柯西施瓦茨不等式

1、分類號(hào)（宋體小三加黑） 論文選題類型 U D C 編號(hào) 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）（黑體小初）（宋體小一加黑）題 目 （宋體小二加黑） 學(xué) 院 （宋體小三加黑） 專 業(yè) 年 級(jí) 學(xué)生姓名 學(xué) 號(hào) 指導(dǎo)教師 二 年 月（宋體三號(hào)加黑）推薦精選華中師范大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的研究成果。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)的成果作品。本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。學(xué)位論文作者簽名： 日期： 年 月 日學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書(shū)本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保障、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)

2、校保留并向有關(guān)學(xué)位論文管理部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)省級(jí)優(yōu)秀學(xué)士學(xué)位論文評(píng)選機(jī)構(gòu)將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。本學(xué)位論文屬于1、保密 ，在_年解密后適用本授權(quán)書(shū)。2、不保密 。（請(qǐng)?jiān)谝陨舷鄳?yīng)方框內(nèi)打“”）學(xué)位論文作者簽名： 日期： 年 月 日導(dǎo)師簽名： 日期： 年 月 日推薦精選目 錄內(nèi)容摘要1關(guān)鍵詞1Abstract1Keywords11.Cauchy-Schwarz不等式的簡(jiǎn)介22.Cauchy-Schwarz不等式的四種形式22.1實(shí)數(shù)域中的Cauchy-Schwarz不

3、等式22.1.1定理22.1.2 應(yīng)用32.1.2.1 用于證明不等式32.1.2.2 用于求最值32.1.2.3 用于解方程組42.1.2.4用于解三角形相關(guān)問(wèn)題42.2.n維歐氏空間中的Cauchy-Schwarz不等式52.2.1定理52.2.2應(yīng)用62.2.2.1 用于證明不等式62.2.2.2用于求最值62.2.2.3 用于證明三維空間中點(diǎn)到面的距離公式72.3數(shù)學(xué)分析中的Cauchy-Schwarz不等式72.3.1定理72.3.1.1定理（積分學(xué)中的柯西施瓦茨不等式）72.3.1.2 定理（數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的柯西施瓦茨不等式）92.3.2 應(yīng)用102.3.2.1 用于證明不等式102.4

4、概率空間中的Cauchy-Schwarz不等式102.4.1 定理10推薦精選2.4.2 應(yīng)用112.4.2.1 用于研究?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)112.4.2.2用于求方程的系數(shù)122.4.2.3 用于判斷極值是否存在133Cauchy-Schwarz不等式四種形式的內(nèi)在聯(lián)系133.1證明方法的相似性133.2內(nèi)在之間的互推性14 3.3 四種形式的本質(zhì). .15參考文獻(xiàn)16推薦精選 內(nèi)容摘要：本文介紹了柯西施瓦茨不等式在實(shí)數(shù)域、維歐式空間、數(shù)學(xué)分析、概率空間四個(gè)不同分支的表現(xiàn)形式，并簡(jiǎn)單說(shuō)明了其在各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用，主要包括證明不等式、求最值，解三角形的相關(guān)問(wèn)題，解方程組，研究概率論中的相關(guān)系

5、數(shù)、判斷極值的存在性。此外，本文還給出了柯西施瓦茨不等式的四種不同形式的內(nèi)在聯(lián)系。關(guān)鍵詞：柯西施瓦茨不等式 應(yīng)用 內(nèi)在聯(lián)系A(chǔ)bstract: In this paper, the four different forms of Cauchy-Schwarz-inequality are firstly introduced. The four different forms include real number field, dimensional Euclidean space, mathematical analysis, probability space. Then its appl

6、ications are showed, which include proving the inequality, finding a solution to the maximum value and minimum value of a function or equations, solving triangle, studying the correlation coefficient on the probability theory, determining the existence of extreme value. In addition, this paper also

7、gives the internal relations of the four different forms of Cauchy-Schwarz-inequality. Keywords: Cauchy-Schwarz-inequality application internal-relations 推薦精選 1.Cauchy-Schwarz不等式的簡(jiǎn)介柯西施瓦茨不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的。數(shù)學(xué)上，柯西施瓦茨不等式，又稱施瓦茨不等式或柯西布尼亞科夫斯基施瓦茨不等式，因?yàn)檎呛髢晌粩?shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎

8、完善的地步?？挛魇┩叽牟坏仁绞且粭l很多場(chǎng)合都用得上的不等式，例如證明不等式、求函數(shù)最值、線性代數(shù)的矢量，研究三角形的相關(guān)問(wèn)題，數(shù)學(xué)分析的無(wú)窮級(jí)數(shù)和乘積的積分，和概率論的方差，求方程系數(shù)，判斷極值的存在性。 2.Cauchy-Schwarz不等式的四種形式 2.1實(shí)數(shù)域中的Cauchy-Schwarz不等式 2.1.1定理 設(shè)則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式等號(hào)成立.證明：通過(guò)構(gòu)造關(guān)于的二次函數(shù)來(lái)證明設(shè)若即時(shí)，顯然不等式成立.若時(shí)，則有且由于成立，所以且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式等號(hào)成立.故推薦精選 2.1.2 應(yīng)用在中學(xué)數(shù)學(xué)和競(jìng)賽數(shù)學(xué)中常常巧妙地應(yīng)用柯西施瓦茨不等式（即Cauchy-Schwarz不等式）將許多繁

9、瑣復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，比如常常用于求證不等式、最值、解方程組和解三角形的相關(guān)問(wèn)題，而運(yùn)用柯西施瓦茨不等式的關(guān)鍵在于根據(jù)問(wèn)題的要求并按照其形式，巧妙地構(gòu)造兩組數(shù)。2.1.2.1 用于證明不等式例1已知都是正數(shù)，求證：證明：根據(jù)柯西施瓦茨不等式的形式構(gòu)造兩個(gè)數(shù)組： 利用柯西施瓦茨不等式有即所以2.1.2.2 用于求最值例2.已知求的最小值.解：根據(jù)柯西施瓦茨不等式的形式構(gòu)造兩個(gè)數(shù)組：和則有推薦精選即所以的最小值.2.1.2.3 用于解方程組例3. 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解方程組解：由柯西施瓦茨不等式知 所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，并將其與聯(lián)立解方程組可得：2.1.2.4用于解三角形相關(guān)問(wèn)題例4. 設(shè)分別為三角形三

10、邊，其對(duì)應(yīng)的高分別為為三角形外切圓半徑，且滿足，試確定三角形的形狀.解：設(shè)三角形的面積為，則 故等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，因此，此三角形為等邊三角形。推薦精選 2.2.n維歐氏空間中的Cauchy-Schwarz不等式 2.2.1定理1在維歐氏空間中，對(duì)任意向量有其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)時(shí)成立。證明：證法1 通過(guò)構(gòu)造關(guān)于的二次函數(shù)來(lái)證明設(shè)由實(shí)向量的內(nèi)積的雙線性，對(duì)稱性和正定性可知當(dāng)時(shí)，不等式成立。當(dāng)時(shí)，由于成立，則等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，即不等式得證。證法2 通過(guò)利用實(shí)向量空間的內(nèi)積的基本性質(zhì)來(lái)證明如果故結(jié)論成立。若由內(nèi)積的正定性知令仍由內(nèi)積的正定性知，且等號(hào)只在時(shí)成立。把的表達(dá)式代入，利用內(nèi)積的雙線性

11、計(jì)算得 由于且由內(nèi)積的對(duì)稱性知故，其等號(hào)只在時(shí)成立，即推薦精選時(shí)成立，不等式獲證。注：如果把此不等式中的內(nèi)積用坐標(biāo)表達(dá)出來(lái)，就是下述不等式：它也被稱為柯西布尼亞可夫斯基不等式。 2.2.2應(yīng)用2.2.2.1 用于證明不等式例5. 證明：證明：取由柯西施瓦茨不等式得整理得：2.2.2.2用于求最值例6. 已知的最小值。解：構(gòu)造向量可得：由柯西施瓦茨不等式得： 則 即的最小值為.推薦精選2.2.2.3 用于證明三維空間中點(diǎn)到面的距離公式例7. 已知為三維空間中的一點(diǎn)，平面求點(diǎn)解：設(shè)為平面上的任意一點(diǎn)，則 又因?yàn)橛煽挛魇┩叽牟坏仁接?所以等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)成立。又由距離的定義可知點(diǎn)為。 2.3數(shù)學(xué)分析

12、中的Cauchy-Schwarz不等式 2.3.1定理2.3.1.1定理2（積分學(xué)中的柯西施瓦茨不等式） 設(shè)在上可積，則.證法1 通過(guò)建立輔助函數(shù)來(lái)證明作函數(shù)，由定積分的性質(zhì)得推薦精選 = =故在上單調(diào)遞減，即而故，即不等式成立。注：此證法的關(guān)鍵在于將變成而構(gòu)建輔助函數(shù)，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成利用函數(shù)單調(diào)性來(lái)證明不等式。此外也可以類似定理1.1和定理2.1構(gòu)建一元二次函數(shù)來(lái)求證。證法 2 通過(guò)構(gòu)造積分不等式來(lái)證明 因?yàn)樵谏峡煞e，所以都可積，且對(duì)任何實(shí)數(shù)也可積，又故，即由此推得關(guān)于的二次三項(xiàng)式的判別式非正，即故.注：此法的關(guān)鍵在于構(gòu)造積分不等式，展開(kāi)求關(guān)于的判別式，這就將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了關(guān)于的二次三項(xiàng)式有

13、無(wú)根的問(wèn)題。證法 3 通過(guò)利用定積分的定義來(lái)證明因?yàn)樵谏峡煞e，所以都可積，對(duì)區(qū)間進(jìn)行等分，分為由定積分的定義得 推薦精選 因?yàn)?，故?注：此證法的關(guān)鍵在于應(yīng)用“分割，近似求和，取極限”的思想方法.證法4 通過(guò)利用二重積分的知識(shí)來(lái)證明3令 = = = 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，故綜上則有.注：本證法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二重積分問(wèn)題，并利用了輪換對(duì)稱性，重積分對(duì)稱性在積分中的應(yīng)用時(shí)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重點(diǎn)、難點(diǎn)，值得注意。2.3.1.2 定理（數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的柯西施瓦茨不等式） 若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂，且.推薦精選證明：由于收斂，則有收斂，而，故絕對(duì)收斂.由定理1.1中的可知當(dāng)令取極限時(shí)，即為所要證明的不等式. 2.

14、3.2 應(yīng)用2.3.2.1 用于證明不等式 例8. 若都在在上可積，則有閔可夫斯基（Minkowski）不等式： 證明：由柯西施瓦茨不等式得 故 2.4概率空間中的Cauchy-Schwarz不等式 2.4.1 定理4 設(shè)為任意隨機(jī)變量，若存在，則也存在，且，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)，使得證明：構(gòu)造二次函數(shù) 定義任意實(shí)數(shù)的二次函數(shù)為因?yàn)閷?duì)一切，必然有，從而有于是方程要么無(wú)實(shí)根，要么有一個(gè)實(shí)根，即重根，則判別式非正，從而，推薦精選即.當(dāng)?shù)忍?hào)成立，方程有一個(gè)重根，使，從而即且，于是反之，若存在常數(shù)，使得成立，即從而于是即故即在式中等號(hào)成立。 2.4.2 應(yīng)用2.4.2.1 用于研究?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量的相

15、關(guān)系數(shù) 例9. 對(duì)于相關(guān)系數(shù)成立，并且當(dāng)且僅當(dāng)；而當(dāng)且僅當(dāng)證明：對(duì)隨機(jī)變量應(yīng)用柯西施瓦茨不等式有 即，故等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)存在使得 （其中是方程時(shí)的解）推薦精選顯然，時(shí)，即 時(shí)，即 注：以上表明，當(dāng)時(shí)，存在完全線性關(guān)系，這時(shí)如果給定一個(gè)隨機(jī)變量的值，另一個(gè)隨機(jī)變量的值便完全決定.2.4.2.2用于求方程的系數(shù) 例10.當(dāng)函數(shù)是由實(shí)驗(yàn)或觀察得到的，建立直線趨勢(shì)方程的模型時(shí)，要求實(shí)際觀察值與趨勢(shì)值離差的平方和必須為最小。解：設(shè)這里令整理得消去由柯西施瓦茨不等式得，故等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).又由于為時(shí)間變量，故，所以推薦精選故2.4.2.3 用于判斷極值是否存在 例11. 證明存在極小值。 證明：因?yàn)榍蠖A

16、偏導(dǎo)得因?yàn)橛煽挛魇┩叽牟坏仁降盟杂止蚀嬖跇O小值。從以上兩個(gè)例子可以看出柯西施瓦茨不等式在求方程系數(shù)和判斷極值中起了補(bǔ)充說(shuō)明的作用，增強(qiáng)了預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性、科學(xué)性、嚴(yán)密性5。 3Cauchy-Schwarz不等式四種形式的內(nèi)在聯(lián)系 3.1證明方法的相似性 以上我們介紹了柯西施瓦茨不等式在實(shí)數(shù)域、維歐式空間、數(shù)學(xué)分析、概率空間四個(gè)不同分支的表現(xiàn)形式，并簡(jiǎn)單說(shuō)明了其在各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用，盡管這四種表現(xiàn)形式涉及到不同的數(shù)學(xué)對(duì)象，證明方法各自也呈現(xiàn)出多樣化，但是我們發(fā)現(xiàn)，這四種種形式在證明方法上都可以通過(guò)構(gòu)造二次函數(shù)或者二次不等式（本質(zhì)都是通過(guò)判別式對(duì)根的情況進(jìn)行判斷）來(lái)進(jìn)行統(tǒng)一的證明。推薦精選如： 在

17、實(shí)數(shù)域中令在維歐式空間中令在微積分中令在概率空間中令從以上各式可看出都是通過(guò)構(gòu)造二次函數(shù)或二次不等式，利用判別式進(jìn)行求證。 3.2內(nèi)在之間的互推性6 從“分析”的角度：定理2.1.1定理2.3.1.1從“代數(shù)”的角度：本質(zhì)上是一致的，如：1）若在向量空間中取，定義內(nèi)積，則定理2.2.1定理2.1.12）若在空間取，定義內(nèi)積，則定理2.2.1定理2.3.1.1從“測(cè)度論”的角度：1） 若選取離散型隨機(jī)變量 推薦精選 則，故定理2.4.1定理2.1.12） 若選取連續(xù)性隨機(jī)變量則故定理2.4.1定理2.3.1.13.3 四種形式的本質(zhì)是內(nèi)積在不同的（賦范）空間的表現(xiàn)形式即為柯西施瓦茨不等式在實(shí)數(shù)域和維歐式空間的表現(xiàn)形式。即為柯西施瓦茨不等式在數(shù)學(xué)分析數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)上的表現(xiàn)形式。 當(dāng)定義內(nèi)積其中是關(guān)于在上的連續(xù)函數(shù)，則取即為柯西施瓦茨不等式在數(shù)學(xué)分析積分學(xué)中的表現(xiàn)形式。 當(dāng)定義內(nèi)積，若為隨機(jī)變量，取，則由得，即為柯西施瓦茨不等式在概率空間的表現(xiàn)形式。 因此，柯西施瓦茨不等式的四種形式是內(nèi)積在不同的（賦范）空間的表現(xiàn)形式。推薦精選參考文獻(xiàn)：1樊惲，劉宏偉,線性代數(shù)與解析幾何教