多邊形及其內(nèi)角和(2)

1、多邊形及其內(nèi)角和多邊形及其內(nèi)角和1 1、填空：如圖，此多邊形應(yīng)記作、填空：如圖，此多邊形應(yīng)記作 邊形邊形 ，ABAB邊的鄰邊是邊的鄰邊是 、 ，頂點，頂點E E處的內(nèi)角為處的內(nèi)角為 ，過，過頂點頂點A A畫出這個多邊形的對角線，共有畫出這個多邊形的對角線，共有 條，它們條，它們把多邊形分成把多邊形分成 個三角形。個三角形。2 2、n n邊形有邊形有 個頂點，個頂點， 條邊，有條邊，有 個角，個角，有有 個不同頂點的外角個不同頂點的外角3 3、四邊形有、四邊形有 條對角線。五邊形有條對角線。五邊形有 條條對角線。對角線。4 4、四邊形的一條對角線將它分成、四邊形的一條對角線將它分成 個三角形個三

2、角形5 5、從六邊形的一個頂點出發(fā)可以畫、從六邊形的一個頂點出發(fā)可以畫 條對角線，它條對角線，它們將六邊形分成們將六邊形分成 個三角形個三角形6 6、正多邊形的、正多邊形的 相等相等, , 相等相等7 7、多邊形分為、多邊形分為 和和 兩類兩類五五ABCDEAEBCAED23nnnn252邊凸多邊形凸多邊形凹多邊形凹多邊形EABCD角布局精巧玄妙，從高空俯視，全村呈八卦形，房屋、街巷布局精巧玄妙，從高空俯視，全村呈八卦形，房屋、街巷的分布走向恰好與歷史上寫的諸葛亮九宮八卦陣暗合。的分布走向恰好與歷史上寫的諸葛亮九宮八卦陣暗合。想一想想一想浙江金華蘭溪諸葛八卦村浙江金華蘭溪諸葛八卦村你能算出八卦

3、圖的內(nèi)角和嗎？你能算出八卦圖的內(nèi)角和嗎？你能算它的內(nèi)角和嗎？你能算它的內(nèi)角和嗎？它們的內(nèi)角和該怎么計算呢？它們的內(nèi)角和該怎么計算呢？其他多邊形的內(nèi)角和呢？其他多邊形的內(nèi)角和呢？想一想想一想你知道長方形和正方形的內(nèi)角和是多少？其它四邊形的內(nèi)角和是多少？你還記得三角形內(nèi)角和是多少度？（三角形內(nèi)角和 180）（都是360）ABCD四邊形內(nèi)角和四邊形內(nèi)角和那么如何求此五邊形的內(nèi)角和呢那么如何求此五邊形的內(nèi)角和呢? ?3 180 =5400 說說你的說說你的 探索思路？探索思路？ABCDE 三角形三角形 四邊形四邊形 五邊形五邊形 1800 2 180= 3600 3 180 =5400 探索過程一掠探

4、索過程一掠: :ACBABCD六邊形六邊形 七邊形七邊形4 180 =7200 5 180 =9000 那么六邊形、七邊形的內(nèi)角和呢？內(nèi)角和內(nèi)角和三角形個數(shù)三角形個數(shù)從一個頂點引出從一個頂點引出對角線數(shù)對角線數(shù)邊數(shù)邊數(shù)56233180=540 .344180=720 (n-2)180 n n-3 n-2 75180=900 45綜上所述，設(shè)多邊形的邊數(shù)為綜上所述，設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則則 n邊形的內(nèi)角和等于邊形的內(nèi)角和等于 （n一一2）180PABCD圖 1如圖如圖1，在四邊形內(nèi)任取一點，在四邊形內(nèi)任取一點P,連接連接PA、PB、PC、PD將四邊將四邊形變成有一個公共頂點的四個形變成有一個公共

5、頂點的四個三角形，四邊形內(nèi)角和等于三角形，四邊形內(nèi)角和等于1804 360= 360PABDC圖 2如圖如圖2，在四邊形的一邊上任取一點，在四邊形的一邊上任取一點P,連接連接PB、PC，將四邊形變成有一個公，將四邊形變成有一個公共頂點的三個三角形，四邊形內(nèi)角和共頂點的三個三角形，四邊形內(nèi)角和等于等于180 3 180 = 360PABCD圖 3如圖如圖3，在四邊形外任取一點，在四邊形外任取一點P,連接連接PA、PB、PC、PD將四邊形變成有一個公將四邊形變成有一個公共頂點的四個三角形，四邊形內(nèi)角和共頂點的四個三角形，四邊形內(nèi)角和等于等于180 3 180 = 360百家爭鳴百家爭鳴其他方法其他

6、方法其他方案其他方案我們也可以利用以上不同的方法分我們也可以利用以上不同的方法分割多邊形，得到割多邊形，得到n邊形的內(nèi)角和公式邊形的內(nèi)角和公式2A3A1A4A5AnA1A4A3A2A5AnAp2A1A3A4A5AnAp2A1A3A4A5AnAp照貓畫虎照貓畫虎 n邊形內(nèi)角和等于最終結(jié)論最終結(jié)論（n2） 1802、已知一個多邊形每個內(nèi)角都等、已知一個多邊形每個內(nèi)角都等108 ，求這個多邊形的邊數(shù)？求這個多邊形的邊數(shù)？解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為 n，根據(jù)題意得：(n2) 180=108n解得：n=5 答：這個多邊形是五邊形五邊形。1、八邊形的內(nèi)角和等于多少度？、八邊形的內(nèi)角和等于多少度？ 十邊形呢？

7、十邊形呢？（82) 180= 1080(102) 180= 1440搶搶 答答那么正五邊形、正六邊形、正八邊形、那么正五邊形、正六邊形、正八邊形、正正n邊形的每個內(nèi)角分別是多少度呢？邊形的每個內(nèi)角分別是多少度呢？ 正正n邊形邊形（5-2）180 5 =108（6-2）180 6 =120（8-2）180 8 =135（n-2）180 nABCD0180CA00360180)24(DCBA因為：這就是說，如果這就是說，如果00180)(360:CADB所以典型例題典型例題 （2）他每跑完一圈，身體轉(zhuǎn)過的角）他每跑完一圈，身體轉(zhuǎn)過的角度之和是多少？度之和是多少？ （3）在上圖中，你能求出）在上圖中

8、，你能求出 1+ 2+ 3+ 4+ 5=嗎？你是怎樣得到的？嗎？你是怎樣得到的？（1）小明每從一條）小明每從一條街道轉(zhuǎn)到下一條街街道轉(zhuǎn)到下一條街道時，身體轉(zhuǎn)過的道時，身體轉(zhuǎn)過的角是角是 哪哪 個個 角？角？ 清晨，小明沿一個清晨，小明沿一個五邊形廣場周圍的小路，五邊形廣場周圍的小路，按逆時針方向跑步。按逆時針方向跑步。DACEBOABCDE12345結(jié)論： 1， 2， 3， 4， 5的和等于的和等于360 ? 1多邊形多邊形 內(nèi)角的內(nèi)角的一邊與另一邊的反一邊與另一邊的反向延長線向延長線所組成的角叫做這個多所組成的角叫做這個多邊形的外角。邊形的外角。在每個頂點處取在每個頂點處取這個多邊形的一這個

9、多邊形的一個外角個外角，它們的和它們的和叫做這個多邊叫做這個多邊形的外角和。形的外角和。多邊形的外角和等于多邊形的外角和等于360? 1如果廣場的形狀是六邊形、八如果廣場的形狀是六邊形、八邊形，那么還有類似的結(jié)論嗎？邊形，那么還有類似的結(jié)論嗎？多邊形的外角和多邊形的外角和A3A8AnA1A2A7A5A6A4各抒己見各抒己見多邊形的外角和等于多邊形的外角和等于360? 1多邊形多邊形 外角與內(nèi)角有何關(guān)外角與內(nèi)角有何關(guān)系？還有其他方法可以推系？還有其他方法可以推導出多邊形外角和？導出多邊形外角和？ 多邊形的任何一個內(nèi)角加上與它相鄰的多邊形的任何一個內(nèi)角加上與它相鄰的內(nèi)角都等于內(nèi)角都等于180（平角

10、），（平角），n個外角連同個外角連同它們的各自相鄰的內(nèi)角，共有它們的各自相鄰的內(nèi)角，共有n個個180，總和為總和為n 180 ，再用它減去，再用它減去n個內(nèi)角的個內(nèi)角的和，剩下的就是多邊形的外角和了！和，剩下的就是多邊形的外角和了！00180)2(180nn018020360 例例1. 已知一個多邊形，它的內(nèi)角和已知一個多邊形，它的內(nèi)角和 等于外等于外角和的角和的2倍，求這個多邊形的邊數(shù)。倍，求這個多邊形的邊數(shù)。 解：解： 設(shè)多邊形的邊數(shù)為設(shè)多邊形的邊數(shù)為n 它的內(nèi)角和等于它的內(nèi)角和等于 (n-2)180， 多邊形外角和等于多邊形外角和等于360， (n-2)180=2 360。 解得解得:

11、n=6 這個多邊形的邊數(shù)為這個多邊形的邊數(shù)為6。 例例2. 一個多邊形當邊數(shù)增加一個多邊形當邊數(shù)增加1時，它的內(nèi)角和增加時，它的內(nèi)角和增加 多少度？多少度？ 解：解： 設(shè)多邊形的邊數(shù)為設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，它的內(nèi)角和等于它的內(nèi)角和等于 (n-2)180，當邊數(shù)增加當邊數(shù)增加1時，內(nèi)角和為時，內(nèi)角和為(n+1-2)180， (n+1-2)180- (n-2)180 =n180-180-n180+360 = 180內(nèi)角和增加內(nèi)角和增加180外角和呢？外角和呢？邊數(shù)增加邊數(shù)增加2或或3呢？呢？ 解解;設(shè)五邊形中前四個角的度數(shù)分別是設(shè)五邊形中前四個角的度數(shù)分別是x,2x,3x,4x,則第五個角度數(shù)是則第

12、五個角度數(shù)是x+ 100 . X+2x+3x+4x+x+ 100 = （52）180 11X +100 = 540 11X = 440 X = 40 則這個五邊形的內(nèi)角分別為則這個五邊形的內(nèi)角分別為40, 80, 120, 160, 140.例例3. 五邊形中五邊形中,前四個角的比是前四個角的比是1:2:3:4,第五個角比第五個角比最小角多最小角多100 ,則這個五邊形的內(nèi)角分別為則這個五邊形的內(nèi)角分別為_1.正五邊形正五邊形 的每一個外角等于的每一個外角等于_.每一個內(nèi)角等于每一個內(nèi)角等于_,721442.如果一個正多邊形的一個內(nèi)角等于如果一個正多邊形的一個內(nèi)角等于120,則這個則這個多邊多

13、邊 形的邊形的邊 數(shù)是數(shù)是_63.如果一個多邊形的每一個外角等于如果一個多邊形的每一個外角等于30,則這個多則這個多邊形的邊數(shù)是邊形的邊數(shù)是_12隨堂練習隨堂練習今天的收獲今天的收獲 3、n邊形的內(nèi)角和等于：邊形的內(nèi)角和等于：（n2）180 2、n邊形從一個頂點所畫對角線的條邊形從一個頂點所畫對角線的條數(shù)為：數(shù)為：n3 4、利用類比歸納、轉(zhuǎn)化的學習方法，可、利用類比歸納、轉(zhuǎn)化的學習方法，可以把多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決以把多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決; 5、方程的數(shù)學思想在幾何中有重要的作用。、方程的數(shù)學思想在幾何中有重要的作用。 1、 由由n條不在同一直線上的線段首尾順條不在同一直

14、線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形稱為次連結(jié)組成的平面圖形稱為n邊形，又稱為邊形，又稱為多邊形。多邊形。 課后思考1、一天小明爸爸給小明出了一道智力題考、一天小明爸爸給小明出了一道智力題考考他。將一個多邊形截去一個角后考他。將一個多邊形截去一個角后(沒有過沒有過頂點）得到多邊形的內(nèi)角和將會（頂點）得到多邊形的內(nèi)角和將會（ ） A、不變、不變 B、增加、增加 180 C、減少、減少 180 D、無法確定、無法確定1. 如果把多邊形的邊數(shù)增加如果把多邊形的邊數(shù)增加1條，它的條，它的內(nèi)角和是內(nèi)角和是2160，那么這個多邊形，那么這個多邊形的邊數(shù)是的邊數(shù)是 。2. 一個多邊形除了一個內(nèi)角外，其余各角

15、的一個多邊形除了一個內(nèi)角外，其余各角的和為和為600，那么除去的這個角的度數(shù)是，那么除去的這個角的度數(shù)是 ， 這個多邊形是這個多邊形是 邊形。邊形。13120六1.已知四邊形已知四邊形ABCD中中,A與與C互補互補.如果如果B=80,則則D的度數(shù)是的度數(shù)是 .2.某四邊形四個內(nèi)角的度數(shù)之比為某四邊形四個內(nèi)角的度數(shù)之比為1:2:3:3,這這四個內(nèi)角的度數(shù)分別是四個內(nèi)角的度數(shù)分別是 . 3.在四邊形在四邊形ABCD中中,已知已知A=85 C =115 B比比D大大20,則則B的度數(shù)是的度數(shù)是 ，D的度數(shù)是的度數(shù)是 . 交一份滿意的答卷！10040 , 80 , 120 , 120 9070 練一練

16、練一練: 已知在四邊形已知在四邊形ABCD中中, A= 90 C= 90,BE平分平分ABC,交交CD于點于點E,DF平分平分ADC,交交AB于點于點F.求證求證:BEDF.ABCDEF4.若一個若一個n邊形的內(nèi)角都相等，且內(nèi)角的度數(shù)邊形的內(nèi)角都相等，且內(nèi)角的度數(shù)與和它相鄰的外角的度數(shù)比為與和它相鄰的外角的度數(shù)比為3 1，那么，這，那么，這個多邊形的邊數(shù)為個多邊形的邊數(shù)為_.5.若一個十邊形的每個外角都相等，則它的若一個十邊形的每個外角都相等，則它的每個外角的度數(shù)為每個外角的度數(shù)為_，每個內(nèi)角的度數(shù)，每個內(nèi)角的度數(shù)為為_.6.若一個凸多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和，若一個凸多邊形的內(nèi)角和等于它的

17、外角和，則它則它 的邊數(shù)是的邊數(shù)是_.7.如果一個多邊形的每一個外角都相等，并如果一個多邊形的每一個外角都相等，并且它的內(nèi)角和為且它的內(nèi)角和為2880，那么它的內(nèi)角為，那么它的內(nèi)角為_.練習練習1、 若多邊形的外角和與內(nèi)角和之比為若多邊形的外角和與內(nèi)角和之比為2 9，求這個多邊形的邊數(shù)及內(nèi)角和求這個多邊形的邊數(shù)及內(nèi)角和。2 、一個多邊形中的各內(nèi)角相等，且每個內(nèi)角一個多邊形中的各內(nèi)角相等，且每個內(nèi)角與外角之差的絕對值為與外角之差的絕對值為60，求此多邊形的邊，求此多邊形的邊數(shù)數(shù)。3、 已知多邊形的一個內(nèi)角的外角與其它已知多邊形的一個內(nèi)角的外角與其它各內(nèi)角的度數(shù)總和為各內(nèi)角的度數(shù)總和為600，求邊

18、數(shù)，求邊數(shù)4 、如果多邊形的每個內(nèi)角都比它相鄰的如果多邊形的每個內(nèi)角都比它相鄰的外角的外角的4倍還多倍還多30，求這個多邊形的內(nèi)，求這個多邊形的內(nèi)角和及對角線的總條數(shù)角和及對角線的總條數(shù) 練習：2. 已知一個多邊形的每一個外角都 等于36，這個 多邊形是 幾邊形？它的每一個內(nèi)角是多少度？3. 六角螺母的一個面是六邊形的，這個六邊形的六個內(nèi)角相等。求每一個內(nèi)角的度數(shù)。計算計算1. 已知一個多邊形內(nèi)角和是外已知一個多邊形內(nèi)角和是外角和的角和的2倍，求邊數(shù)倍，求邊數(shù)2. 已知多邊形每個內(nèi)角都等于已知多邊形每個內(nèi)角都等于150，求內(nèi)角和，求內(nèi)角和3. 一個多邊形除了一個內(nèi)角為一個多邊形除了一個內(nèi)角為130外，其余各內(nèi)角的和為外，其余各內(nèi)角的和為2030，求多邊形的邊數(shù)，求多邊形的邊數(shù)4. 已知五邊形五個內(nèi)角的比為已知五邊形五個內(nèi)角的比為1 1.5 2 2.5 3，求這個五邊形，求這個五邊形的五個外角的五個外角8.已知多邊形的內(nèi)角和與某一個外角已知多邊形的內(nèi)角和與某一個外角的度數(shù)總和為的度數(shù)總和為1350，求多邊形的邊，求多邊形的邊數(shù)數(shù).學習了本節(jié)課你有哪些 收獲？求下列圖形中求下列圖形中x的值：的值：0140