正余弦定理的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計終極版

1、課題名稱正余弦定理的應(yīng)用學(xué)科數(shù)學(xué)授課班級K-1授課時數(shù)1設(shè)計者林巧紅所屬學(xué)校本節(jié)（課）教學(xué)內(nèi)容分析（1）本節(jié)課是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書必修 5第一章解三角形中的1.1正 弦定理和余弦定理的內(nèi)容，該節(jié)包括正弦定理和余弦定理的發(fā)現(xiàn)、探索、證明和應(yīng)用， 分5課時完成，本節(jié)課是第5課時，內(nèi)容主要是正弦定理和余弦定理在解三角形中的簡 單應(yīng)用。（2） 正余弦定理的應(yīng)用是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分 ，是高考的必考內(nèi)容。 從知識的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上看，它是三角公式及變換的延續(xù)和應(yīng)用 ，也是正弦定理、余弦定理、 三角形面積公式等的運用和拓展。（3）正余弦定理是反映三角形中邊與角之間關(guān)系的兩個重要定理，其主要作用是

2、將已知條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系，對它們進(jìn)行靈活應(yīng)用，就會感到 另一種新奇與愉悅，同時也給眾多題目找到了同一根源”依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解 決一些簡單的三角形度里冋題。（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的 實際問題。本節(jié)（課）教學(xué)目標(biāo)（1）知識與技能目標(biāo)：通過對任意三角形邊角關(guān)系的探究，進(jìn)一步掌握三角形中邊 長與角度之間的疋量關(guān)系.（2）過程與方法目標(biāo)：通過對兩個定理的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，使學(xué)生能靈活選擇它們來解決三角形中的邊角問題，培養(yǎng)學(xué)生的思維綜合能力，學(xué)會與人合作，交流.（3）情感

3、與態(tài)度目標(biāo)：面向全體學(xué)生，創(chuàng)造平等的教學(xué)氛圍，讓學(xué)生積極參與對數(shù) 學(xué)問題的討論，敢于發(fā)表自己的觀點，并尊重和理解他人的見解，能從交流中獲益，給 學(xué)生成功的體驗，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想，以及在方 程思想指導(dǎo)下解三角形的運算能力。學(xué)習(xí)者特征分析（1）本課的學(xué)習(xí)對象為高一普通班學(xué)生，他們經(jīng)過一個多學(xué)期的高中學(xué)習(xí)，已經(jīng)有 一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和分析問題、解決問題的能力，基本的計算機操作較為熟練。（2）作為高一年普通班的學(xué)生普遍存在著數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)知識較為薄弱，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 有一定的困難。在學(xué)習(xí)交往上表現(xiàn)為個別化學(xué)習(xí)，課堂上較為依賴?yán)蠋煹闹笇?dǎo)，學(xué)生的 群體性小組交流能力與協(xié)同討論學(xué)習(xí)的

4、能力不強，對學(xué)習(xí)資源知識信息的獲取，加工， 處理和綜合的能力較低，但是他們能意識到自己的不足，對數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)興趣高，積極 性高。（3）正弦定理和余弦定理緊跟必修 4 （包括三角函數(shù)與平面向量）之后，因此以 這些知識作為工具或載體，運用轉(zhuǎn)化與化歸作為指導(dǎo)思想是本節(jié)學(xué)習(xí)的重點。本節(jié)的學(xué)習(xí)，又可以讓學(xué)生進(jìn)一步掌握三角形中邊與角存在著的定量關(guān)系，這是一個從定性到定 量的飛躍過程，這些對讓學(xué)生體會到事物是相互聯(lián)系的辯證思想有著舉足輕重的作用。 因此，本節(jié)內(nèi)容讓普通班學(xué)生通過網(wǎng)絡(luò)課進(jìn)行協(xié)作和探究學(xué)習(xí)是比較合適的。（4）本節(jié)課存在的困難點：1、從直角三角形到斜三角形，這樣一個從定性到定量的過程，學(xué)生認(rèn)識是否

5、到位， 是否只是機械套用公式？2、本節(jié)課中例1涉及到了三角形中的“多解”情況，面積、周長問題，現(xiàn)在的學(xué)生 動手能力較差，能否考慮到？在例 2、3中對正弦定理與余弦定理的靈活、準(zhǔn)確選用有無 障礙？教學(xué)、學(xué)習(xí)時間是否夠用？知識點學(xué)習(xí)目標(biāo)描述知識點 編號學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)具體描述語句（一）知 識 目 標(biāo)1、三角形的有關(guān)性質(zhì)；2、正、余弦定理綜合運用.（二）能力目標(biāo)1、熟練掌握正、余弦定理；2、進(jìn) 步熟悉三角函數(shù)公式和三角形中的有關(guān)性質(zhì)；3、綜合運用正、余弦定理、三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問題.（三）德 育 目 標(biāo)通過正、余弦定理在解三角形問題時溝通了三角函數(shù)與三角形有關(guān)性質(zhì)的功 能，反映了事

6、物之間的內(nèi)在聯(lián)系及一定條件下的相互轉(zhuǎn)化教學(xué)重點和難點項目內(nèi)容解決措施教學(xué)重點正、余弦定理的綜合運用.啟發(fā)學(xué)生在求解三角形問題時，注意三角 形性質(zhì)，三角公式變形與正余弦定理產(chǎn)生聯(lián)系， 從而綜合運用正余弦定理達(dá)到求解目的。教學(xué)難點1、正、余弦定理與三角形性 質(zhì)的結(jié)合；2、三角函數(shù)公式變形與正、 余弦定理的聯(lián)系在題設(shè)條件不是三角形基本元素時，啟發(fā)學(xué)生 利用正余弦定理建立方程，通過解方程組達(dá)到 解三角形目的教學(xué)環(huán)境設(shè)計針對這一節(jié)課的內(nèi)容，我選擇在多媒體教室上課，做好博客課件，方便同學(xué)與同學(xué) 交流，與老師交流，安排學(xué)生二人一臺電腦，方面同學(xué)之間合作探討。教學(xué)媒體（資源）選擇（依據(jù)“經(jīng)驗之塔”P42,確認(rèn)

7、有助于教學(xué)）知識占八、編 號學(xué)習(xí) 目標(biāo)媒 體 類 型媒體內(nèi)容要點教學(xué) 作用使用 方式所得結(jié)論占用 時間媒體 來源1、知識 梳理博 客（一）三大定理1、正弦定理： 變形：2、余弦定理： 變形：勾股定理：3、面積定理：（二）常用結(jié)論1、內(nèi)角和疋理2、大邊對大角，大角對大邊：3、三角變換：A.提 供事 實， 建立 經(jīng)驗E.演示提問講解通過提問了 解學(xué)情，并初步 為解三角形掃除 知識點不足的障 礙。5網(wǎng)絡(luò)2、例題分析博 客（1）在厶ABC中，a 2J3,b 6, A 30°，求此三角形的邊c.（2）已知三角形的一個角為60°，面積為10，周長為20,求此三角形的各邊長。D.提 供示

8、 范， 正確 操作F.演示討論總結(jié)1、已知兩邊及一 邊的一對角，解 三角形時，需考 慮解的個數(shù)。2、已知一個角， 可由余弦定理建 立一個關(guān)于 a,b,c 的關(guān)系式，再結(jié)10網(wǎng)絡(luò)合面積公式，周 長公式求出a,b,o3、例題分析博 客在 ABC 中,tanA a2 , tan B b試判斷 ABC的形狀。G設(shè) 難置 疑， 引起 思辨I.學(xué)習(xí) 者自己 操作媒 體進(jìn)行 學(xué)習(xí)；判斷三角形的形 狀，有兩條思路： 化角為邊； 化邊為角。兩條轉(zhuǎn)化主要是 應(yīng)用正弦定理（邊化正弦，正 弦化邊）和余弦 定理（余弦直接 代入）。5網(wǎng)絡(luò)4、例題分析博 客已知a,b,c分別為 ABC的三內(nèi)角A,B,C的 對 邊，且aco

9、sC ccosA 2bcosB（1）求角B的大小；（2）求sinA?sinC的最大值；（3）若 ABC的外接圓半徑為4,求ABC面積的最大值；思考：若 ABC的外接圓半徑為4, 設(shè)D為AC中點，求中線BD的取值 范圍；G設(shè) 難置 疑， 引起 思辨F演 示一 討論 總結(jié)充分挖掘兩個定 理，利用三角函 數(shù)的有界性來求 面積的最值，體 現(xiàn)三角函數(shù)公式 的工具性作用。10網(wǎng)絡(luò)5、在線 測試博 客（1）已知 ABC 中，sinA:sinB:sinC=1：1：返，則此三角形的最大內(nèi)角的 度數(shù)是（）A. 60 °B. 90 °C. 120 °D . 135 °（2）在

10、ABC中，若，貝y ABCcosA cosB sinC是（）A.直角三角形.B.等邊三角形.C鈍角三角形.D.等腰直角三角形（3）在厶ABC中，a 2,b3,C1350 貝V ABC 的5面積是（）G設(shè) 難置 疑， 引起 思辨L學(xué)習(xí) 者自己 操作媒 體進(jìn)行 學(xué)習(xí)加強對正余弦定理的應(yīng)用5網(wǎng)絡(luò)“30 , 3 品A. 3 B . 3、/2c .D 2 2(4 ) 在 ABC中，已知AB 3, BC <13, AC 4 則 AC 邊上的高為()3 晅3433”A. B. . C. .D. 332226課堂小結(jié)博 客熟記：正余弦定理及其變形；三角形 面積公式；合理采用公式求邊、角、 面積、周長、外

11、接圓半徑； 活用：靈活運用定理，實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化； 注重：數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想。J.歸 納總 結(jié)，復(fù)習(xí) 鞏固F.演示討論總結(jié)通過提問，引導(dǎo) 學(xué)生回憶，作出 小結(jié)，給學(xué)生以 第二次學(xué)習(xí)的機 會。3網(wǎng)絡(luò)7、課外 作業(yè)博 客1、若 ABC的三個內(nèi)角滿足 sin A:sin B:sin C 5:11:13 則 ABCA. 疋疋銳角三角形 .B . 疋疋直 角三角形.C 一定是鈍角三角形D.可能是銳角三角形，也可能是鈍 角三角形2、在ABC中，V3廠S ,a 1,b勺3，則角B=；3、在 ABC 中，AB=4,AC=3,角平分 線AD交BC于D , AD=2，則面積S=；4、已知圓內(nèi)接四邊形 ABCD的四條邊

12、 長分別為AB 3, BC 3,CD 8, DA 5，求四邊形ABCD的面積。5、已知a,b,c分別為 ABC的三內(nèi)角A,B,C 的 對 邊，且acosC ccosA 2bcosB(1)求角B的大?。籏.自疋 義。I.學(xué)習(xí) 者自 己操 作媒 體進(jìn) 行學(xué) 習(xí)與課堂教學(xué)內(nèi)容 呼應(yīng)，幫助學(xué)生 有效的掌握知識2網(wǎng)絡(luò)（2）求si nA si nC的取值范圍；（3）若 ABC的外接圓半徑為4，求ABC周長的取值范圍。板書設(shè)計正余弦定理的應(yīng)用1、知識梳理3、在線測試2、例題分析4、課堂小結(jié)例15、課外作業(yè)例2例3關(guān)于教學(xué)策略選擇的闡述重視提出問題、解決問題策略的指導(dǎo)。學(xué)數(shù)學(xué)的最終目的是應(yīng)用數(shù)學(xué)，而如今比較突

13、 出的兩個問題是，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識不強，創(chuàng)造能力較弱，學(xué)生往往不能把實際問題 抽象成數(shù)學(xué)問題，不能把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實際問題中去，因此在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生 發(fā)現(xiàn)問題、提出問題是非常必要的，并讓指導(dǎo)學(xué)生掌握對于諸如觀察、分析、歸納、類 比、抽象、概括、猜想等解決問題的科學(xué)思維方法。針對這一節(jié)課的內(nèi)容，以及學(xué)生特點，我制定了由淺入深的教學(xué)計劃：首先，將所授內(nèi)容劃分為三大類型一一求解斜三角形中的基本元素；判斷三角形的形狀；面積的最值問題。其次，在每一類型中，有代表性地選取兩道例題或1小道，遵循由淺入深的原則進(jìn)行 順序上的安排。最后，利用好小結(jié)，使學(xué)生的認(rèn)識再進(jìn)一步升華，從而達(dá)到教學(xué)目的。課堂教學(xué)過

14、程結(jié)構(gòu)設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)教師的活動學(xué)生的活動教學(xué)媒體（資源）設(shè)計意圖、依據(jù)課前準(zhǔn)備1、指導(dǎo)學(xué)生登陸博客網(wǎng) 站。2、介紹博客網(wǎng)站的操作 方法。3、講明上課過程中的注1、作好課前準(zhǔn)備。2、登陸專題網(wǎng)站。3、熟悉專題網(wǎng)站的操作 方法。博客1、讓少數(shù)不熟悉網(wǎng)絡(luò)操 作的同學(xué)學(xué)會利用網(wǎng)絡(luò) 資源來輔助學(xué)習(xí)。2、有助于本節(jié)課的順利 進(jìn)行。意事項。知識梳理1、展示本節(jié)的重要知識占：八、(1) 三大定理 正弦定理：余弦定理 面積定理(2) 常見結(jié)論 內(nèi)角和定理 邊角大小關(guān)系 三角變換2、提問部分學(xué)生相關(guān)知 識點內(nèi)容并給予糾正與r冃疋。了解本節(jié)課的三大定理 內(nèi)容及常見結(jié)論。博客、黑板解三角形的重要依 據(jù)是正余弦定理，通過

15、 提問了解學(xué)情，并初步 為解三角形掃除知識點 不足的障礙。例1分析1、請學(xué)生點擊本節(jié)的例1。例1、求解斜三角形中的 基本元素是指已知兩角一邊(或兩邊一角或三 邊)，求出其他三個 元素，進(jìn)而求出三角 形的三線(高，角平 分線，中線)，周長， 面積等基本問題。(1 )在厶ABC中，a 2 丁3,b6, A 300，求此三角形的邊C.(2)已知三角形的一個 角為60。，面積為 103,周長為20,求此三角形的各邊長。2、引導(dǎo)學(xué)生針對題目進(jìn) 行討論，小組自講，捕捉 學(xué)生中出現(xiàn)的一些意 見”。3、講解學(xué)生中出現(xiàn)的一 些意見”，1、分析題目類型，小組 自講解題思路。2、把探討過程中出現(xiàn)的 問題以及亮點通過

16、博客 及時反饋給老師與其他 同學(xué)；同時也盡量回復(fù) 其他同學(xué)提出的困惑。3、聽老師解惑釋疑，及 時做好筆記，小結(jié)各題解題的關(guān)鍵點。博客、黑板1、把主動權(quán)交給學(xué)生， 讓學(xué)生自發(fā)地成為一個教師”，這就要求學(xué)生不 僅要會做還要會講，學(xué) 生如果會講了，思維就 流暢了，過程就規(guī)范了， 能力也就自然而然地提 咼了2、調(diào)動學(xué)生的主動性和 創(chuàng)造性，使學(xué)生完成角 色的改變，從“要我學(xué)” 變成“我要學(xué)”。從而真 正讓學(xué)生實現(xiàn)知識的自我反饋。例2分析1、請學(xué)生點擊本節(jié)的例2。例2、判斷三角形的形狀1、小組討論，派代表到 黑板板書，并及時關(guān)注 上面的同學(xué)解題過程是博客、黑板1、創(chuàng)造一個讓學(xué)生協(xié)作 學(xué)習(xí)的空間，互相配合、

17、 互相幫助、各種觀點互在ABC中，tan A a2,p ,試判斷tanB b2ABC的形狀2、全班分為兩組，一組 角化邊，一組邊化角，并 派一名代表到黑板板書， 比賽誰更快。3、捕捉學(xué)生中出現(xiàn)的一 些意見”，并對此進(jìn)行講 解，并與學(xué)生一起對此類 型進(jìn)行歸納小結(jié)。否出現(xiàn)紕漏，及時派人 上去修正。2、通過博客及時反饋探 討冋題中出現(xiàn)的困惑。3、聽老師解惑釋疑，及 時做好筆記，小結(jié)解題 的關(guān)鍵點。相補充，完成學(xué)習(xí)任務(wù)， 從而培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊精神 以及各方面的能力。2、以常用的三角公式為 基礎(chǔ)，強化訓(xùn)練邊角互 化，使學(xué)生掌握判斷三 角形形狀的兩種方法， 同時通過學(xué)生板書并不 斷規(guī)范解題過程既調(diào)動 了學(xué)生學(xué)

18、習(xí)的積極性， 又樹立了學(xué)生們競爭向 上的進(jìn)步意識，充分激 發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力。例3分析1、請學(xué)生點擊本節(jié)的例3。例3、最值問題已知a,b,c分別為ABC的三內(nèi)角A,B,C的對邊，且acosC ccosA 2bco（1）求角B的大?。唬?）求 sinA?sinC 的 最大值；（3）若ABC的外接圓 半徑為4求ABC面積 的最大值；2、引導(dǎo)學(xué)生通過例題探 索解題思路，并和里面的 分析探求進(jìn)行對照，注意 三角形中的三角變換公式及角度范圍。關(guān)注一題 多解：角化邊或邊化角；3、引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘正 弦定理與面積定理，利用 三角函數(shù)的有界性來求 面積的最值。1、通過例題探索解題思 路，并和里面的分析探 求進(jìn)行

19、對照。2、通過博客及時反饋解 題思路中出現(xiàn)的困惑； 同時也盡量回復(fù)其他同 學(xué)提出的困惑。3、聽老師解惑釋疑，及 SB做好筆記，小結(jié)解題 的關(guān)鍵點。博客、黑板1、給學(xué)生一個“自學(xué)” 舞臺，讓學(xué)生去體會每 道題中的每一小題的交 互性和連貫性，讓學(xué)生 在“活動”中學(xué)習(xí)，在“主動”中發(fā)展，在“合 作”中增知，在“實踐” 中成長。2、教師在活動中起著“輔導(dǎo)者”的作用。而 學(xué)生通過自學(xué)清楚了求 三角形面積最值的來龍 去脈，運用轉(zhuǎn)化與化歸 作為指導(dǎo)思想是本章學(xué) 習(xí)的重點使學(xué)生產(chǎn)生學(xué) 習(xí)的成就感。在線測試1、指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行在線測 試（1）已知 ABC中，1、在線測試并提交練習(xí) 卷。2、聽老師解惑釋疑，及 時做好

20、筆記，小結(jié)解題 的關(guān)鍵點。博客、黑板1、讓學(xué)生實現(xiàn)知識的自 我反饋。2、再一次讓學(xué)生體驗自 己探索結(jié)果的喜悅。構(gòu)sin A:si nB:si nC = 1:1:述，建學(xué)生認(rèn)知體系，體現(xiàn)則此三角形的最大內(nèi)角 的度數(shù)是（）知識的系統(tǒng)性，使知識 得到再現(xiàn)和升華。A .60 °B.90 °C . 120 °D.135 °(2 )在ABC中,若abccosA cosBsinC，則ABC是( )A 直角三角形. 邊三角形B.等C.鈍角三角形 等腰直角三角形D.（3）在 ABC中，a 2,b3,C13505則 ABC的面積是( )A .3B .3邁3龐nC . D .

21、23島2(4 )在ABC中已知AB 3, BC <13, AC4則AC邊上的高為( )3血A . B.23力23廠C. - D. 3*322、對學(xué)生提交的學(xué)習(xí)反饋進(jìn)行講解校對。課堂小結(jié)點評學(xué)生總結(jié)本課的教學(xué)生總結(jié)本課的教學(xué)內(nèi)博客、黑板通過提問，引導(dǎo)學(xué)生回學(xué)內(nèi)容，并對學(xué)生在自學(xué)容，并歸納在自己在自憶，作出小結(jié)，給學(xué)生中出現(xiàn)的普遍問題進(jìn)行學(xué)過程中出現(xiàn)的問題。以第二次學(xué)習(xí)的機會。強調(diào)糾正。課后作業(yè)1、若 ABC的三個內(nèi)角滿足sin A:si n B:si nC 5:1 則厶ABCA. 疋疋銳角三角形.B. 疋疋直角三角形 .C. 一定是鈍角三角形 .D. 可能是銳角三角形， 也可能是鈍角三角形

22、.2、在ABC中，/3S 2!_,a 1,b J32 ， 則角B=獨立完成1:13,DA 5)sB博客與課堂教學(xué)內(nèi)容呼應(yīng)， 幫助學(xué)生有效的掌握知 識.3、在 ABC中，AB=4,AC=3,角平分線 AD 交 BC 于 D , AD=2 , 則面積S=;4、已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的四條邊長分別為AB 3,BC 3,CD 8，求四邊形ABCD的面積。5、已知a,b,c分別為ABC的三內(nèi)角A, B,C的對邊，且acosC ccosA 2bc(2) 求角B的大??；(2) 求 si nA sinC 的取值范圍；(3) 若ABC的外接圓 半徑為4,求ABC周長 的取值范圍。教學(xué)流程圖教學(xué)內(nèi)容和教師的活動

23、媒體的應(yīng)用學(xué)生的 活動“教師進(jìn)行邏輯判斷歸納總結(jié)，形成結(jié)論歸納總結(jié)，形成結(jié)論歸納總結(jié)，形成結(jié)論結(jié)束個性化教學(xué)本節(jié)課首先通過展示知識點讓學(xué)生對本節(jié)課應(yīng)用的知識加深印象；通過小組討論來改變學(xué)習(xí)方式，促 進(jìn)學(xué)生發(fā)展。在授課過程中關(guān)注了學(xué)生，讓學(xué)生的觀點不斷閃現(xiàn)，并及時對學(xué)生進(jìn)行了贊賞！讓學(xué)生 在合作中體驗到學(xué)的成功，享受到學(xué)的樂趣形成性檢測這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是兩個定理學(xué)習(xí)的第五課時，涉及的知識點非常重要，根據(jù)學(xué)生的課堂情況，設(shè)計有基礎(chǔ)題型，也有綜合題目這樣,既調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性 ，也提高了學(xué)生的認(rèn)知水平，突顯了 學(xué)生的主體地位讓學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)體系更完整，并為以后的實際應(yīng)用打下了扎實基礎(chǔ)評價量表（教學(xué)功能、診斷功能、調(diào)控功能、激勵功能）1、 這節(jié)課給你的總體感覺如何？（）A. 效果很好（39人）B.還可以（10人）C.不好（0）D.不知道（1人）2、 你覺得老師對整個課堂的把握能力如何？（）A.很自如（35人）B. 一般（12人）C.不好 （0）D.不知道（3人）3、 請你給這節(jié)課的課件做個評價（）A. 很形象，很好，對學(xué)習(xí)內(nèi)容很有幫助。（8人）B. 還可以，有利于接受教學(xué)內(nèi)容。（40人）C. 無所謂，可有可無。（1人）