專題07 二次函數(shù)背景下的三角形相似（全等）（教師版）

1、備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題之二次函數(shù)專題07 二次函數(shù)背景下的三角形相似（全等） 【方法綜述】三角形全等是三角形相似的特殊情況。三角形的全等和相似是綜合題中的常見(jiàn)要素，解答時(shí)注意應(yīng)用全等三角形和相似的判定方法。另外，注意題目中“”與全等表述、“”和相似表述的區(qū)別。全等和相似的符號(hào)，標(biāo)志著三角形全等（相似）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的一、一對(duì)應(yīng)關(guān)系。解答時(shí)，對(duì)于確定的對(duì)應(yīng)邊角可以直接利用于解題。而全等、相似的語(yǔ)言表述，標(biāo)志著對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的組合關(guān)系，解答時(shí)，要進(jìn)行對(duì)應(yīng)邊的分類討論?！镜淅痉丁款愋鸵?確定的全等三角形條件的判定應(yīng)用例1：（陜西省渭南市大荔縣中考數(shù)學(xué)三模試題）如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中

2、點(diǎn)A的坐標(biāo)為，拋物線的頂點(diǎn)為P求b的值，并求出點(diǎn)P、B的坐標(biāo)；在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，試說(shuō)明理由【答案】存在，【解析】拋物線經(jīng)過(guò)，解得：，拋物線的表達(dá)式為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為令得：，解得或，的坐標(biāo)為存在，點(diǎn)如圖：過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為C，連接AP、BP，作的平分線，交PB與點(diǎn)N，交拋物線與點(diǎn)M，連接PM、BM，是等邊三角形，在和中，存在這樣的點(diǎn)M，使得，點(diǎn)N是PB的中點(diǎn)，設(shè)直線AM的解析式為，將點(diǎn)A和點(diǎn)N的坐標(biāo)代入得：，解得：，直線AM的解析式為將代入拋物線的解析式得：，解得：或舍去，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為針對(duì)訓(xùn)練1（2018年九年級(jí)數(shù)學(xué)北師大版下冊(cè)

3、：第二章檢測(cè)卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線yax2bx8與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線l經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為D，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，連接CE，已知點(diǎn)A，D的坐標(biāo)分別為(2，0)，(6，8)(1)求拋物線的解析式，并分別求出點(diǎn)B和點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)試探究拋物線上是否存在點(diǎn)F，使FOEFCE.若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1) yx23x8；（2）點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3，4)或(3，4)【解析】（1）拋物線y=ax2+bx-8經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），D（6，-8）， 解得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為yx23x8；yx23x8 (x3)2 ，

4、拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3又拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0），設(shè)直線L的函數(shù)表達(dá)式為y=kx點(diǎn)D（6，-8）在直線L上，6k=-8，解得k=- ，直線L的函數(shù)表達(dá)式為y=-x，點(diǎn)E為直線L和拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為-×3=-4，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，-4）；（2）拋物線上存在點(diǎn)F，使FOEFCEOE=CE=5，F(xiàn)O=FC，點(diǎn)F在OC的垂直平分線上，此時(shí)點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為-4，x2-3x-8=-4，解得x=3± ，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3-，-4）或（3+，-4）2（河南省濮陽(yáng)市2018屆九年級(jí)中考數(shù)學(xué)二模試題）如圖，一次函數(shù)與

5、坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線BA運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AO運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒求此拋物線的表達(dá)式；求當(dāng)為等腰三角形時(shí)，所有滿足條件的t的值；點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出t為何值時(shí)，的面積達(dá)到最大？此時(shí)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)T，使得？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1)；（2）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，t的值為、或或4；（3）點(diǎn)T的坐標(biāo)為【解析】把代入中，得把代入中，得，把，分別代入中，得，拋物線的表達(dá)式為，由勾股定理，得，運(yùn)動(dòng)t秒后，為等腰三角形，有，三種情況，

6、當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作于點(diǎn)D在中，解得；當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)P在x軸上方的直線AB上，解得；若點(diǎn)P在x軸下方的直線AB上，解得：；當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E則，在中，解得：綜上所述，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，t的值為、或或4過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FP交拋物線與點(diǎn)T為底邊AQ上的高，當(dāng)時(shí)，的面積最大此時(shí)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，且連接OP，則，點(diǎn)，點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為，將代入拋物線的解析式得：在中，由勾股定理可知：，點(diǎn)T的坐標(biāo)為類型二 全等三角形的存在性探究例2（四川省眉山市洪雅縣2018屆九年級(jí)中考適應(yīng)性考）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)分別為A（6，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸的交點(diǎn)為C（0，3）（1）求拋物線的解析式；（2

7、）點(diǎn)P是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過(guò)P作平行于y軸的直線與AC交于點(diǎn)Q，點(diǎn)D、M在線段AB上，點(diǎn)N在線段AC上是否同時(shí)存在點(diǎn)D和點(diǎn)P，使得APQ和CDO全等，若存在，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若DCB=CDB，CD是MN的垂直平分線，求點(diǎn)M的坐標(biāo)【答案】（1）y=x2x+3；（2）點(diǎn)D坐標(biāo)為（，0）；點(diǎn)M（，0）.【解析】（1）將點(diǎn)（-6，0），C（0，3），B（4，0）代入y=ax2+bx+c，得，解得： ，拋物線解析式為：y=-x2-x+3；（2）存在點(diǎn)D，使得APQ和CDO全等，當(dāng)D在線段OA上，QAP=DCO，AP=OC=3時(shí)，APQ和CDO全等，tanQAP=tan

8、DCO，OD=，點(diǎn)D坐標(biāo)為（-，0）.由對(duì)稱性，當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為（，0）時(shí)，由點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），此時(shí)點(diǎn)D（，0）在線段OB上滿足條件OC=3，OB=4，BC=5，DCB=CDB，BD=BC=5，OD=BD-OB=1，則點(diǎn)D坐標(biāo)為（-1，0）且AD=BD=5，連DN，CM，則DN=DM，NDC=MDC，NDC=DCB，DNBC，則點(diǎn)N為AC中點(diǎn)DN時(shí)ABC的中位線，DN=DM=BC=，OM=DM-OD=點(diǎn)M（，0）針對(duì)訓(xùn)練1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)M（2，0）為圓心的M與y軸相切于原點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)B（2，0）作M的切線，切點(diǎn)為C，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)M（1）求這條拋物線解析式；（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)

9、，并判斷點(diǎn)C是否在（1）中拋物線上；（3）動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿y軸負(fù)半軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)到達(dá)點(diǎn)Q處此時(shí)BOQ與MCB全等，求t的值【答案】（1）yx2+；（2）點(diǎn)C在（1）的拋物線上；（3）t2【解析】（1）將點(diǎn)M（2，0）、B（2，0）代入 yx2+bx+c 中，得： 解得：拋物線的解析式：yx2（2）連接MC，則MCBC；過(guò)點(diǎn)C作CDx軸于D，如圖，在RtBCM中，CDBM，CM2，BM4，則：DM1，CD，ODOMDM1，C（1，）當(dāng)x1時(shí)，yx2，所以點(diǎn)C在（1）的拋物線上（3）BCM和BOQ中，OBCM2，BOQBCM90°，若兩三角形全等，則

10、：OQBC，當(dāng)t2時(shí)，MCB和BOQ全等2（廣西田陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019屆九年級(jí)中考一）如圖所示，拋物線（m0）的頂點(diǎn)為A，直線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B.（1）求出拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)A的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；（2）證明點(diǎn)A在直線上，并求OAB的度數(shù)；（3）動(dòng)點(diǎn)Q在拋物線對(duì)稱軸上，問(wèn)：拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、Q、A為頂點(diǎn)的三角形與OAB全等？若存在，求出的值，并寫出所有符合上述條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，0）；（2）OAB=30°；（3）存在，=時(shí)， P（0，-），P（，-）；=時(shí)，P（，-3），P（3+，-3）；=

11、2時(shí)， P（，-3），P（，-3）；=時(shí)， P（，-），P（，-）. 【解析】（1）對(duì)稱軸：x=m；頂點(diǎn)：A（m，0）（2）將x=m代入函數(shù)y=x-m，得y=×m-m=0點(diǎn)A（m，0）在直線l上當(dāng)x=0時(shí)，y=-m，B（0，-m）tanOAB=，OAB=30度（3）以點(diǎn)P、Q、A為頂點(diǎn)的三角形與OAB全等共有以下四種情況：當(dāng)AQP=90°，PQ=m，AQ=m時(shí)，如圖1，此時(shí)點(diǎn)P在y軸上，與點(diǎn)B重合，其坐標(biāo)為（0，-m），代入拋物線y=-（x-m）2得-m=-3m2，m0，m=這時(shí)有P1（0，-）其關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)P2（，- ）也滿足條件當(dāng)AQP=90°，PQ=m

12、，AQ=m時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m-m，-m），代入拋物線y=-（x-m）2得m=m2，m0，m=這時(shí)有P3（3-，-3）還有關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)P4（3+，-3）當(dāng)APQ=90°，AP=m，PQ=m時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，m），代入拋物線y=-（x-m）2得m=m2，m0，m=2這時(shí)有P5（，-3）還有關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)P6（3，-3）當(dāng)APQ=90°，AP=m，PQ=m時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，m），代入拋物線y=-（x-m）2得m=m2，m0，m=這時(shí)有P7（，-）還有關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)P8（，-）所以當(dāng)m=時(shí)，有點(diǎn)P1（0，-），P2（，-）；當(dāng)m=時(shí)，有點(diǎn)P3（3-，-3），P4（3+，

13、-3）；當(dāng)m=2時(shí)，有點(diǎn)P5（，-3），P6（3，-3）；當(dāng)m=時(shí)，有點(diǎn)P7（，-），P8（，-）3如圖1，拋物線y1=ax2x+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，），拋物線y1的頂點(diǎn)為G，GMx軸于點(diǎn)M將拋物線y1平移后得到頂點(diǎn)為B且對(duì)稱軸為直線l的拋物線y2（1）求拋物線y2的解析式；（2）如圖2，在直線l上是否存在點(diǎn)T，使TAC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)P為拋物線y1上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線y2于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為R，若以P，Q，R為頂點(diǎn)的三角形與AMG全等，求直線PR的解析式【答案】（1）y2

14、=-x2+ x-；（2）存在；（3）y=x+或y=.【解析】（1）由已知，c=，將B（1，0）代入，得：a=0，解得a=，拋物線解析式為y1=x2- x+，拋物線y1平移后得到y(tǒng)2，且頂點(diǎn)為B（1，0），y2=（x1）2，即y2=-x2+ x-；（2）存在，如圖1：拋物線y2的對(duì)稱軸l為x=1，設(shè)T（1，t），已知A（3，0），C（0，），過(guò)點(diǎn)T作TEy軸于E，則TC2=TE2+CE2=12+（）2=t2t+，TA2=TB2+AB2=（1+3）2+t2=t2+16，AC2=，當(dāng)TC=AC時(shí)，t2t+=，解得：t1=，t2=；當(dāng)TA=AC時(shí)，t2+16=，無(wú)解；當(dāng)TA=TC時(shí)，t2t+=t2+1

15、6，解得t3=；當(dāng)點(diǎn)T坐標(biāo)分別為（1，），（1，），（1，）時(shí)，TAC為等腰三角形；（3）如圖2：設(shè)P（m，），則Q（m，），Q、R關(guān)于x=1對(duì)稱R（2m，），當(dāng)點(diǎn)P在直線l左側(cè)時(shí)，PQ=1m，QR=22m，PQR與AMG全等，當(dāng)PQ=GM且QR=AM時(shí)，m=0，P（0，），即點(diǎn)P、C重合，R（2，），由此求直線PR解析式為y=x+，當(dāng)PQ=AM且QR=GM時(shí)，無(wú)解；當(dāng)點(diǎn)P在直線l右側(cè)時(shí)，同理：PQ=m1，QR=2m2，則P（2，），R（0，），PQ解析式為：y=；PR解析式為：y=x+或y=.類型三 確定的相似三角形條件的判定應(yīng)用例3：（重慶市九龍坡區(qū)西彭三中2019屆九年級(jí)（上)期末）如圖

16、，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（4，0），C（0，2）三點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q，交直線BD于點(diǎn)M（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在點(diǎn)Q，使得BODQBM？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（3）已知點(diǎn)F（0，），點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，試求當(dāng)m為何值時(shí)以D、M、Q、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形【答案】（1）yx2+x+2；（2）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，2）；（3）m1或m3或m1+或1時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形【解析】（1）由拋物線過(guò)點(diǎn)A（1，

17、0）、B（4，0）可設(shè)解析式為ya（x+1）（x4），將點(diǎn)C（0，2）代入，得：4a2，解得：a，則拋物線解析式為y（x+1）（x4）x2+x+2；（2）如圖所示：當(dāng)BODQBM時(shí)，則，MBQ90°，MBP+PBQ90°，MPBBPQ90°，MBP+BMP90°，BMPPBQ，MBQBPQ，解得：m13、m24，當(dāng)m4時(shí)，點(diǎn)P、Q、M均與點(diǎn)B重合，不能構(gòu)成三角形，舍去，m3，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，2）；（3）由題意知點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，2），設(shè)直線BD解析式為ykx+b，將B（4，0）、D（0，2）代入，得：，解得：，直線BD解析式為yx2，QMx軸，P（m，0

18、），Q（m，m2+m+2）、M（m，m2），則QMm2+m+2（m2）m2+m+4，F(xiàn)（0，）、D（0，2），DF，QMDF，當(dāng)|m2+m+4|時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形，解得：m1或m3或m1+或1即m1或m3或m1+或1時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形針對(duì)訓(xùn)練1（湖南省長(zhǎng)沙一中2018屆九年級(jí)（下)段考）如圖1，一次函數(shù)yx+3的圖象交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)D，拋物線yax2+bx+c（a0）的頂點(diǎn)為C，其圖象過(guò)A、D兩點(diǎn)，并與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)B（B點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)），若；（1）求此拋物線的解析式；（2）連結(jié)AC、BD，問(wèn)在x軸上是否存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，使A、C、Q三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與ABD相似如

19、果存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（3）如圖2，若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在直線AD下方，（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線l與直線AD交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在直線AD上，且滿足MPNABD，求MPN面積的最大值【答案】（1）yx24x+3；（2）見(jiàn)解析;（3）MPN的面積的最大值為:【解析】（1）當(dāng)x0時(shí)，yx+33，則D（3，0）；當(dāng)y0時(shí)，x+30，解得x3，則A（3，0），ODOA，OAD為等腰直角三角形，AD3，AB2，B（1，0），設(shè)拋物線解析式為ya（x1）（x3），把D（0，3）代入得a（1）（3）3，解得a1，拋物線解析式為y（x1）（x3），即yx24x+3

20、；（2）作CHx軸，如圖1，yx24x+3（x2）21，C（2，1）AHCH1，ACH為等腰直角三角形，CAH45°，AC，OAD為等腰直角三角形，DAO45°，CAQDAB，當(dāng)時(shí)，AQCADB，即，解得AQ3，此時(shí)Q（0，0）；當(dāng)時(shí)，AQCABD，即，解得AQ，此時(shí)Q（，0）；綜上所述，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）或（，0）；（3）作PEAD于E，如圖2，MPNABD，MNMP，設(shè)P（x，x24x+3），則M（x，x+3），MPx+3（x24x+3）x2+3x（x）2+，當(dāng)x時(shí)，MP有最大值，MN的最大值為，PME45°，PEPM，PE的最大值為×，MPN的

21、面積的最大值為×× 2（浙江省嘉興市海寧新倉(cāng)中學(xué)2019屆九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)第一次月考）如圖，拋物線y=ax2+bx+c過(guò)原點(diǎn)O、點(diǎn)A （2，4）、點(diǎn)B （3，3），與x軸交于點(diǎn)C，直線AB交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)； （2）直線AFx軸，垂足為點(diǎn)F，AF上取一點(diǎn)G，使GBAAOD，求此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)； （3）過(guò)直線AF左側(cè)的拋物線上點(diǎn)M作直線AB的垂線，垂足為點(diǎn)N，若BMN=OAF，求直線BM的函數(shù)表達(dá)式【答案】（1）y=x2-4x；（2，-4）；（2）G（2， ）；（3）y=或y=-3x+6【解析】（1）解：將原點(diǎn)O（0,0）、點(diǎn)A （2

22、，4）、點(diǎn)B （3，3），分別代入y=ax2+bx+c，得 ，解得 ，y=x2-4x= ，頂點(diǎn)為（2，-4）.（2）解：設(shè)直線AB為y=kx+b，由點(diǎn)A（2，-4），B（3，-3），得 解得 ，直線AB為y=x-6.當(dāng)y=0時(shí)，x=6，點(diǎn)D（6，0）.點(diǎn)A（2，-4），D（6,0），B（3，-3），OA= ，OD=6，AD= ，AF=4，OF=2，DF=4，AB= ，DF=AF，又AFx軸，AD0=DAF=45°，GBAAOD， ， ，解得 ，F(xiàn)G=AF-AG=4- ，點(diǎn)G（2， ）.（3）解：如圖1，BMN=OAF， ，MBN=AOF，設(shè)直線BM與AF交于點(diǎn)H，ABH=AOD，HA

23、B=ADO， ，則 ，解得AH= ，H（2， ）.設(shè)直線BM為y=kx+b，將點(diǎn)B、G的坐標(biāo)代入得 ，解得 直線BM的解析式為y= ；如圖2，BD=AD-AB= BMN=OAF，GDB=ODA，HBDAOD ，即 ，解得DH=4點(diǎn)H的坐標(biāo)為（2，0）設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b將點(diǎn)B和點(diǎn)G的坐標(biāo)代入得： ，解得k=-3，b=6直線BM的解析式為y=-3x+6綜上所述，直線MB的解析式為y= 或y=-3x+63（江西省景德鎮(zhèn)市2018屆九年級(jí)第二次質(zhì)檢）如果一條拋物線yax2bxc（a0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”，a，b，

24、c稱為“拋物線系數(shù)”（1）任意拋物線都有“拋物線三角形”是_（填“真”或“假”）命題；（2）若一條拋物線系數(shù)為1，0，2，則其“拋物線三角形”的面積為_(kāi)；（3）若一條拋物線系數(shù)為1，2b，0，其“拋物線三角形”是個(gè)直角三角形，求該拋物線的解析式；（4）在（3）的前提下，該拋物線的頂點(diǎn)為A，與x軸交于O，B兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，過(guò)P作PQx軸于點(diǎn)Q，使得BPQOAB，如果存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）假；（2）；（3）yx22x 或yx22x；（4）P（1，1）或P（1，3）或P（1，3）或（1，1）【解析】（1）當(dāng)0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)拋物線才有

25、“拋物線三角形”，故此命題為假命題；（2）由題意得：，令y=0，得：x=， S=；（3）依題意：yx22bx，它與x軸交于點(diǎn)（0，0）和（2b，0）；當(dāng)拋物線三角形是直角三角形時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可知它一定是等腰直角三角形 yx22bx=，頂點(diǎn)為（b，b2），由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到：，解得：b0（舍去）或b±1，yx22x 或yx22x（4）當(dāng)拋物線為yx22x 時(shí)AOB為等腰直角三角形，且BPQOAB，BPQ為等腰直角三角形，設(shè)P（a，a22a），Q（a，0），則a22a2a，即a20，a=±1，P（1，1）或（1， 3）當(dāng)拋物線為yx22x 時(shí)AOB為等腰

26、直角三角形，且BPQOAB，BPQ為等腰直角三角形，設(shè)P（a，a22a），Q（a，0），則a22a2+a，即a+20，a=±1，P（1，3，）或（1，1）綜上所述：P（1，1）或P（1，3）或P（1，3，）或（1，1）類型四 相似三角形存在性探究例4. （江蘇省蘇州市張家港市）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn),拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求拋物線的解析式，(2)已知點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)在第二象限內(nèi)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交線段于點(diǎn).如圖1，過(guò)作軸于點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)(點(diǎn)位于點(diǎn)的左側(cè))，連接，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最短時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)，如圖2，連接，若以為頂點(diǎn)的三角形與相似，求的面積.【答案】(1)

27、；(2) 點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；【解析】(1)把代入得，由，得，(2) 由題意可知，四邊形是矩形，所以.由(1)可知，當(dāng)時(shí)，最短，即最短，此時(shí)點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將代入得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將代入得，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)(如圖2)，則、關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)(如圖3)，則是等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，解得，.針對(duì)訓(xùn)練1（貴州黔東南州錦屏縣敦寨中學(xué)2018-2019學(xué)年度九年級(jí)（上)期末數(shù)學(xué)試卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y-x+2分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，拋物線yx2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P

28、作垂直于x軸的直線分別交拋物線和直線AB于點(diǎn)E和點(diǎn)F設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為 （2）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式（3）點(diǎn)P在線段OA上時(shí)，若以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與FPA相似，求m的值（4）若E、F、P三個(gè)點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)（三點(diǎn)重合除外），稱E、F、P三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”直接寫出E、F、P三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”時(shí)m的值【答案】（1）（4，0）（2）yx2+x+2（3），（4）1或或【解析】（1）在y-x+2中，令y0，則x4，A（4，0）；故答案為：（4，0）；（2）在y-x+2中，令x0，則y2，B（0，2）， 把A（4，0），B（0，2）代入yx2+bx+c，

29、得b，這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為yx2+x+2；（3）P（m，0），E（m，m2+m+2），F(xiàn)（m，m+2），且BFEAEP，BEPAPF90°或EBFAPF90°，則有BEPE，E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，解得m0（舍去）或m，如圖1，過(guò)點(diǎn)E作ECy軸于點(diǎn)C，則EBC+BEC90°，ECm，BCm2+m+22m2+m，EBF90°，EBC+ABO90°，ABOBEC，RtECBRtBOA，,解得m0（舍去）或m，解得，m，綜上所述，以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與FPA相似，m的值，（4）由（1）知，P（m，0），E（m，m2+m+2），F(xiàn)（m，m+2

30、），E、F、P三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”，有F為線段PE的中點(diǎn)、P為線段FE的中點(diǎn)或E為線段PF的中點(diǎn)，當(dāng)F為線段PE的中點(diǎn)時(shí)，則有2（m+2）m2+m+2，解得m4（三點(diǎn)重合，舍去）或m；當(dāng)P為線段FE的中點(diǎn)時(shí)，則有m+2+（m2+m+2）0，解得m4（舍去）或m1；當(dāng)E為線段FP的中點(diǎn)時(shí)，則有m+22（m2+m+2），解得m4（舍去）或m；綜上可知當(dāng)E、F、P三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”時(shí)m的值為1或或2（廣東省汕頭市龍湖區(qū)2019屆九年級(jí)上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)A(4，0)，B(1，0)，C(0，2)三點(diǎn)(1)求出拋物線的解析式；(2)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PMx軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，

31、使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與OAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】 (1) yx2x2;(2)點(diǎn)P為(2，1)或(5，2)或(3，14)或(0，2).【解析】解：(1)該拋物線過(guò)點(diǎn)C(0，2)，可設(shè)該拋物線的解析式為yax2bx2.將A(4，0)，B(1，0)代入，得，解得 ，此拋物線的解析式為.(2)存在， 設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m2m2，當(dāng)1m4時(shí)，AM4m，PMm2m2.又COAPMA90°，當(dāng)時(shí)，APMACO，即4m2(m2m2)解得m12，m24(舍去)，P(2，1) 當(dāng)時(shí)，APMCAO，即2(4m)m2m2.解得m1

32、4，m25(均不合題意，舍去)，當(dāng)1m4時(shí)，P(2，1) 類似地可求出當(dāng)m4時(shí)，P(5，2) 當(dāng)m1時(shí)，P(3，14)或P(0，2)， 綜上所述，符合條件的點(diǎn)P為(2，1)或(5，2)或(3，14)或(0，2).3（2018年四川省綿陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)試卷）如圖，已知拋物線過(guò)點(diǎn)A(,-3) 和B(3,0)，過(guò)點(diǎn)A作直線AC/x軸，交y軸與點(diǎn)C.（1）求拋物線的解析式； （2）在拋物線上取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線AC的垂線，垂足為D，連接OA，使得以A，D，P為頂點(diǎn)的三角形與AOC相似，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】（1）；

33、（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為（4 ,6）或（,- ）；（3）Q點(diǎn)坐標(biāo)（3，0）或（-2，15）【解析】（1）把，和點(diǎn)，代入拋物線得：，解得：，則拋物線解析式為；（2）當(dāng)在直線上方時(shí)，設(shè)坐標(biāo)為，則有，當(dāng)時(shí)，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)時(shí)，也滿足；當(dāng)在直線下方時(shí)，同理可得：的坐標(biāo)為，綜上，的坐標(biāo)為，或，或，或；（3）在中，根據(jù)勾股定理得：， ，邊上的高為，過(guò)作，截取，過(guò)作，交軸于點(diǎn)，如圖所示：在中，即，過(guò)作軸，在中，即，設(shè)直線解析式為，把坐標(biāo)代入得：，即，即，聯(lián)立得：，解得：或，即，或，則拋物線上存在點(diǎn)，使得，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，4

34、（湖南省衡陽(yáng)市2019屆中考數(shù)學(xué)試卷）如圖，已知直線分別交軸、軸于點(diǎn)A、B，拋物線過(guò)A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC 軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D（1）若拋物線的解析式為，設(shè)其頂點(diǎn)為M，其對(duì)稱軸交AB于點(diǎn)N求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；是否存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形？并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1時(shí)，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1） 答案見(jiàn)解析 （2）存在，或【解析】（1）如圖1，頂點(diǎn)為的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)坐標(biāo)為，；不存在理由如下：，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形，即

35、，解得（舍去），此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，平行四邊形不為菱形，不存在點(diǎn)，使四邊形為菱形；（2）存在如圖2，則，當(dāng)時(shí)，則，設(shè)拋物線的解析式為，把代入得，解得，拋物線的解析式為，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)拋物線解析式為；當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)拋物線解析式為；綜上所述，滿足條件的拋物線的解析式為或5（湖北省襄州區(qū)2018屆九年級(jí)上學(xué)期）如圖，已知拋物線 yax2+x+c 與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于 C 點(diǎn)，且 A（2，0）、C（0，4），直線 l：yx4 與 x 軸交于點(diǎn) D，點(diǎn) P 是拋物線 yax2+ x+c 上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 PEx 軸，垂足為 E，交直線 l 于點(diǎn) F（1）試

36、求該拋物線表達(dá)式；（2）如圖 1，若點(diǎn) P 在第三象限，四邊形 PCOF 是平行四邊形，求 P 點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖 2，過(guò)點(diǎn) P 作 PHy 軸，垂足為 H，連接 AC求證：ACD 是直角三角形；試問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn) P，使得以點(diǎn) P、C、H 為頂點(diǎn)的三角形與ACD 相似？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）y；（2）P 的坐標(biāo)為（8，4）或（2.5， ）；（3）詳見(jiàn)解析；點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 2 或5.5 或10.5 或18 時(shí)，使得以點(diǎn) P、C、H為頂點(diǎn)的三角形與ACD 相似【解析】解：（1）把 A（2，0）、C（0，4）代入 yax2+x+c 中得：，解

37、得：，該拋物線表達(dá)式為：yx2+ x4；（2）如圖 1，設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（x，x2+x4），則 F（x，x4），點(diǎn)P在第三象限，PF（x4）（x2+ x4） x，C（0，4），OC4，四邊形 PCOF 是平行四邊形，且 PFOC，PFOC4，即x4，2x2+21x+400，（x+8）（2x+5）0，x18，x22.5，當(dāng) y0 時(shí)，x2+ x40， 解得：x110，x22，P 的坐標(biāo)為（8，4）或（2.5，）；（3）當(dāng) y0 時(shí)，x40， x8，D（8，0），由勾股定理得：DC282+4280，AC222+4220，AD2102100，AD2AC2+DC2，ACD90°，ACD 是

38、直角三角形；設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（x， x2+x4），由知：ACD90°，PHC90°，AC 2 ，CD 4， 如圖 3，點(diǎn) P 在第一象限，當(dāng)ACDPHC 時(shí)，則，CH2PH，x2+ x4（4）2x，解得：x10（P 與 C 重合，舍去），x22，此時(shí)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 2；如圖 4，點(diǎn) P 在第一象限，當(dāng)ACDCHP 時(shí)，則，PH2CH，x24（x2+ x4），解得：x10（舍去），x25.5，此時(shí)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為5.5；如圖 5，點(diǎn) P 在第二象限，當(dāng)ACDCHP 時(shí)，則，PH2CH，x2（x2+ x4）（4）， 解得：x10（舍），x210.5，此時(shí)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)

39、為10.5（P 在直線 l 上）； 如圖 6，點(diǎn) P 在第二象限，當(dāng)ACDPHC 時(shí)，則 ，CH2PH，（x2+ x4）（4）2x， 解得：x10（舍），x218，此時(shí)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為18；綜上所述，點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 2 或5.5 或10.5 或18 時(shí)，使得以點(diǎn) P、C、H為頂點(diǎn)的三角形與ACD 相似6（江西省南昌市2018屆九年級(jí)中考三模數(shù)學(xué)）如圖，一次函數(shù)yx2的圖象與二次函數(shù)yax2+bx4的圖象交于x軸上一點(diǎn)A，與y 軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)C已知二次函數(shù)yax2+bx4的圖象與y軸交于點(diǎn)D，對(duì)稱軸為直線xn（n0），n是方程2x23x20的一個(gè)根，連接AD（1）求二次函數(shù)的

40、解析式（2）當(dāng)SACB3SADB 時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)（3）試判斷坐標(biāo)軸上是否存在這樣的點(diǎn)C，使得以點(diǎn)A、B、C組成的三角形與ADB 相似？若存在，試求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）y2x2+2x4；（2）點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（4，0）或（8，0）；（3）在 x 軸上有一點(diǎn) C（4，0）或（6，0），使得以點(diǎn) A、B、C 組成的三角形與ADB 相似【解析】（1）在y=-x-2中，令y=0，則x=-2A（-2，0）由2x2-3x-2=0，得x1=-，x2=2，二次函數(shù)y=ax2+bx-4的對(duì)稱軸為直線x=-，解得，二次函數(shù)的解析式為：y=2x2+2x-4；（2）SADB=BDOA=2，

41、SACB=3SADB=6點(diǎn)C在x軸上，SACB=ACOB=×2AC=6，AC=6點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），當(dāng)SACB=3SADB時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）或（-8，0）；（3）存在理由：令x=0，一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B（0，-2），AB=，OAB=OBA=45°在ABD中，BAD、ADB都不等于45°，ABD=180°-45°=135°，點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊AC與BD是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，ADBBCA，=1，AC=BD=2，OC=OA+AC=2+2=4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4，0）當(dāng)AC與AB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，ADBCBA=，AC=AB=×2=

42、4，OC=OA+AC=2+4=6，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-6，0）綜上所述，在x軸上有一點(diǎn)C（-4，0）或（-6，0），使得以點(diǎn)A、B、C組成的三角形與ADB相似7（人教版九年級(jí)上學(xué)期第二十二章二次函數(shù)單元檢測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的任意一點(diǎn)（1）求這個(gè)二次函數(shù)y=x2+bx+c的解析式（2）連接PO，PC，并將POC沿y軸對(duì)折，得到四邊形POPC，如果四邊形POPC為菱形,求點(diǎn)P的坐標(biāo)（3）如果點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能使得以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形與AOC相似，請(qǐng)求出此

43、時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)【答案】（1）y=x22x3（2）（2）（，-）（3）P、C、B為頂點(diǎn)的三角形與AOC相似，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，4）【解析】（1）將B、C點(diǎn)代入函數(shù)解析式，得：，解得：，這個(gè)二次函數(shù)yx2+bx+c的解析式為yx22x3；（2）四邊形POPC為菱形，OC與PP互相垂直平分，yP，即x22x3，解得：x1，x2（舍），P（）；（3）PBC90°，分兩種情況討論：如圖1，當(dāng)PCB90°時(shí)，過(guò)P作PHy軸于點(diǎn)H，BC的解析式為yx3，CP的解析式為yx3，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，3m），將點(diǎn)P代入代入yx22x3中，解得：m10（舍），m21，即P（1，4）；AO1，OC

44、3，CB，CP，此時(shí)3，AOCPCB；如圖2，當(dāng)BPC90°時(shí)，作PHy軸于H，作BDPH于DPCPB，PHCBDP，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m22m3），則PH=m，HC=（m22m3）（3）=m2+2m，BD=（m22m3），PD=3m，解得：m或（舍去）當(dāng)m時(shí)，m22m3=PHCBDP，= 3，以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形與AOC不相似綜上所述：P、C、B為頂點(diǎn)的三角形與AOC相似，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，4）8（江蘇省東臺(tái)市第二聯(lián)盟2019屆九年級(jí)12月月考）如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為A（1，1），且與直線y=x2交于B，C兩點(diǎn)求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；求證：ABC是直角三角形；若點(diǎn)N為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)