專題07 二次函數(shù)背景下的三角形相似（全等）（教師版）

1、備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題之二次函數(shù)專題07 二次函數(shù)背景下的三角形相似（全等） 【方法綜述】三角形全等是三角形相似的特殊情況。三角形的全等和相似是綜合題中的常見要素，解答時注意應(yīng)用全等三角形和相似的判定方法。另外，注意題目中“”與全等表述、“”和相似表述的區(qū)別。全等和相似的符號，標(biāo)志著三角形全等（相似）的對應(yīng)點的一、一對應(yīng)關(guān)系。解答時，對于確定的對應(yīng)邊角可以直接利用于解題。而全等、相似的語言表述，標(biāo)志著對應(yīng)點之間的組合關(guān)系，解答時，要進(jìn)行對應(yīng)邊的分類討論?！镜淅痉丁款愋鸵?確定的全等三角形條件的判定應(yīng)用例1：（陜西省渭南市大荔縣中考數(shù)學(xué)三模試題）如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點，其中

2、點A的坐標(biāo)為，拋物線的頂點為P求b的值，并求出點P、B的坐標(biāo)；在x軸下方的拋物線上是否存在點M，使？如果存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；如果不存在，試說明理由【答案】存在，【解析】拋物線經(jīng)過，解得：，拋物線的表達(dá)式為，點P的坐標(biāo)為令得：，解得或，的坐標(biāo)為存在，點如圖：過點P作軸，垂足為C，連接AP、BP，作的平分線，交PB與點N，交拋物線與點M，連接PM、BM，是等邊三角形，在和中，存在這樣的點M，使得，點N是PB的中點，設(shè)直線AM的解析式為，將點A和點N的坐標(biāo)代入得：，解得：，直線AM的解析式為將代入拋物線的解析式得：，解得：或舍去，當(dāng)時，點M的坐標(biāo)為針對訓(xùn)練1（2018年九年級數(shù)學(xué)北師大版下冊

3、：第二章檢測卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線yax2bx8與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點O，與拋物線的一個交點為D，與拋物線的對稱軸交于點E，連接CE，已知點A，D的坐標(biāo)分別為(2，0)，(6，8)(1)求拋物線的解析式，并分別求出點B和點E的坐標(biāo)；(2)試探究拋物線上是否存在點F，使FOEFCE.若存在，請直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】(1) yx23x8；（2）點F的坐標(biāo)為(3，4)或(3，4)【解析】（1）拋物線y=ax2+bx-8經(jīng)過點A（-2，0），D（6，-8）， 解得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為yx23x8；yx23x8 (x3)2 ，

4、拋物線的對稱軸為直線x=3又拋物線與x軸交于A，B兩點，點A的坐標(biāo)為（-2，0）點B的坐標(biāo)為（8，0），設(shè)直線L的函數(shù)表達(dá)式為y=kx點D（6，-8）在直線L上，6k=-8，解得k=- ，直線L的函數(shù)表達(dá)式為y=-x，點E為直線L和拋物線對稱軸的交點，點E的橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為-×3=-4，點E的坐標(biāo)為（3，-4）；（2）拋物線上存在點F，使FOEFCEOE=CE=5，F(xiàn)O=FC，點F在OC的垂直平分線上，此時點F的縱坐標(biāo)為-4，x2-3x-8=-4，解得x=3± ，點F的坐標(biāo)為（3-，-4）或（3+，-4）2（河南省濮陽市2018屆九年級中考數(shù)學(xué)二模試題）如圖，一次函數(shù)與

5、坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點，拋物線經(jīng)過點A，B，點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線BA運(yùn)動，點Q從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線AO運(yùn)動，兩點同時出發(fā)，運(yùn)動時間為t秒求此拋物線的表達(dá)式；求當(dāng)為等腰三角形時，所有滿足條件的t的值；點P在線段AB上運(yùn)動，請直接寫出t為何值時，的面積達(dá)到最大？此時，在拋物線上是否存在一點T，使得？若存在，請直接寫出點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】(1)；（2）當(dāng)為等腰三角形時，t的值為、或或4；（3）點T的坐標(biāo)為【解析】把代入中，得把代入中，得，把，分別代入中，得，拋物線的表達(dá)式為，由勾股定理，得，運(yùn)動t秒后，為等腰三角形，有，三種情況，

6、當(dāng)時，過點Q作于點D在中，解得；當(dāng)時，若點P在x軸上方的直線AB上，解得；若點P在x軸下方的直線AB上，解得：；當(dāng)時，過點P作于點E則，在中，解得：綜上所述，當(dāng)為等腰三角形時，t的值為、或或4過點P作于點F，延長FP交拋物線與點T為底邊AQ上的高，當(dāng)時，的面積最大此時點P為AB的中點，且連接OP，則，點，點T的橫坐標(biāo)為，將代入拋物線的解析式得：在中，由勾股定理可知：，點T的坐標(biāo)為類型二 全等三角形的存在性探究例2（四川省眉山市洪雅縣2018屆九年級中考適應(yīng)性考）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點分別為A（6，0）和點B（4，0），與y軸的交點為C（0，3）（1）求拋物線的解析式；（2

7、）點P是線段OA上一動點（不與點A重合），過P作平行于y軸的直線與AC交于點Q，點D、M在線段AB上，點N在線段AC上是否同時存在點D和點P，使得APQ和CDO全等，若存在，求點D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；若DCB=CDB，CD是MN的垂直平分線，求點M的坐標(biāo)【答案】（1）y=x2x+3；（2）點D坐標(biāo)為（，0）；點M（，0）.【解析】（1）將點（-6，0），C（0，3），B（4，0）代入y=ax2+bx+c，得，解得： ，拋物線解析式為：y=-x2-x+3；（2）存在點D，使得APQ和CDO全等，當(dāng)D在線段OA上，QAP=DCO，AP=OC=3時，APQ和CDO全等，tanQAP=tan

8、DCO，OD=，點D坐標(biāo)為（-，0）.由對稱性，當(dāng)點D坐標(biāo)為（，0）時，由點B坐標(biāo)為（4，0），此時點D（，0）在線段OB上滿足條件OC=3，OB=4，BC=5，DCB=CDB，BD=BC=5，OD=BD-OB=1，則點D坐標(biāo)為（-1，0）且AD=BD=5，連DN，CM，則DN=DM，NDC=MDC，NDC=DCB，DNBC，則點N為AC中點DN時ABC的中位線，DN=DM=BC=，OM=DM-OD=點M（，0）針對訓(xùn)練1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點M（2，0）為圓心的M與y軸相切于原點O，過點B（2，0）作M的切線，切點為C，拋物線經(jīng)過點B和點M（1）求這條拋物線解析式；（2）求點C的坐標(biāo)

9、，并判斷點C是否在（1）中拋物線上；（3）動點P從原點O出發(fā)，沿y軸負(fù)半軸以每秒1個單位長的速度向下運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動t秒時到達(dá)點Q處此時BOQ與MCB全等，求t的值【答案】（1）yx2+；（2）點C在（1）的拋物線上；（3）t2【解析】（1）將點M（2，0）、B（2，0）代入 yx2+bx+c 中，得： 解得：拋物線的解析式：yx2（2）連接MC，則MCBC；過點C作CDx軸于D，如圖，在RtBCM中，CDBM，CM2，BM4，則：DM1，CD，ODOMDM1，C（1，）當(dāng)x1時，yx2，所以點C在（1）的拋物線上（3）BCM和BOQ中，OBCM2，BOQBCM90°，若兩三角形全等，則

10、：OQBC，當(dāng)t2時，MCB和BOQ全等2（廣西田陽縣實驗中學(xué)2019屆九年級中考一）如圖所示，拋物線（m0）的頂點為A，直線與軸的交點為點B.（1）求出拋物線的對稱軸及頂點A的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；（2）證明點A在直線上，并求OAB的度數(shù)；（3）動點Q在拋物線對稱軸上，問：拋物線上是否存在點P，使以點P、Q、A為頂點的三角形與OAB全等？若存在，求出的值，并寫出所有符合上述條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）拋物線的對稱軸為直線，頂點A的坐標(biāo)為（，0）；（2）OAB=30°；（3）存在，=時， P（0，-），P（，-）；=時，P（，-3），P（3+，-3）；=

11、2時， P（，-3），P（，-3）；=時， P（，-），P（，-）. 【解析】（1）對稱軸：x=m；頂點：A（m，0）（2）將x=m代入函數(shù)y=x-m，得y=×m-m=0點A（m，0）在直線l上當(dāng)x=0時，y=-m，B（0，-m）tanOAB=，OAB=30度（3）以點P、Q、A為頂點的三角形與OAB全等共有以下四種情況：當(dāng)AQP=90°，PQ=m，AQ=m時，如圖1，此時點P在y軸上，與點B重合，其坐標(biāo)為（0，-m），代入拋物線y=-（x-m）2得-m=-3m2，m0，m=這時有P1（0，-）其關(guān)于對稱軸的對稱點P2（，- ）也滿足條件當(dāng)AQP=90°，PQ=m

12、，AQ=m時點P坐標(biāo)為（m-m，-m），代入拋物線y=-（x-m）2得m=m2，m0，m=這時有P3（3-，-3）還有關(guān)于對稱軸的對稱點P4（3+，-3）當(dāng)APQ=90°，AP=m，PQ=m時點P坐標(biāo)為（m，m），代入拋物線y=-（x-m）2得m=m2，m0，m=2這時有P5（，-3）還有關(guān)于對稱軸的對稱點P6（3，-3）當(dāng)APQ=90°，AP=m，PQ=m時點P坐標(biāo)為（m，m），代入拋物線y=-（x-m）2得m=m2，m0，m=這時有P7（，-）還有關(guān)于對稱軸對稱的點P8（，-）所以當(dāng)m=時，有點P1（0，-），P2（，-）；當(dāng)m=時，有點P3（3-，-3），P4（3+，

13、-3）；當(dāng)m=2時，有點P5（，-3），P6（3，-3）；當(dāng)m=時，有點P7（，-），P8（，-）3如圖1，拋物線y1=ax2x+c與x軸交于點A和點B（1，0），與y軸交于點C（0，），拋物線y1的頂點為G，GMx軸于點M將拋物線y1平移后得到頂點為B且對稱軸為直線l的拋物線y2（1）求拋物線y2的解析式；（2）如圖2，在直線l上是否存在點T，使TAC是等腰三角形？若存在，請求出所有點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）點P為拋物線y1上一動點，過點P作y軸的平行線交拋物線y2于點Q，點Q關(guān)于直線l的對稱點為R，若以P，Q，R為頂點的三角形與AMG全等，求直線PR的解析式【答案】（1）y2

14、=-x2+ x-；（2）存在；（3）y=x+或y=.【解析】（1）由已知，c=，將B（1，0）代入，得：a=0，解得a=，拋物線解析式為y1=x2- x+，拋物線y1平移后得到y(tǒng)2，且頂點為B（1，0），y2=（x1）2，即y2=-x2+ x-；（2）存在，如圖1：拋物線y2的對稱軸l為x=1，設(shè)T（1，t），已知A（3，0），C（0，），過點T作TEy軸于E，則TC2=TE2+CE2=12+（）2=t2t+，TA2=TB2+AB2=（1+3）2+t2=t2+16，AC2=，當(dāng)TC=AC時，t2t+=，解得：t1=，t2=；當(dāng)TA=AC時，t2+16=，無解；當(dāng)TA=TC時，t2t+=t2+1

15、6，解得t3=；當(dāng)點T坐標(biāo)分別為（1，），（1，），（1，）時，TAC為等腰三角形；（3）如圖2：設(shè)P（m，），則Q（m，），Q、R關(guān)于x=1對稱R（2m，），當(dāng)點P在直線l左側(cè)時，PQ=1m，QR=22m，PQR與AMG全等，當(dāng)PQ=GM且QR=AM時，m=0，P（0，），即點P、C重合，R（2，），由此求直線PR解析式為y=x+，當(dāng)PQ=AM且QR=GM時，無解；當(dāng)點P在直線l右側(cè)時，同理：PQ=m1，QR=2m2，則P（2，），R（0，），PQ解析式為：y=；PR解析式為：y=x+或y=.類型三 確定的相似三角形條件的判定應(yīng)用例3：（重慶市九龍坡區(qū)西彭三中2019屆九年級（上)期末）如圖

16、，已知拋物線經(jīng)過點A（1，0），B（4，0），C（0，2）三點，點D與點C關(guān)于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，0），過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q，交直線BD于點M（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）點P在線段AB上運(yùn)動的過程中，是否存在點Q，使得BODQBM？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（3）已知點F（0，），點P在x軸上運(yùn)動，試求當(dāng)m為何值時以D、M、Q、F為頂點的四邊形是平行四邊形【答案】（1）yx2+x+2；（2）存在，點Q的坐標(biāo)為（3，2）；（3）m1或m3或m1+或1時，四邊形DMQF是平行四邊形【解析】（1）由拋物線過點A（1，

17、0）、B（4，0）可設(shè)解析式為ya（x+1）（x4），將點C（0，2）代入，得：4a2，解得：a，則拋物線解析式為y（x+1）（x4）x2+x+2；（2）如圖所示：當(dāng)BODQBM時，則，MBQ90°，MBP+PBQ90°，MPBBPQ90°，MBP+BMP90°，BMPPBQ，MBQBPQ，解得：m13、m24，當(dāng)m4時，點P、Q、M均與點B重合，不能構(gòu)成三角形，舍去，m3，點Q的坐標(biāo)為（3，2）；（3）由題意知點D坐標(biāo)為（0，2），設(shè)直線BD解析式為ykx+b，將B（4，0）、D（0，2）代入，得：，解得：，直線BD解析式為yx2，QMx軸，P（m，0

18、），Q（m，m2+m+2）、M（m，m2），則QMm2+m+2（m2）m2+m+4，F(xiàn)（0，）、D（0，2），DF，QMDF，當(dāng)|m2+m+4|時，四邊形DMQF是平行四邊形，解得：m1或m3或m1+或1即m1或m3或m1+或1時，四邊形DMQF是平行四邊形針對訓(xùn)練1（湖南省長沙一中2018屆九年級（下)段考）如圖1，一次函數(shù)yx+3的圖象交x軸于點A，交y軸于點D，拋物線yax2+bx+c（a0）的頂點為C，其圖象過A、D兩點，并與x軸交于另一個點B（B點在A點左側(cè)），若；（1）求此拋物線的解析式；（2）連結(jié)AC、BD，問在x軸上是否存在一個動點Q，使A、C、Q三點構(gòu)成的三角形與ABD相似如

19、果存在，求出Q點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由（3）如圖2，若點P是拋物線上一動點，且在直線AD下方，（點P不與點A、點D重合），過點P作y軸的平行線l與直線AD交于點M，點N在直線AD上，且滿足MPNABD，求MPN面積的最大值【答案】（1）yx24x+3；（2）見解析;（3）MPN的面積的最大值為:【解析】（1）當(dāng)x0時，yx+33，則D（3，0）；當(dāng)y0時，x+30，解得x3，則A（3，0），ODOA，OAD為等腰直角三角形，AD3，AB2，B（1，0），設(shè)拋物線解析式為ya（x1）（x3），把D（0，3）代入得a（1）（3）3，解得a1，拋物線解析式為y（x1）（x3），即yx24x+3

20、；（2）作CHx軸，如圖1，yx24x+3（x2）21，C（2，1）AHCH1，ACH為等腰直角三角形，CAH45°，AC，OAD為等腰直角三角形，DAO45°，CAQDAB，當(dāng)時，AQCADB，即，解得AQ3，此時Q（0，0）；當(dāng)時，AQCABD，即，解得AQ，此時Q（，0）；綜上所述，Q點的坐標(biāo)為（0，0）或（，0）；（3）作PEAD于E，如圖2，MPNABD，MNMP，設(shè)P（x，x24x+3），則M（x，x+3），MPx+3（x24x+3）x2+3x（x）2+，當(dāng)x時，MP有最大值，MN的最大值為，PME45°，PEPM，PE的最大值為×，MPN的

21、面積的最大值為×× 2（浙江省嘉興市海寧新倉中學(xué)2019屆九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)第一次月考）如圖，拋物線y=ax2+bx+c過原點O、點A （2，4）、點B （3，3），與x軸交于點C，直線AB交x軸于點D，交y軸于點E（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點坐標(biāo)； （2）直線AFx軸，垂足為點F，AF上取一點G，使GBAAOD，求此時點G的坐標(biāo)； （3）過直線AF左側(cè)的拋物線上點M作直線AB的垂線，垂足為點N，若BMN=OAF，求直線BM的函數(shù)表達(dá)式【答案】（1）y=x2-4x；（2，-4）；（2）G（2， ）；（3）y=或y=-3x+6【解析】（1）解：將原點O（0,0）、點A （2

22、，4）、點B （3，3），分別代入y=ax2+bx+c，得 ，解得 ，y=x2-4x= ，頂點為（2，-4）.（2）解：設(shè)直線AB為y=kx+b，由點A（2，-4），B（3，-3），得 解得 ，直線AB為y=x-6.當(dāng)y=0時，x=6，點D（6，0）.點A（2，-4），D（6,0），B（3，-3），OA= ，OD=6，AD= ，AF=4，OF=2，DF=4，AB= ，DF=AF，又AFx軸，AD0=DAF=45°，GBAAOD， ， ，解得 ，F(xiàn)G=AF-AG=4- ，點G（2， ）.（3）解：如圖1，BMN=OAF， ，MBN=AOF，設(shè)直線BM與AF交于點H，ABH=AOD，HA

23、B=ADO， ，則 ，解得AH= ，H（2， ）.設(shè)直線BM為y=kx+b，將點B、G的坐標(biāo)代入得 ，解得 直線BM的解析式為y= ；如圖2，BD=AD-AB= BMN=OAF，GDB=ODA，HBDAOD ，即 ，解得DH=4點H的坐標(biāo)為（2，0）設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b將點B和點G的坐標(biāo)代入得： ，解得k=-3，b=6直線BM的解析式為y=-3x+6綜上所述，直線MB的解析式為y= 或y=-3x+63（江西省景德鎮(zhèn)市2018屆九年級第二次質(zhì)檢）如果一條拋物線yax2bxc（a0）與x軸有兩個交點，那么以拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”，a，b，

24、c稱為“拋物線系數(shù)”（1）任意拋物線都有“拋物線三角形”是_（填“真”或“假”）命題；（2）若一條拋物線系數(shù)為1，0，2，則其“拋物線三角形”的面積為_；（3）若一條拋物線系數(shù)為1，2b，0，其“拋物線三角形”是個直角三角形，求該拋物線的解析式；（4）在（3）的前提下，該拋物線的頂點為A，與x軸交于O，B兩點，在拋物線上是否存在一點P，過P作PQx軸于點Q，使得BPQOAB，如果存在，求出P點坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由【答案】（1）假；（2）；（3）yx22x 或yx22x；（4）P（1，1）或P（1，3）或P（1，3）或（1，1）【解析】（1）當(dāng)0時，拋物線與x軸有兩個交點，此時拋物線才有

25、“拋物線三角形”，故此命題為假命題；（2）由題意得：，令y=0，得：x=， S=；（3）依題意：yx22bx，它與x軸交于點（0，0）和（2b，0）；當(dāng)拋物線三角形是直角三角形時，根據(jù)對稱性可知它一定是等腰直角三角形 yx22bx=，頂點為（b，b2），由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到：，解得：b0（舍去）或b±1，yx22x 或yx22x（4）當(dāng)拋物線為yx22x 時AOB為等腰直角三角形，且BPQOAB，BPQ為等腰直角三角形，設(shè)P（a，a22a），Q（a，0），則a22a2a，即a20，a=±1，P（1，1）或（1， 3）當(dāng)拋物線為yx22x 時AOB為等腰

26、直角三角形，且BPQOAB，BPQ為等腰直角三角形，設(shè)P（a，a22a），Q（a，0），則a22a2+a，即a+20，a=±1，P（1，3，）或（1，1）綜上所述：P（1，1）或P（1，3）或P（1，3，）或（1，1）類型四 相似三角形存在性探究例4. （江蘇省蘇州市張家港市）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點,拋物線經(jīng)過點.(1)求拋物線的解析式，(2)已知點是拋物線上的一個動點，并且點在第二象限內(nèi)，過動點作軸于點，交線段于點.如圖1，過作軸于點，交拋物線于兩點(點位于點的左側(cè))，連接，當(dāng)線段的長度最短時，求點的坐標(biāo)，如圖2，連接，若以為頂點的三角形與相似，求的面積.【答案】(1)

27、；(2) 點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為；【解析】(1)把代入得，由，得，(2) 由題意可知，四邊形是矩形，所以.由(1)可知，當(dāng)時，最短，即最短，此時點是的中點，所以，點的坐標(biāo)為，將代入得，點的坐標(biāo)為，將代入得，解得，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為當(dāng)時(如圖2)，則、關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，當(dāng)時(如圖3)，則是等腰直角三角形，過點作于點，設(shè)點的坐標(biāo)為，解得，.針對訓(xùn)練1（貴州黔東南州錦屏縣敦寨中學(xué)2018-2019學(xué)年度九年級（上)期末數(shù)學(xué)試卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y-x+2分別交x軸、y軸于點A、B，拋物線yx2+bx+c經(jīng)過點A、B點P是x軸上一個動點，過點P

28、作垂直于x軸的直線分別交拋物線和直線AB于點E和點F設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m（1）點A的坐標(biāo)為 （2）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式（3）點P在線段OA上時，若以B、E、F為頂點的三角形與FPA相似，求m的值（4）若E、F、P三個點中恰有一點是其它兩點所連線段的中點（三點重合除外），稱E、F、P三點為“共諧點”直接寫出E、F、P三點成為“共諧點”時m的值【答案】（1）（4，0）（2）yx2+x+2（3），（4）1或或【解析】（1）在y-x+2中，令y0，則x4，A（4，0）；故答案為：（4，0）；（2）在y-x+2中，令x0，則y2，B（0，2）， 把A（4，0），B（0，2）代入yx2+bx+c，

29、得b，這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為yx2+x+2；（3）P（m，0），E（m，m2+m+2），F(xiàn)（m，m+2），且BFEAEP，BEPAPF90°或EBFAPF90°，則有BEPE，E點的縱坐標(biāo)為2，解得m0（舍去）或m，如圖1，過點E作ECy軸于點C，則EBC+BEC90°，ECm，BCm2+m+22m2+m，EBF90°，EBC+ABO90°，ABOBEC，RtECBRtBOA，,解得m0（舍去）或m，解得，m，綜上所述，以B、E、F為頂點的三角形與FPA相似，m的值，（4）由（1）知，P（m，0），E（m，m2+m+2），F(xiàn)（m，m+2

30、），E、F、P三點為“共諧點”，有F為線段PE的中點、P為線段FE的中點或E為線段PF的中點，當(dāng)F為線段PE的中點時，則有2（m+2）m2+m+2，解得m4（三點重合，舍去）或m；當(dāng)P為線段FE的中點時，則有m+2+（m2+m+2）0，解得m4（舍去）或m1；當(dāng)E為線段FP的中點時，則有m+22（m2+m+2），解得m4（舍去）或m；綜上可知當(dāng)E、F、P三點成為“共諧點”時m的值為1或或2（廣東省汕頭市龍湖區(qū)2019屆九年級上學(xué)期期末質(zhì)量檢測）如圖，拋物線經(jīng)過A(4，0)，B(1，0)，C(0，2)三點(1)求出拋物線的解析式；(2)P是拋物線上一動點，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在P點，

31、使得以A，P，M為頂點的三角形與OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】 (1) yx2x2;(2)點P為(2，1)或(5，2)或(3，14)或(0，2).【解析】解：(1)該拋物線過點C(0，2)，可設(shè)該拋物線的解析式為yax2bx2.將A(4，0)，B(1，0)代入，得，解得 ，此拋物線的解析式為.(2)存在， 設(shè)P點的橫坐標(biāo)為m，則P點的縱坐標(biāo)為m2m2，當(dāng)1m4時，AM4m，PMm2m2.又COAPMA90°，當(dāng)時，APMACO，即4m2(m2m2)解得m12，m24(舍去)，P(2，1) 當(dāng)時，APMCAO，即2(4m)m2m2.解得m1

32、4，m25(均不合題意，舍去)，當(dāng)1m4時，P(2，1) 類似地可求出當(dāng)m4時，P(5，2) 當(dāng)m1時，P(3，14)或P(0，2)， 綜上所述，符合條件的點P為(2，1)或(5，2)或(3，14)或(0，2).3（2018年四川省綿陽市中考數(shù)學(xué)試卷）如圖，已知拋物線過點A(,-3) 和B(3,0)，過點A作直線AC/x軸，交y軸與點C.（1）求拋物線的解析式； （2）在拋物線上取一點P，過點P作直線AC的垂線，垂足為D，連接OA，使得以A，D，P為頂點的三角形與AOC相似，求出對應(yīng)點P的坐標(biāo)； （3）拋物線上是否存在點Q，使得?若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. 【答案】（1）；

33、（2）P點坐標(biāo)為（4 ,6）或（,- ）；（3）Q點坐標(biāo)（3，0）或（-2，15）【解析】（1）把，和點，代入拋物線得：，解得：，則拋物線解析式為；（2）當(dāng)在直線上方時，設(shè)坐標(biāo)為，則有，當(dāng)時，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此時，；當(dāng)時，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此時，；當(dāng)點時，也滿足；當(dāng)在直線下方時，同理可得：的坐標(biāo)為，綜上，的坐標(biāo)為，或，或，或；（3）在中，根據(jù)勾股定理得：， ，邊上的高為，過作，截取，過作，交軸于點，如圖所示：在中，即，過作軸，在中，即，設(shè)直線解析式為，把坐標(biāo)代入得：，即，即，聯(lián)立得：，解得：或，即，或，則拋物線上存在點，使得，此時點的坐標(biāo)為，或，4

34、（湖南省衡陽市2019屆中考數(shù)學(xué)試卷）如圖，已知直線分別交軸、軸于點A、B，拋物線過A，B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC 軸于點C，交拋物線于點D（1）若拋物線的解析式為，設(shè)其頂點為M，其對稱軸交AB于點N求點M、N的坐標(biāo)；是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；（2）當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為1時，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點的三角形與AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由【答案】（1） 答案見解析 （2）存在，或【解析】（1）如圖1，頂點為的坐標(biāo)為，當(dāng)時，則點坐標(biāo)為，；不存在理由如下：，設(shè)點坐標(biāo)為，則，當(dāng)時，四邊形為平行四邊形，即

35、，解得（舍去），此時點坐標(biāo)為，平行四邊形不為菱形，不存在點，使四邊形為菱形；（2）存在如圖2，則，當(dāng)時，則，設(shè)拋物線的解析式為，把代入得，解得，拋物線的解析式為，當(dāng)時，則，當(dāng)時，即，解得，此時拋物線解析式為；當(dāng)時，即，解得，此時拋物線解析式為；綜上所述，滿足條件的拋物線的解析式為或5（湖北省襄州區(qū)2018屆九年級上學(xué)期）如圖，已知拋物線 yax2+x+c 與 x 軸交于 A、B 兩點，與 y 軸交于 C 點，且 A（2，0）、C（0，4），直線 l：yx4 與 x 軸交于點 D，點 P 是拋物線 yax2+ x+c 上的一動點，過點 P 作 PEx 軸，垂足為 E，交直線 l 于點 F（1）試

36、求該拋物線表達(dá)式；（2）如圖 1，若點 P 在第三象限，四邊形 PCOF 是平行四邊形，求 P 點的坐標(biāo)；（3）如圖 2，過點 P 作 PHy 軸，垂足為 H，連接 AC求證：ACD 是直角三角形；試問是否存在這樣的點 P，使得以點 P、C、H 為頂點的三角形與ACD 相似？若存在，請直接寫出點 P 的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】（1）y；（2）P 的坐標(biāo)為（8，4）或（2.5， ）；（3）詳見解析；點 P 的橫坐標(biāo)為 2 或5.5 或10.5 或18 時，使得以點 P、C、H為頂點的三角形與ACD 相似【解析】解：（1）把 A（2，0）、C（0，4）代入 yax2+x+c 中得：，解

37、得：，該拋物線表達(dá)式為：yx2+ x4；（2）如圖 1，設(shè)點 P 的坐標(biāo)為（x，x2+x4），則 F（x，x4），點P在第三象限，PF（x4）（x2+ x4） x，C（0，4），OC4，四邊形 PCOF 是平行四邊形，且 PFOC，PFOC4，即x4，2x2+21x+400，（x+8）（2x+5）0，x18，x22.5，當(dāng) y0 時，x2+ x40， 解得：x110，x22，P 的坐標(biāo)為（8，4）或（2.5，）；（3）當(dāng) y0 時，x40， x8，D（8，0），由勾股定理得：DC282+4280，AC222+4220，AD2102100，AD2AC2+DC2，ACD90°，ACD 是

38、直角三角形；設(shè)點 P 的坐標(biāo)為（x， x2+x4），由知：ACD90°，PHC90°，AC 2 ，CD 4， 如圖 3，點 P 在第一象限，當(dāng)ACDPHC 時，則，CH2PH，x2+ x4（4）2x，解得：x10（P 與 C 重合，舍去），x22，此時點 P 的橫坐標(biāo)為 2；如圖 4，點 P 在第一象限，當(dāng)ACDCHP 時，則，PH2CH，x24（x2+ x4），解得：x10（舍去），x25.5，此時點 P 的橫坐標(biāo)為5.5；如圖 5，點 P 在第二象限，當(dāng)ACDCHP 時，則，PH2CH，x2（x2+ x4）（4）， 解得：x10（舍），x210.5，此時點 P 的橫坐標(biāo)

39、為10.5（P 在直線 l 上）； 如圖 6，點 P 在第二象限，當(dāng)ACDPHC 時，則 ，CH2PH，（x2+ x4）（4）2x， 解得：x10（舍），x218，此時點 P 的橫坐標(biāo)為18；綜上所述，點 P 的橫坐標(biāo)為 2 或5.5 或10.5 或18 時，使得以點 P、C、H為頂點的三角形與ACD 相似6（江西省南昌市2018屆九年級中考三模數(shù)學(xué)）如圖，一次函數(shù)yx2的圖象與二次函數(shù)yax2+bx4的圖象交于x軸上一點A，與y 軸交于點B，在x軸上有一動點C已知二次函數(shù)yax2+bx4的圖象與y軸交于點D，對稱軸為直線xn（n0），n是方程2x23x20的一個根，連接AD（1）求二次函數(shù)的

40、解析式（2）當(dāng)SACB3SADB 時，求點C的坐標(biāo)（3）試判斷坐標(biāo)軸上是否存在這樣的點C，使得以點A、B、C組成的三角形與ADB 相似？若存在，試求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】（1）y2x2+2x4；（2）點 C 的坐標(biāo)為（4，0）或（8，0）；（3）在 x 軸上有一點 C（4，0）或（6，0），使得以點 A、B、C 組成的三角形與ADB 相似【解析】（1）在y=-x-2中，令y=0，則x=-2A（-2，0）由2x2-3x-2=0，得x1=-，x2=2，二次函數(shù)y=ax2+bx-4的對稱軸為直線x=-，解得，二次函數(shù)的解析式為：y=2x2+2x-4；（2）SADB=BDOA=2，

41、SACB=3SADB=6點C在x軸上，SACB=ACOB=×2AC=6，AC=6點A的坐標(biāo)為（-2，0），當(dāng)SACB=3SADB時，點C的坐標(biāo)為（4，0）或（-8，0）；（3）存在理由：令x=0，一次函數(shù)與y軸的交點為點B（0，-2），AB=，OAB=OBA=45°在ABD中，BAD、ADB都不等于45°，ABD=180°-45°=135°，點C在點A的左邊AC與BD是對應(yīng)邊時，ADBBCA，=1，AC=BD=2，OC=OA+AC=2+2=4，點C的坐標(biāo)為（-4，0）當(dāng)AC與AB是對應(yīng)邊時，ADBCBA=，AC=AB=×2=

42、4，OC=OA+AC=2+4=6，點C的坐標(biāo)為（-6，0）綜上所述，在x軸上有一點C（-4，0）或（-6，0），使得以點A、B、C組成的三角形與ADB相似7（人教版九年級上學(xué)期第二十二章二次函數(shù)單元檢測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，B點的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點C（0，3），點P是直線BC下方拋物線上的任意一點（1）求這個二次函數(shù)y=x2+bx+c的解析式（2）連接PO，PC，并將POC沿y軸對折，得到四邊形POPC，如果四邊形POPC為菱形,求點P的坐標(biāo)（3）如果點P在運(yùn)動過程中，能使得以P、C、B為頂點的三角形與AOC相似，請求出此

43、時點P的坐標(biāo)【答案】（1）y=x22x3（2）（2）（，-）（3）P、C、B為頂點的三角形與AOC相似，此時點P的坐標(biāo)（1，4）【解析】（1）將B、C點代入函數(shù)解析式，得：，解得：，這個二次函數(shù)yx2+bx+c的解析式為yx22x3；（2）四邊形POPC為菱形，OC與PP互相垂直平分，yP，即x22x3，解得：x1，x2（舍），P（）；（3）PBC90°，分兩種情況討論：如圖1，當(dāng)PCB90°時，過P作PHy軸于點H，BC的解析式為yx3，CP的解析式為yx3，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，3m），將點P代入代入yx22x3中，解得：m10（舍），m21，即P（1，4）；AO1，OC

44、3，CB，CP，此時3，AOCPCB；如圖2，當(dāng)BPC90°時，作PHy軸于H，作BDPH于DPCPB，PHCBDP，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，m22m3），則PH=m，HC=（m22m3）（3）=m2+2m，BD=（m22m3），PD=3m，解得：m或（舍去）當(dāng)m時，m22m3=PHCBDP，= 3，以P、C、B為頂點的三角形與AOC不相似綜上所述：P、C、B為頂點的三角形與AOC相似，此時點P的坐標(biāo)（1，4）8（江蘇省東臺市第二聯(lián)盟2019屆九年級12月月考）如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O，頂點為A（1，1），且與直線y=x2交于B，C兩點求拋物線的解析式及點C的坐標(biāo)；求證：ABC是直角三角形；若點N為x軸上的一個動點