空間中的垂直關系(帶答案)

1、空間中的垂直關系專題訓練知識梳理一、線線垂直：如果兩條直線于一點或經(jīng)過后相交于一點， 并且交角為，則稱這兩條直線互相垂直.二、線面垂直：1.定義：如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內的 _ ，則稱這條直線和這個平面垂直 . 也就是說， 如果一條直線垂直于一個平面，那么他就和平面內任意一條直線都.直線 l 和平面互相垂直，記作 l .2.判定定理： 如果一條直線與平面內的直線垂直， 則這條直線與這個平面垂直 .推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也于這個平面 .推論：如果兩條直線3. 點到平面的距離：同一個平面，那么這兩條直線平行長度叫做點到平面的距離.三、面面垂

2、直：1. 定義：如果兩個相交平面的交線與第三個平面所得的兩條交線，就稱這兩個平面互相垂直，又這兩個平面與第三個平面相交. 平面，互相垂直，記作 .2. 判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的_，則這兩個平面互相垂直.3. 性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于直線垂直于另一個平面.四、求點面距離的常用方法：1. 直接過點作面的垂線，求垂線段的長，通常要借助于某個三角形.2. 轉移法：借助線面平行將點轉移到直線上某一特殊點到平面的距離來求解.3. 體積法：利用三棱錐的特征轉換位置來求解.題型一線線垂直、線面垂直的判定及性質例 1. 如圖，在四棱錐 P-ABCD中，PA底面 ABC

3、D，ABAD，ACCD， ABC=60°,PA=AB =BC,E 是 PC的中點 . 求證：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.【變式 1】已知：正方體ABCD A1B1C1D1 ， AA1=2， E 為棱 CC1 的中點（ ）求證： B1D1 AE；（ ）求證： AC平面B1DE【解答】（）連接BD，則 BDB1D1， ABCD是正方形， ACBDCE平面 ABCD， BD? 平面 ABCD， CEBD又 ACCE=C，BD面 ACEAE? 面 ACE，BDAE，BD AE11（ 5 分）（）證明：取BB1 的中點 F，連接 AF、 CF、 EFE 、 F 是 C1C、 B1B

4、的中點， CE B1F 且 CE=B1F， 四邊形B1FCE是平行四邊形， CF B 1E正方形 BB1C1C中， E、 F 是 CC、 BB的中點，EF BC 且 EF=BC又BC AD 且 BC=AD， E F AD 且 EF=ADAFED，AF CF=C，BEED=E，四邊形ADEF是平行四邊形，可得平面 ACF平面B1 DE又AC ? 平面 ACF， AC面 B1 DE【變式 2】如圖，已知四棱錐P ABCD，底面 ABCD為菱形， PA平面ABCD， ABC=60°，點 E、 G分別是 CD、PC的中點，點 F 在 PD上，且 PF： FD=2： 1（ ）證明： EA PB

5、 ；（ ）證明： BG 面 AFC【解答】（）證明：因為面 ABCD為菱形，且 ABC=60°， 所以 ACD 為等邊三角形，又因為 E 是 CD的中點，所以 EAAB又 PA平面 ABCD，所以 EAPA而 ABPA=A所以 EA面 PAB，所以 EAPB（）取PF 中點 M，所以 PM=MF=FD連接 MG，MGCF，所以MG面 AFC連接 BM， BD，設 ACBD=O，連接OF，所以 BMOF，所以BM面 AFC而 BMMG=M所以面 BGM面 AFC，所以 BG面 AFC【變式3】如圖，四棱柱ABCD A1B1C1D1 的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O平面ABC

6、D， AB=， AA1=2（ 1）證明： AA1 BD（ 2）證明：平面 A1BD平面 CD1B1；（ 3）求三棱柱 ABDA1B1D1 的體積【解答】（ 1）證明：底面 ABCD是正方形， BDAC，又 A 1O平面 ABCD且 BD? 面 ABCD， A 1OBD，又 A 1 OAC=O， A1 O? 面 A1AC， AC? 面 A1 AC， BD面 A1 AC， AA1? 面 A1AC， AA 1BD（2）A1B1 AB，ABCD，A 1 B1CD，又 A1B1=CD，四邊形 A1B1 CD是平行四邊形， A 1DB1C，同理 A1BCD1， A 1B? 平面 A1BD，A1D? 平面

7、A1BD，CD1? 平面 CD1B1，B1C?平面 CD1B，且 A1BA1D=A1， CD1B1C=C，平面 A1BD平面 CD1B1 （ 3） A 1O面 ABCD， A 1O是三棱柱 A1 B1D1 ABD的高，在正方形 ABCD中， AO=1在 RtA1OA中， AA1=2， AO=1， A 1 O=，V三棱柱 ABDA1B1D1=SABD?A1O=（?） 2 ?=三棱柱 ABD A1B1D1 的體積為【變式 4】如圖，三棱柱ABC A1 B1C1 中，側棱AA1 底面 ABC，AB=BC=AC=AA1=4，點 F 在 CC上，且 C F=3FC， E 是 BC的中點11（ 1）求證：

8、 AE平面 BCC1B1（ 2）求四棱錐 A B1C1FE 的體積；（ 3）證明： B1EAF【解答】（ 1） AB=AC， E 是 BC的中點， AE BC在三棱柱 ABC A1B1C1，中， BB1 AA 1， BB 1 平面 ABC， AE ? 平面 ABC， BB 1 AE ， （ 2 分）又 BB 1BC=B， （3 分）BB1 ， BC? 平面 BB1C1C， AE平面 BB1C1C， （ 4 分）（2）由（ 1）知，即 AE為四棱錐 A B1 C1FE 的高，在正三角形ABC中， AE=AB=2， 在正方形 BB1 C1C，中， CE=BE=2，CF=1，=SCFE=4×

9、;=11 （ 6 分）=?AE= （7分）（3）證明：連結 B1F，由（ 1）得 AE平面 BB1C1C， B 1E?平面 BB1C1C，AEB1E， （ 8分）在正方形BB1C1C，中， B1F=5， B1E=2，EF=， B 1 F2=B1E2+EF2，B 1EEF （ 9 分）又AEEF=E， （ 10 分） AE， EF? 平面 AEF，B 1E平面 AEF， （ 11 分） AF ? 平面 AEF， B 1EAF （ 12 分）【變式 5】如圖，四棱錐PABCD中， PD平面 ABCD，底面 ABCD為正方形， BC=PD=2， E為 PC的中點， G在 BC上，且 CG= CB（

10、1）求證： PC BC ；（ 2）求三棱錐 C DEG的體積；（ 3） AD邊上是否存在一點 M，使得 PA平面 MEG？若存在，求 AM的長；否則，說明理由【解答】（ 1）證明： PD平面 ABCD， PDBC又 ABCD 是正方形， BCCD又 PDCD=D， BC平面 PCD又 PC? 平面 PCD， PCBC（ 2） BC平面 PCD， GC 是三棱錐 GDEC的高 E 是 PC的中點，SEDC=SPDC=×（×2×2）=1VCDEG=VG DEC= GC?SDEC= × ×1= （3）連結 AC，取 AC中點 O，連結 EO、GO，延

11、長 GO交 AD 于點 M，則 PA平面 MEG證明：E為 PC的中點，O是 AC的中點，EOPA又 EO?平面 MEG，PA?平面 MEG，PA平面 MEG在正方形ABCD中，O 是 AC的中點， BC=PD=2，CG= CB OCG OAM， AM=CG=，所求 AM的長為【變式 6】如圖所示， 在三棱柱ABCA1 B1C1 中，BB1底面 A1 B1C1 ，A1B1B1C1 且 A1 B1=BB1=B1C1，D 為 AC的中點（）求證： A1BAC1（）在直線CC1 上是否存在一點E，使得 A1E平面 A1BD，若存在，試確定E點的位置；若不存在，請說明理由【解答】（）證明：連接AB1

12、BB 1平面 A1B1C1 B 1 C1BB1 B 1C1A1B1 且 A1B1BB1=B1 B 1 C1平面 A1B1BA ABBC .又ABAB 且 AB BC =B111111111A1B平面AB1C1A1BAC1（）存在點E 在CC 的延長線上且 1CE=2CC時，A E平面 1 1A BD設1AB=a， CE=2a，DE=，A1EA1D BDAC，BDCC1，ACCC1=C， BD平面 ACC1A1 ， 又A E? 平面 ACCA AE BD. 又 BDAD=D ， A E平面 A BD1111111【變式 7】如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1 中， AC=3， BC=4， AB

13、=5，點 D 是 AB的中點（ 1）求證： AC BC1；（ 2）求證： AC1 平面 CDB1【解答】 證明：（ 1）因為三棱柱ABC A1B1C1 為直三棱柱，所以 C1C平面 ABC，所以 C1 CAC又因為 AC=3， BC=4， AB=5，222所以 AC+BC=AB，所以 ACBC又 C1 CBC=C，所以AC 平面 CC1B1B，所以 AC BC 1（ 2）連結 C1B 交 CB1 于為 BAC 的中位線1E，再連結 DE，由已知可得E 為 C1B 的中點，又D為 AB的中點， DEAC DE。又 DE? 平面 CDB， AC?平面 CDBAC平面 CDB111111【變式 8】

14、如圖，直三棱柱ABC A1B1C1 中， AA1=2AC=2BC， D 是 AA1 的中點， CDB1D（ 1）證明： CD B 1C1；（ 2）平面 CDB1 分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比【解答】（ 1）證明：由題設知，直三棱柱的側面為矩形，由 D 為 AA1 的中點，則 DC=DC1，222，又 AA1=2AC，可得 DC1 +DC=CC1則 CD DC 1，而 CD B 1D， B1DDC1=D，則 CD平面 B1C1 D，由于 B1C1? 平面 B1C1D，故 CD B 1C1；（2）解：由（ 1）知， CDB1C1，且 B1 C1CC，則 B C 平面 ACCA ，設 V 是

15、平面CDB上方部分的體積，1111111V2 是平面 CDB1 下方部分的體積，則V1=VB1CDA1C1=SCDA1C1?B1C1 = × ?B1C13= B1C13，33V=VABC A1B1C1= AC?BC?CC1=B1C1 ，則V2=V V1= B1C1 =V1，故這兩部分體積的比為1： 1【變式 9】如圖所示，在長方體ABCD A B C D 中，已知底面是邊長為2 的正方形，高為1，1111點 E 在 B1B 上，且滿足 B1E=2EB（ 1）求證： D1EA1 C1；（2）在棱 B1C1 上確定一點F，使 A、 E、 F、 D1 四點共面，并求此時B1F 的長；（3）

16、求幾何體ABED1D 的體積【解答】（）證明：連結B1D1因為四邊形A1B1C1D1 為正方形，所以 A1C1B1D1在長方體ABCD A1B1C1D1 中， DD1平面 A1 B1C1 D1，又 AC? 平面 ABCD，所以 DDAC111111111因為 DD1B1D1=D1， DD1? 平面 BB1D1D， B1D1? 平面 BB1D1D，所以 A1C1平面 BB1D1D又 D1 E? 平面 BB1D1D，所以 D1 EA1C1 （ 4 分）（）解：連結BC，過 E 作 EFBC 交 B C 于點 F1111因為 AD1BC1，所以 AD1EF所以 A、 E、F、D 四點共面即點F 為滿

17、足條件的點又因為B E=2EB，所以 B F=2FC，所以1111 （ 8 分）（）解：四邊形BEDD為直角梯形，幾何體ABEDD 為四棱錐A BEDD111因為=，點 A 到平面 BED1D的距離 h=，所以幾何體ABED1D 的體積為：= （ 13 分）題型二面面垂直的判定例 2. 如圖，在三棱錐 P ABC中， PA底面 ABC， ABC為正三角形，D、 E 分別是 BC、CA的中點 .（ 1）求證：平面 PBE平面 PAC；（ 2）如何在 BC上找一點 F，使 AD平面 PEF？并說明理由 .【變式 1】如圖，四邊形ABCD為菱形， G為 AC與 BD的交點， BE平面 ABCD證明：

18、平面 AEC平面 BED.【解答】 證明：（）四邊形ABCD為菱形，AC BD， BE平面 ABCD，AC BE，則 AC平面 BED， AC? 平面 AEC，平面AEC平面 BED；【變式 2】如圖，三棱臺DEF ABC中， AB=2DE，G， H 分別為 AC，BC的中點（ 1）求證： BD平面 FGH；（ 2）若 CF BC， AB BC，求證：平面 BCD平面 EGH【解答】 在三棱臺DEF ABC中， AB=2DE， G為 AC的中點，四邊形CFDG是平行四邊形，DM=MC又 BH=HC，MH BD，又 BD?平面 FGH，MH? 平面 FGH，BD平面 FGH；證法二：在三棱臺DE

19、F ABC中， AB=2DE， H為 BC的中點，四邊形BHFE為平行四邊形BE HF在 ABC中， G為 AC的中點， H為 BC的中點， GH AB，又 GHHF=H，平面 FGH平面ABED， BD? 平面 ABED， BD平面 FGH（ II ）證明：連接 HE， G，H 分別為 AC， BC的中點， GH AB， AB BC， GH BC，又 H 為 BC的中點， EF HC， EF=HC EFCH是平行四邊形， CF HECF BC， HE BC又 HE，GH? 平面 EGH，HEGH=H，BC平面 EGH，又 BC? 平面 BCD，平面 BCD平面 EGH【變式 3】如圖所示，已

20、知 AB 平面 BCD， M、 N分別是 AC、 AD的中點， BC CD求證：平面 BCD平面 ABC【解答】 因為 AB平面 BCD，CD? 平面 BCD，所以 AB CD又 CD BC，ABBC=B，所以 CD平面 ABC又 CD? 平面 BCD，所以平面 BCD平面 ABC【變式 4】如圖，已知在四棱錐 PABCD中，底面 ABCD是邊長為 4 的正方形， PAD是正三角形，平面 PAD平面 ABCD， E， F，G分別是 PD， PC， BC的中點（ 1）求證：平面 EFG平面 PAD；（ 2）若 M是線段 CD上一點，求三棱錐 M EFG的體積【解答】（ 1）平面 PAD平面 AB

21、CD，平面 PAD平面ABCD=AD，CD?平面 ABCD， CD ADCD平面 PAD （ 3 分）又 PCD中， E、 F 分別是 PD、 PC的中點， EF CD，可得 EF平面 PAD EF? 平面 EFG，平面 EFG平面 PAD； （ 6 分）（2） EF CD， EF? 平面 EFG， CD?平面 EFG，CD平面 EFG，因此 CD上的點 M到平面 EFG的距離等于點 D 到平面 EFG的距離，VM EFG=VD EFG，取 AD的中點 H 連接 GH、 EH，則 EF GH， EF平面 PAD， EH? 平面 PAD， EFEH于是 SEFH= EF×EH=2=SE

22、FG，平面 EFG平面 PAD，平面 EFG平面 PAD=EH， EHD是正三角形點D 到平面 EFG的距離等于正EHD 的高，即為， （ 10 分）因此，三棱錐M EFG的體積V=V =MEFGDEFG×S×EFG= （12 分）【變式 5】如圖，已知 AB平面 ACD，DE AB，AD=AC=DE=2AB=2，且 F 是 CD的中點， AF=（1）求證： AF平面 BCE；（2）求證：平面BCE平面 CDE；（3）求此多面體的體積【解答】 證明：（ 1）取 CE中點 P，連接 FP、 BP， PF且 FP=1 又 AB DE，且 AB=1，AB FP，且 AB=FP，

23、ABPF為平行四邊形， AF BP（2又 AF?平面 BCE，BP? 平面 BCE， AF平面 BCE（ 4 分）（2）證明： AD=AC，F(xiàn) 是 CD的中點，所以 ACD三角形， AF CDDE，分）為正AB平面 ACD， DE AB， DE平面 ACD，又 AF? 平面 ACD， DEAF.又 AF CD，CDDE=D， AF平面 CDE.又 BPAF， BP平面 CDE又 BP平面 BCE,平面 BCE平面 CDE.（3）此多面體是以C 為頂點，以四邊形ABED為底邊的四棱錐，等邊三角形AD邊上的高就是四棱錐的高（12分）【變式 6】如圖，三棱柱 ABC A B C 的側面 AAB B

24、為正方形，側面 BBC C為菱形，CBB=60°，11111111AB B1C（ I ）求證：平面 AA1B1B平面 BB1C1C；（ II ）若 AB=2，求三棱柱 ABC A1B1 C1 體積【解答】（ ）證明：由側面 AA1B1 B為正方形，知 AB BB1又 AB B1C，BB1 B1C=B1， AB平面 BB1C1C，又 AB? 平面 AA1B1B，平面 AA1B1B BB1C1C（）由題意， CB=CB1，設 O是 BB1 的中點，連接 CO，則 CO BB1由（）知， CO平面 AB1B1A，且CO=BC=AB=連接AB1，則=?CO=×AB2?CO=， V

25、三棱柱 =2【變式 7】如圖，四邊形 ABCD為梯形，AB CD，PD平面 ABCD， BAD=ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=， E 為 BC中點（ 1）求證：平面 PBC平面 PDE；（ 2）線段 PC上是否存在一點 F，使 PA平面 BDF？若有，請找出具體位置，并進行證明；若無，請分析說明理由【解答】（ 1）證明：連結 BD，BAD=90°，； BD=DC=2a， E 為 BC中點， BC DE；又 PD平面 ABCD， BC? 平面 ABCD；BC PD，DEPD=D； BC平面 PDE； BC? 平面 PBC，平面 PBC平面 PDE；（2）如上圖，

26、連結 AC，交 BD于 O點，則： AOB COD；DC=2AB；在PC上取F，使；連接OF，則OF PA，而OF?平面BDF， PA?平面BDF；PA平面BDF題型三：面面垂直性質應用例 3. 如圖所示， 在四棱錐PABCD中，底面ABCD是 DAB=60°且邊長為a 的菱形，側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G為AD邊的中點.（ 1）求證： BG平面PAD；（ 2）求證： ADPB .【變式 1】如圖，已知在四棱錐 PABCD中，底面 ABCD是邊長為 4 的正方形， PAD是正三角形，平面 PAD平面 ABCD，E， F， G分別是 PD， PC， BC的中

27、點（ 1）求證：平面 EFG平面 PAD；（ 2）若 M是線段 CD上一點，求三棱錐 M EFG的體積【解答】（ 1）平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD， CD? 平面 ABCD， CD AD，CD平面 PAD。又 PCD中， E、 F 分別是 PD、 PC的中點， EF CD，可得 EF平面 PAD. EF? 平面 EFG，平面 EFG平面 PAD。（2）EF CD，EF? 平面 EFG，CD?平面 EFG， CD平面 EFG，因此 CD上的點 M到平面 EFG的距離等于點D 到平面 EFG的距離， VM EFG=VD EFG，取 AD的中點 H 連接 GH、 EH

28、，則 EF GH，EF平面 PAD， EH? 平面 PAD， EFEH于是SEFH= EF×EH=2=SEFG，平面EFG平面PAD，平面EFG平面PAD=EH， EHD是正三角形，點D 到平面 EFG的距離等于正 EHD 的高，即為，因此，三棱錐M EFG的體積 VMEFG=VD EFG= ×SEFG×=【變式 2】 已知點 P 是菱形 ABCD外一點， DAB60°，其邊長為a，側面 PAD是正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為 AD的中點(1) 求證： AD PB；(2) 若 E 為 BC邊中點，能否在棱 PC上找一點 F，使平面 DEF平

29、面 ABCD.并證明你的結論 解析 (1) 證明：連接BG、PG.四邊形ABCD是菱形且DAB60°. BGAD.又 PAD為正三角形，且G是 AD中點， PG AD.PGBG G， AD平面PBG.又 PB? 平面 PBG， ADPB.(2) 當 F 是 PC中點時，平面 DEF平面 ABCD.證明如下：取PC的中點 F，連接 DE、EF、DF.在 PBC中， EF PB.在菱形 ABCD中， BG DE.平面 DEF平面 PGB.平面 PAD平面 ABCD， PG AD. PG平面 ABCD.又 PG? 平面 PGB.平面 PGB平面 ABCD.平面 DEF平面 ABCD.題型四求點面的距離例 4. 如圖，已知在長方體ABCD-A1B1C1D1 中，棱A A1=5， AB=12，求直線B1C1 到平面A1BC D1的距離 .【變式】如圖，在四棱錐PABCD中，底面 ABCD是正方形， PA平面ABCD， AP=AB=1， E，F(xiàn) 分別是 PB， PC的中點（）求證： AEPC ；（）求點 A 到平面 PBD的距離【解答】（）證明： AP=AB ，E 是 PB的中點， AE PB ，PA平面 A