由上可見(jiàn)籌算除法是隨乘隨減，一氣呵成。 我們的祖先還可以用籌算開(kāi)平方及開(kāi)立方，過(guò)程較復(fù)雜，這里就不介紹了。 用籌表示負(fù)數(shù) 魏晉數(shù)學(xué)家劉徽在注九章算術(shù)里寫(xiě)道：“正算赤，負(fù)算黑，否則以邪正為異。” 如果萬(wàn)一黑色的算籌不夠，那么怎辦呢？人們就用斜放的算籌表示負(fù)數(shù)，正放的算籌表示正數(shù)，就像劉徽注所說(shuō)的“以邪（通斜字）正為異。” 北宋著名的科學(xué)家沈括（10311095）晚年寫(xiě)的夢(mèng)溪筆談，是一部筆記文集，其中三分之一談?wù)撟匀豢茖W(xué)，記述了北宋時(shí)期各方面的數(shù)學(xué)成果。在

11、該書(shū)的卷八就寫(xiě)道：“算法用赤籌、黑籌，以別正負(fù)之?dāng)?shù)?！笨梢?jiàn)在北宋時(shí)，這個(gè)方法還是千年不變沿續(xù)下來(lái)。 在西漢時(shí)算籌一般是圓形竹棍，把二百七十一枚籌捆成六角形的捆。這在漢書(shū)·律歷志中記載：“其算法用竹，徑一分，長(zhǎng)六寸，二百七十一枚而成六觚，為一握。” 從漢朝到隋朝（公元581年618年），算籌漸漸改變成短小，而且把圓柱形改成棱柱形，主要原因是為了方便取用。隋代的三棱的算籌表示正數(shù)，四棱形的算籌表示負(fù)數(shù)。束置的方法是把正數(shù)的算籌二百六十枚，束成一個(gè)六角柱體，每一邊六籌，對(duì)徑十二籌。負(fù)數(shù)的算籌一百四十四枚，束成方柱體，每邊是十二籌。 隋書(shū)·律歷志這么描述：“其算用竹廣二分，長(zhǎng)三寸，

12、正策三廣，積二百一十六枚，成六觚，乾之策也；負(fù)策四廣，積一百四十枚，成方，坤之策也。觚、方皆徑十二，天地之?dāng)?shù)也?！?籌算的缺點(diǎn) 中國(guó)人利用算籌為計(jì)算工具，從春秋至到漢、唐、宋、元有二千多年以上。 可是算籌在數(shù)字計(jì)算方面有一定的缺點(diǎn)： （1）用籌拼排數(shù)碼，19的九個(gè)數(shù)要用29根籌，平均每個(gè)數(shù)需用3.2根。這就是說(shuō)一個(gè)數(shù)碼平均要做3.2個(gè)動(dòng)作，所以速度慢，不利于速算。 （2）算籌較長(zhǎng)，計(jì)算時(shí)占地多。漢算籌長(zhǎng)13.8厘米，隋籌雖較短，也還長(zhǎng)8.85厘米。如果以隋籌的長(zhǎng)度來(lái)說(shuō)，在計(jì)算多位數(shù)加、減、乘、除時(shí)，一個(gè)數(shù)碼連同左、右、上、下各個(gè)數(shù)碼間應(yīng)留的空隙，估計(jì)所占的面積要121平方厘米。 計(jì)算一道4位乘

13、4位積數(shù)是8位的乘算題，按照籌算乘法的方法將算籌分上、中、下三層排列，約占長(zhǎng)90厘米、寬40厘米的地位，一張方桌不夠做兩道這樣的乘算題。 宋代馬永卿曾在嬾真子一書(shū)記載：“出算子約百簡(jiǎn)，布地上，幾長(zhǎng)丈余?！?籌算不但做乘除法時(shí)占位多，做多位數(shù)加減法時(shí)也是這樣。我們現(xiàn)在可以想像距今一千五百年前南朝的祖沖之要計(jì)算圓內(nèi)接正24576邊形的邊，而得到圓周率的近似值是在3.1415926及3.1415927之間，其計(jì)算量及他所要用的計(jì)算面積的巨大。 難怪算盤(pán)出現(xiàn)以后，由于構(gòu)造簡(jiǎn)單，價(jià)格低廉，計(jì)算方便，很快取代籌算。 中國(guó)人長(zhǎng)期用算籌來(lái)作計(jì)算的工具，可是隨著生產(chǎn)和商業(yè)交換活動(dòng)的發(fā)展，籌算逐漸不能適應(yīng)生活的需

14、要，特別是商賈買(mǎi)賣(mài)，需要快速計(jì)算?；I算擺放速度慢，占用的面積大，很不方便。因此當(dāng)珠算盤(pán)產(chǎn)生之后，籌算很快就從歷史舞臺(tái)上退出。 珠算的起源 1976年3月，中國(guó)考古工作者在陜西省岐山縣的凰雛村發(fā)掘出西周王朝早期宮室的遺址，在出土之文物中發(fā)現(xiàn)了青黃兩色的陶丸九十粒：青色二十粒，黃色七十粒，這些陶丸直徑是1.52厘米，考古學(xué)家認(rèn)為這是西周時(shí)用的算珠。 在1953年3月在山東沂南發(fā)掘了漢代古墓，墓室內(nèi)有一些圖像，其中一幅拓片，描繪在基室內(nèi)有一人跪地上，雙手捧著長(zhǎng)方板，向其主人作奉敬狀態(tài)。長(zhǎng)方板上有六個(gè)直行，有二行內(nèi)有圓珠，每行八顆（上五下三）。另外在墓室一側(cè)的小幾上也有長(zhǎng)方板，所繪直行和放置的圓珠個(gè)數(shù)

15、，與拓片手捧長(zhǎng)板是一樣。 因此從周朝到漢朝，除了用竹籌以外，人們也利用刻有槽并放圓珠的算板作計(jì)算工具。 事實(shí)上，古巴比倫人也用類(lèi)似的計(jì)算工具協(xié)助計(jì)算。 我們的祖先覺(jué)得像這樣的計(jì)算板還是有缺點(diǎn)，因此后來(lái)轉(zhuǎn)變成有軸穿珠，便于操作。 “珠算”這個(gè)名詞，最早見(jiàn)于漢書(shū)數(shù)術(shù)紀(jì)遺，按書(shū)中所述，“珠算控帶四時(shí)，經(jīng)緯三才（天、地、人三才）”，里面注釋是：“刻板為三分，其上下二分，以停游珠”故可解釋為游珠算盤(pán)。 數(shù)術(shù)紀(jì)遺中還說(shuō)：黃帝的臣子隸首定計(jì)數(shù)的方術(shù)多種，除遺忘者外，尚有稽算、太乙、丙儀、三才、五行、八卦、九宮、運(yùn)算、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算、計(jì)算等共十四種。（見(jiàn)圖七） 數(shù)術(shù)紀(jì)遺的著者是徐岳，他是后漢末年

16、人。注釋的甄鸞是三國(guó)以后北周人。四庫(kù)全書(shū)提要中說(shuō)這本書(shū)事實(shí)上是甄鸞假托徐岳的名而作，如果這是真的話(huà)，我們可以認(rèn)為中國(guó)的游珠算盤(pán)在后漢北周時(shí)期已經(jīng)出現(xiàn)。 東漢是因公元220年董卓之亂而結(jié)束。三國(guó)的紛爭(zhēng)是從四百年的太平轉(zhuǎn)為四百年的魏、晉、南北朝大紛亂的開(kāi)端。 李約瑟教授在他的中國(guó)科學(xué)技術(shù)史第三卷，引北史八十九卷關(guān)于北齊冶金家綦母懷文（公元550年570年）的傳記中一段記載，說(shuō)明在北齊時(shí)就有珠算。 “昔在晉陽(yáng)為監(jiān)館，館中有一蠕蠕客，同館胡沙門(mén)指語(yǔ)懷文云，此人別有異算術(shù)，乃指庭中一棗樹(shù)云，令其布算子，即知其實(shí)數(shù)。乃試之，并辨若干純赤，若干赤白相半，于是剝數(shù)之，唯少一子。算者曰，必不少，但更撼之，果落一

17、實(shí)?！?李約瑟把他譯成英文，下面是中譯本的譯文： “據(jù)說(shuō)，在晉陽(yáng)學(xué)館，有一次有一個(gè)蠕蠕（匈奴）客人來(lái)訪(fǎng)，館中的一個(gè)外國(guó)僧侶指著綦母懷文對(duì)他說(shuō)：“這個(gè)人有奇異的數(shù)學(xué)才能！”并指著庭院中的一棵棗樹(shù)，請(qǐng)懷文用算子計(jì)算樹(shù)上有多少棗實(shí)。 計(jì)算后，懷文不僅說(shuō)出棗實(shí)的總數(shù)，并說(shuō)出其中有多少已熟，多少未熟，多少半熟。 當(dāng)把棗實(shí)計(jì)數(shù)核對(duì)之后，發(fā)現(xiàn)只少一個(gè)，但這位數(shù)學(xué)家說(shuō)：“這是不會(huì)錯(cuò)的，請(qǐng)把樹(shù)再搖一搖！” 這樣做了以后，果然它有一個(gè)棗實(shí)掉了下來(lái)。 這故事真是奇妙，把綦母懷文的計(jì)算能力說(shuō)得神乎其技。 人們現(xiàn)在認(rèn)為漢代已有游珠算盤(pán)，晚唐產(chǎn)生了串珠算盤(pán)，宋元已經(jīng)普及使用，晚清勃興起來(lái)后直到現(xiàn)在。 1366年浙江黃巖的

18、陶宗儀所著的南村輟耕錄中，就有關(guān)于珠算盤(pán)的明確記載。書(shū)中卷29講到一條俗諺，這條俗諺用“擂盤(pán)珠”和“算盤(pán)珠”打比喻時(shí)指出，“擂盤(pán)珠，不撥自動(dòng)”，“算盤(pán)珠，撥之則動(dòng)”。 又在元朝雜劇元典選“龐居士誤放來(lái)生債”一折中有“去那算盤(pán)里撥了我的歲數(shù)”一句唱詞?？梢?jiàn)那時(shí)珠算盤(pán)已是一件比較常見(jiàn)的工具，并反映到作品中去了。 元初畫(huà)家王振鵬在公元1310年所繪的乾坤一擔(dān)圖中，有一個(gè)貨郎擔(dān)上有一把算盤(pán)，其橫梁和檔子，穿珠極為清晰，同現(xiàn)代算盤(pán)一樣。 元末1334年出版了一部世界上最古老的有插圖兒童讀物對(duì)相四言雜字，里面就有珠算盤(pán)的最早圖說(shuō)。 北宋名畫(huà)家張擇端所繪的清明上河圖，在卷末有趙太丞家藥鋪，柜子繪有算盤(pán)的圖形

19、?？梢?jiàn)在北宋時(shí)人們已普遍使用算盤(pán)當(dāng)計(jì)算工具。 曾經(jīng)有日本專(zhuān)家認(rèn)為中國(guó)算盤(pán)起源自羅馬、希臘的溝算盤(pán)，中國(guó)后漢和羅馬有貿(mào)易來(lái)往，商人把貿(mào)易物資與這種算盤(pán)傳到當(dāng)時(shí)的漢朝?？墒侵袊?guó)史學(xué)家認(rèn)為從國(guó)外傳入的文物，如西漢張騫由西域傳入的樂(lè)曲、樂(lè)器、漢血馬、苜蓿、葡萄等等，都有文獻(xiàn)記載。傳入的文物，還加“胡”字，如胡琴、胡床、胡豆、胡桃等等。漢代以后傳入的數(shù)學(xué)，如唐朝的印度數(shù)學(xué)，宋、元傳入的伊斯蘭數(shù)學(xué)，明清傳入的西方數(shù)學(xué)都有詳細(xì)的記載。因此“算盤(pán)西來(lái)說(shuō)”是不對(duì)的。 寫(xiě)出最好珠算書(shū)的數(shù)學(xué)家程大位 被中算史家嚴(yán)敦杰、梅榮照兩位先生稱(chēng)贊為：“明代最杰出的數(shù)學(xué)家程大位”，明、清正史中都沒(méi)有他的傳記。 程大位（1533

20、1606），安徽休寧人，原來(lái)從商。壯年后在率口專(zhuān)門(mén)從事數(shù)學(xué)寫(xiě)作，歷時(shí)三十余年，他用二十年的時(shí)間寫(xiě)了直指算法統(tǒng)宗簡(jiǎn)稱(chēng)算法統(tǒng)宗，這書(shū)很快到處流傳和翻刻。他在算法統(tǒng)宗出版以后六年寫(xiě)了算法纂要。 算法統(tǒng)宗流傳廣泛對(duì)明末以及清代民間數(shù)學(xué)知識(shí)的普及和中國(guó)古代數(shù)學(xué)知識(shí)的繼承有不可忽視的作用?？墒窃?781年清朝編的四庫(kù)全書(shū)對(duì)算法統(tǒng)宗評(píng)價(jià)不高，說(shuō)：“此書(shū)專(zhuān)為珠算而作，故世俗通行。惟拙于屬文，詞多支蔓，未免榛晅勿翦之譏?！?在1795年由阮元負(fù)責(zé)，李銳編纂的一部記述歷代天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家學(xué)術(shù)活動(dòng)及成果的傳記體數(shù)學(xué)史和天文歷法史書(shū)疇人傳，對(duì)程大位的工作是這樣的貶低： “大位算學(xué)未能深造，故其為術(shù)類(lèi)多舛錯(cuò)，然雜采諸家

21、，往往有宋元以來(lái)相傳舊法如仙人換影之術(shù)，非所能作也。” 這里我們簡(jiǎn)略介紹他的生平以及工作，希望大家能對(duì)他有一個(gè)客觀(guān)的認(rèn)識(shí)： 程大位，字汝思，號(hào)賓渠。幼年除了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)外，則學(xué)儒家的學(xué)問(wèn)，可是在學(xué)成以后沒(méi)有參加當(dāng)時(shí)的科舉考試。年紀(jì)大了就出外做生意，“周游吳楚之墟”。 他把皖南地區(qū)盛產(chǎn)的桐油、茶葉、紙張、硯、墨用車(chē)船運(yùn)出，再換回絲綢、布匹、五金等。他在經(jīng)商期間，除了收集算書(shū)外，也同時(shí)收集文字方面的書(shū)籍。由于算盤(pán)是當(dāng)時(shí)從商者的工具，但是缺少統(tǒng)一的珠算教科書(shū)，計(jì)算方法往往因人因地而異。程大位每到一地，都要觀(guān)察同行的計(jì)算方法，回到客店或床上就細(xì)心琢磨，歸納順口的口訣。聽(tīng)到那里有好書(shū)，就或買(mǎi)或借，“齊心一志

22、，至忘寢食”。程大位在幾十年的經(jīng)商期間，收集了很多數(shù)學(xué)書(shū)籍，以及積累了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)。 后來(lái)在寫(xiě)算法統(tǒng)宗時(shí)，他除了從這些書(shū)籍中吸收其精華，同時(shí)也保留了許多重要的文獻(xiàn)。他在書(shū)中開(kāi)列一個(gè)從北宋到明萬(wàn)歷年間的數(shù)學(xué)書(shū)目，是研究中國(guó)數(shù)學(xué)史一項(xiàng)重要的參考資料。當(dāng)時(shí)他所知所見(jiàn)的數(shù)學(xué)著作有51種，其中只有15種流傳至今。 他的同鄉(xiāng)吳宗儒在算法統(tǒng)宗和算法纂要的程大位“像贊”中（見(jiàn)圖八）稱(chēng)贊他： “書(shū)擅八分，算窮九九，跡隱市衢，心超林藪?！?他晚年退居鄉(xiāng)下，用20年的時(shí)間寫(xiě)了算法統(tǒng)宗。全書(shū)共17卷。（見(jiàn)圖九） 卷一是數(shù)學(xué)詞匯、度量衡單位以及珠算的基本方法、有整數(shù)運(yùn)算、分?jǐn)?shù)運(yùn)算、開(kāi)平方和開(kāi)立方、定位方法、加法口訣及

23、九歸口訣。卷二是整數(shù)和份數(shù)的基本運(yùn)算，主要是歸除法與留頭乘法。卷三至卷十按九章算術(shù)體例分方田、粟布、衰分，少?gòu)V、商功、均輸、盈肭、方程、勾股十章。其中少?gòu)V分為兩章。卷十三至卷十六仍按九章算術(shù)的章目，是用詩(shī)詞體例記述的難題。卷十七是雜詩(shī)包括寫(xiě)算、一筆錦、縱橫圖等。 他的書(shū)中問(wèn)題和解法匯編，所引起的題目很多出自南宋末年的楊輝詳日解九章算法。書(shū)中稱(chēng)為“古題”，但解法是全新的珠算方法。 卷六和卷七把籌算的開(kāi)帶從平方和開(kāi)帶從立方（正系數(shù)數(shù)字二次方程和三次方程求根）用到珠算中。 例  算法統(tǒng)宗六卷： “今有直田積一千七百五十步，長(zhǎng)比闊多一十五步，問(wèn)該長(zhǎng)、闊各若干？” 程大位提出兩種不同的解法：

24、解法1 設(shè)長(zhǎng)為a，闊（寬）為b，則 ab=1750，a-b=15。 根據(jù)勾股算術(shù)的方法得 4ab+（a-b）2=（a+b）2=7225 用“歸除開(kāi)平方”求得a+b=85，所以a=50，b=35。 解法2令x=b，x+15=a，據(jù)題意得 x2+15x=1750 x=b=9，a=x+3=12 這部書(shū)刊行之后，由于適應(yīng)了時(shí)代的需要，只在短短五六年內(nèi)，書(shū)坊就競(jìng)相翻刻。 這本書(shū)的初刊本出現(xiàn)后十年，李之藻和意大利傳教士利瑪竇合作，以直指算法統(tǒng)宗和利瑪竇的老師，德國(guó)數(shù)學(xué)家克拉維斯的實(shí)用算術(shù)概論為底本，編釋出一部名為同文算指的書(shū)在1613年出版，是一本著名的教科書(shū)。 1659年李長(zhǎng)茂編的算海說(shuō)詳九卷，全部取材

25、于算法統(tǒng)宗。 梅文鼎（16331721），清初的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家，在他的方程論、勾股譽(yù)隅、幾何通解等著作也多處引用算法統(tǒng)宗。 清代完成的大型類(lèi)書(shū)古今圖書(shū)集成將直指算法統(tǒng)宗全文輯入。到了清末，人們對(duì)這書(shū)的需求量很大，連主要翻譯出版西方著作的江南制造局也進(jìn)行了翻刻。 明末日本豐臣秀吉命令毛利重作來(lái)華學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)帶回算法統(tǒng)宗和中國(guó)算盤(pán)。以后多八種不同的版本流入日本。毛利重作向他的弟子介紹程大位的工作，后來(lái)還著歸除濫觴二卷。在1627年他最得意的弟子吉田光由寫(xiě)了一本塵劫記，以程大位的書(shū)為藍(lán)本改寫(xiě)而成。隨后在日本出現(xiàn)上一珠下五珠的菱珠算盤(pán)，一直到今仍在使用。日本珠算普及情況，按人口密度，大大超過(guò)中國(guó)，對(duì)珠算的各個(gè)領(lǐng)域都有深廣的研究。 程大位的算法統(tǒng)宗在1592年出版之后，從明代到清代，各地書(shū)商紛紛翻刻，這書(shū)流傳的廣泛和長(zhǎng)久，在中國(guó)數(shù)學(xué)史上是罕見(jiàn)的。 明末時(shí)，這書(shū)傳入日本、朝鮮、東南亞各國(guó)，對(duì)該地區(qū)的數(shù)學(xué)發(fā)展有很大的影響。 1716年（康熙五十五年），程大位的曾孫程先坤翻刻他的書(shū)，在序中說(shuō)：“風(fēng)行宇內(nèi)，迄今蓋已百有數(shù)十年，海內(nèi)握算持籌之士，莫不家藏一編，老業(yè)制舉者之于四子書(shū)、五經(jīng)義，翕然奉以為宗?！?從清朝一直到民國(guó)初年，出現(xiàn)了算法統(tǒng)宗的各種翻刻本及改編本，民間還有各種手抄本流傳，對(duì)民間普及珠算和數(shù)學(xué)起了重要的作用。  一、數(shù)學(xué)史的研究對(duì)象