1-2行列式的定義_圖文(精)

1、一、排列及其逆序數(shù)1.n n階排列【定義】由個不同的數(shù)1,2,/排成的一個仃序數(shù)組, 稱為一個n級全排列，簡稱n級排列。例1 5321445238176 123n n（n n一1）15級排列；8級排列；級排列（稱為門然排列）；級排列。一般地，山川個不同的數(shù)12/組成的級排列記為hhhh h h，其中幾厶,J互不相同,即久是1,2,山中的某一個數(shù), 厶是余卜的一1個數(shù)中的呆一個數(shù)，。因此n級排列的總數(shù)為：P Pn n=nx(n-l)x(n-2)x-x3x2xl = n!o例2 |lj 1,2,3三個數(shù)字組成的所有3級排列共有3X 2X 1 = 6種，它們是：123 213 321, 132 23

2、1, 312,2.逆序【九義】在階排列中,如果某兩個數(shù)的前后位置這兩個數(shù)構(gòu)成一個逆庁:。即，設(shè)級排列)/；/,對于Z，人， 若z 厶，則稱z與Z構(gòu)成一個逆序。例3、邸介排列31254中，31, 32 42 , 54都構(gòu)成一個逆序。桝艸財WT1劉康=讓狼與它們的人小相反,即前面的則稱駅W性和和刁SB3逆序數(shù)【匸乂】個排列中逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)。 排列jjjjJnJn的逆序數(shù)記為I U “2A）。計算逆序數(shù)的方法：分別計算出排列中每個元素后面比它小的數(shù)的個 數(shù)，然后求和。即算出排列中每個元索的逆序數(shù)， 每個元索的逆序數(shù)Z總和即為所求排列的逆序數(shù)。T人A幾伉）=（A后面甌小的數(shù)的個數(shù)）1=1

3、例4排列31425的逆序數(shù)為:T(31425)=2Wl-H)+()=3(2)口然排列123的逆序數(shù)是0：(3)排列n(n-l). 1的逆序數(shù)為：T= ( -1) +( -2) + +1 + 0 =-2例5求排列(2R)1(2R-1)2(2R-2)3(2R-3)(R + 1)R的逆序數(shù)。枷艸解：( (2&)1(2-1)2(%-2)3( (2-3)仏 +1)點IlIl I II2k-i2k-i2k-32k-52k-51故：p =1+3 + (2-3) + (2-1)1 + (21)_ /2例6設(shè)排列門2 2U U的逆序數(shù)為7，計算心詁 的逆序數(shù).解 在排列芯U U中，任意取出兩個數(shù),如果前

4、面的數(shù) 小于后面的數(shù)，則稱這兩個數(shù)構(gòu)成一個順序;一個排列中順序 的總數(shù)稱為順序數(shù)由于在排列中任取兩個數(shù)，它們不構(gòu)成逆 丿記那么它們就構(gòu)成順序；或它們不構(gòu)成順序,那么它們就構(gòu) 成逆序，因而有丫(訂2 2“)+排列活2匚的順序數(shù)=C；又排列活2：“的順序數(shù)就等于排列乩-|幾的逆序數(shù)故Wi燈i)= c：-/4.奇偶性義】逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列；逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。例7自然排列排列127!的逆序數(shù)為 ft 它是偶排列; 排列4235617的逆序數(shù)為7,它是奇排列。嚴樹5對換【幾義】在n階排列中,將任意兩個元素對調(diào), 其余元索不動，這樣作出新排列的過程叫做對換.將相鄰兩個尤索對調(diào)，叫做和

5、鄰對換.例如：5 afbb b bm m%碼必打仇be】c“5 55 5 baba b bl l-b-bm mg g bSbS說5 5 5 5對換與排列的奇偶性的關(guān)系：m m任意個排列經(jīng)過-次對換后,其奇偶 性發(fā)生改變。證明：先考慮相鄰對換，設(shè)排列為：a ax x- -aiaiabab久婦対艷辿.a.a.a.aa a打亦除心方夕卜，其它元素的逆序數(shù)不改變。當(dāng)abab時：經(jīng)對換肩a的逆序數(shù)増加1,的逆序數(shù)不變; 當(dāng)a時：經(jīng)対換后a a的逆序數(shù)不變，b的逆序數(shù)減少1。劉康澤 和他財怒酬嗣I因此對換相鄰兩個元素，排列改變奇偶性。設(shè)排列為:a.a. - - aflb.aflb.仇如c“現(xiàn)來對換a與.a

6、】 q方b bx x- - - - b bm ma a c cx x c“所以一個扌IF列中的任總兩個元素對換， 擁列改變 其奇偶性。【推論】奇排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù),偶排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù).證明山定理1知對換的次數(shù)就是排列奇偶件的 變化次數(shù)，而標準排列是偶排列（逆序數(shù)為（），因此，推論成立.加次相鄰對換一加+1次相鄰對換2加+ 1次相鄰對換【定刈2】在所有的級排列中，奇偶排列各占一半。證明 設(shè)級排列中,奇排列共有p個,而偶排列共有q個。對這卩個奇排列進行同一個對換，如都將第12位置 的兩個數(shù)對換。山于對換改變排列的奇偶性，則原卩個奇排列對換后變 為P個不同的偶排列，因而

7、PJPJ 同理可得p2qp2q因此p p = = q q = =與。二、階行列式的定義分析三階行列式：11!1213D D = = a a2i2ia a2222% =“2#33+夕2皿31+耳皿2“32ClM(I壯Qn 132231(1)三階行列式共有頤,即3!項；(2)每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積：(3)每項的止負號都取決于三個元索的列卜標的排列。 例如叱皿列下標排列3 1 2的逆序數(shù)為:1(312) = 2+0+0 = 2,偶排列屮止小41峽2列F標排列132的逆序數(shù)為：1(132) = 0 + 1 + 0 = 1,奇排列 J負號。劉康=L(-凹朋叫sm Jlhh【定義】將用個

8、數(shù)勺排成個具有川行n列的表:稱為個“階行列式，它表示個數(shù)，該數(shù)為表中所有不同 行、不同列的元素相乘之積的代數(shù)和,n階行列式常記為D或2，a anna an2n2 a annnn= =L L（T T）切咳iiriniirin其中九A厶表示1，2,/!的一個刃階排列（列排列），A）為列排列的逆序數(shù)， 工 表示對所有KThh k的M階排列求和。h.j Ja恂壯穌財?shù)秩っ|，A：【注】1、以 J 作為元索的n階行列式有時簡記為det(n. ) o2、行列式表示一個特定的數(shù)，它是行列的表中 所冇位/不同行、不同列的個兀索乘積的代數(shù)和。 共有川項求和。3、 求和項切仙2人中的行排列總是按口然次序排列的，且該

9、項的符號取決于列排列的逆序數(shù)，即 為： (_嚴厶4、階行列式a a不要與絕對值記號相混淆；5、不能將二階及三階行列式的対角線法推廣四階 或更高階)行列式！若按前血對角線法,則只考慮了其中的頤,W行列式應(yīng)該冇24T頁o抽綁期財毛理1懈，A;例如：4階行列式:例8下列乘積項中， 哪些可以構(gòu)成相應(yīng)階行列式 中的項？1)-a4?fl2a35a2a5;2)2ifl45a36a2a54 解1) )不能構(gòu)成。乘積項中有兩個第1列的元素:2)可以構(gòu)成。亜排為：fll2a23fl36fl45fl54fl61因為1(236541) = 1+1 + 3+2 + 1=8故該項符號為1E,可以構(gòu)成介行列式中的項。解先求

10、所有乘積項(TAWS 咳%例9計算率介行列式D D2-3-57-9_61-124(一| 尸I - %口2申3尹44=56,(-1尸2岔阿尹#44 =一36,(T如角043 = -72,(-1尸二 5申2 “3尹44 (-1尸囂嗎如侑44=50, (_1嚴如備叨護3他3 = 100,(-1)；訃I皿2角知=54,(一1)川如尹2*用44=一70,(一1)：“皿2*3佝2=-120,(T)； ：A203043=一54,(T：屮223產(chǎn)43 = 70,(-1)0%他妁心2=，(1)X4卩2理“43=-98(-1嚴詈吋7g2= 84(-1)丫H4“#42=96(-1嚴皿2旳例3=105(-吧角如嚴-1

11、40(-1)心皿2例仙一160(-1)弋卞旳角皿=-126(-1)豎:他兔刈枠尸196(-1)；打； %1*3嗎1=144(1嚴3%； ；書誌“112(-1嚴如如=72。再求其代數(shù)和,得:D=56 -98 -36+84 -72+96 -60+105+50 H 40+10() -i 60+54T 26 T0+196H20+144 -54+72 +70 Hl 2-60+72=-9用定義計算階行列式時，共需 ST）加次乘法。 再求代數(shù)和需MT次加減法。、伽=24時，所需的乘法次數(shù)約為:23x24!.4270313X1O25這是一個天文數(shù)字，由此：利用原始定義計算一般 的高階行列式幾乎是不可能的。羯同

12、阿注意：主對角線的右上方的元索 全為零。6 八=0 （J22）,取J2=2：勺仏=（）（幾川-1），取jyjfjyjf故D=(-1)T(，2，%122 -a annnn = =a a a a2222例10石解:乘積項：（-1尸“人九切2勺存% =0（jtjt1）,取丿；=1;對角行列式a an-n-JU = 0（幾2）,取j；_1=2,/；=l.故：U嚴（I2%W5=（T）朋2/-1知I上三角行列式G Gnna a2n2nn nn n解：乘積項：Zl= d紡 5 % = 0 (j2=（一廠必F的系數(shù)為 解：含*的有一項：（_尸12九如心角袒44 =10X4含 Z 的有兩項：（_嚴|2呂_2x、

13、 （叫心的73故小的系數(shù)為10,0的系數(shù)為類似地何:引a,n-a2,n-n(o-0= (T)叱2心術(shù)Hl凹5.t例12、1 2x 132則“的-5o例13在一個n階行列式中等丁零的元素如果比/ 還多，那么此行列式等于零，為什么？可知 6 的值是川項的代數(shù)和，而其中每一項都是H個元素的乘積，這川個元素又需要取自不同行不同列。又D,中共有，個元素,如果等于零的元素比n2-n還多，那么具中不等于省的元素就定比n n2 2-(n-(n2 2-n)-n) = = n n還少，也就是說,D,中垠多有舁-1個元素不等于冬，故0中每一項的H個尤素中至少有一個0出現(xiàn)，即川項的每一 項都是0,故必有D Dn n=

14、 =0 .劉康澤解( (1) )項中:） （九-4|） （入 一。22）（入- %）= （入_5151） （入_2222） （_0 0“）故最高次幫項為：X%次高次幕項為:（4 1 + 22 *-卜4/w）九由此該多項式可寫為（忽略中間項不寫）:入_(&+ +)入1+ + (_)a a-個關(guān)于入的川次多項式,寫岀該多項式最高次幕與次高 次幕項及常數(shù)項。解：顯然顯高次加與次高次幕項都含在上對和線的乘積/（入）=入-勺a2_勺2九_22-%一常數(shù)項（在行列式中令1=0）：nxnij信息系劉康澤【注】n 階行列式也可以按照如下方式定義： all a12 L a1n a21a22 L a2nT( i1i2Lin D= 刀(-1 ai11ai2 2 L ainn M M M i1i2 Lin an1 an2 L ann i1i2Lin 2 表示對所有的行排列